高考数学2009年高考试题 - 数学（重庆卷）（理）

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高考数学2021高考全国乙卷推荐度：
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知识改变命运，学习成就未来

一、选择题

1．直线y?x?1与圆x?y?1的位置关系为（） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离

A．(

158,) 33B．(15,7) 3C．(,)

48335i=（） zA．2?i B．2?i C．?2?i D．?2?i

243．(x2?)8的展开式中x的系数是（）

x2．已知复数z的实部为?1，虚部为2，则

A．16 D．1120

B．70

C．560

D．(,7)

43二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．

11．若A?x?Rx?3，B?x?R2?1，则

???x?A?B? ．

12．若

f(x)?(b?a)?2，4．已知a?1,b?6,a?则向量a与向量b的夹角是（）

A．

1?a是奇函数，则x2?1a? ．

13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．

14．设a1?2，an?1?? 6B．

? 4C．

? 3D．

? 25．不等式x?3?x?1?a?3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）

A．(??,?1]?[4,??) B．(??,?2]?[5,??) C．[1,2]

D．(??,1]?[2,??)

2a?22*，bn?n，n?N，

an?1an?1则数列?bn?的通项公式bn= ．

x2y215．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦

ab点分别为F1(?c,0),F2(c,0)，若双曲线上存在一点P使

6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙

馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）

A．

82548 B． C． D919191．

sinPF1F2a?，则该双曲线的离心率的取值范围60sinPF2F1c 91是．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）

设函数f(x)?sin(7．设?ABC的三个内角A,B,C，向量

m?(3sinA,sinB)，n?(cosB,3cosA)，若

m?n?1?coA?sB(，则C=（）

A．

?x??x?)?2cos2?1． 468? 6B．

? 3C．

2? 3D．

5? 6（Ⅰ）求f(x)的最小正周期．

（Ⅱ）若函数y?g(x)与y?f(x)的图像关于直线

2x2?ax?b)?2，8．已知lim(其中a,b?R，则a?bx??x?1的值为（）

A．?6 B．?2

C．2

04x?1对称，求当x?[0,]时y?g(x)的最大值．

3 17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为

D．6

9．已知二面角??l??的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面?和平面?所成的角都是25的直线的条数为（）

A．2 B．3 C．4

10．已知以T?40 D．5 为周期的函数

??m1?x2,x?(?1,1]，其中m?0。若方程f(x)????1?x?2,x?(1,3]恰有5个实数解，则m的取值范围为（） 3f(x)?x21和，且各株大树32是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

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知识改变命运，学习成就未来

（Ⅱ）成活的株数?的分布列与期望． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）设函数f(x)?ax?bx?k(k?0)在x?0处取得极值，且曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线

2点Q满足x2?y2?1上的点，N是点M在x轴上的射影，

?????????????????????条件：OQ?OM?ON，QA?BA?0．求线段QB的中

点P的轨迹方程；

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

设m个不全相等的正数a1,a2,?,am(m?7)依次围成一个圆圈．

（Ⅰ）若m?2009，且a1,a2,?,a1005是公差为d的等差数列，而a1,a2009,a2008,?,a1006是公比为q?d的等比

x?2y?1?0．

（Ⅰ）求a,b的值；

数列；数列a1,a2,?,am的前n项和Sn(n?m)满足：ex（Ⅱ）若函数g(x)?，讨论g(x)的单调性． f(x)S3?15,S2009?S2007?12a1，求通项an(n?m)； 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）如题（19）图，在四棱锥S?ABCD中，AD?BC且

（Ⅱ）若每个数an(n?m)是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a1???a6?a7???am?ma1a2am；

绝密★启用前

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题（理工农医类）答案

一、选择题：每小题5分，满分50分 . (1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C

(7) C (8) D (9) B (10) B. 二．填空题：每小题5分，满分25分 . (11) (0,3) (12) (15) (1, 2?1) 三．解答题：满分75分 . (16)（本小题13分）

解：

22AD?CD；平面CSD?平面ABC，

CS?DS,CS?2AD?2；E为BS的中点，CE?2,AS?3．求：

（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；

（Ⅱ）二面角E?CD?A的大小． 20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为

1n?1 (13) 36 (14) 2 2433y?，离心率e?，M是椭圆上的动点．

32（Ⅰ）若C,D的坐标分别是(0,?（Ⅰ）

3),(0,3，求)MC?MD的最大值；

（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为(1,0)，B是圆

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知识改变命运，学习成就未来

f(x)=sin?4xcos?6?cos?4xsin?6?cos?4x

P(Ak)?Ck2()k()2?k2313 ,

3?3?sinx?cosx =2424 =3sin(11P(Bl)?Cl2()l()2?l .

22 据此算得

?x?) 432?? 故f(x)的最小正周期为T =

?4 =8

144 , P(A1)? , P(A2)? . 999111 P(B0)? , P(B1)? , P(B2)? .

424 P(A0)? (Ⅰ) 所求概率为

P(A2?B1)?P(A1)?P(B1)? (Ⅱ) 解法一：

?的所有可能值为0，1，2，3，4，且

(Ⅱ)解法一：

在y?g(x)的图象上任取一点(x,g(x))，它关于

412?? . 929x?1的对称点(2?x,g(x)) .

