圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_3

圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

金荣生（上海市市北中学 200071）

2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =. 证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E .

若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.

若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （

，

p

）

，

Q

（

，

q

）

，

111131132)(:

x k x x x x x k x k y CE +-?--=,1321

31111131132)

()0(x x k k x x x k x x x x k x k p --=+-?--=,同理242142)

(x x k k x x q --=

, 所以)

()()]()()[(13244321214321x x x x x x x x x x x x k k q p -?-+-+-=+

将x k y 1=代入(*)得0

)()(122

11=+++++F x Ek D x Ck Bk A ,又0=E 得2

1

121Ck Bk A D x x ++-=

+,

2

1

121Ck Bk A F x x ++=

, 同理 22243Ck Bk A D

x x ++-=

+, 2

2

243Ck Bk A F x x ++=，所以0=+q p ，即MQ MP =. 注:2003年高考数学北京卷第18（III ）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB 为平行长轴的弦的特殊情形.

定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有MQ MP =.

证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为02

2

=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A

（11,y x ），B （21,y x ），则切线MA 的方程是02

211=++F y E

x D ，切线

MB 的方程是02

221=++F y E

x D ，得0)(21=-y y E ，所以0=E .（下

面与定理1的证明相同，略）

特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.

性质1：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122

22=±b y a x 的弦CD ，EF 是其焦点轴，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：

m

a x 2

=上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线.

证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则根据定理1，定理2得

MQ MP =.

FH

FM HG

MQ HG

MP HE

EM =

=

=

，

过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得

n

a m a n a m a --=--+，得2

a mn =.

设M （m ，0），H （n ，0），焦点轴长为2a ，则有

注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论2.

若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦

点轴平行的直线，于是得到性质2.

性质2：过点M （m ，0）做抛物线px y 22=

CE 、DF 的连线交点在直线l ：m x -=上.特别的，当M

l 就是过焦点的直线.

注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中2，文[2]中的推论1.

性质3：直线l ：m a x 2=

，过点M （m ，0）做椭圆、与CD 交于点I ，则DI DM CI CM =. DI

DM IG

MQ IG

MP CI

CM

=

=

=

.

证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：

122

22=±b

y a x 的弦CD 、EF ，则直线性质4：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线

CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：m

a x 2

=上.

证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直

线，由定理1，定理2得：

直线l ：m

a x 2

=上，所以点G

DI

DM IG

MQ IG

MP CI

CM =

=

=

，由性质3得，点I 在

在直线l ：m

a x 2

=上.

类似性质3、性质4得到性质5、性质6.

性质5：直线l ：m x -=，过点M （m ，0交于点I ，则

DI

DM CI

CM =

.

性质6：过点M （m ，0）做抛物线px y 22

=的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：m x -=上. 注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M 为焦点时，直线CE 、DF 性质7：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122

22=±b y a x 的弦CD ，则以C ，D m

a x 2

=上.

证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点

外的公共点F ，做直线FM 交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、E 、G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D 与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 1D 是圆锥曲线的切线，G 1与G 重合， G 在直线l 上.

性质8：过点M （m ，0）做抛物线px y 22=的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ： m x -=上.

注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]中的定理1.

性质9：直线l ：m a x 2=，过点M （m ，0）做椭圆、双曲线

2

2y x 的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1，在焦

点轴所在直线上的射影为C 2、D 2，则

2

12

1DD DD CC CC =

.

2

2CC DD DI

CI DM

CM =

=

,所以

证明：如图7，由性质3得：

2

12

1DD DD CC CC =

.

px 2=的弦CD ，C 、D 在l

性质10：直线l ：m x -=，过点M （m ，0）做抛2

1DD DD .

上的射影为C 1、D 1，在对称轴上的射影为C 2、D 2，则

注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]性质11：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两

和EF ，直线CE 与DF 交

FI

FM =

.

于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则

1得：MQ MP =, 所

证明：如图8，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，

以

FI

FM IG

MQ IG

MP EI

EM =

=

=

.

性质12：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交

于点M ，过M 任作两条弦CD 和

EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则

FI

FM EI

EM =

.

性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。

参考文献

1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，7

2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报，2002，6

3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报，2003，

4 4李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报，1999，2

5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ge0j.html