浙江11市2012年中考数学试题分类解析汇编 函数的图象与性质
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浙江11市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题6:函数的图象与性质
一、选择题
1.(2012浙江杭州3分)已知抛物线y?k?x?1??x-??3??与x轴交于点A,B,与y轴交于k?点C,则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是【 】 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B。
【考点】抛物线与x轴的交点。
【分析】根据抛物线的解析式可得C(0,﹣3),再表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标,再根据ABC是等腰三角形分三种情况讨论,求得k的值,即可求出答案:
根据题意,得C(0,﹣3). 令y=0,则k?x?1??x-??3?3,解得x=﹣1或x=。 ?0?k?k设A点的坐标为(﹣1,0),则B(
3,0), k3=1,k=3; k①当AC=BC时,OA=OB=1,B点的坐标为(1,0),∴②当AC=AB时,点B在点A的右面时,
∵AC?1?3?10,∴AB=AC=10,B点的坐标为(10﹣1,0), ∴
22310?1; ?10?1, k?k3③当AC=AB时,点B在点A的左面时,B点的坐标为(10,0),
∴
3310。 ?10, k?k10∴能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是3条。故选B。
2.(2012浙江湖州3分)如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于【 】
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A.5 B.45 C.3 D.4 3
3. (2012浙江衢州3分)已知二次函数y=﹣x﹣7x+
2
,若自变量x分别取x1,x2,x3,
且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是【 】 A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3 C.y2>y3>y1 D.y2<y3<y1 【答案】A。
【考点】二次函数图象上点的坐标特征。
【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系,判断y1、y2、y3的大小关系:
∵二次函数y??x2?7x?1215,∴此函数的对称轴为:2x=?b=?2a?7=?7。 ?1?2?????2?∵?7<0<x1<x2<x3,三点都在对称轴右侧,a<0, ∴对称轴右侧y随x的增大而减小。∴y1>y2>y3。故选A。
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4. (2012浙江台州4分)点(﹣1,y1),(2,y2),(3,y3)均在函数y=y1,y2,y3的大小关系是【 】 A.y3<y2<y1 【答案】D。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,有理数的大小比较。 【分析】由点(﹣1,y1),(2,y2),(3,y3)均在函数y= B.y2<y3<y1 C. y1<y2<y3
D.y1<y3<y2
6的图象上,则x6的图象上,得y1=-6,y2=3,xy3=2。根据有理数的大小关系,-6<2<3,从而y1<y3<y2。故选D。
5. (2012浙江温州4分)一次函数y=-2x+4图象与y轴的交点坐标是【 】 A. (0, 4) B. (4, 0) C. (2, 0) D. (0, 2 ) 【答案】A。
【考点】一次函数图象上点的坐标特征。
【分析】在解析式中令x=0,即可求得与y轴的交点的纵坐标:y=-2×0+4=4,则函数与y轴的交点坐标是(0,4)。故选A。
6. (2012浙江义乌3分)如图,已知抛物线y1=﹣2x+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断: ①当x>0时,y1>y2; ②当x<0时,x值越大,M值越小; ③使得M大于2的x值不存在; ④使得M=1的x值是其中正确的是【 】
或
.
2
A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 【答案】D。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】①∵当x>0时,利用函数图象可以得出y2>y1。∴此判断错误。
②∵抛物线y1=﹣2x+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为
y1、y2,
- 3 -
2
若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M。
∴当x<0时,根据函数图象可以得出x值越大,M值越大。∴此判断错误。 ③∵抛物线y1=﹣2x+2,直线y2=2x+2,与y轴交点坐标为:(0,2),
当x=0时,M=2,抛物线y1=﹣2x+2,最大值为2,故M大于2的x值不存在;
∴此判断正确。
④ ∵使得M=1时,
若y1=﹣2x+2=1,解得:x1=若y2=2x+2=1,解得:x=﹣由图象可得出:当x=2
2
2
2
22,x2=﹣; 221。 22>0,此时对应y1=M。 2∵抛物线y1=﹣2x+2与x轴交点坐标为:(1,0),(﹣1,0), ∴当﹣1<x<0,此时对应y2=M,
∴M=1时,x=12或x=﹣。∴此判断正确。 22因此正确的有:③④。故选D。 二、填空题
1. (2012浙江湖州4分)一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为 ▲
【答案】x=-1。
【考点】一次函数与一元一次方程,直线上点的坐标与方程的关系。
?k?1 ?3?2k?b 【分析】∵一次函数y=kx+b过(2,3),(0,1)点,∴ ? ,解得:? 。
b?11?b??∴一次函数的解析式为:y=x+1。
∵一次函数y=x+1的图象与x轴交与(-1,0)点, ∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-1。
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2. (2012浙江衢州4分)如图,已知函数y=2x和函数y=k的图象交于A、B两点,过点xA作AE⊥x轴于点E,若△AOE的面积为4,P是坐标平面上的点,且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形,则满足条件的P点坐标是 ▲ .