由题设条件，点(2?x,g(x))在y?f(x)的图象上，从而

g(x)?f(2?x)?3sin[ =3sin[111 , P(??0)?P(A0?B0)?P(A0)?P(B0)???9436

?(2?x)?] 43???2?x?]

43?11411P(??1)?P(A0?B1)?P(A1?B0)????? ,

92946

x?) 433???2? 当0?x?时，?x??，因此

434334y?g(x)在区间[0,]上的最大值为

333cos? gma? x32 解法二：

因区间[0,]关于x = 1的对称区间为[,2]，且

=3cos(??114141P(??2)?P(A0?B2)?P(A1?B1)?P(A2?B0)??????949294

13 , 36?41411P(??3)?P(A1?B2)?P(A2?B1)????? .

94923411 P(??4)?P(A2?B2)??? .

94923综上知?有分布列

43y?g(x)与y?f(x)的图象关于

x = 1对称，故y?g(x)在[0,]上的最大值为

? 43P 从而，?的期望为

0 1/36 1 1/6 2 13/36 3 1/3 2y?f(x)在[,2]上的最大值

3 由（Ⅰ）知f(x)＝3sin( 当

?x?) 43?E??0??111311?1??2??3??4? 36636392?????x?2时，???? 364364 因此y?g(x)在[0,]上的最大值为

3 gmax?3sin(17)（本小题13分）

解：设Ak表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2 Bl表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2 则Ak，Bl独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

7（株） 3解法二：

分布列的求法同上

令?1，?2分别表示甲乙两种树成活的株数，则

?6?3 . 22132241故有E?1=2?=，E?2?2??1

3327从而知E??E?1?E?2?

3?1:B(2,)，?2:B(2,)

18、（本小题13分）

解（Ⅰ）因f(x)?ax?bx?k(k?0),故f?(x)?2ax?b 又f(x)在x=0处取得极限值，故f?(x)?0,从而b?0

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知识改变命运，学习成就未来

由曲线y=f(x)在（1，f（1））处的切线与直线x?2y?1?0相互垂直可知

该切线斜率为2，即f?(1)?2,有2a=2,从而a=1

(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作EG?CD,交CD于点G，又过G点作GH?CD,交AB于H，故?EGH为二面角

记为?，过E点作EF//BC,交CS于E?CD?A的平面角，

点F,连结GF,因平面

ex（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)?2(k?0)

x?kex(x2?2x?k)g?(x)?(k?0) 22(x?k)令g?(x)?0,有x?2x?k?0 （

）

当

2ABCD?平面CSD,GH?CD,易知GH?GF,故

???2??EGF.

1CS?1,在2,

因

由于E为BS边中点，故CF?Rt?CFE中，

EF?CE2?CF2?2?1?1?4k 即当?k>1时，4g?(x)>0在?R上恒成立，0?EF?平面CSD，又EG?CD

故由三垂线定理的逆定理得FG?CD,从而又

故函数g(x)在R上为增函数

（

）

当

可得?CGF:?CSD,

?4k即当?k=1时，4??因此

GFCF而在Rt?CSD中， ?DSCDex(x?1)2g?(x)?2?0(x?0) 2(x?k)K=1时，g（x）在R上为增函数

（3）??4?4k?0,即当0

2CD?CS2?SD2?4?2?6,CF11

故GF??DS??2?CD63在Rt?FEG中，tanEGF?故所求二面角的大小为???EF?3可得?EGF?，

3FG

?6x1?1?1?k,x2?1?1?k 当

解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC

分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设A(xA,yA,zA)，x?(??,1?1?k)是g?(x)?0,故g(x)在（??,1?1?k)上为增函数当

因

平

面

x?（1?1?k,1?1?k）时，g?(x?)故0COD?平面ABCD,AD?CD,故AD?平面COD uuuv即点A在xoz平面上，因此yA?0，zA?AD?1

g(x)在（1?1?k,1?1?k）上为减函数

x?（1?1?k，+?）时，

g?(x?)故

又

uuv2x?1?AS?3,xA?22A2 g(x)在（1?1?k，+?）上为增函数

（19）（本小题12分）解法一：（Ⅰ）因为

AD//BC,且BC?平面BCS,所以

从而（A2，0，1）

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面 yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为

xA?2.

(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.

ΔBCS为直角三角形 ,

AD/平面/BC,SA点到平面BCS的距离等于D点到从而

平面BCS的距离。因

为

平

面

CS?平面Duuvuuv BS?，AB?C,D故A知DC2CED?22

设B(0,2, ZB)，ZB＞0，则ZA＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .

在CD上取点G，设G（x1,y1,0），使GE⊥CD .

