数学与应用数学 毕业论文 整数环上不可约多项式的判定1230

琼州学院本科毕业论文

有理数域上不可约多项式的判定方法

符世岳

(琼州学院理工学院数学与应用数学06级3班 海南 三亚 572022)

摘 要

本文通过对国内外有关有理数域上不可约多项式的资料的收集和整理,从一般性到特殊性对有理数域上的不可约多项式进行学习研究,并且根据以往的学习心得将有理数域上不可约多项式的知识系统化.通过整理归纳出的有理数域上不可约多项式的一般的判定方法有: 定义法、克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron 判别法、Brown判别法、复数性质判别法、已知f?x?没有有理因式的判别法、模p约化判别法(p为素数).而对于一些特殊的多项式则给出了较为简便的判定方法,像奇次多项式、系数为1的多项式、次数小于4的多项式.其中，对次数小于4的情形分类讨论得到了简便的判定方法，而在次数小于4的情形一般化后讨论也得到了相应的判定方法，并对判定方法给出相适应的例子.本文还对各判定方法的等价和包含关系做出判断,较为系统的给出了有理数域上不可约多项式的判定方法.

关键词 不可约 多项式 有理数域 判定方法

Ⅰ

琼州学院本科毕业论文

Abstract

By collecting and ordering some related information home and abroad about irreducible polynomial in rational field, we studied the property on irreducible polynomial from ordinary to special and combined with learning experience. We made the methods of discriminating irreducible polynomial in rational field systematize, offering corresponding examples. In addition, this essay also judged the equivalent and inclusion relationships about each discrimination method. It provided systematic discrimination methods about irreducible polynomial in rational field. Key words: irreducible; polynomial; rational field; discrimination method

Ⅱ

琼州学院本科毕业论文

目 录

引 言 ·····························1页 第一章 有理数域上不可约多项式的相关知识 ············2页

1.1 本原多项式 ·······················2页 1.2 有理数域上多项式的等价 ·················2页 1.3有理数域上不可多约多项式的定义 ·············2页 第二章 一般的判定方法 ·····················3页

2.1克罗内克（Kronecker）判别法 ···············3页 2.2艾森斯坦(Eisenstein)判别法 ···············3页 2.2.1艾森斯坦(Eisenstein)判别法直接判别法 ········4页 2.2.2艾森斯坦(Eisenstein)判别法间接判别法 ········4页 2.2.3艾森斯坦(Eisenstein)判别法派生的一种判别方法 ····5页 2.3定义法 ·························5页 2.4 Perron 判别法 ······················6页 2.5 Brown判别法 ······················6页 2.6复数性质判别法 ·····················6页 2.7已知f?x?没有有理因式的判别法 ··············8页 2.8模p约化判别法(p为素数) ················8页 第三章 特殊多项式的判定方法 ················· 11页

3.1奇次多项式的判定方法 ················· 11页 3.2系数为1的多项式的判定方法 ··············· 11页 3.3次数小于4的情形 ··················· 11页 3.3.1形如ax2?bx?c的判定方法 ············· 12页 3.3.2形如x3?ax2?bx?c的判定方法 ··········· 12页 3.3.3情形一般化 ···················· 12页

第四章 结论 ·························· 13页 参考文献 ··························· 14页 致谢 ····························· 15页

Ⅲ

琼州学院本科毕业论文

引 言

现行的高等代数课本在多项式部分都讲述了实数域上只有一次和两次的不可约多项式，复数域上只有一次的不可约多项式以及有理数域上存在任意次不可约多项式这么一个事实.但对有理数域上不可约多项式的判定方法,却只介绍了艾森斯坦(Eisenstein)判别法.人们在对多项式进行研究时,发现不可约多项式还存在另外的判定方法.

研究发现，判断有理数域上的不可约多项式的问题,最终都等价地转化为判断整数环上的不可约多项式的问题.艾森斯坦(Eisenstein)判别法,是有理数域上不可约多项式判定的一个充分条件,而非必要条件,并且不是对所有的多项式的判定均有效.事实上，满足判别法中的素数p不总存在.若是对于某一多项式

f?x?找不到这样的一个素数p满足艾森斯坦(Eisenstein)判别法中的条件,那么f?x?可能在有理数域上可约也可能不可约.因此, 艾森斯坦(Eisenstein)判别法有一定的局限性.

