第四章 IIR数字滤波器设计和实现

第四章 IIR数字滤波器设计和实现

概述：滤波器定义

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滤波器：选择所需的某一或某些频带的信号而抑制不需要的其它频带的信号。 通带：滤波器中能使信号通过的频带，通带边缘所对应的频率称为通带截止频率。 阻带：抑制噪声通过的频带。 过渡带：从通带到阻带的过渡频率范围。

通带

过渡带

阻带

概述：滤波器分类 输入输出信号：模拟和数字滤波器 DF按照单位取样响应或实现网络结构又分为： IIR DF和 FIR DF,又称递归型和非递归型DF

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通频带： 低通滤波器：只允许低频信号通过而抑制高频信号。例如，可用低通滤波器消除旧音乐录音带中的背景噪声。 高通滤波器：只允许高频信号通过而抑制低频信号。例如，声纳系统可用高通滤波器消除信号中的船和海浪的低频噪声，保留目标特征。 带通滤波器：允许某一频带的信号通过。例如，数字电话双音多频 (DTMF)信号的解码，每个电话键产生一对音频信号，其中一个信号对按键的行编码，另一个对列编码，接收端通过一组带通滤波器来识别每个按键。 带阻滤波器：抑制某一频带的信号。例如，从复合电视信号中滤除频分复用的色度信号，以便得到亮度信号。 全通滤波器

概述：滤波器分类

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概述：性能指标一、DF频响的三个参量数字滤波器的系统函数为H(z),它在z平面单位圆上的值为滤波器频率响应H(e jω),表征滤波器频率响应特性的三个参量是幅度平方响应，相位响应和群延时。逼近问题或系统函数的设计问题，都涉及ω的频率响应H(e jω)。

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1、幅度平方响应H (ej

)

2

H (e

j

) H * (e

j

) H (e

j

) H (e

j

)

H(z)H(z 1) z ej

2、相位响应H (e ) H (e ) ej j j ( e j )

Re[ H (e j )] j Im[ H (e j )]

Im[H (e j )] (e j ) tg 1 j Re[ H (e )]

3、群延迟d ( e j ) ( e j ) d 它表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，就是表示每个频率分量的延迟相同。

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二、理想低通滤波器逼近的误差容限DF容限图：

(1)频率变量以数字频率ω表示，ω=ΩTs,Ω为模拟角频率，Ts为抽样时间间隔； (2)以数字抽样频率

ωs=Ω s×Ts=2πfs×Ts= 2π为周期；(3)频率特性只限于│ω│≤ωs/2=π范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。

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数字域性能指标 通带截止频率ωp 带内波动Ap(dB,相对指标)或带内容限δp(绝对指标) 阻带截止频率ωs 阻带衰减 As(dB,相对指标)或阻带容限δs(绝对指

标)。|H(ejω)|

1+δp 1 1-δp

理想特性通带波动

Butterworth, Chebyshev,Cauer(椭圆)

绝对指标δs 0 0 Ap

过渡带阻带衰减ω

ωp相对指标过渡带

ωs通带波动

πω

As|H(ejω)|/ dB

容差图

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由上图所示，由于绝对指标|H(ejω)|max=(1+δp),因此，存在如下关系式: 2 0 lo g 1 0| H ( e jw )| dB jw| H ( e )|m a x

绝对指标 1 p H (e j ) 1 p p j s H (e ) s

相对指标Ap 20lg 1 p 1 p 0 ( 0)

s 0 ( 1) As 20lg 1 p

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二、DF设计步骤 性能指标确定按需要确定滤波器的性能要求，比如确定所要设计的滤波器是低通、高通、带通还是带阻，截止频率是多少，阻带的衰减有多大，通带的波动范围是多少等。 系统函数确定用一个因果稳定的系统函数(或差分方程、脉冲响应h(n))去逼近上述性能要求。此系统函数可分为两类，即 IIR系统函数与 FIR系统函数。因此应先确定采用哪种类型滤波器，再按照这类滤波器的设计方法求得其系统函数。 算法设计用一个有限精度的运算去实现这个系统函数(速度、开销、稳定性等)。这里包括选择算法结构，如级联型、并联型、正准型、横截型或频率取样型等等；还包括选择合适的字长以及选择有效的数字处理方法等。 实施方法硬件实现、软件实现。

IIR DF设计方法

IIR DF概述：设计方法

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用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近给定的性能要求。

Y (z) H (z) X (z)

bk z k 1 ak z kk 1 k 0 N

M

A

(z c ) (z d )i 1 i i 1 N i

M

ci是零点 di是极点

对于IIR滤波器的逼近问题，就是找滤波器的各系数ak和bk或者零极点 ci、di,使得在规定的意义上(例如最小均方误差或最大误差最小)逼近一个所要求的特性。

在S平面上逼近，得到模拟滤波器； 在Z平面上逼近，得到数字滤波器。

IIR DF概述：设计方法Pole-Zero Plot

第 13页1 w=π/2 0.8 0.6 0.4

直接设计 累试(只适用于简单 DF的设计); 极点 幅频响应峰值； 零点 幅频响应谷值 设置其零极点以达到简单的性能要求 特点：简单，但是需要经验。Imaginary Part

ejww=π 0 0.45 w=0

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -12 Magnitude Response

-1

-0.5

1.8 1.6 M g itu e an d 1.4 1.2 1 0.8 0.6

0 Real Part

0.5

1

0

0.2

0.4 0.6 frequency Unit:pi

0.8

1

优化设计 CAD步骤：①优化原则—先确定一个最佳准则，如最小均方误差准则，绝对误差准则等;②赋予初值;③根据优化准则计算误差;④改变参数赋值，再次计算误差，如此迭计算