由CD?(2,?2,0),GE?(?x1,?y1?1,1),CD?GE?0故

AD?平面CSD,从而AD?SD，由AD//BC，得

?,又由CS?DS知DS?平面BCS，从而

DS为点A到平面BCS的距离，因此在Rt?ADS中 DS?AS?AD?3?1?2 22uuuvuuuvuuuvuuuv欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：zxjkw@163.com

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知识改变命运，学习成就未来

2x1?2(y1?1)?0 ①

???????? 因为QA?BA?0,

uuuvuuuvuuuv又点G在直线CD上，即CG//CD，由CG=（x1,y1?2,0），

则有(1?xQ?yQ)?(1?xN?yn)?(1?xQ)(1?xN)?yQyN?0,

x12?y1?2 ② ?2所以 xQxN?yQyN?xN?xQ?1. ② 记P点的坐标为(xP,yP)，因为P是BQ的中点所以 2xP?xQ?xP,2yP?yQ?yP 由因为 xN?yN?1，结合①，②得

2224,,0) , 联立①、②，解得G＝(33uuuv22,?,1).又由AD⊥CD，故GE=(?所以二面角E－CD－A33的平面角为向量GE与向量DA所成的角，记此角为? .

uuuvuuuvuuuv23uuuvuuuvuuuvuuuv因为GE=，DA?(0,0,1),DA?1,GE?DA?1,所

3以

uuuvuuuvGE?DA3 cos??uu uvuuuv?2GE?DA故所求的二面角的大小为

122xP?yP?((xQ?xN)2?(yQ?yN)2)

412222 ?(xQ?xN?yQ?yn?2(xQxN?yQyN))

41 ?(5?2(xQ?xN?1))

43 ??xP

4故动点P的估计方程为

?. 61(x?)2?y2?1

2（21）（本小题12分）

(20)（本小题12分）

解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程

,1a 解：（I）因a1,a2009,a2008,???006是公比为d的等比

2x2y2为2?2?1（a ＞b＞ 0 ）. ab43 设c?a?b，由准线方程y?得.由

322数列，从而a2000?a1d,a2008?a1d 由

S2009?S2008?12a1得a2008?a2009?12a1，故

解得d?3或d??4（舍去）。因此d?3 又 S3?3a1?3d?15。解得a1?2

从而当n?1005时，

e?3c3得?，解得 a = 2 ,c = 3，从而 b = 1，2a22y2?1 . 椭圆方程为x?4y2?1的焦点，所又易知C，D两点是椭圆x?42以,MC?MD?2a?4

从而MC?MD?(MC?MD2)2?22?4，当且

仅当MC?MD，即点M的坐标为(?1,0) 时上式取等号，MC?MD的最大值为4 .

（II）如图（20）图，设M(xm,ym),B(xB,yB)

an?a1?(n?1)d?2?3(n?1)?3n?1

当1006?n?2009时，由a1,a2009,a2008,???,a1006是公

比为d的等比数列得

????????????? Q(xQ,yQ).因为N(xN,0),OM?ON?OQ，故

xQ?2xN,yQ?yM,

xQ?yQ?(2xM)?y?4 ①

222yan?a1d2009?(n?1)?a1d2010?n(1006?n?2009)

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?3n?1,n?1005因此an?? 2009?n,1006?n?2009?2?3（

2an??1 题

意

m222222a7?K?am?(a7?K?a12)?K?(a6k?5?K?a6k)2　　　　　＝（k-1)　(a12?K?a6)）

2(an?1由

21?an　　　　　＝（k-1)　(a12?m ?1因此由⑤得

?)n?得 1,m?a,1a１１１22＋a?＋a?)?６(k-1)２３222a1a２a３aaam2a　　　　　①　?an?an?1an?1(1?n?m),??am?am?1a1　　　　　　　　　② ?a?aa　　　　　　　　　　③m2?1有①得a3?22a1?a2?a3?K?a6?a7?K?am?6?6(k?1)?6k?m?ma1a2a3Kam

a2a11,a4?,a5?,a6?1 ④ a3a1a2a22由①，②，③得a1a2???an?(a1a2???an)，故a1a2???an?1. ⑤ 又ar?3?ar?2ar?111???(1?r?m?3)，故有 ar?1arar?1arar?6?1?ar(1?r?m?6).⑥ ar?3下面反证法证明：m?6k

若不然，设m?6k?p,其中1?p?5

若取p?1即m?6k?1，则由⑥得am?a6k?1?a1，而由③得am?a1a,故a1?1, a2a2am,从而a6?a6k?am?1,而 a1得a2?1,由②得am?1?a6?a1,故a1?a2?1,由④及⑥可推得an?1（1?n?m）a2与题设矛盾

同理若P=2，3，4，5均可得an?1（1?n?m）与题设矛盾,因此m?6k为6的倍数由均值不等式得

a1?a2?a3?K?a6?(a1?

aa11)?(a2?)?(2?1)?6a1a2a1a2由上面三组数内必有一组不相等（否则a1?a2?a3?1，从而a4?a5?K?am?1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1?a2?a3?K?a6?6 又m?6k，由④和⑥得

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知识改变命运，学习成就未来

?3n?1,n?1005因此an?? 2009?n,1006?n?2009?2?3（

2an??1 题

意

m222222a7?K?am?(a7?K?a12)?K?(a6k?5?K?a6k)2　　　　　＝（k-1)　(a12?K?a6)）