福建省2016年高考数学原创好题集（高考必做）

福建省2016年高考数学好题

一等奖:30题

1、数学+选修2-2+函数导数+福建省泉州五中+杨苍洲

题目：已知函数f?x??lnx与g?x??ax?bx在点P1,f?1?处有相同的切线。

2??（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）当1?x?e时，kf?x??g?x?恒成立．求实数k的取值范围．

2、数学+选修2-2+函数导数+福建省泉州五中+杨苍洲，福建省泉州市教科所+姚承佳

已知函数f?x??e，g?x??cx?1．

x （Ⅰ）若函数f?x?图象上的点恒不在函数g?x?的图象的下方，求c的值；

* （Ⅱ）当c?2，设数列?an?n?N满足f?an?1??g?an?．试问是否存在常数

??M??1,2?，当a1??0,M?时，恒有an??0,M??n?N*?．若存在，请写出M满足的关

系式，若不存在，请说明理由．

3、数学+选修2-1+解析几何+福建省泉州五中+杨苍洲，福建省泉州市实验中学+李仲青

题目：已知中点在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点Q(5,)，且点Q在x轴的射影恰为该双曲线的一个焦点F1. （Ⅰ）求双曲线C的方程；

12x2?y2?1于M、N两点，A是椭圆的左顶点，若（Ⅱ）命题：“动直线l交椭圆E:4?MAN是直角，则动直线l过x轴上一定点”命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲

线E，动直线l，x轴上一定点?.试类比上述命题，写出一个关于双曲线C的类似的正确命题，并加以证明.

4、福建省南安第一中学 洪丽敏 （362300）

题目：如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC?侧面ABB1A1，底面?ABC是边长为

E,F分别为BB1和C1B1的中点． 2的等边三角形，侧面ABB1A1为菱形且?BAA1?60，

（Ⅰ）求异面直线AF和C1B1所成角的余弦值；

o 1 / 35

P，要求保（Ⅱ）在平面A1B1C1内过B1点作一条直线与平面AEF平行，且与AC11交于点

留作图痕迹，但不要求证明． 5、圆锥曲线中的定点定值问题

厦门市五显中学 叶建聪

原题 (2011年山东文科数学卷压轴题)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆

x2C:?y2?1.如图所示,斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线

3段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x??3于点D??3,m?.

(I)求m2?k2的最小值； (II)若OG?OD?OE,

2(i)求证：直线l过定点；

(ii)试问点B,G能否关于x轴对称？若能,求出此时?ABG的外接圆方程；若不能,请说

明理由.

yDGBAEOlx

6、福建省永春第一中学 李金聪

设函数f(x)?e?ex?(n?1)e?ax.n?N， （Ⅰ）当a?0时，求f(x)的单调区间； （Ⅱ）求证：ex≥e(x?n?1)；

（Ⅲ）当n?0时，若f(x)≥0对于任意x?[0,??)恒成立，求实数a的取值范围. 7、南安市国光中学黄晓琳 石狮市第三中学蔡振树 一、试题呈现

空气质量受污染物排放量及大气扩散等因素的影响，某市环保监测站2015年10月连续10天（从左到右对应1号至10号）采集该市某地平均风速及空气中氧化物的日均浓度数据，制成散点图如右图所示．

nxnn2 2 / 35

（Ⅰ）同学甲从这10天中随机抽取连续天的一组数据，计算回归直线方程．试求连．．5．．．续天的一组数据中恰好同时包含氧化物日均浓度最大与最小值的概率； ．5．．

（Ⅱ）现有30名学生，每人任取5天数据，对应计算出30个不同的回归直线方程．已知30组数据中有包含氧化物日均浓度最值的有15组．现采用这30个回归方程对某一天平均风速下的氧化物日均浓度进行预测，若预测值与实测值差的绝对值小于2，则称之为“拟合效果好”，否则为“拟合效果不好”．根据以上信息完成下列2×2联表，并分析是否有95%以上的把握说拟合效果与选取数据是否包含氧化物日均浓度最值有关．

数据有包含最值 数据无包含最值 合计 参考数据：

拟合效果好 5 拟合效果不好 4 合计 P(K2?k0) 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 （

其

0.025 5.024 中

0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k0 2n(ad?bc)2K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)n?a?b ??）

