江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试 数学

.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题

卡上． 参考公式： 锥体体积公式：V?1Sh，其中S为底面积,h为高； 3柱体体积公式：V?Sh，其中S为底面积,h为高.

1n1n2样本数据x1,x2,???,xn的方差s??(xi?x)，其中x??xi.

ni?1ni?12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答

题纸的指定位置上） 1．已知集合A???1,0,1?，B?(??,0)，则AIB? ▲ .

?i)?2，其中i为虚数单位， 2．设复数z满足z(1+

则z的虚部为 ▲ .

23．已知样本数据x1,x2,x3,x4,x5的方差s?3，则样本

开始 x←1 y←9 是 输出x 结束 数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差为 ▲ . 4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是 ▲ . 5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字 中至少有一个是偶数的概率为 ▲ .

?x?0y?6．已知实数x,y满足?x?y?7，则的最小值

x?x?2?2y?是 ▲ .

x>y 否 x←x+4 y←y-2 x27．设双曲线2?y?1(a?0)的一条渐近线的倾斜角

a为30?，则该双曲线的离心率为 ▲ . 8．设?an?是等差数列，若a4?a5?a6?21，则

2第4题图

S9? ▲ .

9．将函数y?3sin(2x?则?? ▲ .

?3)的图象向右平移?（0????2）个单位后，所得函数为偶函数，

10．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB?3，BC?2，圆柱上底面圆心

为O，?EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O?EFG体积的最大值 是 ▲ .

11．在?ABC中，已知AB?3，C??312．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线

uuruur，则CA?CB的最大值为 ▲ .

y B3 B1 B2 3?x?1?上从左向右依次取点Ak、Bk，3k?1,2,???，其中A1是坐标原点，使?AkBkAk?1 y?都是等边三角形，则?A10B10A11的边长 是 ▲ .

13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数

… A3 A4 x A1 A2 第12题图 y?2lnx的图像与圆M:(x?3)2?y2?r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y?f(x)的图象经过点O，P，M，则y?f(x)的最大值为 ▲ .

14．在?ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a?b?2c?8，则?ABC面积的最

大值为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，

请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC?AC，D,E分别是AB,AC的中点． （1）求证：B1C1∥平面A1DE； （2）求证：平面A1DE?平面ACC1A1．

A1 B1

C1

222

E

C A D B

第15题图 16．(本小题满分14分)

在?ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且bsin2C?csinB． （1）求角C；

（2）若sin(B??3)?3，求sinA的值. 5

17. (本小题满分14分)

x2y2??1(0?b?2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x?y?b经过椭圆E:4b2222的焦点.

（1）求椭圆E的标准方程； （2）设直线l:y?kx?m交椭圆E于P,Q两点，T为弦PQ的中点，M(?1,0),N(1,0)，

记直线TM,TN的斜率分别为k1,k2，当2m?2k?1时，求k1?k2的值.

22

18．(本小题满分16分)

如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE?30米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，

其中该太阳光线与水平线的夹角?满足tan??（1）若设计AB?18米，AD?6米，问能否保证上述采光要求？

（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截

面面积最大？（注：计算中?取3）

←南

居 活

D C 民 动

中 ? G 楼 心

A E F B

第18题图

19．(本小题满分16分)

3. 4a?1?3（a?R）. xx（1）当a?2时，解关于x的方程g(e)?0（其中e为自然对数的底数）； （2）求函数?(x)?f(x)?g(x)的单调增区间； （3）当a?1时，记h(x)?f(x)?g(x)，是否存在整数?，使得关于x的不等式2??h(x)有解？若存在，请求出?的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：ln2?0.6931，ln3?1.0986）

设函数f(x)?lnx，g(x)?ax?

20．(本小题满分16分)

n??a?d,?N,n??kd，q、若存在常数k(k?N*,k?2)、使得无穷数列?an?满足an?1?? 则

n?qa,?N?,n?k?称数列?an?为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差. 设数列?bn?为“段比差数列”.

（1）若?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3.