克罗内克（Kronecker）曾给出一个通过有限次计算实际判断任一整系数多项式能分解成次数较低的整系数多项式的乘积的方法,因此我们也能够判断任一多项式在有理数域上是否可约.虽然克罗内克（Kronecker）的方法对任一多项式的不可约性可以判定,但是克罗内克（Kronecker）的方法比较麻烦,实用价值不大.

多年来,已有很多数学工作者投入到多项式的研究中.本研究在现有的有理数域上不可约多项式的判定方法的基础之上,把不可约多项式进行分类，期待做出更加简便、实用的判定方法.

1

有理数域上不可约多项式的相关知识

第一章 有理数域上不可约多项式的相关知识

1.1 本原多项式

若是一个整系数多项式f?x?的系数互素,那么f?x?叫做一个本原多项式.

1.2 有理数域上多项式的等价

设g?x?是有理数域上的一个多项式,若g?x?的系数不全是整数,那么以

g?x?系数分母的一个公倍数乘g?x?,就得到一个整系数多项式f?x?.显然,多项式g?x?与f?x?在有理数域上同时可约或同时不可约.

1.3 有理数域上不可约多项式的定义

如果f?x?是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积,则f?x?称是有理数域上的不可约多项式.

2

琼州学院本科毕业论文

第二章 一般的判定方法

2.1 克罗内克（Kronecker）判别法

克罗内克（Kronecker）判别法包含了较艾森斯坦(Eisenstein)判别法更一般的判别有理数域上不可约多项式的方法.但是由于这种做法比较麻烦,其实用价值依赖于计算机技术,所以文献[1]也只是点到而已,并没有做详细介绍.现在这里介绍一下.

定理2.1

[2]

[2]

设f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项式,则在

有取步下f(x)能分解成不可约多项式的乘积.

文献[2]中给出的方法不仅将次数大于1的整系数多项式分解为有理数域上的不可约多项式的乘积的一般方法,而且还包括了有理数域上不可约多项式的判别.

例1 证明f(x)?x5?1在有理数域上不可约

5证明: s?2?,取a0??1,a1?0,a2?1,

2则 f(?1)?0,f(0)?1,f(1)?2

从而 f(?1)的因子是0,f(0)的因子是1,f(1)的因子是1,2, 故令g(?1)?0,g(0)?1,g(1)?1;g(?1)?0,g(0)?1,g(1)?2 应用插值多项式知:

g1(x)?0?(x?1)(x?1)(x?1)(x?0)12??(x?x?2)

(0?1)(0?1)(1?1)(1?0)2(x?1)(x?1)2(x?1)(x?0)??x?1

(0?1)(0?1)(1?1)(1?0)g2(x)?0?由带余除法可知g1(x)不整除f(x),g2(x)不整除f(x), 从而f(x)在有理数域上不可约.

2.2 艾森斯坦(Eisenstein)判别法

[1]

在现行课本上有理数域上不可约多项式的判定方法介绍的是经典的艾森斯

3

一般判的定方法

坦(Eisenstein)判别法.文献[1]还点到了克罗内克（Kronecker）判别法,却没有做详细介绍.艾森斯坦(Eisenstein)判别法人们研究的早,也是现行的有理数域上不可约多项式的判定方法中最为实用的方法.正是由于这种方法出现的早, 人们在长期对艾森斯坦(Eisenstein)判别法的深入学习与研究时,得出了些许与其不一样的判别法,这里介绍其中实用的几种.

2.2.1 艾森斯坦(Eisenstein)判别法直接判别法

定理2.2.1 设f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项式,若有一个素数p使得

(1) p不整除最高次项的系数an; (2) p整除其他各项的系数; (3) p2不整除常数项a0.

那么多项式f?x?在有理数域上不可约.

2.2.2 艾森斯坦(Eisenstein)判别法间接判别法

文献[1]中也介绍了分圆多项式不能直接应用艾森斯坦(Eisenstein)判别法,而做了适当的变形之后便可以应用了.我们在做练习的时候也发现有些多项式是不能直接用艾森斯坦(Eisenstein)判别法来判别的,而直觉告诉我们,我们现在对有理数域上不可约多项式的判定方法也只有艾森斯坦(Eisenstein)判别法和定义法.可是其系数高,一般不可能用定义法去判定,所以也只能是用艾森斯坦(Eisenstein)判别法来判别,可一看不能直接应用,其不满足定理的条件,想到多项式的等价,我们可以对其做适当变形,这样便有了艾森斯坦(Eisenstein)判别法间接判别法.

