2010届湖北省黄冈中学高三第一次模拟考试数学试题（理）

湖北省黄冈中学2010届高三第一次模拟考试数学试题（理科）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试题卷封线内，将考号最后两位填在答题卷右

上方座位号内，同时机读卡上的项目填涂清楚，并认真阅读答题卷和机读卡上的注意事项。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用像皮擦干净后，再

选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3．将填空题和解答题用0．5毫米黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的答题区域内，

答在试卷上无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1．已知集合P?{0,m},Q?{x|2x2?5x?0,x?Z}，若P?Q??，则m等于（ ） A．1

B．2

C．1或

5 2D．1或2

2．复数z满足z?(z?2)i，则z?（ ）

A．1?i

B．1?i

C．?1?i

D．?1?i

3．已知函数y?2sinx的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则b-a的值不可能是 （ ）

A.

5? 6B.?

C.

7? 622D.2?

4．a,b,c为互不相等的正数，a?c?2bc，则下列关系中可能成立的是（ ）

A．a?b?c

B．b?a?c

C．a?c?b

D．b?c?a

N(?2,?22)

5． 设两个正态分布N(?1,?12)(?1?0)和N(?2,?22)(?2?0)曲线如图所示,则有（ ） y A．?1??2,?1??2 B．?1??2,?1??2 C．?1??2,?1??2 D．?1??2,?1??2

N(?1,?12)

x 6．下列四个函数图象，只有一个是符合y?|k1x?b1|?|k2x?b2|?|k3x?b3|（其中k1,k2,k3为正实数，b1,b2,b3为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，k1,k2,k3之间一定成立的关系是（ ）

y y y y O ① x O ② x 1 / 12 O ③ x O ④ x

A． k1?k2?k3 B．k1?k2?k3 C．k1?k2?k3 D．k1?k2?k3

7．如图，正四面体ABCD的棱长均为a，且AD?平面?于A，点B、C、D均在平面?外，且在平面?同一侧，则点B到平面?的距离是（ ） A．

D aa B． 23C

2a3aC． D．

23B

?

A

8．若函数f(x)?2x2?lnx在其定义域内的一个子区间(k?1,k?1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是．（ ）. A．[1,??) B．[1,33) C．[1,2) D．[,2) 229．现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书．若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读， 则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为（ ）

A．

1911 B． C． 21616 D．

7 24x2y210．已知2?2?1(a?b?0)，M、N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PNab的斜率分别为k1、k2（k1k2?0），若|k1|?|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）

A.

3322 B. C. D. 4224二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知向量a?(2,3)，b?(?2,1)，则a在b方向上的投影等于 ．

n212．已知(x?)(n?N*)展开式中常数项是Cn，则n的值为 。

1x13．在等比数列{an}中，若a7?a8?a9?a10? 。

1591111，a8a9??，则???? 88a7a8a9a10?????y?0?y?t??????14． M??(x,y)|?x?0?， N??(x,y)|?x?3?，(x,y)?M?N，当

??x?y?5?0???x?y?5?0???????2x?y取得最大值时，(x,y)?N，(x,y)?M，则实数t的取值范围是 。 l?D15．设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x?M(M?D)，有x? 2 / 12

xl?)f?x()，且f(，

则称f(x)为M上的l高调函数。

如果定义域为[?1,??)的函数f(x)?x2为[?1,??)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是 。如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?|x?a2|?a2，且f(x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知?ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x 的不等式

x2cosC?4xsinC?6?0的解集是空集．

（1）求角C的最大值； （2）若c?

17． (本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利

10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为

733，求当角C取最大值时a?b的值． ，?ABC的面积S?22111，，；如果投资乙项目，一年后244可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为? 和?（????1. ）（1）如果把10万元投资甲项目，用?表示投资收益（收益=回收资金－投资资金）， 求?的概率分布及E?；

（2）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求?的取值范围.