8、福建省福州第一中学 龚梅勇

题目：已知过抛物线?：x2?4y焦点F且斜率不为0的直线l1与?交于A、B两点，M

为AB中点,N为?在A、B处切线的交点. (I)证明：MN∥y轴；

(II)过点F且与l1垂直的直线l2交?于C、D两点，P为CD中点，Q为?在C、D 处切线的交点，求四边形MNQP面积的最小值. 9、永春县第一中学李金进

若?MON??,0????，过?MON内一点P的直线分别交射线OM,ON于

A,B两点，当?AOB的面积最小时，则线段OP是?AOB的边AB的（ ）

A．高线 B.中线 C.角平分线 D.中垂线 10、南安一中梁淮森

已知a,b,c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边，且3cosC?sinC?（Ⅰ）求?B的大小；

（Ⅱ）设AB?2，点D为AC的中点，且BD?7，求?DBC的面积．

3a． b 3 / 35

11、福清第三中学 李云杰

阅读下面材料：

不等式与函数有很多关联，如为了证明造函数f(x)?bb?m?(a?b?0，m?0)成立，可以通过构aa?mb?xb?a在(0，??)上单调递增，得a(?b?0，)由f(x)?1?a?xa?xbb?m?(a?b?0，m?0)成立． aa?m1?a1?a?c?(a，b，c?R?)；

1?a?b1?a?b?cf(m)?f(0)，即证得

（Ⅰ）类比上述推证方法，求证：

（Ⅱ）已知a，b，c为直角三角形的两直角边和斜边，求证当n?N且n?3时，an?bn?cn．

12、泉州第五中学徐明杰吴水文 设函数f(x)?2lnxfx?mf?x??1?0有三个不同的实数解，则实?，关于x的方程?????x数m的取值范围是

（A）?e?,??? （B） ???,e?? （C） ?0,e? （D）?1,e? 13、平和一中赖平民、福鼎一中陈尔明 已知函数f(x)?lnx?a?1，a?R． x??1e????1?e?（Ⅰ）若函数f(x)的最小值为0，求a的值； （Ⅱ）证明：ex?(lnx?1)sinx?0． 14、泉州第五中学 徐明杰 李晖

b2?1?x2?a2?1?y2?x2y2定义椭圆2?2?1?a?b?1?和椭圆??1互为“友好椭22abba11圆”.已知C1,C2为“友好椭圆”，且它们的离心率分别为和.

23（Ⅰ）求C1,C2的方程；

（Ⅱ）已知A,B两点分别在C1,C2上，且OA?OB，试判断直线AB和圆

C:x2?y2?1的位置关系，并说明理由。

15、福建省泉州市第七中学 陈景文 13615916872 邮编362000

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【题目】如图，已知甲在岸上A点处发现乙在B点处落水呼救，点B离岸上AC距离

BC?30米，?BAC?15?.甲在岸上跑步速度是水中游泳速度的2倍，甲在水中游泳速度为2米/秒，设甲从A点到B点的时间为t秒，则t的最小值为 .

16、泉州市第七中学 吴宝树；泉州市第五中学 杨苍洲 导数及其应用

题1

：已知函数f?x??lnx?ax在?1,???上单调递减．

（Ⅰ）求实数a的取值范围； （Ⅱ）当实数a取得最小值时，

（ⅰ）证明：若x1?x2，且x1?x2?2，则f?x1??f?x2?；

（ⅱ）观察函数f?x?的图象，结合（ⅰ）的结论解答下述问题：当f?x1??f?x2?时，写出x1?x2的取值范围（不需证明）． 17、厦门第一中学 陈恬

x2y2设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的

ab点,PF2?F1F2,PF1的斜率k?(0,A. (0,3),则C的离心率取值范围是( ) 3C. (0,)

3) 3B. (3,1) 313D. (,1)

1318、晋江二中 林建彬 已知函数f?x??ln?1?x??a2x?x. 2（1）当a?0时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程 （2）若f?x??0对x??0,???都成立，求a的取值范围； （3）已知数列{an}满足a1?1， an?1?ln(1?an)?求证：a1?a2?a3?...?an?2

19、福州一中+陈新栋 圆锥曲线与方程

1an(n?N*) 2 5 / 35

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