2012年高考真题理科数学解析分类汇编3（导数）

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2012年高考真题理科数学解析分类汇编3 导数

一、选择题

1.【2012高考重庆理8】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y?(1?x)f'(x)的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

（A）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) （B）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) （C）函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) （D）函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 【答案】D

【解析】由图象可知当x??2时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递增.当?2?x?1时，y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当1?x?2时，

,y?(1?x)f'(x)?0，所以此时f'(x)?0，函数递减.当x?2时，y?(1?x)f'(x)?0，

所以此时f'(x)?0，函数递增.所以函数f(x)有极大值f(?2)，极小值f(2),选D. 2.【2012高考新课标理12】设点P在曲线y?最小值为（ ）

1xe上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则PQ22(1?ln2)

(A)1?ln2 (B) 2(1?ln2) (C) 1?ln2 (D)【答案】B 【解析】函数y?1xe与函数y?ln(2x)互为反函数，图象关于y?x对称 21xe?x112 函数y?ex上的点P(x,ex)到直线y?x的距离为d?

222 设函数g(x)?1x11?ln2e?x?g?(x)?ex?1?g(x)min?1?ln2?dmin? 222 由图象关于y?x对称得：PQ最小值为2dmin?3.【2012高考陕西理7】设函数f(x)?xe，则（ ）

x2(1?ln2),

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A. x?1为f(x)的极大值点 B.x?1为f(x)的极小值点 C. x??1为f(x)的极大值点 D. x??1为f(x)的极小值点

[学【答案】D.

【解析】?f(x)?xe,?f'(x)?e?xe，令f'(x)?0，则x??1，当x??1时

xxxf'(x)?0，当x??1时f'(x)?0，所以x??1为f(x)极小值点，故选D.

4.【2012高考辽宁理12】若x?[0,??)，则下列不等式恒成立的是 (A)e?1?x?x (B)x2111?1?x?x2

241?x(C)cosx…1?【答案】C

121x (D)ln(1?x)…x?x2 28【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题，是难题.

【解析】法1：验证A，当x=3时，e>2.7=19.68>1+3+3=13，故排除A；验证B，当

3321， x=时，2161111133915211536166==<=，而1-?+?==，故排除B； 32244164848484811+212验证C，令g?x?=cosx-1+x,g'?x?=-sinx+x,g''?x?=1-cosx，显然g''?x?>0恒成立

212所以当x??0,+??，g'?x??g'?0?=0，所以x??0,+??，g?x?=cosx-1+x为增函数，

2所以

g?x??g?0?=0，恒成立，故选C；验证D，令

11xx?x-3?h?x?=ln?1+x?-x+x2,h'?x?=-1+=，令h'?x?<0，解得0

法2：设f(x)?cosx?(1?所

以

121x)?cosx?1?x2，则g(x)?f?(x)??sinx?x, 22?≥c，x?所

f以

当

g?(?x)x?[g0?时?，

g(为增函数，所以x)??g(≥x)?x同理f(x)≥f(0)?0，?cosx?(1?121即cosx…x)≥0，1?x2，故选C

22【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，

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考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。

5.【2012高考湖北理3】已知二次函数y?f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面

积为

A．C．

2π 53 2

4 3π 2B．D．

【答案】B

考点分析：本题考察利用定积分求面积.

【解析】根据图像可得： y?f(x)??x2?1，再由定积分的几何意义，可求得面积为

14. S??(?x2?1)dx?(?x3?x)1??1?13316.【2012高考全国卷理10】已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与x轴有两个不同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。

【解析】若函数y?x?3x?c的图象与x轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为y'?3x?3，令y'?3x?3?0，解得x??1，可知当极大值为f(?1)?2?c，极小值为f(1)?c?2.由f(?1)?2?c?0，解得c??2，由

223f(1)?c?2?0，解得c?2，所以c??2或c?2，选A.