机辅助设计法一般得不到闭合形式的表达式代下去，直至误差达到最小。

IIR DF概述：设计方法

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最优化过程示意图是

输出参数

要求设计的滤波器

误差计算

是否符合要求否

初始逼近

重新调整滤波器参数

误差计算方法有最优化原则所决定；参数的调整方法也与此有关；

IIR DF概述：设计方法 间接设计:用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器(模拟原型法) (模拟滤波器的设计理论已相当成熟，并可利用完备的图、表加快设计过程)数字滤波器的性能指标模拟低通原型 (归一化的模拟低通滤波器)

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Hp(s) Hp(s)模拟频率变换 (低通原型 低通、带通、带阻、高通) Ha(s)数字化数字化 (数字低通原型) Hp(z)数字频率变换 (低通原型 低通、带通、带阻、高通)

H(z)

模拟-数字滤波器变换方法：多数用冲激响应不变法和双线性变换法。也就是根据什么准则把 Ha(S)转换为 H(z)。

IIR DF概述：设计方法 本章主要讲述利用模拟原型设计 IIR DF的方法 根据 IIR滤波器设计的基本技术，引出两种设计方法：方法1:模拟低通滤波器设计模拟频带变换 S→S模拟/数字滤波器变换 S→Z IIR滤波器

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方法2:模拟低通滤波器设计模拟/数字滤波器变换 S→Z数字频带变换 Z→Z IIR滤波器

IIR DF概述：设计方法在 Matlab中提供了设计数字滤波器和模拟滤波器的函数(Bessel滤波器除外，它仅有模拟形式),包括低通、高通、带通、带阻形式等，如下表所示。对大多数滤波器来讲，都可以得到满足指标要求的最低阶次滤波器。IIR DF设计方法函数

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模拟原型

1)完成设计的函数 besself、butter、cheby1、cheby2、ellip 2)阶次估计函数 buttord、cheb1ord、cheb2ord、ellipord 3)低通模拟原型函数 besselap、buttap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap 3)频率转换函数 lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs 3)滤波器离散化函数(模拟数字滤波器变换) impinvar(冲激响应不变法) bilinear(双线性变换法) Yulewalk 1. 2.时域模型函数 lpc、prony、stmcp频域模型函数 invfreqz、invfreqs

直接设计参数化模型

根据模拟滤波器设计IIR数字filter方法原因：

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(1)AF设计方法已发展的很完善，有了许多高效率设计方法。不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数也已经表格化，现成图表、资料可供设计DF使用； (2)许多应用场合DF所完成的任务和AF相同，就其滤波功能而言二者是一样的;

步骤：(1)将DF的技术指标转换成AF的技术指标； (2)按转换后技术指标、设计模拟低通filter的Ha(s); (3)将Ha(s)变换成H(z),即进行滤波器变换(由s平面 z平面)

,得到 DF的系统函数H(z);变换方法有微商-差商法，阶跃响应不变法、匹配z变换法、冲激响应不变法、双线性变换法等；; (4)如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指标。

§4.4冲激响应不变法

引言模拟低通滤波器(ALF)设计完毕以后，用模拟低通滤波器设计数字低通滤波器，就是将Ha(s)变换成H(z),也就是将s平面映射到z平面——复变函数的映射变换。这种变换应遵循两个基本目标： (1)H(z)的频率响应应该模仿 Ha(s)的频率响应，即S平面虚轴应映射到Z平面的单位圆上，即Ha(s)的频率选择性通过变换之后H(z)仍应保持。 (2)Ha(s)的因果稳定性通过变换之后， H(z)仍应保持，即S平面的左半平面应该映射到Z平面的单位圆内。通常有以下几种方法： (1)冲激响应不变法--保持脉冲响应的形状不变 (2)双线性变换法--保留从模拟到数字的系统函数表示 (3)阶跃响应不变法--保持阶跃响应的形状不变 (4)微商-差商法； (5)匹配z变换法；

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冲激响应不变法 原理 h(n)为DF的单位冲激响应序列，ha(t)为AF的冲激响应，冲激响应不变法就是使h(n)正好等于ha(t)的等间隔抽样值，即h(n)= ha(nT)。 混叠失真抽样信号与原来连续时间信号的频谱之间关系为：

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1 X a ( ) T

k

X

a

( k s )

n

x(nT ) e

j n T

模拟滤波器的冲激响应ha(t)也是一个模拟信号,因此DF的频响是AF的频响的周期延拓：

H (e

j T

)

n

h(n)e

jn T

1 T

k

Hk

a

( k s )

H (e ) jw

n

h(n) e

j nw

1 T

H a ( w 2 k )

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