①当q?0时，求b2016；

②当q?1时，设?bn?的前3n项和为S3n，若不等式S3n???3n?1对n?N恒成立，

?求实数?的取值范围；

（2）设?bn?为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的?bn?，并说明理由.

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数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答

题纸的指定区域内）

A.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA,PB分别交半圆O于点D,C.

若AD?2，PD?4，PC?3，求BD的长.

B.（选修4-2：矩阵与变换） 设矩阵M??

P

C D · O 第21(A)图 A B ?m 2??1??的一个特征值对应的特征向量为 ，求m与?的值. ????2 ?3???2?

C．（选修4-4：坐标系与参数方程）

3?x?t??5(t为参数). 现以坐标原点O为极点，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:?以x?y?4t?5?轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为??2cos?，直线l与圆C交于A,B两点，求弦AB的长.

D．(选修4-5：不等式选讲）

若实数x,y,z满足x?2y?z?1，求x2?y2?z2的最小值.

[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）

某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；

（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学

期望E(X). 23．（本小题满分10分）

设n?N*，n?3，k?N*. （1）求值：

①kCn?nCn?1；

2kkk?1②kCn?n?n?1?Cn?2?nCn?1（k?2）；

k?2k?122202122kn（2）化简：1Cn?2Cn?3Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn.

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数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. ??1? 2. 1 3. 12 4. 9 5.

53 6. 7. 6423 38. 63 9. 14.

5?39 10. 4 11. 12.512 13. 122825 5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．证明：（1）因为D,E分别是AB,AC的中点，所以DE//BC， ...............2分

又

因

为

在

三

棱

柱

ABC?A1B1C1中，

B1C1//BC，所以面

B1C1//DE. ...............4分

又B1C1?平面A，DE?平面A，所以B1C1∥平1DE1DE ...............6分 A1D. E（2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1?底面ABC，

DE?ABC又底面，所. D ...............8分 C1?CEBC?ACDE//BC又，，所

D?E ...............10分 ，

又CC1,AC?平面ACC1A1，且C1所以DE?平C?A?C，CACC1A1. ...............12分

DE?又平面平A1D，E所以平面A1DE?ACC1A1． ...............14分

以以面面

（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE?平面ACC1A1，类似给分） 16．解：（1）由

bsinC?2c，B根据正弦定理，得

所

以

2sinBsinCcosC?sinCsinB， …………2分

因为，sB?iC?1cosC?， …………4分

2又，所C?(0,?)以

C??3. …………6分

2????)，所以B??(?,)，

33333?3sin(B?)? 又，所

35??4cos(B?)?1?sin2(B?)?. …………8分

3352?2??B， 又A?B?，即A?33（2）因为C??，所以B?(0,以

所以

sA?2??B?s3?3Bi………1 i2分

?341343?3. …????252510………14分

17．解：（1）因0?b?2，所以椭圆E的焦点在x轴上，

又圆O:2x?2y?经b过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距

，

所

以

椭

圆

c?b， ……………3分

22所以2b?4，即b?2E的方程为

x2y2??1. ……………6分 42（2）方法一：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，T(x0,y0)，

?x2y2?1??222联立?4，消去y，得(1?2k)x?4kmx?2m?4?0， 2?y?kx?m?4km2k22??2m?2k?1所以x1?x2??，又，所以， x?x121?2k2mkx0??所以

mk1y0?m?k??， ……………10分

m2m则

，

11111. ……………1k1?k2?2m?2m?2???222kk4k?4m?2(2m?2k)2??1??1mm4分

?x12y12??1??42方法二：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，T(x0,y0)， 则?， 22?x2?y2?1??42?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0，

两式作差，得

42x0?x?x2?1?y0?y1??y20?，∴又x1?x2?2x0，y1?y2?2y0，∴

2x0y0?y1?y2???0， 2x1?x2y?y2又P(x1,y1)，Q(x2,y2)在直线y?kx?m上，∴1?k，∴x0?2ky0?0，①

x1?x2又T(x0,y0)在直线y?kx?m上，∴y0?kx0?m，②

2kmx0??由①②可得，21?2kmy0?. ……………10分

1?2k2以下同方法一.

