2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三

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1.2.2 同角三角函数的基本关系

学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系(重点).2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明(难点)．

知识点 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sinα＋cosα＝1．

sin απ(2)商数关系：tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)．

cos α22．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sinα＋cosα＝1的变形公式： sinα＝1－cosα；cosα＝1－sinα． sin α

(2)tan α＝的变形公式：

cos α

sin α

sin α＝cos_αtan_α；cos α＝．

tan α【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sinα＋cosβ＝1.( ) (2)sin

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

θ2θ

＋cos＝1.( ) 22

sin α

(3)对任意的角α，都有tan α＝成立．( )

cos α

提示 (1)× 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sinα＋cosα＝1．

θ222θ2θ

(2)√ 在sinα＋cosα＝1中，令α＝可得sin＋cos＝1．

222π

(3)× 当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立．

2

题型一 利用同角三角函数的基本关系求值 【例1】 (1)若sin α＝－12A． 55C． 12推荐精选K12资料

5

，且α为第三象限角，则tan α的值等于( ) 13

12B．－

55D．－

12

2

2

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解析 ∵α为第三象限角， 122

∴cos α＝－1－sinα＝－，

13sin α5

∴tan α＝＝．

cos α12答案 C

(2)已知sin α＋cos α＝

7

，α∈(0，π)，则tan α＝________． 13

7492

，∴(sin α＋cos α)＝， 13169

解析 ∵sin α＋cos α＝

120

即2sin αcos α＝－<0，

169

π

又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈(，π)，

2故sin α－cos α＝α＋cos α

2

17

－4sin αcos α＝，

13

12512

可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－．

1313512

答案 －

5

规律方法 求三角函数值的方法

(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解

(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．

8

【训练1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

178

解 ∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，

17∴α是第二或第三象限角， (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝ 1－cosα＝

22

?8?2151－?－?＝， ?17?17

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1517sin α15

tan α＝＝＝－．

cos α88

－17(2)当α是第三象限角时，则

15152sin α＝－1－cosα＝－，tan α＝.

178

互动 探究 1－5tan α

【探究1】 已知tan α＝2，求的值．

3＋tan α解

1－5tan α1－5×29

＝＝－．

3＋tan α3＋25

题型二 齐次式的求值问题 cos α－5sin α【探究2】 已知tan α＝2，求．

3cos α＋sin α解

cos α－5sin α1－5tan α9

＝＝－．

3cos α＋sin α3＋tan α5

2

2

2sinα－cosα【探究3】 已知tan α＝2，求的值． 22

2sinα＋3cosα2sinα－cosα2tanα－12×4－17解 ＝＝＝． 222

2sinα＋3cosα2tanα＋32×4＋311

【探究4】 已知tan α＝2，求2sinα－sin αcos α＋cosα的值． 2sinα－sin αcos α＋cosα

解 2sinα－sin αcos α＋cosα＝ 22

sinα＋cosα

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2tanα－tan α＋12×4－2＋17＝＝＝． 2tanα＋14＋15

3cos α－sin α1

【探究5】 已知＝，求sin αcos α的值．

cos α＋2sin α5

3cos α－sin α1

解 方法一 由＝得cos α＋2sin α＝15cos α－5sin α，即sin

cos α＋2sin α5α＝2cos α，

sin αcos α2cosα2

∴sin αcos α＝2＝＝． 222

sinα＋cosα4cosα＋cosα5方法二 由方法一中sin α＝2cos α可得tan α＝2， sin αcos αtan α2

∴sin αcos α＝2＝＝． 22

sinα＋cosα1＋tanα5

规律方法 已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法

(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α推荐精选K12资料

2

2

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的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．

(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin α＋cos α来代换，将分子、分母同除以cosα，可化为关于tan α的式子，再代入求值．

题型三 三角函数式的化简与证明

cosα

【例2】 (1)化简：sinαtan α＋＋2sin αcos α；

tan α

2

2

2

2

2

sin αcos α22

解 原式＝sinα·＋cosα·＋2sin αcos α

cos αsin αsinα＋cosα＋2sinαcosα

＝ sin αcos α＝

α＋cosαsinαcosα

2

2

2

2

4

4

2

2

1

＝ sin αcos α

2

2

(2)已知tanα＝2tanβ＋1，求证：sinβ＝2sinα－1． 证明 因为tanα＝2tanβ＋1，所以tanα＋1＝2tanβ＋2 sinαsinβ

所以2＋1＝2(2＋1)，

cosαcosβ12通分可得2＝ 2

cosαcosβ

即cosβ＝2cosα，所以1－sinβ＝2(1－sinα)， 即sinβ＝2sinα－1．

规律方法 1.三角函数式的化简技巧

(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sinα＋cosα＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