二、填空题

7.【2012高考浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x+(y+4)=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。 【答案】

2

2

2

9 42

2

【解析】曲线C2：x+(y+4)=2到直线l:y=x的距离为d?|0?4|1?122?2?22?2?2，

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曲线C1：y=x+a对应函数的导数为y?2x，令2x?1得x?2

12

，所以C1：y=x+a上的点2|11??a|1111为(,?a)，点(,?a)到到直线l:y=x的距离应为2，所以24?2，解

2224241?1得a?97或a??（舍去）。 448.【2012高考江西理11】计算定积分【答案】

?1?1(x2?sinx)dx?___________。

2 313221。 (x?sinx)dx?(x?cosx)??1??1331【命题立意】本题考查有关多项式函数，三角函数定积分的应用. 【解析】

9.【2012高考山东理15】设a?0.若曲线y?积为a，则a?______. 【答案】a?2x与直线x?a,y?0所围成封闭图形的面

4 9【解析】由已知得S??a02224ax?x2|0?a2?a2，所以a2?，所以a?。

333933110.【2012高考广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．

【答案】2x?y?1?0

【解析】y??3x?1，当x?1时，y??2，此时k?2，故切线方程为y?3?2(x?1)，即2x?y?1?0。

11.【2012高考上海理13】已知函数y?f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,5)、

212C(1,0)，函数y?xf(x)（0?x?1）的图象与x轴围成的图形的面积为 。

5【答案】

411【解析】当0?x?，线段AB的方程为y?10x，当?x?1时。线段BC方程为

221?10x,0?x??y?0x?1?2，整理得y??10x?10，即函数y?f(x)??，所以?15?01??10x?10,?x?1?1?22?由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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1?210x,0?x???2，函数与x轴围成的图形面积为y?xf(x)????10x2?10x,1?x?1?2??120103x10x2dx???1(?10x2?10x)dx?321120?(?1035x?5x2)11?。 342【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.

?lnx,x?012.【2012高考陕西理14】设函数f(x)??，D是由x轴和曲线y?f(x)及

?2x?1,x?0?该曲线在点(1,0处)的切线所围成的封闭区域，则z?x?2y在D上的最大值为 .

【答案】2．

【解析】函数y?f(x)在点(1,0)处的切线为y?0?f'(1)(x?1)，即y?x?1.所以D表示

的平面区域如图

大值为z?0?2?(?1)?2.

当目标函数直线经过点M时z有最大值，最

三、解答题

13.【2012高考广东理21】（本小题满分14分）

设a＜1，集合A?{x?R|x?0}，B?{x?R|2x?3(1?a)x?6a}，D?A?B。 （1）求集合D（用区间表示）；

（2）求函数f(x)?2x?3(1?a)x?6ax在D内的极值点．

【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.

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【解析】（1）对于方程2x?3(1?a)x?6a?0 判别式??9(1?a)?48a?3(a?3)(3a?1) 因为a?1，所以a?3?0 ① 当1?a?② 当a?当a?221时，??0，此时B?R，所以D?A； 31时，??0，此时B?{x|x?1}，所以D?(0,1)?(1,??)； 312时，??0，设方程2x?3(1?a)x?6a?0的两根为x1,x2且x1?x2，则 3x1?3(1?a)?3(a?3)(3a?1)3(1?a)?3(a?3)(3a?1)，x2?

44B?{x|x?x1或x?x2}

③ 当0?a?13时，x1?x2?(1?a)?0，x1x2?3a?0，所以x1?0,x2?0 32此时，D?(x,x1)?(x2,??)

?(0,3(1?a)?3(a?3)(3a?1)3(1?a)?3(a?3)(3a?1))?(,??)

44④ 当a?0时，x1x2?3a?0，所以x1?0,x2?0

此时，D?(x2,??)?(3(1?a)?3(a?3)(3a?1),??)