18．解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

y （1）因为AB?18，AD?6，所以半圆的圆心为H(9,6)， 半径r?9．设太阳光线所在直线方程为y??即3x?4y?4b?0， ...............2分 则由3x?b， 4D ←南 |27?24?4b|32?42?9，

· H C 3解得b?24或b?（舍）.

2故

太

阳

光

线

所

在

直? A B G E x 为线方第18题 程3y??x?24， ...............5分

4令x?30，得EG?1.5米?2.5米.

所以此时能保证上述采求. ...............7分 （2）设AD?h米，AB?2r米，则半圆的圆心为H(r,h)，半径为r． 方法一：设太阳光线所在直线方程为y??光

要

3x?b， 4|3r?4h?4b|?r， 即3x?4y?4b?0，由223?4b??2h解得或

（舍）. ...............9分

故太阳光线所在直线方程为y??令

rb?h?2rx?30，得

3x?h?2r， 445EG?2r?h?，

2由

EG?52，得

h?2?5r. ...............11分

123232所以S?2rh??r?2rh??r?2r(25?2r)??r

22255??r2?50r??(r?10)2?250?250.

22当且仅当r?10时取等号.

所以当AB?20米且AD?5米时，可使得活动中心的截面面积最

大. ...............16分

方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，

53

设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－＝－(x－30)，

24

即

3x?4y?100?0． ...............10分

由直线l1与半圆H相切，得r?|3r?4h?100|．

5，

从

而

而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0， 即

r??3r?4h?1005h?25?2r． ...............13分

12325252又S?2rh??r?2r(25?2r)??r??r?50r??(r?10)?250?250.

2222当且仅当r?10时取等号.

所以当AB?20米且AD?5米时，可使得活动中心的截面面积最

大. ...............16分

x19．解：（1）当a?2时，方程g(ex)?0即为2e?，解2(ex)2?3ex?1?01ex?， ……………2分

2故

1?3?0，去分母，得 xeex?1得

或

所求方程的根为

x??ln2. ……………4分 （2）因为?(x)?f(x)?g(x)?lnx?ax?所

以

x?0或

（x?0）， ……………6分

①当a?0时，由??(x)?0，解得x?0；

a?1?3(x?0)， x1a?ax2?x1?a???(x)??a?2?xxx?2ax?a?(x?x12)a?1； a③当0?a?1时，由??(x)?0，解得x?0； ④当a?1时，由??(x)?0，解得x?0；

a?1⑤当a?0时，由??(x)?0，解得0?x?.

aa?1)； 综上所述，当a?0时，?(x)的增区间为(0,a当0?a?1时，?(x)的增区间为(0,??)； a?1时，的增区间为?(x)a?1(,??). .……………10分 a（3）方法一：当a?1时，g(x)?x?3，h(x)?(x?3)lnx，

3333所以h?(x)?lnx?1?单调递增，h?()?ln?1?2?0，h?(2)?ln2?1??0，

x2223x0?(,2)，使得h?(x0)?0，即所以存在唯一

23 0 .……………12分 lx0n??1， ?x0当x?(0,x0)时，h?(x)?0，当x?(x0,??)时，h?(x)?0，

②当a?1时，由??(x)?0，解得x?(x0?3)239所以hmin(x)?h(x0)?(x0?3)lnx0?(x0?3)(?1)???6?(x0?)，

x0x0x093x)?6x?(，则)r(x)在(,2)上单调递记函数r(?x2增， .……………14分

所以r()?h(x0)?r(2)，即h(x0)?(?由2???3231,?)， 223，且?为整数，得??0， 2所以存在整数?满足题意，且

?的最小值为

0. .……………16分

方法二：当a?1时，g(x)?x?3，所以h(x)?(x?3)lnx，

h(1)?0得，当??0时，不等由

式

2??h(x)有

解， .……………12分

下证：当???1时，h(x)?2?恒成立，即证(x?3)lnx??2恒成立.