2．含有条件的三角恒等式证明的常用方法 (1)直推法：从条件直推到结论；

(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；

(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明．

cos 36°－1－cos36°

【训练2】 (1)化简：；

1－2sin 36°cos 36°

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

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解 原式＝

22sin36°＋cos36°－2sin 36°cos 36°

2

cos 36°－sin 36°

＝

cos 36°－sin 36°

－

＝

cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°

＝＝1．

|cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°

tan αsin αtan α＋sin α

(2)求证：＝．

tan α－sin αtan αsin α证明 ∵右边＝

2

2

tanα－sinα

α－sin ααsin α

2

22

＝＝

tanα－tanαcosα

＝α－sin ααsin αtanαsinαα－sin α

2

2

tanα－cosα

α－sin ααsin α

22

tan αsin α

＝＝左边，

αsin αtan α－sin α

∴原等式成立．

课堂达标

4

1．若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )

53A． 44C． 3

3B．－

44D．－

3

32

解析 由题意可得sin α＝1－cosα＝，

5sin α3

∴tan α＝＝－．

cos α4答案 B

12

2．已知sin α＝，tan α＝－，则cos α＝( )

3422

A．－

31C．－ 3

22B．

3D．

2 4

12

解析 由sin α＝>0，tan α＝－<0，可知α是第二象限角，

34222

∴cos α＝－1－sinα＝－．

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答案 A

cos θcos θ

3．化简－的结果是________．

1＋cos θ1－cos θcos θ－cosθ－cos θ－cosθ－2cosθ

解析 原式＝＝ 2

＋cos θ－cos θ1－cosθ－2cosθ2

＝＝－． 22sinθtanθ2答案 －2

tanθ

3sin αcosα

4．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________．

51－sin α

4

解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－，故原式＝

5sin αcosαsin α－sinα

＝1－sin α1－sin α

2

2

2

2

2

2

2

444＝sin α(1＋sin α)＝(－)(1－)＝－．

55254

答案 －

25

sin α＋cos α

5．已知＝2，计算下列各式的值：

sin α－cos α3sin α－cos α(1)； 2sin α＋3cos α(2)sinα－2sin αcos α＋1．

sin α＋cos α解 由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3．

sin α－cos α3tan α－13×3－18

(1)原式＝＝＝．

2tan α＋32×3＋39sinα－2sin αcos α

(2)原式＝＋1 22sinα＋cosαtanα－2tan α3－2×313＝＋1＝2＋1＝． 2

tanα＋13＋110

课堂小结

1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓sin 8α22

在“同角”二字上，如sin2α＋cos2α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中

cos 8α的角为“同角”．

2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正推荐精选K12资料

2

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负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．

3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．

4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．

5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．

基础过关

1．化简1－sin160°的结果是( ) A．cos 160° C．±cos 160° 解析

2

2

2

B．±|cos 160°| D．－cos 160°

1－sin160°＝cos160°＝|cos 160°|

＝－cos 160°． 答案 D

5

2．已知sin α－cos α＝－，则sin α·cos α等于( )

4A．7 4

9B．－

169D． 32

9C．－ 32

525

解析 因为sin α－cos α＝－，平方可得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos

41699

α＝－，即sin αcos α＝－．

1632

答案 C

3．已知tan θ＝2，则sinθ＋sin θcos θ－2cosθ等于( ) 4A．－ 33C．－ 4

解析 sinθ＋sin θcos θ－2cosθ

sinθ＋sin θcos θ－2cosθtanθ＋tan θ－2＝＝， 222sinθ＋cosθtanθ＋1推荐精选K12资料

2

2

2

2

2

2

2

5

B． 44D． 5

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4＋2－24

又tan θ＝2，故原式＝＝．

4＋15答案 D

4．在△ABC中，若tan A＝解析 由tan A＝

2

2

，则sin A＝________． 3

2

>0且角A是△ABC的内角可得 3

2

sinA＋cosA＝1，??π

0

22

11

22． 11

1

5．已知A为锐角，lg(1＋cos A)＝m，lg＝n，则lg sin A的值为________．

1－cos A解析 由lg(1＋cos A)＝m，得1＋cos A＝10， 1－n由lg＝n，得1－cos A＝10，

1－cos A故(1＋cos A)(1－cos A)＝10即1－cosA＝10

2

mm－n，

m－nm－n，即sinA＝10

2

，

1(m－n)1

sin A＝10，所以lg sin A＝(m－n)．

221

答案 (m－n)

2

6．已知tan α＝2，求下列代数式的值：

4sin α－2cos α12112(1)；(2)sinα＋sin αcos α＋cosα． 5cos α＋3sin α4324tan α－26解 (1)原式＝＝．

