圆测试题及答案

更新时间：2024-05-03 00:47:01 阅读量：综合文库文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

圆测试题及答案

一、填空题

1、如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为． 2、如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA=a，PM=√3a ，那么△PMB的周长是．

第1题图第2题图

3、PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则∠ACB= ．

4、如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是度．

5、如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E，要使得DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是．

6、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，若AB=a，AC=b，则⊙O的半径等于

第4题图第5题图第6题图二、选择题

7、l1、l2表示直线，给出下列四个论断：①l1∥l2；②l1切⊙O于点A；③l2切⊙O于点B；④AB是⊙O的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为（） A、1 B、2 C、3 D、4

8、如图，圆心O在边长为√2的正方形ABCD的对角线BD上，⊙O过B点且与AD、DC边均相切，则⊙O的半径是（） A、2(√2-1) B、2(√2+1) C、2√2-1 D、2√2+1

9、直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＜DC，若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点（） A、不存在 B、只有一个 C、只有两个 D、有无数个

10、如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②AD=DB；③AP=BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是（）

第 1 页共 17 页

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③

11、如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于C、D，交AB于E，AF为⊙O的直径，有下列结论：①∠ABP=∠AOP；②弧BC=弧DF；③OP∥BF；④AC平分∠PAB，其中结论正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

第10题图第11题图第12题图 12、如图，已知△ABC，过点A作外接圆的切线交BC延长线于点P，PC/PA=√2/2 ，点D在AC上，且AD/CD=1/2 ，延长PD交AB于点E，则AE/BE的值是（）三、解答题

13、以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E可得结论：DE是⊙O的切线．问：

（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，

DE⊥AC的条件不变那么上述结论是否成立？请说明理由；（2）如果AB=AC=5cm，sinA=3/5 ，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？

14、已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；

（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由． 15、如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．

（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；

（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=5/6时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．

16、⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，（1）求弦AC、AB的长；

（2）若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论．

第 2 页共 17 页

17、如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；（3）求sin∠PCA的值． 18、（1）如图（a），已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC、AD．求证：①∠BAD=∠CAG；②AC?AD=AE?AF；

（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其他条件不变． ①请你在图（b）中画出变化后的图形，并对照图（a），标记字母；

②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 19、如图，AB是⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动．点Q在上半圆上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．

（1）当∠QPA=90°时，判断△QCP是三角形；（2）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；（3）由（1）、（2）得出的结论，进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是三角形． 20、如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在弧AB上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F．（1）当点C为弧AB的中点时（如图1），求证：CF=EF；

（2）当点C不是弧AB的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．考点：切线的性质． 21、如图△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的

第 3 页共 17 页

长；

（3）设CD=a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求．

22、如图，PA、PB与⊙O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交⊙O于点E、C，交AB于点D，求证AC2/BC2=AD/BD

23、如图，⊙O′与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心O′的坐标为（1，-1），半径为√5 ．

（1）求A，B，C，D四点的坐标；（2）求经过点D的切线解析式；

（3）问过点A的切线与过点D的切线是否垂直？若垂直，请写出证明过程；若不垂直，试说明理由．

第22题图第23题图

24、当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？

如图，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角∠PEQ最大，站在此处观赏最理想．

（1）设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m、x的关系式；（2）当a=2.5，b=2，m=1.6，求：（ⅰ）点E和墙壁距离x；

（ⅱ）最大视角∠PEQ的度数．（精确到1度）

第 4 页共 17 页

答案

一、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

1、如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为．解：连接OD，

由AB是半圆O的直径，得BC=DC，DE2=EA?EB，

∵EA=1，ED=2， ∴EB=4，

∴AB=EB-EA=3， ∴OD=OA=3/2 ，

由CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，知 ∠CBE=90°，∠ODE=90°， ∴△CBE∽△ODE，解得EC=5，

又∵CD和CB是⊙O的两条切线， ∴CD=BC，则CD=EC-ED=5-2=3． 2、如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA=a，PM=√3a ，那么△PMB的周长是．解：连接OM；

∵PM切⊙O于点M， ∴∠OMP=90°，

∵OA=OM=a，PM=√3a ， ∴tan∠MOP=MP：OM=√3 ， ∴∠MOP=60°， ∴OP=2a，

∴PB=OP-OB=a； ∵OM=OB，

∴△OMB是等边三角形，MB=OB=a， ∴△PMB的周长是（√3+2）a．

3、PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=78°，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则∠ACB= ．解：如图，连接OA，OB， ∵PA、PB切⊙O于A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠AOB=180°-∠BPA=180°-78°=102°，

当C在优弧AB上，则∠ACB=1/2∠AOB=1/2 ×102°=51°；

当C在劣弧AB上，即C′点，则∠AC′B=180°-51°=129°．

4、如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是度．解：∵EB、EC是⊙O的切线， ∴EB=EC，

第 5 页共 17 页

又∵∠E=46°，

∴∠ECB=∠EBC=67°，

∴∠BCD=180°-（∠BCE+∠DCF）=180°-99°； ∵四边形ADCB内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD=180°， ∴∠A=99°．