显然当x?(0,1]?[3,??)时，不等式恒成立， 只需证明当x?(1,3)时，(x?3)lnx??2恒成立. 即证明lnx?所

以

22?0.令m(x)?lnx?， x?3x?312x2?8x?9m?(x)???2x(x?3)x(x?3)2，由

m?(x?)，得

x?4?7， .……………14分

当x?(1,4?7)，m?(x)?0；当x?(4?7,3)，m?(x)?0；

所以mmax(x)?m(4?7)?ln(4?7)?所以当???1时，h(x)?2?恒成立.

7?12?1?ln(4?2)??ln2?1?0. 33的最小值为

综上所述，存在整数?满足题意，且?0. .……………16分

20．（1）①方法一：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3， ，?b2014?0?b2013?0?b2015?b2014?3?3?b2016?b2015?3?6. ……………3分

，

方法二：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，

∴b1?1，b2?4，b3?7，b4?0?b3?0，b5?b4?3?3，b6?b5?3?6，

b7?0?b6?0，…

∴当n?4时，?bn?是周期为3的周期数列.

∴b2016?b6?6. …

…………3分

∴

②方法一：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

b3n?2?b3n?1??b3n?1?d??b3n?1??qb3n?d??b3n?1???q?b3n?1?d??d???b3n?1?2d?6，

∴?b3n?1?是以b2?4为首项、6为公差的等差数列，

又?b3n?2?b3n?1?b3n??b3n?1?d??b3n?1??b3n?1?d??3b3n?1，

?S3n??b1?b2?b3???b4?b5?b6?????b3n?2?b3n?1?b3n?

n?n?1????3?b2?b5??b3n?1??3?4n??6??9n2?3n， …

2??…………6分

?S3n???3n?1，?S3nS3n??c?，设，则???cn?max， n3n?13n?1229?n?1??3?n?1?9n2?3n?23n?2n?2又cn?1?cn?， ??3n3n?13n?122当n?1时，3n?2n?2?0，c1?c2；当n?2时，3n?2n?2?0，cn?1?cn，

??∴∴

c1?c2?c3????，得

∴?cn?max?c2?14， ……………9分

???1??14， ? , ? ……………10分 ?. 4方法二：∵?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

∴b3n?1?b3n，∴b3n?3?b3n?b3n?3?b3n?1?2d?6，∴?b3n?是首项为b3?7、公差为6的等差数列，

∴b3?b6???b3n?7n?易知?bn?中删掉?b3n?的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，

n?n?1??6?3n2?4n， 2?b1?b2?b4?b5???b3n?2?b3n?1?2n?1??S3n??3n2?4n???6n2?n??9n2?3n， ……

…………6分

以下同方法一.

（2）方法一：设?bn?的段长、段比、段差分别为k、q、d，

则等比数列?bn?的公比为当m?N?2n?2n?1??3?6n2?n， 2bk?1?q，由等比数列的通项公式有bn?bqn?1， bk1时，bkm?2?bkm?1?d，即bkq?m?bkq?mm1???bkqq?恒成d立， ……………12分

①若q?1，则d?0，bn?b； ②若q?1，则qkm?d，则qkm为常数，则q??1，k为偶数，d??2b，

?q?1?b条件的

bn???1?经

n?1b；

满足

检验，

n?1?bn?的通项公式为

bn?b或

bn???1?b. ……………16分

方法二：设?bn?的段长、段比、段差分别为k、q、d，

①若k?2，则b1?b，b2?b?d，b3??b?d?q，b4??b?d?q?d，

22由bb13?b2，得b?d?bq；由b2b4?b3，得?b?d?q??b?d?q?d，

2?d?0?d??2bn?1联立两式，得?或?，则bn?b或bn???1?b，经检验均合题

?q??1?q?1意. …………13分

②若k?3，则b1?b，b2?b?d，b3?b?2d，

2b?d??b?b?2d?，得d?0，则bn?b，经检验适合题意. 由bb?b132，得?2综上①②，满足条件的

?bn?的通项公式为

bn?b或

bn???1?