【答案】(0,﹣4),(﹣4,﹣4),(4,4)。 【考点】反比例函数综合题,平行四边形的性质。
【分析】先求出B、O、E的坐标,再根据平行四边形的性质画出图形,即可求出P点的坐标:
如图,∵△AOE的面积为4,函数y=∴反比例函数为y=k的图象过一、三象限,∴k=8。 x8 x8的图象交于A、B两点, x∵函数y=2x和函数y=∴A、B两点的坐标是:(2,4)(﹣2,﹣4), ∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个,
∴满足条件的P点有3个,分别为:P1(0,﹣4),P2(﹣4,﹣4),P3(4,4)。
3. (2012浙江绍兴5分)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y??m。
1(x?4)2?3,由此可知铅球推出的距离是 ▲ 12
【答案】10。
【考点】二次函数的应用。
- 5 -
【分析】在函数式y??1(x?4)2?3中,令y?0,得 12?1, (x?4)2?3?0,解得x1?10,x2??2(舍去)
124(x>o)的图象上,AB⊥x轴于点B,x∴铅球推出的距离是10m。
4. (2012浙江温州5分)如图,已知动点A在函数y=AC⊥y轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC.直线DE分别交x轴,y轴于点P,Q.当QE:DP=4:9时,图中的阴影部分的面积等于 ▲ _.
【答案】
13。 3【考点】反比例函数综合题,曲线上坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EF⊥y轴于点F。
44(x>o)的图象上,∴设A(t,), xt4则AD=AB=DG= ,AE=AC=EF=t。
t∵A在函数y=在Rt△ADE中,由勾股定理,得
?4?DE? AD?AE??? 2?t2??t?22t4+16。 ttt4+16∵△EFQ∽△DAE,∴QE:DE=EF:AD。∴QE=。
44t4+16∵△ADE∽△GPD,∴DE:PD=AE:DG。∴DP=。
t38tt4+164t4+16:3?4:9。解得t2?。 又∵QE:DP=4:9,∴
4t3∴图中阴影部分的面积=AC2?AB2?三、解答题
- 6 -
121212116413t??2??3?。 22t33
1. (2012浙江杭州8分)当k分别取﹣1,1,2时,函数y=(k﹣1)x﹣4x+5﹣k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值. 【答案】解:∵当开口向下时函数y=(k﹣1)x﹣4x+5﹣k取最大值
∴k﹣1<0,解得k<1。
∴当k=﹣1时函数y=(k﹣1)x﹣4x+5﹣k有最大值,当k=1,2时函数没有
最大值。
∴当k=﹣1时,函数y=﹣2x﹣4x+6=﹣2(x+1)+8。 ∴最大值为8。
【考点】二次函数的最值。
【分析】首先根据函数有最大值得到k的取值范围,然后判断即可。求最大值时将函数解析式化为顶点式或用公式即可。
2. (2012浙江杭州12分)在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x+x﹣1)的图象交于点A(1,k)和点B(﹣1,﹣k). (1)当k=﹣2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值. 【答案】解:(1)当k=﹣2时,A(1,﹣2),
∵A在反比例函数图象上,∴设反比例函数的解析式为:y?2
2
2
22
2
m。 xm,解得:m=﹣2。 12∴反比例函数的解析式为:y??。
x将A(1,﹣2)代入得: ?2?(2)∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,∴k<0。
2∵二次函数y=k(x+x﹣1)=k(x?)?k,∴它的对称轴为:直线
2
1254x=﹣
1。 2要使二次函数y=k(x+x﹣1)满足上述条件,在k<0的情况下,x必须
2
在对称轴的左边,即x<﹣
1时,才能使得y随着x的增大而增大。 21∴综上所述,k<0且x<﹣。
2- 7 -
?15? k?。 (3)由(2)可得:Q??,?24?∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形,A点与B点关于原点对称,(如图是
其中的一种情况)
∴原点O平分AB,∴OQ=OA=OB。
作AD⊥OC,QC⊥OC,垂足分别为点C,D。 ∴OQ?CQ2+OC2?1252+k。 416∵OA?AD2+OD2?1+k2, ∴12522+k?1+k2,解得:k=±3。 4163【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,反比例函数和二次函数的性质。
