21.2 二次根式的乘除

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21．2．1 二次根式的乘除

教学目标

理解a2b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a2b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出a2b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；?利用逆向思维，得出ab=a2b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键

重点：a2b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a2b（a≥0，b≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出a2b＝ab（a≥0，b≥0）． 关键：要讲清ab（a<0,b<0）= ，

如(?2)?(?3)=?(?2)??(?3)或(?2)?(?3)=2?3=233． 教学过程 一、复习引入

1、对于二次根式a中的被开方数 a ，我们有什么规定？ 2、当 a ≥ 0 时，(a)2 等于多少？ 3、当 a ≥ 0 时，

二、探索新知

我们看下面的例子：439＝ 2 3 3 ＝ 6 ，

a2 等于多少？

4?9＝36＝ 6 。

由此可以得

一般地，对二次根式的乘法规定为：

439 ＝4?9

13

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a2b＝ab．（a≥0，b≥0） 反过来： 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。(注：1、注意公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解）；3、ab=a2b（a≥0，b≥0） 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根。(注：a≥0,b≥0是公式ab=a2b成立的必要条a2b＝ab件，如果不满足这个条件，等式的 可以推广为右端就无意义。) a2b2 ＝ab a ≥0， b≥0，c ≥0 ) 例1．计算

（1）3?5 （2）11327 （3）9327 （4）36 32分析：直接利用a2b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可． 解：（1）3?5=15 （2）1?271327==9?3

33（3）9327=9?27?92?3=93 （4）1136=?6=3 22 例2 化简

（1）9?16 （2）16?81 （3）81?100 22（4）9xy （5）（－15）3（－16） （6）4a2b3

分析：利用ab=a2b（a≥0，b≥0）直接化简即可．

解：（1）9?16=9316=334=12 （2）16?81=16381=439=36 （3）81?100=813100=9310=90

222 （4）9xy=33x2y2=323x23y2=3xy 14

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（5）（－15）3（－16）＝ 25316＝ 253 16＝534=20

警示误区（题5）： (6)

4ab＝2?a?b?b

23222应先进行符号运算，不要直接把 （－15）3（－16）＝223a23b23b＝2abb

注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中所有的因式(或因数)能开的尽方，可以利化为 －153 －用积的算数平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简。16而出错 例3 计算：

（1）

14?7 （2） 35?210 3x?1xy 3（3）

注意：二次根式相乘后，能开尽方的一定要开解： （1）

14?7=14?7?72?2?72?2?72;

（2） 35?210=3?25?10?652?2?6?52?302; （3）

3x?11xy=3x?x2y?x2y?x2?y?xy 33出来。 三、巩固练习

（1）计算：①

1638 ②363210 ③5a224;

1ay 5(2) 化简:

20; 18;

54; 12a2b2 教材P11练习全部

四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(?4)?(?9)??4??9 解：不正确．

改正：(?4)?(?9)=4?9＝439=233=6

（2）4121212325=43325=4325=412=83 252525解：不正确．

15

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改正：412112112325=325=?25=112=16?7＝47 252525 五、归纳小结

本节课应掌握：（1）a2b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a2b（a≥0，b≥0）及其运用． 六、布置作业

1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）． 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题

1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，?那么此直角三角形斜边长是多少？ （ 答案：33cm ）

2．化简a?1 （ 答案：-?a ） a3．等式x?1x?1?x2?1成立的条件 （ 答案：x≥1 ）

12

gt（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，2二、综合提高题 1．自由落体的公式为S=

则下落的时间是多少？ （ 答案：12s ）

2．一个底面为30cm330cm长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？ 解：设：底面正方形铁桶的底面边长为x，

则x×10=30×30×20，x=30×30×2，

2

2

x=30?30×2=302．

16

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21．2 .2二次根式的乘除

教学内容

aaaa=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

bbbb教学目标

理解aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

bbbb 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1．重点：理解aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

bbbb2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学过程 一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1）169916=________，=_________； （2）=________，=________；

36163616169916______；______；

36163616规律： 二、探索新知

一般地，对二次根式的除法规定：

aa=（a≥0，b>0）， 反过来，

bb

两个二次根式相除，把被开方相除，根指数不变。(注：运用公式时，条件a≥0,b﹥0；运算结果化到最简，即开得尽方得因式或数要开出来。) aa=（a≥0，b>0） bb商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。（注：商的算术平方根的运算性质式二次根式除法的逆运算；利用商的算术平方根的运算性质可以化简二次根式，使其被开方数不含分母） 17