定理2.2.2 有理系数多项式f?x?在有理数域上不可约的充分必要条件是:对于任意的有理数a?0和b,多项式f?ax?b?在有理数域上不可约. 例2

[3]

设p是素数, a是整数, f?x??axp?px?1,且p2?a?1?.证明, f?x?没有有理根.

证明: 由于p?1,若证得f?x?在有理数域上不可约,则没有有理根,令x?y?1,代入f?x?得到

g?y??f?x?1??a?y?1??p?y?1??1

p1p?12p?2p?1...?Cp?a?y?Cy?Cy?y?1?pp???p?y?1??1

p2p?2?ayp??pa?yp?1?aCpy?...??a?1?py??a?p?1?

4

琼州学院本科毕业论文

?bpyp?bp?1yp?1?bp?2yp?2?...?b1y?b0

2......其中bp?a,bp?1?pa,bp?2?aCp,,b1??a?1?p,b0?a?p?1??a?1??p.

由于

1) pbi?i?0,1,2,...,p?1?;

2) p bp,否则,若有pbp,即pa,因为p2?a?1?,所以

2a?p2t?1.故有p1与p是素数矛盾. a?1?pt?,??t?3) p2 b0,否则,若有p2b0,即p2?a?p?1?,故有a?p?1?p2v?v???,也即有

?a?1??p2v?p,从而有p2p,矛盾.

于是,由艾森斯坦因(Eisenstein)判别法,有g?y?在有理数域上不可约,从而

f?x?在有理数域上不可约,因此f?x?没有有理根.

2.2.3 由艾森斯坦(Eisenstein)判别法派生的一种判别方法

这种方法由艾森斯坦(Eisenstein)判别法派生的,并且是与艾森斯坦(Eisenstein)判别法相类似的方法,它能判定用艾森斯坦(Eisenstein)判别法的所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式.

定理2.2.3 设f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项式.若有一个素数p,使得 (1) p不整除常数项a0; (2) p整除其他各项的系数; (3) p2不整除最高次项系数an. 那么多项式f?x?在有理数域上不可约.

2.3 定义法

做习题时,在无法找到艾森斯坦(Eisenstein)判别法中的素数p的情形下,常用反证法.

例3 设a1,a2,...,an是n个不同的整数,证明f?x??(x?a1)(x?a2)...(x?an)?1在有理数域上不可约.

证明:若f(x)可约,则存在整系数多项式u(x),v(x),使f(x)?u(x)v(x).且

?o(u(x))??o(f(x)),?o(v(x))??o(f(x)),由f(ai)??1可得:

?u(ai)?1?u(ai)??1 或 ???v(ai)??1?v(ai)?15

一般的判定方法

于是, u(x)?v(x)是零多项式, u(x)??v(x),f(x)??u2(x),此时右端首项系数为?1,矛盾,故f(x)在有理数域上不可约.

2.4 Perron 判别法

在不能应用艾森斯坦(Eisenstein)判别法时,可以用这种判别法.

定理2.4设f?x??xn?an?1xn?1?...?a1x?a0,a0?0是一个整系数多项式,如果an?1?1?an?2?an?3?...?a1?a0,则f(x)在有理数域上不可约.

例3 f?x??x5?4x4?x2?1在有理数域上不可约.显然,找不到素数p,使得

f(x)满足艾森斯坦因判别法的四个条件,但是f(x)满足Perron判别法的条件.

[4]

故由Perron判别法可知f(x)在有理数域上不可约.

2.5 Brown判别法

在不能应用艾森斯坦(Eisenstein)判别法时,还可以用这种判别法.

[4]

定理2.5 设f?x?是n次整系数多项式,令

S(f)?...,f??1?,f?0?,f?1?,..., N1表示S(f)中1的个数, Np表示S(f)中

??的素数的个数,如果Np?2N1?n?4,则f?x?在有理数域上不可约.

例4 判断多项式f?x??2x3?x2?x?1在有理数域上是否可约.