【分析】(1)当k=﹣2时,即可求得点A的坐标,然后设反比例函数的解析式为:y?利用待定系数法即可求得答案;
(2)由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,可得k<0。 又由二次函数y=k(x+x﹣1)的对称轴为x=﹣
随着x的增大而增大。
(3)由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形,A点与B点关于原点对称,利用直
2
m,x11,可得x<﹣时,才能使得y22?15? k?,A(1,角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得OQ=OA=OB,又由Q??,24??k),即可得1252+k?1+k2,从而求得答案。 4163. (2012浙江湖州6分)如图,已知反比例函数y?(1)求这个反比例函数的解析式;
k(k≠0)的图象经过点(-2,8). x(2)若(2,y1),(4,y2)是这个反比例函数图象上的两个点,请比较y1、y2的大小,并说明理由.
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【答案】解:(1)把(-2,8)代入y?kk,得8?,解得:k=-16。 x?216∴这个反比例函数的解析式为y??。
x(2)y1<y2。理由如下:
∵k=-16<0,∴在每一个象限内,函数值y随x的增大而增大。 ∵点(2,y1),(4,y2)都在第四象限,且2<4, ∴y1<y2。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,反比例函数图象上点的坐标特征。 【分析】(1)把经过的点的坐标代入解析式进行计算即可得解。
(2)根据反比例函数图象的性质,在每一个象限内,函数值y随x的增大而增大解答。
4. (2012浙江嘉兴、舟山10分)如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2?图象相交于点A(2,3)和点B,与x轴相交于点C(8,0). (1)求这两个函数的解析式; (2)当x取何值时,y1>y2.
m的x
m,得m=6。 x6 ∴反比例函数的解析式为y2?。
x【答案】解:(1)把 A(2,3)代入y2?把 A(2,3)、C(8,0)代入y1=kx+b,得
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1??2k+b=3?k=?,解得?2。 ?8k+b=0???b=4∴一次函数的解析式为y1=?x+4。
126?y???x1?6?x2?2?x(2)由题意得?,解得?,?。
?y1?1?y2?3?y??1x+4?2?∴从图象可得,当x<0 或 2<x<6 时,y1>y2。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】(1)将A、B中的一点代入y2?m ,即可求出m的值,从而得到反比例函数解x析式;把 A(2,3)、C(8,0)代入y1=kx+b,可得到k、b的值,从而得到一次函数解析式。
(2)求出反比例函数与一次函数图象的交点坐标,根据图象可直接得到y1>y2时x的取值范围。
5. (2012浙江嘉兴、舟山12分)某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出工辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为 元(用含x的代数式表示); (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?
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6. (2012浙江嘉兴、舟山14分)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x上的动点(点在第一象限内).连接 OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m. (1)如图1,当m=2时,
①求线段OP的长和tan∠POM的值;
②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标; (2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E. ①用含m的代数式表示点Q的坐标; ②求证:四边形ODME是矩形.