5、如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E，要使得DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是．解：如图，连接OD，则OD⊥BC； ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴∠C=∠ODB； ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠B， ∴∠C=∠B， ∴AC=AB．

6、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，⊙O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，若AB=a，AC=b，则⊙O的半径等于解：连接OA、OE、OF， ∵AB、AC相切于点E、F， ∴OE⊥AB，OF⊥AC，

∵△OAC的面积= 1/2AC?OF=1/2 br，

同理，△OAB的面积= 1/2AB?OE=1/2 ar，

又∵△ABC的面积=△OAC的面积+△OAB的面积， ∴ ab= br+ ar， ∴r=ab/(a+b) ．

二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

7、l1、l2表示直线，给出下列四个论断：①l1∥l2；②l1切⊙O于点A；③l2切⊙O于点B；④AB是⊙O的直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为（） A、1 B、2 C、3 D、4 解：第一种情况：①②③?④ ∵l1切⊙O于点A，l2切⊙O于点B ∴OA⊥l1，OB⊥l2 又∵l1∥l2 ∴OA⊥l2

∴OA、OB为在同一条上 ∴AB是⊙O的直径命题成立；

第二种情况：①②④?③ ∵l1切⊙O于点A ∴OA⊥l1，

第 6 页共 17 页

∵AB是⊙O的直径；l1∥l2 ∴AB⊥l2

即l2切⊙O于点B 命题成立；

第三种情况：①③④?② 同第二种情况；命题成立

第四种情况：②③④?①．

∵l1切⊙O于点A，l2切⊙O于点B ∴OA⊥l1，OB⊥l2 又∵AB是⊙O的直径 ∴l1∥l2 命题成立．故答案为D

8、如图，圆心O在边长为√2的正方形ABCD的对角线BD上，⊙O过B点且与AD、DC边均相切，则⊙O的半径是（）

A、2(√2-1) B、2(√2+1) C、2√2-1 D、2√2+1 解：连接OE、OF，如图，设圆的半径为r， ∴四边形OEDF是正方形， ∴OD= √2r，BD=2， ∵OB=r， ∴ √2r+r=2，解得r=2 √2-2，故选A．

9、直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＜DC，若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点（）

A、不存在 B、只有一个 C、只有两个 D、有无数个解：这样的点有2个．

设AB中点是M，使AP⊥BP的点P在以M为圆心，以1/2AB长为半径的圆上；若CD与圆M相切时，则AD+BC=DC；若CD与圆M相离时，则AD+BC＞DC；

已知AD+BC＜DC，则CD与圆M一定相交，有两个交点．故选C．

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③ 解：连接BD．由题意可证△PCD≌△HCD（HL）， ∴CH=CP；

还可以证明△ADP≌△BDH（AAS）， ∴AD=DB；AP=BH．

因圆的直径不确定，而无法证明DH为圆的切线．

第 7 页共 17 页

故选D．

12、如图，已知△ABC，过点A作外接圆的切线交BC延长线于点P，PC/PA=√2/2 ，点D在AC上，且AD/CD=1/2 ，延长PD交AB于点E，则AE/BE的值是（）解：如图，由∠PAC=∠B，则△PAC∽△PBA．故S△PAC/S△PBA =PC2/PA2 =1/2 ．

又S△PAE/S△PBE=S△EAD/S△BED=AE/BE 故S△PAD/S△PBD= AE/BE

又S△PAD/S△PCD=AD/CD =S△BAD/S△BCD=1/2 ，则S△PAC/S△PBA=3S△PAD/(3/2S△PBD)=2×AE/BE．于是，2×AE/BE =1/2 ， AE/BE =1/4 ．三、解答题（共12小题，满分102分）

15、如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E可得结论：DE是⊙O的切线．问：

（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变那么上述结论是否成立？请说明理由；

（2）如果AB=AC=5cm，sinA=3/5 ，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？解：（1）连接OD； ∵OD=OB，

第 8 页共 17 页

∴∠ABC=∠ODB， ∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ACB=∠ODB， ∴OD∥AC；又∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD即DE是⊙O的切线．

（2）如图所示⊙O与AC相切与F，⊙O与AB相交于G．则OF⊥AC；在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5；

设OF=3X，AO=5X，则OB=OG=OF=3X，OG=2X， ∴8x=AB=5，

∴X=5/8 ，此时OB=3x=15/8 时，

即当圆心O在AB上距B点为3x= 15/8时，⊙O与AC相切．

14、已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）

（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；

（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．解：（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=5，BC=12， ∴AB=13；

∵Q是BC的中点， ∴CQ=QB；又∵PQ∥AC，

∴AP=PB，即P是AB的中点， ∴Rt△ABC中，CP= ．

（2）解：当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．以CQ为直径作半圆D，

①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则 DM⊥AB，且AC=AM=5， ∴MB=AB-AM=13-5=8；

设CD=x，则DM=x，DB=12-x；在Rt△DMB中，DB2=DM2+MB2，即（12-x）2=x2+82，解之得x=10/3 ， ∴CQ=2x=20/3 ；