分析:显然也找不到素数p,使得f(x)满足艾森斯坦(Eisenstein)判别法的条件,也不满足Perron判别法的条件.故不能用森斯坦(Eisenstein)判别法并且也不能用Perron判别法来判别f(x)是否可约.但f(x)满足Brown判别法的条件.

解:由于

f?0???1, f?1??1, f??1???5, f?2??13,f??2???23, f?3??47... 显然, Np?4,N1?2,故Np?2N1?8?4?3,由Brown判别法知,f?x?在有理数域上不可约.

2.6复数性质判别法

我们知道在复数域上只有一次不可约多项式,有人试着将复数域与有理数域联系起来研究多项式的不可约性,得到如下一些结果.

定理2.6.1 设f?x?是n次整系数多项式, 令

6

[5]

琼州学院本科毕业论文

S(f)?...,f??1?,f?0?,f?1?,...,

??N1表示S(f)中1的个数, Np表示S(f)中的素数的个数,

x0?a?mbi, f?x0??1,其中a,m,b??, m?1, b?0.

?1?若mb2?2, 2N1?Np?n?2,则f?x?在有理数域上不可约. ?2?若mb2?3, 2N1?Np?n?4,则f?x?在有理数域上不可约. ?3?若mb2?1, 2N1?Np?n?2,则f?x?在有理数域上不可约.

例5 试证明f?x??x5?x4?3x3?3x2?2x?3 在有理数域上不可约.

证明:因为

f?0??3,f??1??1,f?1??13,2N1?Np?2?1?2?5?2.

而f?2i??1,由定理2.6.1 ?1?有f?x?在有理数域上不可约.

例6 试证明f?x??x4?x3?x2?x?3 在有理数域上不可约.

证明:因为

f?0??3,f??1??5,f?1??1,f?2??19,f??2??1,f?i??1

故 N1?2,Np?3,2N1?Np?2?2?3?4?2 由定理2.6.1 ?3?有f?x?在有理数域上不可约. 定理2.6.2 若存在r?1,使得多项式

[6]

f(z)?anzn?an?1zn?1?...?a1z?a0,ai??,i?0,1,...,n.an?0,n?1.的系数适合:

(1)a1r?anrn?an?1rn?1?...?a2r2?a0(或在圆z?r上,有a1z?f(z)?a1z);

(2)a0的每一个两整数因子分解中因子的绝对值均?r,则f(z)在有理数域上不

可约.

定理2.6.3 若存在常数r使得

[6]

f(z)?anzn?an?1zn?1?...?a1z?a0,ai??,i?0,1,...,nan?0,n?3适合

(1)a2r2?anrn?an?1rn?1?...?a3r3?a1r?a0a2z2?f(z)?a2z2);

(或在圆z?r上,有

(2)f(z)在闭区间[?r,r]上恒正(或恒负);

(3)a0的每一个两因子分解中因子的绝对值均?r,则f(z)在有理数域上不可约.

[6]

定理2.6.4 若存在R?r?1使得

7

一般的判定方法

f(z)?anzn?an?1zn?1?...?a1z?a0,ai??,i?0,1,...,n,an?0适合

(1) a0?anrn?an?1rn?1?...?a1r(或在圆z?r上,有a0?f(z)?a0); (2)akRk?anRn?...?ak?1Rk?1?ak?1Rk?1?...?a1R?a0,1?k?n?2(或在圆

z?R上,有akzk?f(z)?akzk):

(3) a0的每一个两整数因子分解中或至少有一个因子的绝对值?r,或两个的绝

对值均?Rr, 则f(z)在有理数域上不可约.

2.7已知f?x?没有有理因式的判别法

文献[1]中的定理2.8.4 ,告诉我们如何去求一个多项式f(x)的有理根.当然,若是f(x)次数是2或3的多项式,我们可以应用其是否有有理根来判别其是否可约,即判定其是否有一次有理因式.那么,对于已知f(x)无次数不大于r的有理式的情形,前人亦对此做了深入的研究,得到结果如下:

定理2.7.1 设f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项式,若f?x?没有?o?f?x???r的有理因式,并能找到一个素数p,使得: ?1?p至少不整除an,an?1,...,an?r中的一个; ?2?pai,i?0,1,2,...,n?r?1;?3?p2 a0,那么

[7]

f?x?在有理数域上不可约.