n?1b. ……………16分

附加题答案

21. A、解：由切割线定理得：PD?PA?PC?PB

4?(2?4)?3?(3?BC)则

，

解

得

BC?5， …………4分

OAB又因为是半圆的

直径，故

?ADB?则B

?2, …………6分

在、

解三

角：

形由

PDB题

中意

有得

BD?PB2?PD2?64?16?43. …………10分 ?m ?2??则

?????， ? ? ? …………4分 ???? ? ?322????? ?m?4??， ………??2?6??2?…8分

解

m?0得

???4. …………10分

、

解

：

直

线

，

C

3?x?t??5l:?(t4?y?t?5?为参数)化为普通方程为

4x?3y?0， …………2分

圆C的极坐标方程??2cos?化为直角坐标方程为

?x?1?2?y2?1， …………4分

则

圆

C2的圆心到直线l的距离为

d?442???3?所

?4， …………6分 5以

AB?21?d2?分

6. …………105D、解：由柯西不等式，得(x?2y?z)2?(12?22?12)?(x2?y2?z2)，

即

x?2y?z?12?22?12?x2?y2?z2， ………

…5分

又因为x?2y?z?1，所以x?y?z?2221， 6当且仅当综

xyz11??，即x?z?,y?时取等号. 12163上

，

?x2?y2?z2?min?1. …………106分

22．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为

P?1?（

2

32?. …………4分 3?33）

k5?kk5由题意得X~B13(，5,?1??2?P(X?k)?C?????3??3?,k?0,1,2,3,4,5. …………6分

1 2 3 4 5 所以X的概率分布表为： X 0 P 32243 80 24380 24340243 10 2431243 …

………8分

所

以，X的数学期望为

15E(X)?5??. …………10分

33?n?1?! n!kk?123.解：（1）①kCn?nCn?k??n??1k!?n?k?!?k?1?!?n?k?!n!n!???0. …?k?1?!?n?k?!?k?1?!?n?k?!…………2分

kk?2k?12②k2Cn?n?n?1?Cn?2?nCn?1?k??n?2?! n!?n?n?1??k!?n?k?!?k?2?!?n?k?!?n??n!n!n!?n?1?!?k? ???k?1?!?n?k?!?k?2?!?n?k?!?k?1?!?n?k?!?k?1?!?n?k?!n!1??k?1????0. ……

k?2!n?k!k?1k?1??????2…………4分

k2k2kkk（2）方法一：由（1）可知当k?2时?k?1?Cn?k?2k?1Cn?kCn?2kCn?Cn

k?2k?1k?1kk?2k?1k???nn?1C?nC?2nC?C?nn?1C?3nC?C. …????n?2n?1n?1nn?2n?1n????…………6分

202122kn故1Cn?2Cn?3Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn

2201??12Cn?22Cn??n?n?1??Cn0?2?Cn1?2?L?Cnn??22??3n?Cn1?1?Cn2?1?L?Cnn??11?

23n??Cn?Cn?L?Cn???1?4n??n?n?1?2n?2?3n?2n?1?1???2n?1?n?

?2n?2?n2?5n?4?. …

…………10分

122kknn方法二：当n?3时，由二项式定理，有?1?x??1?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx，

n1223kk?1nn?1两边同乘以x，得?1?x?x?x?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx，

n两边对

x求导，得

?1?x?n?n?1?x?n?1122kknnx?1?2Cnx?3Cnx????k?1?Cnx????n?1?Cnx，

…

…………6分

两边再同乘以x，得

?1?x?，

nx?n?1?x?n?11223kk?1nn?1x2?x?2Cnx?3Cnx????k?1?Cnx????n?1?Cnx两边再对x求导，得?1?x??n?1?x?n2n?1x?n?n?1??1?x?2n?2x2?2n?1?x?n?1x

122kknn?1?22Cnx?32Cnx????k?1?Cnx????n?1?Cnx. …

…………8分 令即

x?1，

22得

12kn?32Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn， 2n?n2n?1?n?n?1?2n?2?2n2n?1?1?22Cn012kn12Cn?22Cn?32Cn??????k?1?Cn??????n?1?Cn?2n?2?n2?5n?4?. ………

22…10分

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