10-11高数B(1)期末试卷Ad

北京林业大学2010--2011学年第 一 学期考试试卷

课程名称： 高等数学B （A卷） 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩

试卷说明：

1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 4 页，共 九 大部分，请勿漏答； 2. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；

3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 4. 本试卷所有答案均写在试卷上；

5. 答题完毕，请将试卷正面向外交回，不得带出考场；

6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！

一、填空：（每题3分，共30分） 1. 函数f(x)?11?x?arcsin2x1?x的定义域为 [-1/3，1] 。

2. 计算极限 lx?im0xs1ixn? ___0_______________________________________。

3. 当x?0时，1?cosx是x的___二阶________无穷小（一阶，二阶，三阶）。

4. 已知f?(a)?4，则limf(a?h)?f(a)h?02h?_______2____________。

5. 设函数f(x)可导，且已知y?f(x2)，则dy?__2xf?(x2)dx_______________。

6. 已知??x?t22dy?1?t，则?ydx?___-1/t________________。 7. 已知

?f(x)dx?sin2x?C，则f(x)? 2cos2x 。

8.计算定积分

?23?2xsin2xdx= 0 。

9. 计算不定积分

?dx1?2x??12ln|1?2x|?c, ?lnxdx?xlnx?x?c。

110. 判断瑕积分?dx是 发散 （收敛，发散）。?1x2

1

二、计算下列各题（每题5分，共30分） 1、lim1?xex?0?x?1x 2、limx?0?x0t2etdtx223

1?xexxxex??lim??1?xe?? 3分 ?lim2 3分 x?0x?03x??exex1? 2分 ?e 2分 ?limx?033

2dydyx?2(3?x)43、y?ln，求 4、，求 y?arctan(x?y)5dxdx(x?1)11?y?y?ln(x?2)?4ln(3?x)?5ln(x?1) 3分 y?? 3分 221?(x?y)1451 2分 y?? 2分 y????2(x?2)3?xx?1(x?y)2

?x3dx??10?x?25、? 6、f(x)??2，求?f(x)dx

01?2x?x2?x?3?令2x?t

32x3tdt 3分 ?f(x)dx??(?1)dx??xdx 3分 原式=?00221?t?t?ln|1?t|?c

11?2x?ln|1?2x|?c 2分 ? 2分

2

三、求函数f(x)?型）（6分）。

2解：令 x?x?2?0 得 x??1 或 x?2 2分

x?1的间断点，并判断其类型（可去型、跳跃型、无穷型、无穷次振荡

x2?x?211??，所以x??1为第一类可去间断点 2分

x??1x??1x?231??，所以x?2为第二类无穷间断点 2分 limf(x)?limx?2x?2x?2 limf(x)?lim

四、证明题（共8分）

1、若f(x)在[0,?]上可导，证明存在??(0,?)， 2、证明当x?0时，ln(1?x)?x? 满足f?(?)sin??f(?)cos??0

12x 2 2

证明：令F(x)?f(x)sinx 证明：令f(x)?ln(1?x)?x?12x 1分 2x2?0(x?0) F(0)?0,F(?)?0 2分 ?f?(x)?1?xF(x)在[0,?]上满足罗尔定理的条件 所以当x?0时，f(x)为增函数 2分 即在[0,?]上F(x)连续，(0,?)内F(x)可导。

????(0,?)，使F?(?)?0 2分 ?x?0时，?f(x)?f(0)?0 1分

12即 f?(?)sin??f(?)cos??0 即 ln(1?x)?x?x

2

五、设曲线 y?k(x2?3)2?1,(x?0)在拐点处的法线通过原点，求k。（6分） 解：因为 y??4kx(x?3，)y???12k(x?1)

所以，x?1,y?4k?1处是曲线的拐点 2分 拐点处的导数为 y?|x?1??8k

321(x?1 ) 2分 8kk2?8k?1? 0 将（0，0）代入法线方程得 32?1?3 ?k? 2分

8 法线方程为： y?4k?1?

1sintdt，求（5分） ?1t?0xf(x)dx。

21x1x21f(x)|0??f?(x)dx 3分 解： ?xf(x)dx=

002221xsinx2?2?2xdx =??02x1121 =cosx|0?(cos1?1) 2分

22六、已知f(x)?x2

七、求曲线 解： V??y?x2,x?y2所围成的图形绕y轴旋转所产生的旋转体的体积。（5分）

?101{(y)2?y4}dy 3分

3? 2分 10???(y?y4)dy?0

22八、求曲线y?x在区间（0，1）内一条切线，使该切线与直线x?0,x?1和曲线y?x所围成的图形的面积最小。（7分）

2解： 设切点坐标为(x0,x0)

2 y??2x ， y?x?x?2x0 ，切线方程为：y?2x0x?x0 2分

0 3

所求面积为： A? ??102{x2?2x0x?x0}dx

12?x0?x0 3分 3dA1 ??1?2x0?x0?

dx021所求切线方程为： y?x? 2分

4

九、试求c值，使?ba(x?c)cos(x?c)dx?0，其中b?a。

（3分） 解：令 x?c?u

?b(x?c)coxs(?cdx)??b?caa?cuuducos f(u)?ucosu为奇函数 所以，取 a?c??(b?c) 可使该积分为0 即 c??a?b2 为所求

1分 分 1分 4

1

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