2018年全国各地高考数学模拟试题《圆锥曲线与方程》解答题试题汇

2018年全国各地高考数学模拟试题

《圆锥曲线与方程》解答题试题汇编（含答案详解）

1．（2018?江苏模拟）已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离． 2．（2018?四川模拟）已知椭圆左顶点A1（﹣4，0）． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．若∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由． 3．（2018?济宁一模）已知椭圆C：

椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．

（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为

，求椭圆..的方程；

，直线l：y=kx+1（k≠0）与（a＞b＞0）的左焦点F（﹣2，0）

（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2018?红桥区一模）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，椭

圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．

5．（2018?南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＞b＞0）的离心率为

+=1（a

，两条准线之间的距离为4

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．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．

6．（2018?香坊区校级三模）已知椭圆的左右焦点分别为F1，

F2，P在椭圆上（异于椭圆C的左右顶点），过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|=2（O为坐标原点），椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4． （1）求椭圆的方程；

（2）若直线l：x=my+4（m∈R）与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A1，直线A1B交x轴于点D，求证：点D的横坐标为定值；并求当三角形ABD的面积最大时，直线l的方程．

7．（2018?枣庄二模）已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜1）上的点P（m，1）到其焦点F的距离为． （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点．

8．（2018?沈阳三模）已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）过点A（2，1），且它的焦点F也是椭圆C2：小值为2．

（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程； （Ⅱ）设M，N是抛物线C1上的两个动点，且

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（a＞b＞0）的一个焦点，椭圆上的点到焦点F的最

=﹣4．

①求证：直线MN必过定点，并求定点Q坐标；

②直线MN交椭圆C2于R、S两点，当S△FNS最大时，求直线MN的方程． 9．（2018?焦作四模）已知椭圆Γ：四个顶点围成的四边形的面积为4． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；

（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值． 10．（2018?宣城二模）已知椭圆

在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设AB是椭圆的一条弦，斜率为k（k≠0），N（t，0）是x轴上的一点，△ABN的重心为M，若直线MN的斜率存在，记为k'，问：t为何值时，k?k'为定值？

（a＞b＞0）的离心率为

，点

的离心率为

，椭圆的

11．（2018?洛阳一模）已知点M，N分别是椭圆顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是（1）求椭圆C的方程；

的左右

，椭圆的离心率为．

（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围． 12．（2018?江西二模）已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）过点

，且两

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个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）． （1）求E的方程；

（2）若A，B，P为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且四边形OAPB的面积为定值．

13．（2018?聊城一模）已知圆x2+y2=4经过椭圆C：

的两个，求证：

焦点和两个顶点，点A（0，4），M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠MAN的平分线在y轴上，|AM|≠|AN|． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）证明：直线MN过定点． 14．（2018?定远县模拟）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

?

，其=16

左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且|OP|=5，（O为坐标原点）． （1）求椭圆C的方程；

（2）过点S（0，﹣1）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

15．（2018?南充模拟）已知椭圆C：（2，1）在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程；

（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围． 16．（2018?成都模拟）已知椭圆C：F2，左顶点为A，离心率为为

．

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+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M

的左右焦点分别为F1，

，点B是椭圆上的动点，△ABF1的面积的最大值

（1）求椭圆C的方程；

（2）设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l'．若直线l'与直线l相交于点P，与直线x=2相交于点Q，求17．（2018?齐齐哈尔一模）已知椭圆C：别为F1，F2．且椭圆C过点（

，﹣

+

的最小值．

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分

），离心率e=；点P在椭圆C上，延

长PF1与椭圆C交于点Q，点R是PF2中点． （I）求椭圆C的方程；

（II）若O是坐标原点，记△QF1O与△PF1R的面积之和为S，求S的最大值． 18．（2018?广元模拟）已知椭圆C：点

在椭圆C上．

的右焦点

，

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为

（λ为实数），求λ的值．

19．（2018?上城区校级模拟）如图，焦点在x轴上的椭圆C1与焦点在y轴上的椭圆C2都过点M（0，1），中心都在坐标原点，且椭圆C1与C2的离心率均为（Ⅰ）求椭圆C1与椭圆C2的标准方程；

（Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与C1，C2交于点A，B（点A、B不同于点M），当△MAB的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值．

．

20．（2018?唐山一模）已知椭圆Γ：（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶

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点为A，长轴长为，B为直线l：x=﹣3上的动点，M（m，0）（m＜0），AM

⊥BM．当AB⊥l时，M与F重合． （1）若椭圆Γ的方程；

（2）若C为椭圆Γ上一点，满足AC∥BM，∠AMC=60°，求m的值．

21．（2018?南平二模）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3． （Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且

=5，求直线l方程．

22．（2018?洛阳三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，试问直线AE是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 23．（2018?资阳模拟）已知椭圆C：点

．

的离心率

，且过

（1）求椭圆C的方程； （2）过P作两条直线l1，l2与圆于M，N两点．

①求证：直线MN的斜率为定值；

②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）． 24．（2018?辽宁模拟）已知M（

）是椭圆C：

．

（a＞b＞0）上的相切且分别交椭圆

一点，F1F2是该椭圆的左右焦点，且|F1F2|=2（1）求椭圆C的方程；

（2）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的

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斜率分别为k1，k2，k3，且k1k2=k2．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．

25．（2018?上海模拟）已知点F1、F2为双曲线C：

的左、右焦点，

过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°．圆O的方程是x2+y2=b2． （1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求

的值；

（3）过圆O上任意一点Q（x0，y0）作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：

26．（2018?衡阳一模）已知椭圆

F2，离心率为，直线y=1与C的两个交点间的距离为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．

．

的左、右焦点分别为F1、．

27．（2018?江苏一模）已知椭圆C：

，点A是椭圆的下顶点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（a＞b＞0）经过点，

（2）过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线y=x分别相交于E，F两点，已知

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OE=OF，求直线l1的斜率． 28．（2018?太原一模）已知椭圆为F2（2，0），点（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

29．（2018?成都模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，若抛物线C过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆O的切线为准线，F为抛物线的焦点，点F的轨迹为曲线C′． （1）求曲线C′的方程；

（2）过点B作直线L交曲线C′与P，Q两点，P，P′关于x轴对称，请问：直线P′Q是否过x轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点E的坐标 30．（2018?陕西一模）已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和

，面积为3

在椭圆C上．

的左顶点为A，右焦点

F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为的等腰梯形． （1）求椭圆的方程；

（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值． 31．（2018?海淀区一模）已知椭圆C：

（a＞b＞0）的离心率为

，

且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点． （I）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论． 32．（2018?朝阳三模）如图，椭圆点M到椭圆的两焦点的距离之和为（1）求椭圆C的标准方程；

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经过点

．

，且

（2）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS交于点P，O为坐标原点，求证：P，O，M三点共线．

33．（2018?海南一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为

，A，F分别为椭圆的上顶点和右焦点，△AOF的面积为，直线

AF与椭圆交于另一个点B，线段AB的中点为P． （1）求直线OP的斜率；

（2）设平行于OP的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，且与直线AF交于点Q，求证：存在常数λ，使得

．

+

=1（a

34．（2018?徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

＞0，b＞0）的离心率为，且过点（1，）．F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭圆于C，D两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若AF=FC，求

的值；

（3）设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2=mk1，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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35．（2018?全国一模）已知椭圆

焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且（1）求椭圆C的标准方程；

过抛物线M：x2=4y的

．

（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．

36．（2018?安庆模拟）已知椭圆C：过点（﹣2，

）．

（a＞b＞0）的离心率为

，且

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（2，0）的直线与椭圆C交于M，N两点，若存在Q（xQ，0）使得∠MQO=∠NQO，求xQ的值（O为坐标原点）．

37．（2018?凉山州模拟）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：x轴上方两点，且x1+x2=2．

（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程； （2）求直线AB在y轴上截距的最小值．

38．（2018?江苏二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆

的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线

PB1的方程为y=x+3时，线段PB1的长为（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．

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+y2=1上位于

．

因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解， 所以 则

，解得

（

． ）

所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2． 方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1）， 所以