定理2.7.2 设f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项式,若f?x?没有?o?f?x???r的有理因式,并能找到一个素数p,使得: ?1?p至少不整除a0,a1,...,ar中的一个; ?2?pai,i?r?1,r?2,...,n;?3?p2 an,那么f?x?在有理数域上不可约.

应用这种方法时,对于没有不小于2次的有理因式的判定,通常要应用计算机来得到.但是如果应用计算机,那么用克罗内克(Kronecker)的方法就直接得到其在有理数域上是否可约.

[7]

2.8 模p约化判别法(p为素数)

[8]

随着数学发展中抽象代数的出现.亦有人运用抽象代数的知识对整系数多项式进行模p约化处理,再研究多项式,得到了整系数多项式在有理数域上不可约多项式的判别方法.怎一看,有点类似艾森斯坦(Eisenstein)判别法,其实不然.

8

琼州学院本科毕业论文

定理2.8.1 f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0?a?0,n?2?是一个整系数多项式, p是素数,p an?1,pai,i?0,1,2,...,n?2,p2 a0,p an?1?b,其中

b|

a0an,则f?x?在有理数域上不可约. p定理2.8.2 f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0?a?0,n?2?是一个整系数多项式, p是素数,p a1,pai,i?2,3,4,...,n,p2 an,p (a1?b),其中

b|

a0an,则f?x?在有理数域上不可约. p定理2.8.3 f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0?a?0,n?2?是一个整系数多项式, p是素数, p aj,?0?j?n?,pai,(i?j),p2 a0,an,p ?aj?b?,其中b|

a0an,则f?x?在有理数域上不可约. p定理2.8.4 f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0?a?0,n?3?是一个整系数多项式, p是素数,

1?i?n?2,p ai,ai?1, paj(j?i,j?i?1),p2 a0,an,p ?ai?b?,

p?ai?1?b?其中b|

a0an,f?x?无有理根,则f?x?在有理数域上不可约. p例7 判断以下多项式在有理数域上是否可约:

?1?f1?x??5xn?7xn?1?22 ?n?2?; ?2?f2?x??7xn?2000x5?7 ?n?6?;

?3?f3?x??5?97x99?2008x100?5xn ?n?100?.

解 ?1?11 an?1?7,11a0,a1,a2,...,an?2,112 a0??22b|

,11 ?7?b?,其中

5???22???10,由定理2.8.1可知, f1?x?在有理数域上不可约. 11 ?2?7 a5?2000,7|a0,a1,...,a4,a6,...,an,72 a0,an,7 ?2000?b?,其中

b|

7?7?1,由定理2.8.3, f2?x?在有理数域上不可约. 729

一般的判定方法

?3?5 a99?97,a100?2008,5整除其他各项系数

52 a0?5,an?5,5 ?97?b?,?2008?b?,

其中b|

5?5?1,因为f3?x?的系数全为正数,所以f3?x?的有理根只可能为负数,52v设,?u,v??1,u?0,v?0是f3?x?的有理根,则 uu|5,v|5,u?1,5,v??1,?5,v11????1,?5,?,?c???1,?5,??, u55??容易验证

f3?1?均不是整数,所以, f3?x?无有理根,由定理2.8.4, f3?x?在有理1?c数域上不可约.

10

琼州学院本科毕业论文

第三章 特殊多项式的判定方法

在数学中,能够找到一个简便的方法去解决问题是最好的,对于不可约多项式的判定也一样.前人在研究多项式的同时,对一些特殊的多项式的不可约的判定,发现了有一些方法,应用较为方便,现将其列于此,供参考.

3.1 奇次多项式的判定方法

定理3.1 对于整系数多项式f?x??a2n?1x2n?1?a2nx2n?...?a2x2?a1x?a0若存在素数p使

[9]

?1?p|an?1,an?2,...,a2n;?2?p2|a0,a1,...,an;?3?p a2n?1;?4?p3 a0. 那么,f?x?在有理数域上不可约.

例8 已知多项式f?x??73x3?2x2?8x?4,证明f?x?在有理数域上不可约.

分析 可以验证不满足艾森斯坦因(Eisenstein)判别法的条件,但可找到素数

p?2,满足定理3.1的四个条件,所以f?x??73x3?2x2?8x?4在有理数域上不

可约.

