惠安一中高三数学每周一练(10)

惠安一中高三数学每周一练（10）

命题 陈腾

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）

2

1．集合M=y|y x 1,x R,集合

N=x|y x R，则M N=（ ▲ ）

A B C D

6．下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（ ▲ ）

A.f(x) ex B.f(x) x3 C.f(x) lnx D.f(x) sinx

A. t|0 t 3 B. t| 1 t

3 C. ( D. 2．下列4个命题

3x y 6 0

7．设x，y满足约束条件 x y 2 0 ， 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值

x 0,y 0

为12，则

11

p1: x (0, ),()x ()x p2: x (0,1),㏒1/2x>㏒1/3x

23111

p3: x (0, ),()x ㏒1/2x p4: x (0,),()x ㏒1/3x

232

其中的真命题是（ ▲ ）

23

的最小值为（ ▲ ） ab25811A. B. C. D. 4

633

8. 已知图1中的图像对应的函数为y f(x)，则图2中的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能是（ ▲ ）

A．y f(|x|) B．y |f(x)| C．y f( |x|) D．y f(

|x|)

A p1,p3 B p1,p4 C p2,p3 D p2,p4

3. 若a,b (0, )，则“a b 1”是“ab 1 a b”成立的（ ▲ ）

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

2

2

4. 已知f(x)是偶函数，且

6

f(x)dx 8,则 f(x)dx （ ▲ ）

6

6

9. 已知函数f(x 1)为奇函数，函数f(x 1)为偶函数,且f(2) 2,则f(6)=（ ▲ ）

A．—1

B．1

C．—2

D．2

A. 0 B. 4 C. 8 D.16

5．已知函数f(x) a,g(x) x,h(x) logax(a>0且a 1)，在同一直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图像，其中正确的是（ ▲ ）

x

a

10．设定义域为R的函数f(x)满足下列条件：① 对任意x R,f(x) f( x) 0；② 对任意

x1,x2 1,a ,当x2>x1时，都有f(x2)>f(x1)>0，则下列不等式不一定成立的是（ ▲ ）

1 a1 5a1 3aA f(a)>f(0) B f()>f C f()>f( a) D f()>f( a)21 a1 a

1

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，) 11．如图，函数y f(x)的图象在点P处的切线是l，则▲． f(2) f (2)12．已知二次函数

16．（本小题满分14分） 选修4-2：矩阵与变换

给定矩阵A

33 4

及向量= 1 。 24

f(x) ax2 bx c的导数为f (x),f (0) 0，对于任意实数

f(1)

x，有f(x) 0,则的最小值为▲f (0)

2

（1）求A的特征值 1, 2（其中 1 2)；

（2）求A属于 1的特征向量 1，及属于 2的特征向量 2； （3）试确定实数s,t,将向量 表示为 s 1 t 2.

选修4—5：不等式选讲

(第11题图)

13．已知：t为常数，函数y |x 2x t|在区间[0,3]上的最大值为3，则实数t __▲____． 14．设函数f(x)

a

(a 0,a 1),m[]不超过实数m的最大整数，则函数表示

1 ax

11

g(x) [f(x) ] [f( x) ]的值域为．

22

(5, )时，方程

x

a2b2c2

a b c． 设 ABC的三边长分别为a,b,c，证明：

b c ac a ba b c

17．（本小题满分13分）

已知函数f(x) ln(ax 1)

32

15．已知函数f(x) x bx cx d（b,c,d为常数），当m ( ,1)

f(x) m 0有且只有一个实数解；m (1,5)时，方程f(x) m有三个不同的实数解。现给出下

列命题：

① 函数f(x)有两个极值点；

② 方程f(x) 5和f (x) 0有一个相同的实根；

③方程f(x) 4 0的任一实根都小于方程f(x) 4 0的任一实根； ④ 函数f(x)的最大值是5，最小值是1。 其中正确命题的序号是______▲_________．

1 x

,x 0，其中a 0 1 x

若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；

求f(x)的单调区间；

18.（本小题满分13分）

已知二次函数y g(x)的导函数的图像与直线y 2x平行,且y g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m 0).设函数f(x) m的值w.w.k.s.5.

2

g(x)

,若曲线y f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求x

19、（本小题满分13分）

某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工2m人(60<m<500，且m为10的整数倍)，每人每年可创利100千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75％．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．问：为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人? 20、（本小题满分13分）

已知f(x) ax lnx,x (0,e],g(x)

21、（本小题满分14分）

已知函数f(x) ax2 4x b(a<0,且a,b R)。设关于x的不等式f(x)>0的解集为

（x1,x2),且方程f(x) x的两实根为 , 。

（1）若 1，求a,b的关系式；

（2）若a,b都是负整数，且 1，求f(x)的解析式； （3）若 <1< <2，求证：(x1 1)(x2 1)<7。

3

lnx

，其中e是自然常数，a R. x

（1）讨论a 1时, f(x)的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，f(x) g(x)

1； 2

（3）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

BDADB DACCC

9

11. 或-2 14. { 1,0} 15. ①②③

816.解：（1）解特征方程f( ) 7 6 0,得 1 6, 2 1. （2） 将 1 6, 2 1.分别代入方程组

2

∵x 0,a 0, ∴ax 1 0.