42（2）f?(x)?6x?6(1?a)x?6a?6(x?1)(x?a)，a?1

所以函数f(x)在区间[a,1]上为减函数，在区间(??,a]和[1,??)上为增函数

1?a?1 3 ②x?a是极点?a?A,a?B?0?a?1

1 得：a?0时，函数无f(x)极值点，0?a?时，函数f(x)极值点为a，

31 ?a?1时，函数f(x)极值点为1与a

3 ①x?1是极点?1?B?14.【2012高考安徽理19】（本小题满分13分） 设f(x)?ae?x1?b(a?0)。 aex（I）求f(x)在[0,??)上的最小值；

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（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?3x；求a,b的值。 2【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。

11a2t2?1【解析】（I）设t?e(t?1)；则y?at?， ?b?y??a?2?2atatatx1?b在t?1上是增函数， at1得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为a??b。

a1②当0?a?1时，y?at??b?2?b，

at1x当且仅当at?1(t?e?,x??lna)时，f(x)的最小值为b?2。

a11xx（II）f(x)?ae?x?b?f?(x)?ae?x，

aeae①当a?1时，y??0?y?at?12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2??由题意得：?。 3???131f(2)???ae2??b???22??ae2?2?15.【2012高考福建理20】（本小题满分14分）已知函数f（x）=e＋ax-ex，a∈R. （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知

识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.

解答：

（Ⅰ）f(x)?e?ax?ex?f?(x)?e?2ax?e 由题意得：f?(1)?e?2a?e?0?a?0

x2xx

2

?0? f?(x)?e?ex?x1,?f(?x)?0?x

得：函数f(x)的单调递增区间为(1,??)，单调递减区间为(??,1) （Ⅱ）设P(x0,f(x0))； 则过切点P的切线方程为y?f?(x0)(x?x0)?f(x0) 令g(x)?f(x)?f?(x0)(x?x0)?f(x0)；则g(x0)?0

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切线与曲线只有一个公共点P?g(x)?0只有一个根x0 g?(x)?f?(x)?f?(x0)?e?e0?2a(x?x0)，且g?(x0)?0 （1）当a?0时，g?(x)?0?x?x0,g?(x)?0?x?x0 得：当且仅当x?x0时，g(x)min?g(x0)?0 由x0的任意性，a?0不符合条件（lby lfx） （2）当a?0时，令

xxh(x)?ex?ex0?2a(x?x0)?h?(x)?ex?2a?0?x?x??ln(?2a)

①当x??x0时，h?(x)?0?x?x0,h?(x)?0?x?x0

当且仅当x?x0时，g?(x)?g?(x0)?0?g(x)在x?R上单调递增 ?g(x)?0只有一个根x0

②当x??x0时，h?(x)?0?x?x?,h?(x)?0?x?x?

得：g?(x?)?g?(x0)?0，又x???,g?(x)???,x???,g?(x)??? 存在两个数x0?x??使，g?(x0)?g?(x??)?0

得：g?(x)?0?x0?x?x???g(x??)?g(x0)?0又x???,g?(x)??? 存在x1?x??使g(x??)?0，与条件不符。 ③当x??x0时，同理可证，与条件不符

从上得：当a?0时，存在唯一的点P(ln(?2a),f(ln(?2a))使该点处的切线与曲线只有一个公共点P

16.【2012高考全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]. （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。

解：f?(x)?a?sinx。

（Ⅰ）因为x?[0,?]，所以0?sinx?1。

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当a?1时，f?(x)?0，f(x)在x?[0,?]上为单调递增函数； 当a?0时，f?(x)?0，f(x)在x?[0,?]上为单调递减函数； 当0?a?1时，由f?(x)?0得sinx?a，

由f?(x)?0得0?x?arcsina或??arcsina?x??； 由f?(x)?0得arcsina?x???arcsina。

所以当0?a?1时f(x)在[0,arcsina]和[??arcsina,?]上为为单调递增函数；在

[arcsina,??arcsina]上为单调递减函数。[来源:Zxxk.Com]

（Ⅱ）因为f(x)?1?sinx?ax?cosx?1?sinx?ax?1?sinx?cosx 当x?0时，0?1?sin0?cos0?0恒成立 当0?x??时，ax?1?sinx?cosx?a?令g(x)?1?sinx?cosx1?sinx?cosx?a?[]min

xx1?sinx?cosx(0?x??)，则

x(cosx?sinx)x?1?sinx?cosx(1?x)cosx?(x?1)sinx?1 g?(x)??22xx又令c(x)?(1?x)cosx?(x?1)sinx?1，则

c?(x)?cosx?(1?x)sinx?sinx?(x?1)cosx??x(sinx?cosx)

