12【数学】高考数学基础知识总结：第十二章 概率与统计

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第十二章-概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：

（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．

§12. 概率与统计 知识要点

一、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则 a b也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f( )也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2, ,xi,

ξ取每一个值x1(i 1,2, )的概率P( xi) pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

有性质①p1 0,i 1,2, ； ②p1 p2 pi 1.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： [0,5]即 可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个

kn k事件恰好发生k次的概率是：P(ξ k) Ck[其中k 0,1, ,n,q 1 p] npq

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于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作 ～B

kn k

（n·p），其中n，p为参数，并记Ck b(k;n p). npq

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“ k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(Ak) q，那么P(ξ k) P(A1A2 Ak 1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：P(ξ k) P(A1)P(A2) P(Ak 1)P(Ak) qk 1p(k 1,2,3, )于是得到随机变量ξ的概率分布列.

我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p) qk 1p，其中q 1 p.k 1,2,3

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1 n N)件，则其中的次品数

P(ξ k)

kk

CM CNn M

n

CN

ξ是一离散型随机变量，分布列为

(0 k M, n0 k N M).〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正

r

品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cm 0，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为P(ξ k)

n k

Cka Cb

Ca nb

k 0,1, ,n..

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把a b个产品编号，则抽取n次共

kn k

有(a b)n个可能结果，等可能：(η k)含Ck个结果，故nab

kn k

Cknab

P(η k)

(a b)n

Ckn(

aakan k

).[我们先为k个次品)(1 ),k 0,1,2, ,n，即 ～B(n

a ba ba b

选定位置，共Ckn种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以

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证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξ k) P(η k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称E x1p1 x2p2 xnpn 为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量 a b的数学期望：E E(a b) aE b ①当a 0时，E(b) b，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当a 1时，E( b) E b，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当b 0时，E(a ) aE ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

⑵单点分布：E c 1 c其分布列为：P( 1) c. ⑶两点分布：E 0 q 1 p p，其分布列为：（p + q = 1）

⑷二项分布：E

k

n!

pk qn k np 其分布列为 ～B(n,p).（P为发生 的概率）

k!(n k)!

⑸几何分布：E

1

其分布列为 ～q(k,p).（P为发生 的概率） p

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P( xk) pk(k 1,2, )时，则称

D (x1 E )2p1 (x2 E )2p2 (xn E )2pn 为

ξ的方差. 显然D 0，故 D . 为ξ的根

方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D 越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．4.方差的性质.

⑴随机变量 a b的方差D( ) D(a b) a

2D .（a、b均为常数） ⑵单点分布：D 0 其分布列为P( 1) p ⑶两点分布：D

pq 其分布列为：（p + q = 1）

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⑷二项分布：D npq ⑸几何分布：D

qp2

5. 期望与方差的关系.

⑴如果E 和E 都存在，则E( ) E E

⑵设ξ和 是互相独立的两个随机变量，则E( ) E E ,D( ) D D

⑶期望与方差的转化：D E 2 (E )2 ⑷E( E ) E( ) E(E )（因为E 为一常数）

E E 0.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的

概率等于它与x轴.直线x a与直线x

b（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x ( , )”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)

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e

(x )22 2

. （x R, ,

为常数，且 0），称ξ服从参数为 , 的正态分布，用 ～N( , 2)表示.f(x)的表达式可简记为N( , 2)，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若 ～N( , 2)，则ξ的期望与方差分别为：E ,D 2. ⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x 对称.

③当x 时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x＜ 时，曲线上升；当x＞ 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

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x22

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为 (x)

e

( x )，则称ξ服

从标准正态分布. 即 ～N(0,1)有 (x) P( x)， (x) 1 ( x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是P(a b) (b) (a).

注意：当标准正态分布的 (x)的X取0时，有 (x) 0.5当 (x)的X取大于0的数时，有

(x) 0.5.比如 (

0.5

) 0.0793 0.5则

0.5

必然小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若 ～N( , 2)则ξ的分布函数通

常用F(x)表示，且有P(ξ x) F(x) (

4.⑴“3 ”原则.

x μ

). σ

S阴=0.5Sa=0.5+S

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N( , 2).②确定一次试验中的取值a是否落入范围( 3 , 3 ).③做出判断：如果a ( 3 , 3 )，接受统计假设. 如果a ( 3 , 3 )，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3 ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N( , 2)则 ξ落在( 3 , 3 )内的概率为99.7％ 亦即落在( 3 , 3 )之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gfg1.html