①当a 2时，在区间(0, )上，f'(x) 0,∴f(x)的单调增区间为(0, ). ②当0 a 2时，

由f'(x) 0解得x

由f'(x) 0解得x

）. ( 3)x 3y 0,

解得 1对应的特征向量

2x ( 4)y 0,

∴f(x)的单调减区间为（02

1 3 1 , 2对应的特征向量 2 .

1 2

113113（3）由（2）可知 1 2,s ,t .

5555

7分

因为a,b,c的三角形的三边，所以b c a 0,c a b 0,a b c 0

18、解:（1）设g x ax bx c，则g x 2ax b；

又g x 的图像与直线y 2x平行 2a 2 a 1 又g x 在x 1取极小值，

b

1 ， b 2 2

g 1 a b c 1 2 c m 1， c m； f x

a2b2c2

b c ac a ba b c

a21b2c2

b c a c a b a b c a b c

b c ac a ba b c

1 a b c

2

g x m

x 2， 设P xo,yo xx

20

2

则PQ x y0 2

2

m m22

x x0 2x0 2 2 2m

x0 x0

2

2

2m

2 m 1w.w 19、解：设公司裁员人数为x,获得的经济效益为y元， 则由题意得当0 x

12

a b c a b c 7分

a b c

1

2m时。y 2m x 100 x 20x ----2分 5

a2ax2 a 2

17.解（Ⅰ）f'(x) , 22

ax 1(1 x)(ax 1)(1 x)

2

∵f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1) 0,即a1 a 2 0,解得a 1.

21

当m x 2m时，y 2m x 100 x 20x ----4分 54

ax2 a 2

（Ⅱ）f'(x) , 2

(ax 1)(1 x)

4

2 2

x 2m 60x 200m,0 x m且x N 5

y ,

2 x2 2 m 30 x 200m,2m x 1m,x N

52

由①得对称轴 x m 60 0, 当0 m 60

① ②

2

m，即60 m 100时，x m 60时，y取得最大值y1 m2 80m 36005

2

m时，y取得最大值y2 0.64m2 152m ----7分 5

由②得对称轴x m 30

1

60<m<500, m 30 m

2

m

当x 时，y取得最大值y3 1.5m2 140m ----10分

2当m 100时，x

f(x)min f(e) ae 1 3，a

4

（舍去）， e

所以，此时f(x)无最小值. 10分 ②当0

111

e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增 aaa

当60<m 100时，

y3 y1 0.5m2 60m 3600 0.5 m 60 5400 0.5 1202 5400 1800 0

2

1

f(x)min f() 1 lna 3，a e2，满足条件. 11分

a

③ 当

当100 m 500时，

y3 y2 0.86m2 12m m 0.86m 12 0,即当60 m 500时，y3最大

即当公司应裁员数为

1

e时，xÎ(0,e]，所以f¢(x)<0， a

4

（舍去）， e

所以f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min f(e) ae 1 3，a 所以，此时f(x)无最小值.

11

m，即原有人数的时，获得的经济效益最大。----13分 24

1x 1

20. 解：（1） f(x) x lnx，f (x) 1 1分

xx

∴当0 x 1时，f/(x) 0，此时f(x)单调递减

当1 x e时，f/(x) 0，此时f(x)单调递增 3分 ∴f(x)的极小值为f(1) 1 4分

（2） f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e]上的最小值为1， ∴ f(x) 0，f(x)min 1 5分 令h(x) g(x)

综上，存在实数a e2，使得当x (0,e]时f(x)有最小值3. 13分

1lnx11-lnx ，h¢(x)=， 6分当2x2x2

0 x e时，h (x) 0，h(x)在(0,e]上单调递增 7分

∴h(x)max h(e)

1111

1 |f(x)|min e222

1

9分 2

∴在（1）的条件下，f(x) g(x)

/

（3）假设存在实数a，使f(x) ax lnx（x (0,e]）有最小值3，f(x) a

1ax 1 xx

① 当a 0时，(x)<0 ， xÎ(0,e]，所以f¢

所以f(x)在(0,e]上单调递减，

5

21、解（）由1f(x) x得ax2 3x b 0

3b 由已知得 ， ，| | 1

aa

消去 、 得：a2 4ab 9 3分 (2)

a、b都是负整数，即a 1且b 1 4分

a 4ab也是负整数，且a 4b 5 5分 由a2 4ab 9得：a(a 4b) 9

a 1,a 4b 9 7分 a 1,b 2

f(x) x2 4x 2 8分 (3)令g(x) ax2 3x b,又a<0, <1< <2

1)>0 g(1)=a b 3>0 g(

即 9分

g(2)<0g(2)=4a b 6<0

又x1,x2是方程ax2 4x b 0的两根

4b

x1 x2 ,x1 x2 10分

aa

b4

(x1 1)(x2 1)-7 x1 x2 (x1 x2) 6 6 11分

aa

107

g(1) g(2)

6a b 4 13分

aa

g(1)>0,g(2)<0,a<0 (x1 1)(x2 1)-7<0

即(x1 1)(x2 1)<7成立。---------------------------------14分

6

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