3.2 系数为1的多项式的判定方法

定理3.2

[10]

已知fn?x???xi,n??,n?2,当n为奇数时, fn?x?在有理

i?0n数域上可约;当n为偶数时,如果n?1为合数,则fn?x?在有理数域上可约,如果

n?1为素数,则fn?x?在有理数域上不可约.

推论3.2.1 已知fn?x?????1?xi,n??,n?2,当n为奇数时, fn?x?在

i?0ni有理数域上可约;当n为偶数时,如果n?1为合数,则fn?x?在有理数域上可约,如果n?1为素数,则fn?x?在有理数域上不可约.

3.3 次数小于4的情形

文献[1]中的定理2.8.4知道如何去判定一个多项式的有理根问题.对于次数为2或3的多项式,若可约,则必有有理根;反之亦然.所以,可以通过判断多项式的有理根的情形来判断次数为2或3的多项式的可约性.当然对于这类多项式

11

特殊多项式的判定方法

可应用定义法,在做习题的过程中,应用不可约多项式的定义,发现有些是可以直接判别出来的,这便为我们省去了不少工夫.

3.3.1形如ax2?bx?c的判定方法

定理3.3.1 对于整系数多项式f(x)?ax2?bx?c,如果abc为奇数,则f(x)在有理数域上不可约.

证明:若f(x)可约,则存在整数a1,b1,a2,b2,使得

f(x)?(a1x?b1)(a2x?b2)

?a1a2x2?(a1b2?a2b1)x?bb12

即有

a?a1a2,b?a1b2?a2b1,c?bb12

由abc为奇数,可得a,b,c,为奇数故a1,b1,a2,b2为奇数从而a1b2,a2b1为奇数 进而a1b2?a2b1为偶数,这与b?a1b2?a2b1为奇数矛盾.得证. 3.3.2形如x3?ax2?bx?c的判定方法

定理3.3.2 对于整系数多项式f?x??x3?ax2?bx?c,如果ac?bc为奇数,则f?x?在有理数域上不可约.

3.3.3情形一般化 定理 3.3.3

[11][3]

若f(x)?xn?axn?1?b,其中a,b,n??,n?1,b为素数,

a?b?1,则f(x)在有理数域上不可约.

定理 3.3.4

[11]

若f(x)?xn?axn?2?b,其中a,b,n??,n?2,b为素数,

,无整数根,则在上有理数域上不可约. a?b?1,b (a?1)定理 3.3.5

[11]

若f(x)?xn?axn?1?bxn?2?c,其中a,b,c,n??,n?2,c为

素数,c (b?1),f(x)无整数根,则f(x)在有理数域上不可约.

12

琼州学院本科毕业论文

第四章 结论

本文通过对国内外相关资料的收集与整理,对有理数域上不可约多项式的判定方法做了进一步的研究,并从一般到特殊给出有理数域上不可约多项式的判定方法.

对一般的多项式给出了克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron判别法、Brown判别法、定义法、复数性质判别法、已知没有有理因式的判别法、模P约化判别法(P为素数).其中艾森斯坦(Eisenstein)判别法是最为实用的方法,也是现行课本中的判别法,人们对其研究时得到了些与其相类似的方法; 克罗内克（Kronecker）判别法可以判定一个多项式是否可约,可应用依赖于计算机,实用不大; Perron判别法和Brown判别法这两种判定方法是从国外引进的判定方法,我国数学工作者也曾对其做深入的研究,所得结果均没有超越;模P约化判别法(P为素数)是我国彭学梅同志首先提出来的应用抽象代数知识对多项式进行模P约化处理，再研究多项式的性质而得到的有理数域上不可约多项式的四个判定方法.

对特殊多项式给出了奇次多项式的判定方法、系数为1的多项式的判定方法、次数小于4的情形.其中对次数小于4的情形给出了一些特殊的判定方法,能较快的判定一类不可约多项式,还对次数小于4的情形一般化，得到了较为理想的判定方法.

本文还对各个判定方法的等价、包含关系做出了判断.虽然所给出的判定方法均是充分条件,但还是较为系统地给出有理数域上不可约多项式的判定方法.在实际应用这些方法时,应根据题意选择判别法.正所谓对症下药.