2
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【答案】解:(1)①把x=2代入 y=x,得 y=2,∴P(2,2),∴OP=6。
∵PA丄x轴,∴PA∥MO.∴tan?POM?tan?OPA?2
2
OP2。 =AP2n222②设 Q(n,n),∵tan∠QOB=tan∠POM,∴.∴n=?。 =?n22321∴Q(?。∴OQ=。 , )
22233∴当 OQ=OC 时,则C1(0,),C2(0,-)。
22当 OQ=CQ 时,则 C3(0,1)。
(2)①∵点P的横坐标为m,∴P(m,m)。设 Q(n,n),
2
2
n2?nBQBO1=2,得n=?。 ∵△APO∽△BOQ,∴。∴=mmAOAPm∴Q(?11。 , 2)
mm2
②设直线PO的解析式为:y=kx+b,把P(m,m)、Q(?代入,得:
11, 2)mm?m2=mk+b?,解得b=1。∴M(0,1)。 ?11?2=??k+bm?m∵
QBOB1,∠QBO=∠MOA=90°,∴△QBO∽△MOA。 =?MOAPm2∴∠MAO=∠QOB,∴QO∥MA。 同理可证:EM∥OD。
又∵∠EOD=90°,∴四边形ODME是矩形。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的判定和性质,锐角三角函数定义,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,矩形的判
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定。
【分析】(1)①已知m的值,代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长,通过解直角三角形易得出结论。
②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,所以分QO=OC、QC=QO两种情
况来判断:
QO=QC时,Q在线段OC的垂直平分线上,Q、O的纵坐标已知,C点坐标即可
确定;
QO=OC时,先求出OQ的长,那么C点坐标可确定。
(2)①由∠QOP=90°,易求得△QBO∽△MOA,通过相关的比例线段来表示出点
Q的坐标。
②在四边形ODME中,已知了一个直角,只需判定该四边形是平行四边形即可,
那么可通过证明两组对边平行来得证。
7. (2012浙江丽水、金华8分)如图,等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上,双曲线y=(k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D.已知等边△OAB的边长为4. (1)求该双曲线所表示的函数解析式; (2)求等边△AEF的边长.
【答案】解:(1) 过点C作CG⊥OA于点G,
∵点C是等边△OAB的边OB的中点,
∴OC=2,∠ AOB=60°。∴OG=1,CG=3, ∴点C的坐标是(1,3)。由3?k,得:k=3。 13。 x∴该双曲线所表示的函数解析式为y?(2) 过点D作DH⊥AF于点H,设AH=a,则DH=3a。
∴点D的坐标为(4+a,3a)。
- 13 -
∵点D是双曲线y?3上的点, x∴由xy=3,得3a (4+a)=3,即:a2+4a-1=0。 解得:a1=5-2,a2=-5-2(舍去)。∴AD=2AH=25-4。 ∴等边△AEF的边长是2AD=45-8。.
【考点】反比例函数综合题,等边三角形的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,解一元二次方程。
【分析】(1)过点C作CG⊥OA于点G,根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度,从而得到点C的坐标,再利用待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解。
(2)过点D作DH⊥AF于点H,设AH=a,根据等边三角形的性质表示出DH的长
度,然后表示出点D的坐标,再把点D的坐标代入反比例函数解析式,解方程得到a的值,从而得解。
8. (2012浙江丽水、金华12分)在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB=.如图,把△ABC的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=
,AC与y轴交于点E.
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(1)求AC所在直线的函数解析式;
(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G,求△OEG的面积;
(3)已知点F(10,0),在△ABC的边上取两点P,Q,是否存在以O,P,Q为顶点的三角形与△OFP全等,且这两个三角形在OP的异侧?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1) 在Rt△OCE中,OE=OCtan∠OCE=103234。∴点E(0, 34??234,
35- 14 -
设直线AC的函数解析式为y=kx+234,有得:k=?。
∴直线AC的函数解析式为y=?x?234。 (2) 在Rt△OGE中,tan∠EOG=tan∠OCE=
1034k?234?0,解33535EG3?, GO5设EG=3t,OG=5t,OE=EG2+OG2=34t,∴234=34t,得t=2。 ∴EG=6,OG=10。∴S?OEG=?OG?EG=?10?6=30/ (3) 存在。
①当点Q在AC上时,点Q即为点G, 如图1,作∠FOQ的角平分线交CE于点P1, 由△OP1F≌△OP1Q,则有P1F⊥x轴, 由于点P1在直线AC上,当x=10时, y=??10?234?234?6 ∴点P1(10,234?6)。
②当点Q在AB上时,如图2,有OQ=OF,作∠FOQ
的角平分线交CE于点P2,过点Q作QH⊥OB于点H,设OH=a,
则BH=QH=14-a,
在Rt△OQH中,a2+(14-a)2=100,
解得:a1=6,a2=8,∴Q(-6,8)或Q(-8,6)。 连接QF交OP2于点M.
