复变函数测验题4

复变函数测验题

第四章 级 数

一、选择题：

(?1)n?ni(n?1,2,?)，则liman( ) 1．设an?n??n?4（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在

2．下列级数中，条件收敛的级数为( )

?1?3in(3?4i)n（A）?( ) （B）?2n!n?1n?1??in(?1)n?i（C） ? （D）?

nn?1n?1n?1?3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )

?1i(?1)ni（A） ?(1?) （B）?[?n]

nn2n?1nn?1??in(?1)nin(C)? （D）? nlnn2n?2n?1??4．若幂级数

?cn?0nzn在z?1?2i处收敛，那么该级数在z?2处的敛散性为( )

（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）不能确定 5．设幂级数

?cn?0?nz,?ncnznn?0?n?1和

cnn?1的收敛半径分别为R1,R2,R3，则z?n?0n?1?R1,R2,R3之间的关系是( )

（A）R1?R2?R3 （B）R1?R2?R3 （C）R1?R2?R3 （D）R1?R2?R3 6．设0?q?1，则幂级数

?qnzn的收敛半径R?( )

n?0?2

1

复变函数测验题

（A）q （B）

1 （C）0 （D）?? q7．幂级数

?n?1?sinn?2(z)n的收敛半径R?( ) n2（A） 1 （B）2 （C）2 （D）??

(?1)nn?18．幂级数?z在z?1内的和函数为

n?0n?1?1?z) （B）ln(1?z) （A）ln(（D）ln11 (D) ln 1?z1?z??eznn9．设函数的泰勒展开式为?cnz，那么幂级数?cnz的收敛半径R?( )

coszn?0n?0（A）?? （B）1 （C）

? （D）? 210．级数

112??1?z?z??的收敛域是( ) 2zz（A）z?1 （B）0?z?1 （C）1?z??? （D）不存在的

11．函数

1在z??1处的泰勒展开式为( ) 2z?n（A）

?(?1)n?1?n(z?1)n?1(z?1?1) （B）?(?1)n?1n(z?1)n?1n?1??(z?1?1)

（C）??n(z?1)n?1n?1(z?1?1) （D）?n(z?1)n?1n?1(z?1?1)

2

复变函数测验题

12．函数sinz，在z???2处的泰勒展开式为( )

(?1)n?（A）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!(?1)n?（B）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)

(z??2???)

(?1)n?1?（C）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!?(z??2???)

(?1)n?1?（D）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)

?13．设f(z)在圆环域H:R1?z?z0?R2内的洛朗展开式为

n????cn(z?z0)n，c为H内

绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么

f(z)?c(z?z0)2dz?( )

(A)2?ic?1 （B）2?ic1 （C）2?ic2 （D）2?if?(z0)

??3n?(?1)n,n?0,1,2,?n14．若cn??，则双边幂级数的收敛域为( ) cz?nn4,n??1,?2,?n????（A）

11?z? （B）3?z?4 4311?z??? （D）?z??? 43（C）

15．设函数f(z)?1在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么

z(z?1)(z?4)m?( c )

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 二、填空题

3

复变函数测验题

1．若幂级数

?cn?0n?n在z?i处发散，那么该级数在z?2处的收敛性(z?i)n为 ． 2．设幂级数

?cn?0?nz与?[Re(cn)]zn的收敛半径分别为R1和R2，那么R1与R2之间的关

n?0?系是 ． 3．幂级数

?(2i)n?0?nz2n?1的收敛半径R? 4．设f(z)在区域D内解析，z0为内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那么当

z?z0?d时，

f(z)??cn(z?z0)nn?0?成立，其中

cn?

1(n)f(z0)(n?0,1,2,?) ． n!5．函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数

?cn?0?的收敛半径为R，那么幂级数nzn?(2n?0?n?1)cnzn的收敛半径

为 ． 7．双边幂级数

?1znn(?1)?(?1)(1?)??22(z?2)n?1n?1n?的收敛域为

1?z?1?2 ．

8．函数e?e在0?z???内洛朗展开式为 ． 9．设函数cotz在原点的去心邻域0?z?R内的洛朗展开式为收敛域的外半径R? ． 10

．

函

数

z1zn????c?nzn，那么该洛朗级数

1z(z?i)在

1?z?i???内的洛朗展开式为

4

复变函数测验题

(?1)nin ． ?n?2n?0(z?i)??1三、若函数在z?0处的泰勒展开式为?anzn，则称?an?为菲波那契(Fibonacci)数21?z?zn?0列，试确定an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式． 四、试证明 1．e?1?ezz?1?zez(z???);

(z?1);

z2．(3?e)z?e?1?(e?1)z五、设函数f(z)在圆域z?R内解析，Sn??k?0nf(k)(0)kz试证 k!11．Sn(z)?2?i???r?n?1?zn?1d?f(?)??z?n?1f(?)d??n?1?(??z)??r?(z?r?R).

zn?1?Sn(z)?2．f(z）2?i?2n(z?r?R)。

n2六、设幂级数?nz的和函数，并计算?n之值.

n?1n?12七、设f(z)???an?0?nz(z?R1),g(z)??bnzn(z?R2)，则对任意的r(0?r?R1)，在

nn?0?z?rR2内?anbnzn?n?012?i??r?zd?。 f(?)g()??八、设在z?R内解析的函数f(z)有泰勒展开式f(z)?a0?a1z?a2z2???anzn??

1试证当0?r?R时

2??2?0f(re)d???anr2n.

i?n?02?2 5

复变函数测验题

九、将函数

ln(2?z)在0?z?1?1内展开成洛朗级数.

z(z?1)十、试证在0?z???内下列展开式成立：

z?1ze?c0??cn(zn??11c?其中)nn??e2cos?cosn?d?(n?0,1,2,?).

n?1z ?06

答案

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