，直线PA的方程为

，

同理：直线PB的方程为，

直线PA与直线x=4的交点为，

直线PB与直线x=4的交点为若以MN为直径的圆与x轴相交， 则

，

，

即，

即．

因为代入得到该圆的直径为

，所以

，解得

，

．

，

圆心到x轴的距离为，

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该圆在x轴上截得的弦长为

所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．

；

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用圆的方程，以及直线和圆相交的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 5．

【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=出．

（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，可得AB=2AM，即点M为AB的中点．A（﹣2，0）．设M（x0，y0），利用中点坐标公式可得：B（2x0+2，2y0）．由+

=，

+

=1，联立解出，即可得出直线AB的方程．

，

=4

，

，

=4

，解出即可得

【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=解得a=2，c=b=

．

+

=1．

∴椭圆的方程为：

（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM， ∴点M为AB的中点． ∵椭圆的方程为：

+

=1．∴A（﹣2，0）．

设M（x0，y0），则B（2x0+2，2y0）． 由

+

=，

+

=1， ≤x0≤

．

化为：

﹣18x0﹣16=0，

解得：x0=﹣． 代入解得：y0=

，

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∴kAB=，

（x+2）．

因此，直线AB的方程为：y=

【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 6．

【分析】（1）由题意可得ab=2，延长F2Q交直线F1P于点R，由垂直平分线性质，以及椭圆的定义、三角形的中位线定理可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程； （2）联立直线l和椭圆方程，运用韦达定理和直线方程，令y=0，化简可得定值；再由S△ABD=?3|y1﹣y2|，结合韦达定理和换元法、基本不等式可得最大值和直线l的方程．

【解答】解：（1）椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4， 可得?2a?2b=4，即ab=2，

延长F2Q交直线F1P于点R，由垂直平分线性质可得F2P=PR，

由Q为F2R的中点，O为F1F2的中点，可得OQ=F1R=（PF1+PF2）=a=2， 解得b=1， 则椭圆方程为

+y2=1；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），A1（x1，﹣y1）， 直线l：x=my+4，联立椭圆方程x2+4y2=4， 可得（m2+4）y2+8my+12=0， 即有y1+y2=﹣

，y1y2=

，

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直线A1B的方程为y+y1=（x﹣x1），

令y=0，xD==4+

=4﹣3=1；

=

S△ABD=?3|y1﹣y2|==设S△ABD=

=6

，

=t（t≥0），则m2=12+t2， =

≤

=，

当t=4，m=±2

时，S△ABD=的最大值为，

y﹣4=0．

直线l的方程x±2

【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和垂直平分线性质、三角形的中位线定理，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查三角形的面积的最值，注意运用基本不等式，属于中档题． 7．

【分析】（Ⅰ）通过点在抛物线上，以及抛物线的定义，列出方程求解可得C的方程；

（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣1），联立直线与抛物线方程，设A（x1，y1），由韦达定理，求出A的坐标，直线PB的斜率为．得到B的坐标，通过直线的向量是否垂直，求出直线l的方程，然后求解定点坐标．

证法二：由（1），得P（1，1）．若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），

．推出l的斜率必存在．设l的斜率为k，显然k

≠0，设l：y=kx+t，利用直线方程与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），

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利用韦达定理，转化求解直线l：y=kx﹣1．即可说明l过定点（0，﹣1）． 证法三：由（1），得P（1，1）．设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．由

消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．判别式△=n2+4t＞0．设A（x1，

y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②，转化求解l：x=n（y+1）．说明l过定点（0，﹣1）．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2pm=1，即由抛物线的定义，得由题意，

．解得

．

，或p=2（舍去）．

．

所以C的方程为y2=x．

（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣1），则y=kx+1﹣k． 由

消去y并整理得k2x2+[2k（1﹣k）﹣1]x+（1﹣k）2=0．

设

A（x1，y1），由韦达定理，得

，即

.

由题意，直线PB的斜率为．

=．所以．

同理可得

，即B（（k2﹣1）2，k﹣1）．

若直线l的斜率不存在，则．解得k=1，或k=﹣1．

当k=1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符； 当k=﹣1时，直线PA与直线PB的斜率均为﹣1，A，B两点重合，与题意不符． 所以，直线l的斜率必存在．

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