福建省莆田第六中学2016届高三第一次模拟考试数学（文）试题 Wor

2016届莆田六中高三毕业班第一次模拟考试

数学（文科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）． 1．已知集合A?{?1,0,1,2,3}，B?{x|x?4n?1,n?Z}，则A?B?（ ） A．{?1} B．{1} C．{3} D．{?1,3} 2．已知复数z?1?i（i是虚数单位），则

2?z2?（ ） zA．1?i B．1?i C．?1?i D．?1?i

3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本，某中学共有学生2000 名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中男生比女生少6人，则该校共有男生（ ） A．1030人 B．1050人 C．950人 D．970人

???????4．已知向量a,b的夹角为60，且a?1，a?2b?21，则b?（ ）

A．2 B．

35 C． D．22 225．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”，这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为（ ） A．

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A．20 B．16 C．12 D． 8

8162040 B． C． D． 15153131?x?y?07． 已知x,y满足约束条件?若z?2则z的最大值为（ ） x?y，?x?y?2，

?y?0? A．?4 B．0 C．2 D．4

8．如右图所示的程序框图，若输出的S?88，则判断框内应填入的条件是（ ） A．k?3? B．k?4? C．k?5? D．k?6?

9．将函数f(x)?2sin(2x?标缩短到原来的

?4)的图象向右平移?(??0)个单位，再将图象上每一点的横坐

1?倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x?对称，则?的最小值为（ ） 24??3?3? A． B． C． D．

8248x2y210．已知点F1、F2分别是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点，过F1的直线l与

ab双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若AB:BF2:AF2?3:4:5，则双曲线的离心率为（ ）

A．2 B．4 C．13 D．15 211．设奇函数f(x)在R上存在导数f?(x)，且在(0,??)上f?(x)?x，若f(1?m)?f(m)?

133??，则实数m的取值范围为（ ） (1?m)?m??3 A．??

12．同一平面内两两平行的三条直线l1、l2、l3（l2夹在l1与l3之间），l1与l2的距离为a，l2（ ）

1?1??1?11??1????,? B．?,??? C．???,? D．???,??U?,???

2?2??2?22??2????????2????????b与l3的距离为，若A?l1、B?l2、C?l3，且AB?AB?AC，则△ABC面积的最小值为

a2?b2a?b A． B．

22

C．ab D．2ab 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8?32，则a2?2a5?a6?________．

14．P为抛物线y2?4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|?|PQ|的最小值为________．

15．在三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，PA?2,AB?2,AC?1,?BAC?60，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)?2x?0?f(x),x?1,m，设 若函g(x)??x2?f(?x),x?1,数y?g(x)?t有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知函数f(x)?23sinxcosx?3sin2x?cos2x?2． （Ⅰ）当x??0,???时，求f(x)的值域； ??2?（Ⅱ）若?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且

bsin(2A?C)?3,?2?2cos(A?C)， asinA求角B的大小．

0.040x频率组距18．（本小题满分12分）某中学举行了一次“学科知识竞赛”活动。为了解学生此次竞赛的0.0160.010成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在

yO5060708090100n）进行统计．按照成绩（分）?50,100?之内）作为样本（样本容量为?50,60?，?60,70?，?70,80?，

?80,90?，?90,100?的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出

了得分在?50,60?，?90,100?的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在?90,100?内的概率．

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P?ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是?ABC?600的菱形，M为PC的中点． （Ⅰ）求证：PC?AD；

（Ⅱ）求点D到平面PAM的距离．

x2y2??120．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0,y0)是椭C:2412上的一点，从原点O向圆R:(x?x0)2?(y?y0)2?8作两条切线，分别交椭圆于点P,Q． （Ⅰ）若R点在第一象限，且直线OP,OQ互相垂直，求圆R的方程； （Ⅱ）若直线OP,OQ的斜率存在，并记为k1,k2，求k1?k2的值．

21．（本小题满分12分）已知函数f(x)?mx?n． ?lnx（m,n?R）

x（Ⅰ）若函数f(x)在（2，f(2)）处的切线与直线x?y?0平行，求实数n的值； （Ⅱ）试讨论函数f(x)在区间[1,??)上的最大值；

（Ⅲ）若n?1时，函数f(x)恰有两个零点x1,x2（0?x1?x2)，求证：x1?x2?2． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

?的中点，弦AD与BC相交于点E． 如图，AC为半圆O的直径，D为BC2（Ⅰ）求证：AE?AD?CE?CB?AC；

（Ⅱ）过点D作DF⊥AB，F为垂足，求证：DF为半圆O的切线． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

?，在以直角坐标系的原点O为极点，4acos?． x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为??sin2?（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程为；

在平面直角坐标系中，直线l过点A(?1,?2)且倾斜角为

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于M1、M2两点，若|AM1|?|AM2|?4，求a的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)?|x?3|．

（Ⅰ）若不等式f(x?1)?f(x)?a的解集为空集，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若|a|?1，|b|?3，且a?0，判断

bf(ab)与f()的大小，并说明理由．

a|a|18．

解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量n?8?50， ????2分

0.016?102?0.004， ????4分

50?10x?0.100?0.004?0.010?0.016?0.040?0.030．????6分 y?

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90]内的学生有5人，记这5人分别为a1,a2,a3,a4,a5，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为b1,b2 ，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：

?a1,a2?,?a1,a3?,?a1,a4?,?a1,a5?,?a1,b1?,?a1,b2?,?a2,a3?,?a2,a4?,?a2,a5?,?a2,b1?,?a2,b2?,?a3,a4?,?a3,a5?,?a3,b1?,?a3,b2?,?a4,a5?,?a4,b1?,?a4,b2?,?a5,b1?,?a5,b2?,?b1,b2?

