高中物理竞赛 - 振动与波习题

高中物理竞赛——振动与波习题

一、简谐运动的证明与周期计算

物理情形：如图5所示，将一粗细均匀、两边开口的U型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为L 。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。

模型分析：对简谐运动的证明，只要以汞柱为对象，看它的回复力与位移关系是否满足定义式①，值得注意的是，回复力?F系指振动方向上的合力（而非整体合力）。当简谐运动被证明后，回复力系数k就有了，求周期就是顺理成章的事。

本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为x 、水银密度为ρ、U型管横截面积为S ，则此瞬时的回复力

ΣF = ρg2xS =

2mgx L2mg = k ，而且ΣF与x的方向相反，故汞柱L?由于L、m为固定值，可令：做简谐运动。

周期T = 2π

mk= 2π

L2gL2g

答：汞柱的周期为2π 。

学生活动：如图6所示，两个相同的柱形滚轮平行、等高、水平放置，绕各自的轴线等角速、反方向地转动，在滚轮上覆盖一块均质的木板。已知两滚轮轴线的距离为L 、滚轮与木板之间的动摩擦因素为μ、木板的质量为m ，且木板放置时，重心不在两滚轮的正中央。试证明木板做简谐运动，并求木板运动的周期。

思路提示：找平衡位置（木板重心在两滚轮中央处）→力矩平衡和ΣF6= 0结合求两处弹力→求摩擦力合力…

答案：木板运动周期为2π

L2?g 。

巩固应用：如图7所示，三根长度均为L = 2.00m地质量均匀直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动。杆AB是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。

解说：由于框架静止不动，松鼠在竖直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。设松鼠

的质量为m ，即：

N = mg ① 再回到框架，其静止平衡必满足框架所受合力

矩为零。以C点为转轴，形成力矩的只有松鼠的压力N、和松鼠可能加速的静摩擦力f ，它们合力矩为零，即：

MN = Mf

现考查松鼠在框架上的某个一般位置（如图7，设它在导轨方向上距C点为x），上式即成：

N2x = f2Lsin60° ②

解①②两式可得：f =

2mg3Lx ，且f的方向水平向左。

根据牛顿第三定律，这个力就是松鼠在导轨方向上的合力。如果我们以C在导轨上的投影点为参考点，x就是松鼠的瞬时位移。再考虑到合力与位移的方向因素，松鼠的合力与位移满足关系——

?F= －kx

??其中k =

2mg3L ，对于这个系统而言，k是固定不变的。

显然这就是简谐运动的定义式。 答案：松鼠做简谐运动。

评说：这是第十三届物理奥赛预赛试题，问法比较模糊。如果理解为定性求解，以上答案已经足够。但考虑到原题中还是有定量的条件，所以做进一步的定量运算也是有必要的。譬如，我们可以求出松鼠的运动周期为：T = 2ππ

3L = 2.64s 。 2gmk = 2

二、典型的简谐运动

1、弹簧振子

物理情形：如图8所示，用弹性系数为k的轻质弹簧连着一个质量为m的小

球，置于倾角为θ的光滑斜面上。证明：小球在弹簧方向的振动为简谐运动，并求其周期T 。

学生自己证明…。周期T = 2π

mk

模型分析：这个结论表明，弹簧振子完全可以突破放置的方向而伸展为一个广义的概念，且伸展后不会改变运动的实质。其次，我们还可以这样拓展：把上面的下滑力换程任何一个恒力（如电场力），它的运动性质仍然不会改变。

当然，这里的运动性质不变并不是所有运动参量均不改变。譬如，振子的平衡位置、振动方程还是会改变的。下面我们看另一类型的拓展——

物理情形：如图9所示，两根相同的弹性系数分别为k1和k2的轻质弹簧，连接一个质量为m的滑块，可以在光滑的水平面上滑动。试求这个系统的振动周期T 。

解说：这里涉及的是弹簧的串、并联知识综合。根据弹性系数的定义，不难推导出几个弹性系数分别为k1、k2、…、kn的弹簧串、并联后的弹性系数定式（设新弹簧系统的弹性系数为k）——

串联： = ?i?11kn1ki

并联：k = ?ki

i?1n在图9所示的情形中，同学们不难得出：T = 2π

m(k1?k2)k1k2

当情形变成图10时，会不会和图9一样呢？详细分析形变量和受力的关系，我们会发现，事实上，这时已经变成了弹簧的并联。

答案：T = 2π

mk1?k2 。

思考：如果两个弹簧通过一个动滑轮（不计质量）再与质量为m的钩码相连，如图11所示，钩码在竖直方向上的振动周期又是多少？

解：这是一个极容易出错的变换——因为图形的外表形状很象“并联”。但经过仔细分析后，会发现，动滑轮在这个物理情形中起到了重要的作用——致使这个变换的结果既不是串联、也不是并联。