当Q(-6,8)时,则点M(2,4);当Q(-8,6)时,则点M(1,3)。 设直线OP2的解析式为y=kx,则2k=4,k=2。∴y=2x。
121235?1034y=2x??x=??13解方程组?,得?。 3y=?x?234?y=2034?5??13?∴P2(10342034); , 13135341534)。 , 99
当Q(-8,6)时,则点M(1,3).同理可求P2′(- 15 -
综上所述,满足条件的P点坐标为 (10,234?6)或(103420345341534)或()。 , , 131399【考点】一次函数综合题,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,锐角三角函数定义,全等三角形的判定和应用。
【分析】(1)根据三角函数求E点坐标,运用待定系数法求解。
(2)在Rt△OGE中,运用三角函数和勾股定理求EG,OG的长度,再计算面积。 (3)分两种情况讨论求解:①点Q在AC上;②点Q在AB上.求直线OP与直线
AC的交点坐标即可。
9. (2012浙江宁波6分)如图,已知一次函数与反比例函数的图象交于点A(﹣4,﹣2)和B(a,4).
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标;
(2)根据图象回答,当x在什么范围内时,一次函数的值大于反比例函数的值?
【答案】解:(1)设反比例函数的解析式为y=k, xk,解得k=8。 ?2∵反比例函数图象经过点A(﹣4,﹣2),∴?4=∴反比例函数的解析式为y=∵B(a,4)在y=8。 x88的图象上,∴4=,解得a=2。 xa∴点B的坐标为B(2,4)。
(2)根据图象得,当x>2或﹣4<x<0时,一次函数的值大于反比例函数的
值。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,反比例函数与一次函数的图象。
【分析】(1)利用待定系数法设反比例函数解析式为y=k,把点A的坐标代入解析式,求x解即可,把点B的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出a的值,从而得到点B的坐标。
(2)写出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可。
- 16 -
10. (2012浙江宁波12分)如图,二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线. (1)求二次函数的解析式;
(2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H. ①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标; ②若⊙M的半径为2
45,求点M的坐标. 5
【答案】解:(1)∵二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0)
∴设该二次函数的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2),
将x=0,y=﹣2代入,得﹣2=a(0+1)(0﹣2),解得a=1。
∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣2),即y=x﹣x﹣2。 (2)设OP=x,则PC=PA=x+1,
在Rt△POC中,由勾股定理,得x+2=(x+1), 解得,x=
2
2
22
2
33,即OP=。 22(3)①∵△CHM∽△AOC,∴∠MCH=∠CAO。
(i)如图1,当H在点C下方时,
∵∠MCH=∠CAO,∴CM∥x轴,∴yM=﹣2。 ∴x﹣x﹣2=﹣2,解得x1=0(舍去),x2=1。 ∴M(1,﹣2)。
(ii)如图2,当H在点C上方时, ∵∠M′CH=∠CAO,∴PA=PC。
由(2)得,M′为直线CP与抛物线的另一交点, 设直线CM′的解析式为y=kx﹣2,
- 17 -
2
把P(∴y=由
334,0)的坐标代入,得k﹣2=0,解得k=。 2234x﹣2。 34747102
x﹣2=x﹣x﹣2,解得x1=0(舍去),x2=。此时y=×??2=。 33339710∴M′(,。 )
394②在x轴上取一点D,如图3,过点D作DE⊥AC于点E,使DE= 5,
5在Rt△AOC中,AC=AO2+CO2=12+22=5。 ∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD, ∴△AED∽△AOC,
45ADDEAD5∴,即,解得AD=2。 ==ACOC25∴D(1,0)或D(﹣3,0)。
过点D作DM∥AC,交抛物线于M,如图 则直线DM的解析式为:y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。 当﹣2x﹣6=x﹣x﹣2时,即x+x+4=0,方程无实数根, 当﹣2x+2=x﹣x﹣2时,即x+x﹣4=0,解得
2
2
2
2
x1??1?17?1+17。 ,x2?22∴点M的坐标为(?1?17?1+17。 , 3+17)或(, 3?17)22【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程。
【分析】(1)根据与x轴的两个交点A、B的坐标,故设出交点式解析式,然后把点C的坐标代入计算求出a的值,即可得到二次函数解析式。
(2)设OP=x,然后表示出PC、PA的长度,在Rt△POC中,利用勾股定理列式,然后解方程即可。
(3)①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO,然后分(i)点H在点C
下方时,利用同位角相等,两直线平行判定CM∥x轴,从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同,是-2,代入抛物线解析式计算即可;(ii)点H在点C上方时,根据(2)的结
- 18 -
论,点M为直线PC与抛物线的另一交点,求出直线PC的解析式,与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。
②在x轴上取一点D,过点D作DE⊥AC于点E,可以证明△AED和△AOC
相似,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度,然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度,从而得到点D的坐标,再作直线DM∥AC,然后求出直线DM的解析式,与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。