则当x?(0,当x?(3?)时，sinx?cosx?0，故c?(x)?0，c(x)单调递减 43?,?]时，sinx?cosx?0，故c?(x)?0，c(x)单调递增 43?所以c(x)在x?(0,?]时有最小值c()??2?1，而

4x?0?limc(x)?(1?0)cos0?(0?1)sin0?1?0，lim?c(x)?c(?)??(1??)?1?0

x??综上可知x?(0,?]时，c(x)?0?g?(x)?0，故g(x)在区间(0,?]单调递 所以[g(x)]min?g(?)?2?

故所求a的取值范围为a?2?。[来源:Z。xx。k.Com]

另解：由f(x)?1?sinx恒成立可得f(?)?1?a??1?1?a?2?

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令g(x)?sinx?2?22?当x?(0,arcsin)时，g?(x)?0，当x?(arcsin,)时，g?(x)?0[来源:学科网]

??2?2?又g(0)?g()?0，所以g(x)?0，即x?sinx(0?x?)

2?22故当a??x(0?x??)，则g?(x)?cosx?2

2?时，有f(x)?2?x?cosx（lbylf x）

①当0?x?②当

?2时，

2?x?sinx，cosx?1，所以f(x)?1?sinx

2?2?x??时，f(x)??x?cosx?1?2(x?)?sin(x?)?1?sinx

?222??综上可知故所求a的取值范围为a??。

【点评】试题分为两问，题词面比较简单，给出的函数比较新颖，因为里面还有三角函数，

这一点对于同学们来说有点难度，不同于平时的练习题，相对来说做得比较少。但是解决的关键还是要看导数的符号，求解单调区间。第二问中，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。 17.【2012高考北京理18】（本小题共13分）

3已知函数f(x)?ax?1?a?0?，g(x)?x?bx.

2（1）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点?1,c?处具有公共切线，求a，b的值； （2）当a2?4b时，求函数f(x)?g(x)的单调区间，并求其在区间???,?1?上的最大值. 解：（?）由?1，c?为公共切点可得：?

f(x)?ax2?1(a?0)，则f?(x)?2ax，k1?2a，

g(x)?x3?bx，则f?(x)=3x2?b，k2?3?b，

?2a?3?b?

又f(1)?a?1，g(1)?1?b，

?a?1?1?b，即a?b，代入①式可得：??a?3． b?3?1（2）?a2?4b，?设h(x)?f(x)?g(x)?x3?ax2?a2x?1

41aa则h?(x)?3x2?2ax?a2，令h?(x)?0，解得：x1??，x2??；

426?a?0，????，

?原函数在???，??单调递增，在??，??单调递减，在??，???上单调递增 2266??由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

a2a6??a??a?a??a???

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a2a①若?1≤?，即a≤2时，最大值为h(1)?a?；

42aa?a?②若???1??，即2?a?6时，最大值为h????1

26?2?③若?1≥?a?a?时，即a≥6时，最大值为h????1． 6?2?综上所述：

a2?a?当a??0，2?时，最大值为h(1)?a?；当a??2,???时，最大值为h????1．

4?2?18.【2012高考新课标理21】（本小题满分12分）

已知函数f(x)满足满足f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?（1）求f(x)的解析式及单调区间；

12x； 212x?ax?b，求(a?1)b的最大值. 21【答案】（1）f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?x2?f?(x)?f?(1)ex?1?f(0)?x

2（2）若f(x)? 令x?1得：f(0)?1 f(x)?f?(1)ex?1?x? 得：f(x)?ex?x?