18．（本小题满分12分）

在四棱锥P?ABCD中，侧面PCD?底面ABCD，PD?CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，

AB//CD，?ADC=90°,AB?AD?PD?1，CD?2.

（1）求证：BE//平面PAD； （2）求证：BC?平面PBD；

P E ????????（3）设Q为侧棱PC上一点，PQ??PC，

试确定?的值，使得二面角Q?BD?P为45°.

A 3 / 12

D C

B

a?x2?lnx19． (本小题满分12分)已知函数f(x)=x(1)当a?[?2,)时, 求f(x)的最大值;

1??a?R,x?[,2]? ?2??14(2) 设g(x)?[f(x)?lnx]?x2, k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k?1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由．

20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，线段AB与y轴交于点F(0,)，直线AB的斜率为k，且满足|AF|?|BF|1+k2．

（1）证明：对任意的实数k，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程； （2）对（1）中的抛物线C，若直线l:y?x?m(m?0)与其交于M、N两点，求 ∠MON的取值范围．

21． (本小题满分14分)

设数列?an?的前n项和为Sn，已知Sn?2an?2n?1(n∈N*). （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?logan2，数列?bn?的前n项和为Bn，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B3n?Bn?n?112m成20立，求m的最大值； （3）令cn?(?1)n?1logan2，数列?cn?的前n项和为Tn，求证：当n∈N*且n≥2时，T2n?n?12. 2 4 / 12

参考答案

１．D【解析】Q?{x|0?x?2． C【解析】z?5,x?Z}?{1,2}，因为P?Q??，故m?1或2。 22i??1?i 1?i3. D 【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选D

22224． B 【解析】若a?b，则a?c?b?c?2bc，不合条件，排除A,D，

又由a2?c2?2c?b?c?，故a?c与b?c同号，排除B；且当b?a?c时，a?c?2bc

22有可能成立，例如取?a,b,c???3,5,1?，故选B．

5． A【解析】显然?1??2，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，?越小。 6． A【解析】当x足够小时y??(k1?k2?k3)x?(b1?b2?b3) 当x足够大时y?(k1?k2?k3)x?(b1?b2?b3)

可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有③符合条件。此时k1?k2?k3?0

7．A【解析】取AD的中点M，易证AD?平面BCM，故平面BCM//平面?，平面BCM 到平面?的距离为

a，即为B到平面?的距离。 211，由f?(x)?0，得x?.

2x8． B【解析】因为f(x)定义域为(0,??)，又f?(x)?4x?1?k?1??k?13? 据题意，?，解得1?k?. 22??k?1?09．B【解析】所有等可能的结果相当于甲、乙、丙、丁四位学生任选四所大学之一，共有4种，仅有两名学生被

223录取到同一所大学，可先把四个同学分成1+1+2三份，有C4种分法，再选择三所大学就读，即有C4A4种就读方式。23C4A49?。 故所求的概率为4416410． D【解析】设M(acos?,bsin?)，N(?acos?,?bsin?)，P(acos?,bsin?)，可得

b(sin??sin?)b(sin??sin?)b2(sin2??sin2?)b2k1?,k2?，|k1|?|k2|?|2|?2， 22a(cos??cos?)a(cos??cos?)a(cos??cos?)a∴|k1|?|k2|?2|k1k2|?2b2b3??1?e?。 aa2 5 / 12

11． ?a?ba?b55 【解析】a在b方向上的投影为acosa,b?a． ???5abb5rn12n?r12． 3或6【解析】展开式的通项为Tr?1?C(x)(x)?Cx?1rrnn?3r2，若要其表示常数项，须有

n-3r=0，即21n1112r=n，又由题设知Cn=Cn3，\\2=n或n-2=n，\\n=6或n=3.

