大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试卷

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有(　).

（A）f?(0)?2 （B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.

2. 设?(x)?1?x1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（　　）.

（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）?(x)与?(x)是等价无穷小；

（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.

3. 若

F(x)??x0(2t?x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且

f?(x)?0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点；（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。

14.

设f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?0f(t)dt , 则f(x)?(x2x2（A）2 （B）2?2（C）x?1 （D）x?2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 2lsinx5. xi?m0(1?3x)? .

6.

已知cosxx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?cosxxdx? .

7.

nlim???n(cos2?n?cos22?n???cos2n?1n?)? .

122?xarcsinx?1－11?x2dx?8. 2 .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数y?y(x)由方程

ex?y?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0). )

1?x7求?dx.7x(1?x)10.

?x? 1?xe，　　x?0设f(x)??　求?f(x)dx．?32??2x?x，0?x?111.

1012. 设函数f(x)连续，，且

g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.

g(x)??f(xt)dtlimx?0f(x)?Ax，A为常数. 求

13. 求微分方程xy??2y?xlnx满足

y(1)??19的解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的q?[0,1]，

q1?f(x)dx?q?f(x)dx00.

?17. 设函数

?f(x)在

?0,??上连续，且

?0f(x)dx?0，

?0f(x)cosxdx?0.证明：在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，

x使

f(?1)?f(?2)?0.（提示：设

F(x)??f(x)dx0）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

??1cosx2　()?c6e35. . 6.2x.7. 2. 8..

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 解：方程两边求导

x?ye(1?y?)?cos(xy)(xy??y)?0

ex?y?ycos(xy)y?(x)??x?ye?xcos(xy)

x?0,y?0，y?(0)??1

77x6dx?du 10. 解：u?x　　1(1?u)112原式??du??(?)du7u(1?u)7uu?1 1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12?ln|x7|?ln|1?x7|?C77 11. 解：??301f(x)dx??xe?xdx???3100102x?x2dx

??xd(?e?x)???301?(x?1)2dx0?2?x?x????xe?e???3??

2(令x?1?sin?)?cos?d?　

12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。

x1xt?u??4?2e3?1

g(x)??f(xt)dt?0x?f(u)du0x (x?0)

g?(x)?xf(x)??f(u)duxx002 (x?0)

g?(0)?limx?0?f(u)dux2?limx?0xf(x)A? 2x2

?A?AA?22，g?(x)在x?0处连续。

limg?(x)?limx?0x?0xf(x)??f(u)dux02dy2?y?lnx13. 解：dxx

dxdxy?e?x(?e?xlnxdx?C)?2211xlnx?x?Cx?29 3

111y(1)??,C?0y?xlnx?x39 9 ，

?

四、 解答题（本大题10分）

014. 解：由已知且，

将此方程关于x求导得y???2y?y?

y??2?ydx?yx

2特征方程：r?r?2?0 解出特征根：r1??1,r2?2.

?x2xy?Ce?Ce12其通解为

代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得

21y?e?x?e2x33故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分）

C1?21,C2?33

1y?lnx0?(x?x0)(x,lnx)x0，015. 解：（1）根据题意，先设切点为0切线方程：

1y?xe 由于切线过原点，解出x0?e，从而切线方程为：

1则平面图形面积

A??(ey?ey)dy?01e?12

V1?1?e23

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

1V2???(e?ey)2dy0

6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qqV?V1?V2??(5e2?12e?3)

116. 证明：

q0?f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)0000q1q

?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx?1?[0,q]?2?[q,1]

?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)1f(?1)?f(?2)?故有：

q0

?f(x)dx?q?f(x)dx00 证毕。

x17.

F(x)??f(t)dt,0?x??0证：构造辅助函数：。其满足在[0,?]上连续，在(0,?)

上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0 由题设，有

?0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|??sinx?F(x)dx0000????，

有0，由积分中值定理，存在??(0,?)，使F(?)sin??0即F(?)?0

综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗?F(x)sinxdx?0尔定理，知存在

?1?(0,?)和?2?(?,?)，

使F?(?1)?0及F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0.

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