对多项式还有研究的余地,像有理数域上不可约多项式的判定方法及分类就是一个具有挑战性的课题.一直以来,数学工作者其中不乏有学者、教授和有知之士对多项式的不可约性做过深入的研究,可对这些成绩进行系统的介绍还没有做,即使其发展还不是很完善.即使现在有理数域上不可约多项式的判定已有很多种方法,但还是期待着更加简便,更加实用的方法出现,以致能把不可约多项式分类.所以,期待有更多的数学工作者加入到对有理数域上不可约多项式的研究行列中,使其更加完善,使其成为数学中的一朵鲜花.

13

琼州学院本科论文

参考文献

[1] 张禾瑞,郝鈵新,高等代数（第四版）[M].高等教育出版社,2003.5:

49-81.

[2] 刘中良,有理数域上多项式不可约的判定[J].科技信息，2009,(1)：

163-164.

[3] 吴炎,李大超,王奋平等,高等代数选讲[M].远方出版社,2009.6:14-15. [4] 景占策,整系数多项式在Q上不可约性的判定[J].青海师专学

报,1995,(2):64-66.

[5] 梅汉飞,龙占洪，一个新的多项式不可约判定定理[J].数学通报,

1995 ,(6):42-43.

[6] 王 瑞，判定Ｑ上多项式不可约的一种方法[J].数学研究与评论,

2002,22(04):679-684.

[7] 巩 娟,整系数多项式在有理数域上不可约判别法[J].辽宁师专学报,

2009,11(3):4-4.

[8] 彭学梅,整系数多项式可约性的几个新判别法[J].湖北民族学院学报

(自然科学版), 2003, 21(4):90-92.

[9] 黄宗文,有理数域上整系数奇次多项式不可约的一个判别法[J].广西教

育学院学报,2002,(4):77-79.

[10] 陈 林,田应智,有理数域上的不可约多项式[J].伊犁师范学院学报,

2009,(2):13-16.

[11] 陈雪雯,吴晓红,整数环上不可约多项式[J].高等数学研究,2010.1:

23-25.

14

琼州学院本科毕业论文

致 谢

数载寒窗，我的大学生活即将画上句号，无论在社会是否能实现自己的人生观，价值观，我都要首先感谢我的母校——琼州学院.感谢她，对我四年来的辛勤培养，使我沐浴着爱的阳光茁壮成长；感谢她，在这四年为我们提供了良好的学习、生活环境；感谢她，为我们的人生旅途铺设了坚实的基石.并且我谨向在这四年来时刻为了我们学业辛勤付出的学校领导及各位老师致以最真诚的谢意.几个月的论文设计时间虽然短暂，我却从中学到了很多的东西.我衷心地感谢关怀、教诲、帮助、支持和鼓励我完成学业的老师、朋友和亲人.

其次，特别感谢我的指导老师邢灵博老师.在毕业论文的设计，无论是论文的框架结构、英语语法、用词表达乃至标点符号，都经过了邢老师仔细、反复地修改.在我毕业论文的写作过程中悉心指导，严格要求、热情鼓励，为我创造了很多锻炼提高的机会，同时对我的论文提出了许多宝贵的意见和建议.在论文完成之际，谨向导师邢灵博老师致以衷心的感谢和诚挚的敬意!

再要感谢的是我大学四年中的班主任谢锡銮、张宗杰、邱发儒、钟诚老师，我永远不会忘记他们对我的鼓励、支持和帮助.还要感谢我的同学陈立雁、张运欣、甘展、罗惠娣、张稳根等，他们为我创造了共同学习和研讨的氛围，他们的勤奋好学和友善可爱给我留下了美好的记忆.还有我的舍友，我们一起生活，相互鼓励，共同进步，给我的大学生活中添加了很多乐趣.

我还要感谢本文参考文献的作者，你们让我开拓了视野，在这片神圣的领域中，有幸和你们一起跋涉.

此时，更不应忘记的还有我含辛茹苦的父母，是他们的省吃俭用和无微不至 的关心支持使我顺利完成了从小学到大学的学业.衷心祝福他们健康快乐!

最后对为本文审阅的和参加笔者论文答辩的专家教授和老师，以及图书馆的各位老师表示诚挚的谢意，是你们的辛勤劳动，使得本文画上圆满的句号.还有很多帮助过我的人，在此一并表示衷心的感谢，谢谢大家四年来对我的爱护与帮助.

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ggsw.html