33313． ?a7?a10a8?a9111111115????(?)?(?)?? 【解析】 aaaaaaaaaaaa3789107108971089y C D E N F M O B A x ?a7?a8?a9?a105??

a8a9314．t?4

【解析】如图，M、N表示的区域如图所示， 显然最优解在C处取得，过A作斜率为-2的直线交直 线BC于F，则C应在点F上方，可求得F（3，4）， ∴t?4。 15．m?2;?1?a?1

y 【解析】∵f(?1)?f(1)，m?1?(?1)，即m?2，

f(x)?|x?a2|?a2的图象如图，

∴4?3a2?(?a2)??1?a?1。 16．解：（1）显然cosC?0 不合题意，

?a2 O a2 2a2 3a2 x

?cosC?0?cosC?0?cosC?0?则有?，即?， 即?1， 2??0cosC??2或cosC???16sinC?24cosC?0??2故cosC?1，∴角C的最大值为60?。………………………………………………6分 2（2）当C=60?时，S?ABC?22133absinC?ab?3，∴ab?6，…………………8分 24222由余弦定理得c?a?b?2abcosC?(a?b)?2ab?2abcosC，

6 / 12

∴(a?b)?c?3ab?2212111，∴a?b?。…………………………………………12分 4217．解：（1）依题意，?的可能取值为1，0，－1

?的分布列为

? p 1 0 ?1 1 21 41 4111?= ……………………………………6分 244（2）设?表示10万元投资乙项目的收益，则?的分布列为

E?=

? p 2 ?2 ? ? E??2??2??4??2 依题意要求4??2?19,1…?? ………………12分 416z P Q F E 18．解：（1）取PD的中点F，连结EF， AF，因为E为PC中点，所以EF//CD， 且EF?1CD?1, 2D 在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1， 所以EF//AB，EF=AB， 四边形ABEF为平行四边形， 所以BE//AF， ………2分 BE?平面PAD，AF?平面PAD， 所以BE//平面PAD.…………4分

（2）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥AD. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz.

则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1） …………6分

A x B C y DB?(1,1,0),BC?(?1,1,0).

所以

BC?DB?0,BC?DB,

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，

7 / 12

所以BC⊥平面PBD.………………………8分

（3）平面PBD的法向量为BC?(?1,1,0),

PC?(0,2,?1),PQ??PC,??(0,1)，所以q(0,2?,1??)，

设平面QBD的法向量为n=（a，b，c），DB?(1,1,0),DQ(0,2?,1??)， 由n?DB?0，n?DQ?0，得 所以，??a?b?0?2?b?(1??)c?0

符合条件 解: 因为g(x)?[f(x)?lnx]?x2=ax?x3

不妨设任意不同两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)，其中x1?x2

则k?yy31?2a(x1?x2)?(x2?x31x?)?a?(x2?x21?x1x22) …………………10分

1?x2x1?x2由 k?1知:a? 1+(x221?x1x2?x2)

8 / 12

(2)存在a?(??,74]

172?x2?4 故a? 447故存在a?(??,)符合条件． …………………12分

4 又

解法二:据题意在y?g(x)图象上总可以在找一点P(x0,y0)使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在

k?g(x1)?g(x2)2?g'(x0)?a?3x0?1

x1?x277故存在a?(??,)符合条件． (酌情给分) 44120．解：（1）由已知设lAB:y?kx?①

22?a?1?3x0?又设抛物线C:x?ay(a?0)②

2a?0………………………………………2分 2

a设A(xA,yA),B(xB,yB)，则xA?xB??

22由①②得x?akx?由弦长公式得|AF|?1?k2|xA?0|?1?k2|xA|

|BF|?1?k2|xB?0|?1?k2|xB| ………………………………………4分

a222a∴ |AF|?|BF|?(1?k)|xA?xB|?(1?k)||?(1?k) 2222而|AF|?|BF|?1?k，所以a?2，即抛物线方程为C:x?2y……………………6分

?y?x?m?x2?2x?2m?0 （2）设M(xM,yM),N(xN,yN)由?2，

?x?2y而??4?8m?0(m?0)