????8分

其中2名同学的分数恰有一人在[90,100]内的情况有10种，????10分 ∴ 所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率P?10 21 ??????12分 19．

解：（Ⅰ）取AD中点O，连结OP,OC,AC，

由已知得?PAD,?ACD均为正三角形，∴OC?AD,OP?AD，?2分 又OC?OP?O,OC?平面POC,OP?平面POC， ∴AD?平面POC，??????4分

又PC?平面POC，∴PC?AD ????5分

（Ⅱ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离， 由（Ⅰ）可知PO?AD，

∵面PAD?面ABCD，面PAD?面ABCD?AD，PO?面PAD， ∴PO?平面ABCD，即PO为三棱锥P?ABC的体高．????7分 在Rt?POC中，PO?OC?3,PC?6， 在?PAC中PA?AC?2,PC?6，

边PC上的高AM?PA2?PM2?10， 2∴?PAC的面积S?PAC?111015，???9分 PC?AM??6??2222设点D到平面PAC的距离为h， 由VD?PAC?VP?ACD得，

11S?PAC?h?S?ACD?PO， 33又S?ACD?32215，解得h?， ?2?3，45215 ????12分 5∴点D到平面PAM的距离为 20．

解：（Ⅰ）由已知得圆R的半径r?22， ∵直线OP,OQ互相垂直，且和圆R相切，

22∴OR?2r?4，即x0?y0?16 ① ????2分 22x0y0??1 ② ????3分 又点R在椭圆C上，∴

2412??x0?22联立①②，解得?， ????5分

??y0?22∴所求圆R的方程为：(x?22)2?(y?22)2?8． ????6分

（Ⅱ）∵直线OP：y?k1x和OQ：y?k2x都与圆R相切， ∴由k1x0?y01?k122?22得：(x02?8)k12?2x0y0k1?y02?8?0 ??8分

22同理得：(x0?8)k2?2x0y0k2?y0?8?0

∴k1,k2是关于k的方程(x0?8)k?2x0y0k?y0?8?0的两不等实数根

2y0?8由韦达定理得：k1?， ????10分 k2?2x0?822222x0y0122?12?x0??1，即y0∵点R(x0,y0)在椭圆C上，∴，

2241212x012??． ????12分 ∴k1k2?2x0?824?22．证明：

（Ⅰ）过E作EG⊥AC，G为垂足，又AC为半圆O的直径，

0∴?ABE??AGE?90，即A、B、E、G四点共圆，则CE?CB?CG?CA， 同理可证C、D、E、G四点共圆，则CA?CG?CE?CB， 则AE?AD?AG?AC，

∴AE?AD?CE?CB?AG?AC?CG?CA?(AG?CG)AC?AC2， 即AE?AD?CE?CB?AC2； ????5分 （Ⅱ）延长CD交AB于点H，

∵D为弧BC的中点，∴?CAD??BAD，即?CAD??HAD， 又AD⊥CD，即AD⊥CH，∴D为CH的中点，又O为AC中点， 连接OD，则OD∥AH，即OD∥AB，又DF⊥AB，∴OD ⊥DF， 即DF为半圆O的切线． ????10分

23．解：

acos?22 ??sin??a?cos? 2sin?2∵x??cos?,y??sin?，∴曲线C的直角坐标方程为：y?ax ?2分

?∵直线l过点A(?1,?2)且倾斜角为，

4（Ⅰ）曲线C:????x??1?∴直线l的参数方程为???y??2???2t2（t为参数） ????5分 2t2（Ⅱ）直线l与曲线C相交于M1,M2两点，设AM1?t1，AM2?t2，t1?t2， （或设M1,M2两点对应的参数分别为t1,t2，t1?t2）

把l的参数方程代入y?ax，得t2?2(a?4)t?2(a?4)?0，??7分

2??2(a?4)2?8(a?4)?0，即a(a?4)?0，?a??4或a?0，

由韦达定理得t1?t2?2(a?4)，∴|AM1|?|AM2|?|t1|?|t2|?|t1?t2|

∵|AM1|?|AM2|?4，∴|2(a?4)|?4?|a?4|?2，????9分 解得a??6或a??2，由??0，a??2（不合舍去） 综上所述，a??6． ????10分 24．解：

（Ⅰ）∵f(x?1)?f(x)?|x?4|?|x?3|≥|x?4?3?x|?1， 不等式f(x?1)?f(x)?a的解集为空集，则1…a即可， 1]. ??????5分 ∴实数a的取值范围是(??，（Ⅱ）

f(ab)bf(ab)b?f()，证明：要证?f()， |a|a|a|a只需证|ab?3|?|b?3a|，即证(ab?3)2?(b?3a)2， 又(ab?3)2?(b?3a)2?a2b2?9a2?b2?9?(a2?1)(b2?9) |b|?3， ∵|a|?1，∴(ab?3)2?(b?3a)2?0，所以原不等式成立. ????10分

∵|AM1|?|AM2|?4，∴|2(a?4)|?4?|a?4|?2，????9分 解得a??6或a??2，由??0，a??2（不合舍去） 综上所述，a??6． ????10分 24．解：

（Ⅰ）∵f(x?1)?f(x)?|x?4|?|x?3|≥|x?4?3?x|?1， 不等式f(x?1)?f(x)?a的解集为空集，则1…a即可， 1]. ??????5分 ∴实数a的取值范围是(??，（Ⅱ）

f(ab)bf(ab)b?f()，证明：要证?f()， |a|a|a|a只需证|ab?3|?|b?3a|，即证(ab?3)2?(b?3a)2， 又(ab?3)2?(b?3a)2?a2b2?9a2?b2?9?(a2?1)(b2?9) |b|?3， ∵|a|?1，∴(ab?3)2?(b?3a)2?0，所以原不等式成立. ????10分

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