即当CQ= 20/3且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．

②当20/3 ＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形

③当0＜CQ＜20/3 时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形． ∴当 20/3≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．

15、如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作

第 9 页共 17 页

AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．

（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；

（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=5/6时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．证明：（1）∵∠DEF=45°， ∴∠DFE=90°-∠DEF=45°． ∴∠DFE=∠DEF． ∴DE=DF．又∵AD=DC， ∴AE=FC．

∵AB是圆B的半径，AD⊥AB， ∴AD切圆B于点A．同理：CD切圆B于点C．又∵EF切圆B于点G， ∴AE=EG，FC=FG．

∴EG=FG，即G为线段EF的中点．

（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，根据勾股定理，得：

（x+y）2=（1-x）2+（1-y）2 ∴y=(1-x)/(1+x) （0＜y＜1）．

（3）当EF= 5/6时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，即x+ (1-x)/(1+x)= 5/6，解得x1=1/3 或x2= 1/2．

①当AE=1/2 时，△AD1D∽△ED1F，

证明：设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得： △EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH=D1H． ∵AE=1/2 ，AD=1， ∴AE=ED．

∴EH∥AD1，∠AD1D=∠EHD=90°．又∵∠ED1F=∠EDF=90°， ∴∠ED1F=∠AD1D． ∴△ED1F∽△AD1D

②当AE=1/3 时，△ED1F与△AD1D不相似．

第 10 页共 17 页

16、⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，（1）求弦AC、AB的长；

（2）若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论． 

17、如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；（3）求sin∠PCA的值．解：（1）∵弦CD⊥AB于点E， ∴∠CEP=90°．

∵∠POC=∠PCE，∠P=∠P， ∴△POC∽△PCE，

∴∠PCO=∠CEP=90°． ∴PC是⊙O的切线．

第 11 页共 17 页 11

18、（1）如图（a），已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC、AD．求证：①∠BAD=∠CAG；②AC?AD=AE?AF；

（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其他条件不变． ①请你在图（b）中画出变化后的图形，并对照图（a），标记字母；

②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．解：（1）证明： ①连接BD，

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．

∴∠AGC=∠ADB=90°．

又∵ACDB是⊙O内接四边形， ∴∠ACG=∠B． ∴∠BAD=∠CAG． ②连接CF，

∵∠BAD=∠CAG，∠EAG=∠FAB， ∴∠DAE=∠FAC．又∵∠ADC=∠F， ∴△ADE∽△AFC． ∴AD/AF=AE/AC ． ∴AC?AD=AE?AF．（2）①如图；

②两个结论都成立，证明如下： ①连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°．

∴∠ACB=∠AGC=90°．

第 12 页共 17 页

∵GC切⊙O于C， ∴∠GCA=∠ABC．

∴∠BAC=∠CAG（即∠BAD=∠CAG）． ②连接CF，

∵∠CAG=∠BAC，∠GCF=∠GAC，

∴∠GCF=∠CAE，∠ACF=∠ACG-∠GFC，∠E=∠ACG-∠CAE． ∴∠ACF=∠E． ∴△ACF∽△AEC． ∴AC/AE=AF/AC ．

∴AC2=AE?AF（即AC?AD=AE?AF）． 19、如图，AB是⊙O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动．点Q在上半圆上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C．

（1）当∠QPA=90°时，判断△QCP是三角形；

（2）当∠QPA=60°时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；（3）由（1）、（2）得出的结论，进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是三角形．解：（1）等腰直角三角形；

（2）当∠QPA=60°，△QCP是等边三角形．证明：连接OQ． CQ是⊙O的切线， ∴∠OQC=90°． ∵PQ=PO，

∴∠PQO=∠QOP．

∴∠QOP+∠QCO=90°，∠OQP+∠CQP=90°， ∴∠QCO=∠CQP． ∴PQ=PC．

又∠QPA=60°，

∴△QCP是等边三角形；（3）等腰三角形．

20、如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在弧AB上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F．（1）当点C为弧AB的中点时（如图1），求证：CF=EF；（2）当点C不是弧AB的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论．考点：切线的性质．证明：（1）∵DA是切线，AB为直径， ∴DA⊥AB．

∵点C是弧AB的中点，且CE⊥AB， ∴点E为半圆的圆心．又∵DC是切线， ∴DC⊥EC．

第 13 页共 17 页

又∵CE⊥AB，

∴四边形DAEC是矩形． ∴CD∥AD，CD=AD． ∴EF:AD =BE:AB=1/2 ．即EF=1/2AD=1/2EC．

∴F为EC的中点，CF=EF．（2）CF=EF，

证明：连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，如图所示： ∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA， ∴∠DAC=∠DCA． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACG=90°．

∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°． ∴∠DGC=∠DCG．

∴在△GDC中，GD=DC． ∵DC=DA， ∴GD=DA．

∵AP是半圆O的切线， ∴AP⊥AB，又CE⊥AB． ∴CE∥AP．

∴DG:CF=DB:FB=DA:FE． ∵GD=AD， ∴CF=EF．

21、如图△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．

（1）求证：△ADE∽△ABC；