11. (2012浙江绍兴12分)把一边长为40cm的正方形硬纸板,进行适当的剪裁,折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)。
(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm,那么剪掉的正方形的边长为多少? ②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由。
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子,若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm,求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)。
2
2
【答案】解:(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm。
则(40-2x)2=484,解得x1?31(不合题意,舍去),x2?9。 ∴剪掉的正方形的边长为9cm。 ②侧面积有最大值。
设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm, 则y与x的函数关系为:
2
y?4(40?2x)x??8x2?160x??8(x?10)2?800,
∴x=10时,y最大=800。
即当剪掉的正方形的边长为10cm时,长方形盒子的侧面积最大为
800cm。
- 19 -
2
(2)在如图的一种剪裁图中,设剪掉的正方形的边长为xcm。
则2(40?2x)(20?x)?2x(20?x)?2x(40?2x)?550 , 解得:x1??35(不合题意,舍去),x2?15。 ∴剪掉的正方形的边长为15cm。
此时长方体盒子的长为15cm,宽为10cm,高为5cm。
【考点】二次函数的应用,一元二次方程的应用。
【分析】(1)①假设剪掉的正方形的边长为xcm,根据题意得出(40-2x)2=484,求出即可
②假设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2,则y与x的函数关系为:y=4(40-2x)x,利用二次函数最值求出即可。
(2)假设剪掉的正方形的边长为xcm,利用折成的一个长方形盒子的表面积为
550cm2,得出等式方程求出即可。
12. (2012浙江台州8分)如图,正比例函数y=kx(x≥0)与反比例函数y=象交于点 A(2,3),
(1)求k,m的值;
(2)写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.
m?x>0?的图x
【答案】解:(1)把(2,3)代入y=kx得:3=2k,∴ k=
把(2,3)代入y=(2)x>2。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,正比例函数和反比例函数图象的性质。 【分析】(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将A(2,3)分别代入y=kx和y=3。 2m得:m=6。 xmx
- 20 -
即可求得k,m的值。
(2)由图象可知,当正比例函数值大于反比例函数值时,正比例函数的图象在反比例函数的图象上方,∴自变量x的取值范围是x>2。
13. (2012浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离s(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系得部分数据如下表: 时间t(秒) 行驶距离s(米) 0 0 0.2 2.8 0.4 5.2 0.6 7.2 0.8 8.8 1.0 10 1.2 10.8 … … (1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点;
(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系,求出相应的函数解析式; (3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止?
②当t分别为t1,t2(t1<t2)时,对应s的值分别为s1,s2,请比较比较结果的实际意义.
ss1与2的大小,并解释t2t1
【答案】解:(1)描点图所示:
(2)由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为:s=at2+bt+c,
∵抛物线经过点(0,0),∴c=0。 又由点(0.2,2.8),(1,10)可得:
?a=?5?0.04a+0.2b=2.8,解得:?。 ??b=15?a+b=10- 21 -
经检验,其余各点均在s=-5t2+15t上。 ∴二次函数的解析式为:s??5t2?15t。
(3)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。
45345?3? ∵s??5t?15t=?5?t???,∴当t=时,滑行距离最大,为。
2424??22因此,刹车后汽车行驶了
45米才停止。 4②∵s??5t2?15t,∴s1??5t12?15t1,s2??5t22?15t2。
s1?5t12?15t1s2?5t22?15t2∴==?5t1?15, ==?5t2?15。 t1t1t2t2∵t1<t2,∴
sss1s2?=?5t1?15???5t2?15?=5?t2?t1?>0。∴1>2。
t1t2t1t2其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均
速度。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质和应用,不等式的应用。 【分析】(1)描点作图即可。
(2)首先判断函数为二次函数。用待定系数法,由所给的任意三点即可求出函数解
析式。
(3)将函数解析式表示成顶点式(或用公式求),即可求得答案。 (4)求出
ss1与2,用差值法比较大小。 t2t1214. (2012浙江温州14分)如图,经过原点的抛物线y??x?2mx(m?0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM?x轴于点M,交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合).连结CB,CP。 (1)当m?3时,求点A的坐标及BC的长; (2)当m?1时,连结CA,问m为何值时CA⊥CP?