则xM?xN?2，xM?xN??2m，kOM?1?mm，kON?1?……………………7分 xMxN不妨设xM?xN，由于m?0，则xM?0?xN 令?MON????2，则ON到OM的角为?，且满足

tan??kOM?kON21?2m?(m?2) ……………………………9分

1?kOM?kONm?24t4t2?1?令t?1?2m，则m?，t?1且t?5 ∴ tan??2

?5t?52t?t 9 / 12

函数y?x与y??5在(0,??)上皆为增函数 x∴ t?5?(?4,0)?(0,??)∴ t4?(??,?1)?(0,??)……………………11分 ?5t?t

则??(0,??3??)?(,)又m?2时，?MON??? 224，23?) ………………………………………13分 421.（1）由Sn?2an?2n?1，得Sn?1?2an?1?2n(n≥2).

∴ ?MON?(0,两式相减，得an?2an?2an?1?2n，即an?2an?1?2n(n≥2). 于是

anan?1an??1{}是公差为1的等差数列. ……………2分 ，所以数列2n2n?12n又S1?2a1?22，所以a1?4. 所以

an?2?(n?1)?n?1，故an?(n?1)?2n. ……………4分 n21111????，则B3n?Bn?.

nn?1n?23n（2）因为bn?logan2?log2n2?n?1令f(n)?111????，则 n?1n?23n111111???????. n?2n?33n3n?13n?23n?31111??? 3n?13n?23n?3n?1f(n?1)?所以f(n?1)?f(n)??112112??????0. 3n?13n?23n?33n?33n?33n?3即f(n?1)?f(n)，所以数列?f(n)?为递增数列. …………7分 所以当n≥2时，f(n)的最小值为f(2)?据题意，

111119????. 345620m19?，即m?19.又m为整数，故m的最大值为18. ……………8分 2020n?1（3）因为cn?(?1)1?，则当n≥2时， n11111111111T2n?1????????(1?????)?2(????)

2342n?12n232n242n 10 / 12

? 下面证

111????. ……………9分 n?1n?22n1112 ?????n?1n?22n2x x?1方法一：先证一个不等式，当x?0时，ln(x?1)?令g(x)?ln(x?1)?x11x(x?0)，则g'(x)????0， 22x?1x?1(x?1)(x?1)x x?1∴g(x)在(0,??)时单调递增，g(x)?g(0)?0，即当x?0时，ln(x?1)?令x?1n?1111??ln(n?1)?lnn?，ln，ln(n?2)?ln(n?1)?，

nnn?1n?1n?2， ln(n?3)?ln(n?2)?11，……，ln(2n)?ln(2n?1)? n?32n111???? n?1n?22n以上n个式相加，即有ln(2n)?lnn?∴

1112 ……………14分 ?????ln(2n)?lnn?ln2?n?1n?22n211121。 ??????n?1n?22n24n?1方法二：先用数学归纳法证明一个加强不等式

①n?2时，

1121???成立，故n?2时不等式成立。 342911121 ??????k?1k?22k24k?1②假设n?k时成立，即

则当n?k?1时，

111121111 ??????????k?22k2k?12k?224k?12k?12k?2k?1?

2111211121???，下面用分析法证 ?????24k?12k?12k?224k?12k?12k?224k?5即证

111141 ?????2k?12k?24k?14k?5(4k?1)(4k?5)(2k?1)(2k?5)2211， ?15(2k?1)(2k?2)(2k?)(2k?)22 11 / 12

即证

故即证(2k?1)(2k?2)?(2k?)(2k?)，即证4k?6k?2?4k?6k?上式显然成立。

（可以从n?k到n?k?1时引导学生发现

1252225 411121中的g(n)的值，此种方法对于常??????k?1k?22k2g(n)数型的关于正整数的不等式的证明很凑效） 方法三：又据柯西不等式，有

111111?????(12?12???12)[????] 222n?1n?22n(n?1)(n?2)(2n)?n[112111. ????]?n(?)?n2n2n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)2. ……………14分 2故T2n?

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