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下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例1．计算：（1）31111264 （2） （3） （4） ??2841683 分析：上面4小题利用aa=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

bb解：（1）1212==4=2

33解题技巧：1、二次根式的除法有两种表示方法，即 （2）31313=????8?3?4=33=23 2828211111=????16=4=2 4164164ab或a÷b。 （3）2、两个数相除应按“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的运算。 6464（4）==8=22 88 例2．化简：

364b25x9x （1） （2） （3） （4）

649a2169y264y2分析：直接利用aa=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． bb64b28b364b233?解：（1）= （2）= ?223a649a8649a（3）9x3x5x5x5x9x??= （4）= 2228y13y169y64y264y169y注意：在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式。 18

例3．计算

（1） （2） （3）

解：（1）解法一：

解法二： （2）

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（3） 三、巩固练习 教材P14 练习1． 四、应用拓展

x2?5x?49?x9?x 例4．已知，且x为偶数，求（1+x）的值． ?2x?1x?6x?6分析：式子aa=，只有a≥0，b>0时才能成立． bb因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

∴原式=（1+x）?9?x?0?x?9，即?

?x?6?x?6?0(x?4)(x?1) (x?1)(x?1) =（1+x）x?4 x?1x?4=(1?x)(x?4)

(x?1) =（1+x） ∴当x=8时，原式的值=4?9=6． 五、归纳小结 本节课要掌握 六、布置作业

1．教材P15 习题21．2 2、7、8、9． 2．选用课时作业设计．

综合提高题

aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．

bbbb 19

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1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，?现用直径为315cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算

nnn1n3 （1）2（-）÷（m>0，n>0）

m2m32m3mm33m?na23m2?3n2 （2）-3÷（）3 （a>0） 222am?n2a 答案:

、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为3xcm，依题意， 得：（3x）2+x2=（315）2， 4x2=9315，x=

3215（cm），

13543x2x=3x2=3（cm2）． nn4n÷=-2m3m22m5n2．（1）原式＝-2mn42m3 ?2m5nn2nn3nn=-2???2?n=-3n 2mmmmm3(m?n)(m?n)a2a23a2 （2）原式=-2=-2=-6a ??2a2m?nm?n2

20

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21.2 .3二次根式的乘除

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程 一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 计算（1）3328，（2），（3） 5272a63153282a=，=，= 53a5272a注：1、二次根式必须同时满老师点评： 二、探索新知

足两个条件,才是最简二次根是；2、最简二次根式不能理解为最简单的二次根式。 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么课本第3页引言中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．

老师点评：不是．

2Rh12Rh2由。

=2Rh1?2Rh2h1?h2h1h2. h2例1．下列各式中，哪些式最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的请说明理

21

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解：1、不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母。 2、是

3、不是，因为被开方数是小数，小数就是分数 4、不是，因为被开方数8含有因数4＝2 5、不是，因为被开方数24x含有因数4＝2

6、不是，因为被开方数x＋6x＋9x＝x（x＋6x＋9）＝x（x＋3） 例2．把下列各二次根式化为最简二次根式：

本题主要是把被开方数分解因数（或式），然后把开得尽方得因数或式开出来。

3

2

2

2

22

解：1、

2、 3、 4、

例3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

解：因为AB2=AC2+BC2

所以AB=2.52?62=()2?36? 因此AB的长为6.5cm． 三、巩固练习 教材P14 练习2、3 四、应用拓展

警示误区： 112－72 ≠11－7 ＝4 5216916913??=6.5（cm） 424B A C 例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

11?(2?1)2?1==2-1， ?2?12?1(2?1)(2?1)11?(3?2)3?2==3-2， ?3?23?2(3?2)(3?2) 22

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同理可得：1=4-3，??

4?3 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （1111+++??）（2002+1）的值．

2002?20012?13?24?3 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

解：原式=（2-1+3-2+4-3+??+2002-2001）3（2002+1） =（2002-1）（2002+1） =2002-1=2001 五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、布置作业

1．教材P15 习题21．2 3、7、10．

2．选用课时作业设计．

一、填空题

224221．化简x?xy=_________．（x≥0） 答案: 1．xx?y

2．a?a?1化简二次根式号后的结果是_________． 答案: 2．-?a?1 2a 二、综合提高题

1．已知a为实数，化简：?a3-a?确，?请写出正确的解答过程： 解：?a3-a?1，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正a11=a?a-a2

aa?a=（a-1）?a x2?4?4?x2?1 2．若x、y为实数，且y=，求x?yx?2二、1．不正确，正确解答：

23

x?y的值．

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??a3?0?因为?1，所以a<0，

???0?a原式＝?aa2-a2?a?a2=2-a2=-a?a+?a=(1-a) ?a ?aa22aa2?1?x?4?02．∵? ∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y= 24??4?x?0 ∴ x?yx?y?x2?y2?4?163. ?164 24

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