(3)过点P作PE⊥PC且PE=PC,问是否存在m,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的m的值,并写出相对应的点E坐标;若不存在,请说明理由。
- 22 -
【答案】解:(1)当m=3时,y=-x2+6x。
令y=0得-x2+6x=0,解得,x1=0,x2=6。∴A(6,0)。 当x=1时,y=5。∴B(1,5)。
∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3,且B,C关于对称轴对称,
∴BC=4。
(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)
由已知得,∠ACP=∠BCH=90°,∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°,∴△AGH∽△PCB。 ∴
AHPB。 ?CHBC∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m,其中m>1,且
B,C关于对称轴对称,
∴BC=2(m-1)。
∵B(1,2m-1),P(1,m),∴BP=m-1。
又∵A(2m,0),C(2m-1,2m-1),∴H(2m-1,0)。 ∴AH=1,CH=2m-1, ∴
31m?1?,解得m= 。 2m?12?m?1?2(3)存在。∵B,C不重合,∴m≠1。
(I)当m>1时,BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1, (i)若点E在x轴上(如图1),
∵∠CPE=90°,∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°,
PC=EP。
- 23 -
∴△BPC≌△MEP,∴BC=PM,即2(m-1)=m,解得m=2。 此时点E的坐标是(2,0)。
(ii)若点E在y轴上(如图2),过点P作PN⊥y轴于点N, 易证△BPC≌△NPE,
∴BP=NP=OM=1,即m-1=1,解得,m=2。 此时点E的坐标是(0,4)。
(II)当0<m<1时,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m, (i)若点E在x轴上(如图3), 易证△BPC≌△MEP,
∴BC=PM,即2(1-m)=m,解得,m=此时点E的坐标是(
2。 34 ,0)。 3(ii)若点E在y轴上(如图4),
过点P作PN⊥y轴于点N,易证△BPC≌△NPE, ∴BP=NP=OM=1,即1-m=1,∴m=0(舍去)。
综上所述,当m=2时,点E的坐标是(0,2)或(0,4),
当m=
24时,点E的坐标是(,0)。 33【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)把m=3,代入抛物线的解析式,令y=0解方程,得到的非0解即为和x轴交点的横坐标,再求出抛物线的对称轴方程,从而求出BC的长。
(2)过点C作CH⊥x轴于点H(如图1)由已知得∠ACP=∠BCH=90°,利用已知
条件证明
△AGH∽△PCB,根据相似的性质得到:CH,BP,代入比例式即可求出m的值。
(3)存在。本题要分当m>1时,BC=2(m-1),PM=m,BP=m-1和当0<m<1时,BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m,两种情况分别讨论,再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。
AHPB ,再用含有m的代数式表示出BC,?CHBC- 24 -
15. (2012浙江义乌8分)如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为对角线OB的中点,点E(4,n)在边AB上,反比例函数y=的图象经过点D、E,且tan∠BOA=. (1)求边AB的长;
(2)求反比例函数的解析式和n的值;
(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩形折叠,使点O与点F重合,折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G,求线段OG的长.