g?(x)?e?1?0?y?g(x)在x?R上单调递增 f?(x)?0?f?(0)?x?0,f?(x)?0?f?(0)?x?0 得：f(x)的解析式为f(x)?ex?x?x12x?f(0)?f?(1)e?1?1?f?(1)?e 212x?g(x)?f?(x)?ex?1?x 212x 2 且单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0) （2）f(x)?12x?ax?b?h(x)?ex?(a?1)x?b?0得h?(x)?ex?(a?1) 2 ①当a?1?0时，h?(x)?0?y?h(x)在x?R上单调递增 x???时，h(x)???与h(x)?0矛盾

②当a?1?0时，h?(x)?0?x?ln(a?1),h?(x)?0?x?ln(a?1) 得：当x?ln(a?1)时，h(x)min?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0

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(a?1)b?(a?1)?(a?1)ln(a?1)(a?1?0) 令F(x)?x?xlnx(x?0)；则F?(x)?x(1?2lnx) F?(x)?0?0?x?e,F?(x)?0?x?e 当x?e时，F(x)max? 当a?2222e 2e 2e?1,b?e时，(a?1)b的最大值为

19.【2012高考天津理20】本小题满分14分）

已知函数f(x)?x?ln(x?a)的最小值为0，其中a?0. （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若对任意的x?[0,??),有f(x)≤kx成立，求实数k的最小值； （Ⅲ）证明【答案】

（1）函数f(x)的定义域为(?a,??) f(x)?x?ln(x?a)f?(x)?1??22?ln(2n?1)?2（n?N*）. ?i?12i?1n1x?a?1??0?x?1?a??a x?ax?a?? f(x)?0?x?1?a,f(x)?0??a?x?1?a

得：x?1?a时，f(x)min?f(1?a)?1?a?0?a?1 （2）设g(x)?kx?f(x)?kx?x?ln(x?1)(x?0)

则g(x)?0在x?[0,+?)上恒成立?g(x)min?0?g(0)（*） g(1)?k?1?ln2?0?k?0

221x(2kx?2k?1) ?x?1x?111?2k ①当2k?1?0(k?)时，g?(x)?0?0?x??x0?g(x0)?g(0)?0与

22k g?(x)?2kx?1?（*）矛盾

1时，g?(x)?0?g(x)min?g(0)?0符合（*） 21 得：实数k的最小值为

2 ②当k?由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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（3）由（2）得：x?ln(x?1)? 取x?12x对任意的x?0值恒成立 2222 ?[ln(2i?1)?ln(2i?1)]?(i?1,2,3,?,n)：

2i?1(2i?1)22i?12?ln(2n+1)<2 ?2i?1i=1n 当n?1时，2?ln3?2 得：

当i?2时，

211 ??2(2i?1)2i?32i?1 得：

?[i?1n21?ln(2i?1)?ln(2i?1)]?2?ln3?1??2。 2i?12n?1【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没

有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.

20.【2012高考江苏18】（16分）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点。

已知a，b是实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点． （1）求a和b的值；

（2）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点；

（3）设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，2]，求函数y?h(x)的零点个数． 【答案】解：（1）由f(x)?x3?ax2?bx，得f'(x)?3x2?2ax?b。 ∵1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点，

∴ f'(1)?3?2a?b=0，f'(?1)?3?2a?b=0，解得a=0，b=?3。 （2）∵ 由（1）得，f(x)?x3?3x ，

∴g?(x)?f(x)?2=x3?3x?2=?x?1??x?2?，解得x1=x2=1，x3=?2。 ∵当x0， ∴x=?2是g(x)的极值点。

∵当?21时，g?(x)>0，∴ x=1不是g(x)的极值点。 ∴g(x)的极值点是－2。

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（3）令f(x)=t，则h(x)?f(t)?c。

先讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况：d???2, 2?