★而且，我们前面已经证明过，重力的存在并不会改变弹簧振子的振动方程，所以为了方便起见，这里（包括后面一个“在思考”题）的受力分析没有考虑重力。

具体分析如下：

设右边弹簧的形变量为x2 、滑轮（相对弹簧自由长度时）的位移为x 、钩子上的拉力为F ，则

k1x1 = k2x2

x =

x1?x2 24k1k2k1?k2F = 2 k2x2

解以上三式，得到：F =

4k1k2k1?k2x ，也就是说，弹簧系统新的弹性系数k =

。

m(k1?k2)k1k2答：T = π 。

再思考：如果两弹簧和钩码通过轻杆和转轴，连成了图12所示的系统，已知k1 、k2 、m 、a 、b ，再求钩码的振动周期T 。

思路提示：探讨钩码位移和回复力关系，和“思考”题类似。

（过程备考：设右弹簧伸长x2 ，则中间弹簧伸长x1 =

bk2x2 ak1钩码的位移量x = x1 + x2 而钩码的回复力F = k1x1

b2k1k2F结合以上三式解回复力系数k = = 2 ，所

ak1?b2k2xab以…）

答：T = 2π

a2k1?b2k2m 。

b2k1k22、单摆

单摆分析的基本点，在于探讨其回复力随位移的变化规律。相对原始模型的伸展，一是关于摆长的变化，二是关于“视重加速度”的变化，以及在具体情形中的处理。至于复杂的摆动情形研究，往往会超出这种基本的变形，而仅仅是在分析方法上做适当借鉴。

物理情形1：如图13所示，在一辆静止的小车内用长为L的轻绳静止悬挂着一个小钢球，当小车突然获得水平方向的大小为a的加速度后（a＜g），试描述小球相对小车的运动。

模型分析：小钢球相对车向a的反方向摆起，摆至绳与竖直方向夹角θ= arctg时，达到最大速度，此位置即是小球相对车“单摆”的平衡位置。以车为参照，小球受到的场力除了重力G外，还有一惯性力F 。所以，此

时小球在车中相当于处在一个方向倾斜θ、大小变为G2?F2的新“重力”的作

ag用，属超重情况。这是一种“视重加速度”增加的情形。

解说：由于摆长L未变，而g视 = g2?a2，如果a很小，致使最大摆角不超过5°的话，小角度单摆可以视为简谐运动，周期也可以求出来。

答案：小球以绳偏离竖直方向θ= arctg的角度为平衡位置做最大摆角为θ的单摆运动，如果θ≤5°，则小球的摆动周期为T = 2π

Lg?a22ag

物理情形2：某秋千两边绳子不等长，且悬点不等高，相关数据如图14所示，且有a2 + b2 = L21 + L22，

试求它的周期（认为人的体积足够小）。

模型分析：用C球替代人，它实际上是在绕AB轴摆动，类似将单摆放置在光滑斜面上的情形。故视重加速度g视 = gcosθ= g等效摆长l = CD，如图15所示。

由于a2 + b2 = L21 + L22可知，AC⊥CB ，因此不难求出

CD=

aa2?b2 ，

L1L2L?L2122 ，最后应用单摆周期公式即可。

答案：T = 2π

L1L2ag 。

相关变换1：如图16所示，质量为M的车厢中用长为L的细绳悬挂着一个质量为m的小球，车轮与水平地面间的摩擦不计，试求这个系统做微小振动的周期。

分析：我们知道，证明小角度单摆作简谐运动用到了近似处理。在本题，也必须充分理解“小角度”的含义，大胆地应用近似处理方法。

解法一：以车为参照，小球将相对一个非惯性系作单摆运动，在一般方位角θ的受力如图17所示，其中惯性力F = ma ，且a为车子的加速度。由于球在垂直T方向振动，故回复力

F回 = Gsinθ+ Fcosθ= mgsinθ+ macosθ ① *由于球作“微小”摆动，其圆周运动效应可以忽略，故有

T + Fsinθ≈ mgcosθ ② 再隔离车，有 Tsinθ= Ma ③

解①②③式得 F回 =

m(m?M)gsin?

M?msin2?m(m?M)gsin? ④

M*再由于球作“微小”摆动，sin2θ→0 ，所以 F回 =

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