k(k≠0)在第一象限内x
【答案】解:(1)∵点E(4,n)在边AB上,∴OA=4,
在Rt△AOB中,∵tan∠BOA=
11,∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2。 22(2)由(1),可得点B的坐标为(4,2),
∵点D为OB的中点,∴点D(2,1)。
kk(k≠0)的图象上,∴2=,解得k=2。 x12∴反比例函数解析式为y=。
x21又∵点E(4,n)在反比例函数图象上,∴n==。
42∵点D在反比例函数y=(3)如图,设点F(a,2),
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F, ∴2=,解得a=1。∴CF=1。
连接FG,设OG=t,则OG=FG=t,CG=2﹣t, 在Rt△CGF中,GF=CF+CG,即t=(2﹣t)+1, 解得t=
2
2
2
2
2
2
2a55,∴OG=t=。 44【考点】反比例函数综合题,锐角三角函数定义,曲线上点的坐标与方程的关系,折叠对称的性质,勾股定理。
- 25 -
【分析】(1)由点E的纵坐标得出OA=4,再根据tan∠BOA=
1 即可求出AB的长度; 2(2)根据(1)求出点B的坐标,再根据点D是OB的中点求出点D的坐标,然后
利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式,再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值。
(3)利用反比例函数解析式求出点F的坐标,从而得到CF的长度,连接FG,根
据折叠的性质可得FG=OG,然后用OG表示出CG的长度,再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度。
16. (2012浙江义乌10分)周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍. (1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间;
(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远? (3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.
【答案】解:(1)由图象,得:小明骑车速度:10÷0.5=20(km/ h)。
在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5(h)。 (2)妈妈驾车速度:20×3=60(km/h)
如图,设直线BC解析式为y=20x+b1, 把点B(1,10)代入得b1=﹣10。 ∴直线BC解析式为y=20x﹣10 ①。 设直线DE解析式为y=60x+b2, 把点D(
4,0)代入得b2=﹣80。 3∴直线DE解析式为y=60x﹣80②。
- 26 -
联立①②,得x=1.75,y=25。 ∴交点F(1.75,25)。
答:小明出发1.75小时(105分钟)被妈妈追上,此时离家25km。
17. (2012浙江义乌12分)如图1,已知直线y=kx与抛物线y=?6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
4222x+x交于点A(3,273(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由; (3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
- 27 -
【答案】解:(1)把点A(3,6)代入y=kx 得;6=3k,即k=2。
∴y=2x。
∴OA?32+62=35。
(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值,理由如下:
如图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H. ①当QH与QM重合时,显然QG与QN重合, 此时
QMQHQH???tan?AOM=2。 QNQGOH②当QH与QM不重合时,
∵QN⊥QM,QG⊥QH不妨设点H,G分别在x、y
轴的正半轴上,
∴∠MQH=∠GQN。
又∵∠QHM=∠QGN=90°,∴△QHM∽△QGN。
∴
QMQHQH???tan?AOM=2。 QNQGOH当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。 (3)如图2,延长AB交x轴于点F,过点F作
QM=2。 QNFC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R。
∵∠AOD=∠BAE,∴AF=OF。 ∴OC=AC=OA=1255。 2515OFAO355?5?。 ???5。∴OF=OCOR322∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC, ∴△AOR∽△FOC。∴
- 28 -
15,0)。 2422设点B(x,,过点B作BK⊥AR于点K,则△AKB∽△ARF。 ?x2+x)
27322??46???x2+x?BKAKx?33??27∴,即。 ??FRAR7.5?36∴点F(
解得x1=6,x2=3(舍去)。∴点B(6,2)。 ∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4。∴AB=5。 在△ABE与△OED中,∵∠BAE=∠BED,
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。
∴∠ABE=∠DEO。
∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED。 设OE=x,则AE=35﹣x (0
AEOD35?xm,即??。
5xABOE211351?3?9x=??x?5?+0
∴当m=时,E点只有1个,当0
【分析】(1)利用待定系数法求出直线y=kx的解析式,根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。
(2)如图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H,构造相似三角形△QHM
与△QGN,将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比,即
- 29 -
QMQHQH???tan?AOM=2为定值.需要注意讨论点的位置不同时,这个结论依然成QNQGOH立。
(3)由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD,可以得到△ABE∽△OED。
在相似三角形△ABE与△OED中,运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度,如图2,可以通过构造相似三角形,或者利用一次函数(直线)的性质求得AB的长度。设OE=x,
1?3?95?+,这是一个二次则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式m=??x?5?2?4函数.借助此二次函数图象(如图3),可见m在不同取值范围时,x的取值(即OE的长度,或E点的位置)有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。
2- 30 -
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