当d=2时，由（2 ）可知，f(x)=?2的两个不同的根为I 和一2 ，注

意到f(x)是奇函数，∴f(x)=2的两个不同的根为一和2。

当

d<2时，∵f(?1)?d=f(2)?d=2?d>0，

f(1)?d=f(?2)?d=?2?d<0 ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是f(x)=d的根。 由（1）知f'(x)=3?x?1??x?1?。

???时，f'(x)>0 ，于是f(x)是单调增函数，从而① 当x??2，f(x)>f(2)=2。

???无实根。 此时f(x)=d在?2，，?时．f'(x)>0，于是f(x)是单调增函数。 ② 当x??1 2又∵f(1)?d<0，f(2)?d>0，y=f(x)?d的图象不间断， ∴f(x)=d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。 同理，f(x)=d在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

，1?时，f'(x)<0，于是f(x)是单调减两数。 ③ 当x???1 又∵f(?1)?d>0， f(1)?d<0，y=f(x)?d的图象不间断， ∴f(x)=d在（一1，1 ）内有唯一实根。

x2=2；当因此，当d=2时，f(x)=d有两个不同的根x1，x2满足x1=1，d<2 时

i=3, 4, 5。 f(x)=d有三个不同的根x3，x1，x5，满足xi<2，现考虑函数y?h(x)的零点：

t2=2。 ( i ）当c=2时，f(t)=c有两个根t1，t2，满足t1=1，而f(x)=t1有三个不同的根，f(x)=t2有两个不同的根，故y?h(x)有5 个

零点。

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( 11 ）当c<2时，f(t)=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足

ti<2， i =3, 。 4 , 5而f(x)=ti ?i=3, 4, 5?有三个不同的根，故y?h(x)有9 个零点。 综上所述，当c=2时，函数y?h(x)有5 个零点；当c<2时，函数y?h(x)有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出y?f(x)的导数，根据1和?1是函数y?f(x)的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，f(x)?x3?3x，求出g?(x)，令g?(x)=0，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分d=2和d<2讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况；再考虑函数y?h(x)的零点。

21.【2012高考辽宁理21】本小题满分12分)

设f(x)?ln(x?1)?直线y?x?1?ax?b(a,b?R,a,b为常数)，曲线y?f(x)与

3x在(0，0)点相切。 2 (Ⅰ)求a,b的值。

(Ⅱ)证明：当0?x?2时，f(x)?9x。 x?6【命题意图】本题主要考查函数的切线及恒成立问题，考查运算求解能力，是难题. 【解析】（1）由y=f?x?的图像过?0,0?点，代入得b=-1 由y=f?x?在?0,0?处的切线斜率为

133?1?++a?=+a，得，又y'x=0=?2?x+12x+1?x=02a=0…3分

（2）（证法一）由均值不等式，当x>0时，2记

xx+1?1

则

h?x?=f?x?-1x+3h'?x?2x?x+?=29xx+6x11?x?+?x6?x+?x5??1x? 22-4++x+6?-216?x+1??3gx=x+6-216?x+1?，则当0

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f(x2)?f(x1)eax2?eax1??1. （Ⅱ）由题意知，k?x2?x1x2?x1eax2?eax1,则 令?(x)?f?(x)?k?ae?x2?x1axeax1a(x2?x1)??(x1)??e?a(x2?x1)?1?, ??x2?x1eax2a(x1?x2)??(x2)?e?a(x1?x2)?1?. ??x2?x1令F(t)?e?t?1，则F?(t)?e?1.

当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递减；当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递增. 故当t?0，F(t)?F(0)?0,即e?t?1?0. 从而ea(x2?x1)ttt?a(x2?x1)?1?0，ea(x1?x2)eax1eax2?0,?0, ?a(x1?x2)?1?0,又

x2?x1x2?x1所以?(x1)?0,?(x2)?0.

因为函数y??(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在x0?(x1,x2)使?(x0)?0,??(x)?ae2ax?0,?(x)单调递增，故这样的c是唯一的，且

1eax2?eax11eax2?eax1c?ln,x2)时， f?(x0)?k. .故当且仅当x?(lnaa(x2?x1)aa(x2?x1)综上所述，存在x0?(x1,x2)使f?(x0)?k成立.且x0的取值范围为

1eax2?eax1(ln,x2). aa(x2?x1)

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值f(11111x∈R，f(x) ?1恒成立转化为ln)??ln对一切.aaaaaf(x)min?1，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函

数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gf36.html