5＋3tan α11

12112sinα＋sin αcos α＋cosα432

(2)原式＝ 22

sinα＋cosα1112

tanα＋tan α＋432＝ 2

tanα＋1

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111×4＋×2＋432＝ 513＝． 30

2sin xcos x－1tan x－1

7．求证：＝． 22

cosx－sinxtan x＋1

2sin xcos x－x＋cosx证明 方法一 ∵左边＝ 22cosx－sinx＝＝＝－

2

2

2

x－2sin xcos x＋cos2x＝22

cosx－sinxx－cos x22sinx－cosx2

x－cos x2

x－cos xx＋cos xsin x－cos xtan x－1

＝＝右边．

sin x＋cos xtan x＋1

∴原等式成立．

sin x－1cos xsin x－cos x方法二 ∵右边＝＝；

sin xsin x＋cos x＋1cos x1－2sin xcos x左边＝＝22

sinx－cosx＝

x－cos x22sinx－cosx2

2

x－cos xx－cos xsin x－cos x＝．

x＋cos xsin x＋cos x∴左边＝右边，原等式成立．

能力提升

1＋sin x1cos x8．已知＝－，那么的值是( )

cos x2sin x－11

A． 2C．2

2

1B．－

2D．－2

1＋sin xsin x－1sinx－1

解析 因·＝＝－1， 2

cos xcos xcosx故

cos x1＝．

sin x－12

答案 A

9．化简sinα＋cosα＋sinαcosα的结果是( ) 1A． 4推荐精选K12资料

1B． 2

2

4

2

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3D． 2

2

2

2

2

2

2

C．1

解析 原式＝sinα＋cosα(cosα＋sinα)＝sinα＋cosα＝1． 答案 C

10．已知sin θ＝

2

m－34－2m，cos θ＝，则tan θ＝________． m＋5m＋5

2

解析 由sinθ＋cosθ＝(m－324－2m2

)＋()＝1，解得m＝0或m＝8． m＋5m＋5

343

当m＝0时，sin θ＝－，cos θ＝，故tan θ＝－；

554512

当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，

13135

故tan θ＝－．

1235

答案 －或－ 412

11．已知关于x的方程4x－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦，则实数m的值为________．

解析 由题意知Δ＝4(m＋1)－16m≥0， 解得m∈R．

不妨设sin A＝x1，cos A＝x2， 11

则x1＋x2＝(m＋1)，x1·x2＝m，

24

11

即sin A＋cos A＝(m＋1)，sin Acos A＝m，

24112

所以1＋2×m＝(m＋1)，

44解得m＝3或m＝－3． 当m＝－3时，sin Acos A＝－答案

3

2

2

2

3

<0，不合题意，舍去，故m＝3． 4

12．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x－ax＋a＝0的两个根．求： (1)sinθ＋cosθ； 1

(2)tan θ＋．

tan θ

解 根据题意，方程判别式Δ≥0， 即(－a)－4a≥0，所以a≤0或a≥4， 推荐精选K12资料

23

3

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??sin θ＋cos θ＝a，且?

?sin θcos θ＝a.?

2

因为(sin θ＋cos θ)＝1＋2sin θcos θ， 即a－2a－1＝0，

所以a＝1－2(1＋2舍去)．

所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－2．

(1)sinθ＋cosθ＝(sin θ＋cos θ)(sinθ－sin θcos θ＋cosθ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2．

1sin θcos θsinθ＋cosθ1(2)因为tan θ＋＝＋＝＝＝－2－1．

tan θcos θsin θsin θcos θ1－213．(选做题)化简下列各式： 1－2sin 10°cos 10°

(1)； 2

sin 10°－1－sin10°1－cosα－sinα(2)． 66

1－cosα－sinα解 (1)原式＝

－

sin 10°－cos10°

2

2

4

4

2

2

3

3

2

2

2

＝

|cos 10°－sin 10°|cos 10°－sin 10°

＝

sin 10°－cos 10°sin 10°－cos 10°

＝－1．

2

(2)方法一 原式＝

2

α＋sinα22α＋sinα

2

22

－cosα－sinα

366

－cosα－sinα2＝． 3 2

2

44

2cosα·sinα

＝22223cosα·sinαα＋sinα1－方法二 原式＝1－

2

4

α＋sinα66α＋sinα

2

2

4

＝＝

1－1－

2

1－α＋sinα－2sinαcosα]224224α＋sinαα－cosαsinα＋sinα1－1＋2cosαsinα

22222

α＋sinα－3cosαsinα]

2

2

2

2cosαsinα2

＝＝． 22

3cosαsinα3方法三 原式＝2

－cosα2

－cosα

2

2

2

＋cosα－sinα

246

＋cosα＋cosα－sinα

24

sinα＋cosα－sinα＝2244

sinα＋cosα＋cosα－sinα

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2cosα2cosα2

＝＝＝． 2222

1＋cosα＋cosα－sinα3cosα3

2

2

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