56常微分方程试卷

南京理工大学《常微分方程》期末试卷

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学号 南京理工大学 专业应用数学、统计 使用教材 （通编、讲义、自编） 修读性质 初修 、 重期末考试分数占总分数的百分比 % 考试方法 （闭、开）卷 考试时间 判卷人 讲授总学时 学分 教研室主任 密封线题人 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 核分人 一． 求下列一阶微分方程的通解：（28分）

1．

dy?1?x?y2?xy2 dx

2. (x3?xy2)dx?(x2y?y3)dy?0dy?dy?3. ???x?y?0

dx?dx?dyyy2??2 4．

dxxx二. 设连续函数f(x)满足：三. 利用逐次逼近法求方程

2?x0（10分） f(t)dt?x??tf(x?t)dt，求函数f(x)。

0xdy?y2?x2满足初值条件y(0)?1的近似解： dx（8分） ?0(x),?1(x),?2(x)。

四．求下列高阶微分方程：（32分）

1．x???x??x?e 2．xx???(x?)?0 3. tx???tx??x?0

4. 已知方程y???ay??3y?4e有一个解y1(x)?xe，试求该方程的通解

5. 已知x?e是方程 tx???2(1?t)x??(2?t)x?0 ，(t?0)的一个非零解，求其通解。 五．求解微分方程组

t2t2xx?dx?x?4y???1??dt满足初始条件的解。（10分） ?(0)?????1??dy?2x?3y??dt六．证明题：（12分）

1． 设y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的任意两个解，求证它们的伏朗斯基行列式

w(x)?c，其中c为常数。

2． 设x(t)是常系数线性方程组x????当p?0,q?0时，

?p2?q?2p?1?x的解，其中p,q为常数，证明： ???2p?limx(t)?0。

x???东华大学研究生数值分析试题（笔试部分）

班级 学号 姓名 得分

一、

x3一、 由 f(x)?3在0，1，-1的值分别按不同要求计算 3的数值解

（计算过程均保留2位小数，其中“1”、“2”需估计结果有几位有效数字） 1、1、 按 f(x)在0，1，-1处的值由分段线性插值计算；

'f(x)f2、2、 按 在0，1处的值及 (0)?ln3?1.10由二阶Hermite插值计算；

3、3、 按 f(x)在0，1，-1处的值由直线拟合计算；

14、4、 由[-1，1]上一次平方逼近多项式计算（取

?1?3xxdx?0.83）。

?a?x2?x30?x?1S(x)??1?x?2具有连续?P(x)二、1、求a及不超过二次多项式 P(x)使

的二阶导数且满足 P(2)?0；

22、由“1”当 f(x)满足 f(1)?P(1),f(2)?P(2),f(1)?P(1)时求 值解及对应余项。

1''?f(x)dx的数

1三、1、求A，B，C使 度；

b?f(x)dx?Af(0)?Bf(1)?Cf0'(1)（*）至少有2次代数精

2、由（*）导出解

1?f(x)dxa的数值积分公式并由此公式将[0，1] n等分导出解

?f(x)dx0的复化求积公式。

??300??3?????A??11?2?,B??1??1?21??1????? 四、1、由选主元Gauss消去法解AX=B，其中

并求 Cond?(A)； 2、由三角分解A=LU解AX=B，

?12??1a??b0??1???????A??,L?,U?,B??34??01??cd??1?????????? 其中

并写出对应“消去法”的“消元”与“回代”过程。

23x?3x?1(**)的合k?1k五、1、讨论求 x?3x?1?0在[2.5,3]上根的迭代格式

32理性并由迭代收敛定理讨论（**）的收敛性；

2、写出（**）的“迭代—加速”格式并讨论加速效果。

?y'?f(x,y)?a,a六、1、求 12使解 ?y(x0)?y0（***）的显式差分格式

?yn?1?yn?h(a1K1?a2K2)?K?f(xn,yn)??hhK?f(x?,y?1nn33K)?2h2h??K2?f(xn?3,yn?3K)有二阶精度；

hy?y?n?1n2[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)] 2、写出“1”中格式与隐式差分格式

联合解（***）的“预报—较正”格式。

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