浙江11市2012年中考数学试题分类解析汇编 函数的图象与性质

浙江11市2012年中考数学试题分类解析汇编

专题6：函数的图象与性质

一、选择题

1.（2012浙江杭州3分）已知抛物线y?k?x?1??x-??3??与x轴交于点A，B，与y轴交于k?点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是【 】 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B。

【考点】抛物线与x轴的交点。

【分析】根据抛物线的解析式可得C（0，﹣3），再表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，再根据ABC是等腰三角形分三种情况讨论，求得k的值，即可求出答案：

根据题意，得C（0，﹣3）． 令y=0，则k?x?1??x-??3?3，解得x=﹣1或x=。 ?0?k?k设A点的坐标为（﹣1，0），则B（

3，0）， k3=1，k=3； k①当AC=BC时，OA=OB=1，B点的坐标为（1，0），∴②当AC=AB时，点B在点A的右面时，

∵AC?1?3?10，∴AB=AC=10，B点的坐标为（10﹣1，0）， ∴

22310?1； ?10?1, k?k3③当AC=AB时，点B在点A的左面时，B点的坐标为（10，0），

∴

3310。 ?10, k?k10∴能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是3条。故选B。

2.（2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】

- 1 -

A．5 B．45 C．3 D．4 3

3. （2012浙江衢州3分）已知二次函数y=﹣x﹣7x+

2

，若自变量x分别取x1，x2，x3，

且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是【 】 A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1 【答案】A。

【考点】二次函数图象上点的坐标特征。

【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系：

∵二次函数y??x2?7x?1215，∴此函数的对称轴为：2x=?b=?2a?7=?7。 ?1?2?????2?∵?7＜0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0， ∴对称轴右侧y随x的增大而减小。∴y1＞y2＞y3。故选A。

- 2 -

4. （2012浙江台州4分）点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数y=y1，y2，y3的大小关系是【 】 A．y3＜y2＜y1 【答案】D。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，有理数的大小比较。 【分析】由点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数y= B．y2＜y3＜y1 C． y1＜y2＜y3

D．y1＜y3＜y2

6的图象上，则x6的图象上，得y1=－6，y2=3，xy3=2。根据有理数的大小关系，－6＜2＜3，从而y1＜y3＜y2。故选D。

5. （2012浙江温州4分）一次函数y=－2x+4图象与y轴的交点坐标是【 】 A. (0, 4) B. (4, 0) C. (2, 0) D. (0, 2 ) 【答案】A。

【考点】一次函数图象上点的坐标特征。

【分析】在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标：y=-2×0+4=4，则函数与y轴的交点坐标是（0，4）。故选A。

6. （2012浙江义乌3分）如图，已知抛物线y1=﹣2x+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断： ①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小； ③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是其中正确的是【 】

或

．

2

A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】D。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。∴此判断错误。

②∵抛物线y1=﹣2x+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为

y1、y2，

- 3 -

2

若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。

∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。∴此判断错误。 ③∵抛物线y1=﹣2x+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），

当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；

∴此判断正确。

④ ∵使得M=1时，

若y1=﹣2x+2=1，解得：x1=若y2=2x+2=1，解得：x=﹣由图象可得出：当x=2

2

2

2

22，x2=﹣； 221。 22＞0，此时对应y1=M。 2∵抛物线y1=﹣2x+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0）， ∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，

∴M=1时，x=12或x=﹣。∴此判断正确。 22因此正确的有：③④。故选D。 二、填空题

1. （2012浙江湖州4分）一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为 ▲

【答案】x=－1。

【考点】一次函数与一元一次方程，直线上点的坐标与方程的关系。

?k?1 ?3?2k?b 【分析】∵一次函数y=kx+b过（2，3），（0，1）点，∴ ? ，解得：? 。

b?11?b??∴一次函数的解析式为：y=x+1。

∵一次函数y=x+1的图象与x轴交与（－1，0）点， ∴关于x的方程kx+b=0的解为x=－1。

- 4 -

2. （2012浙江衢州4分）如图，已知函数y=2x和函数y=k的图象交于A、B两点，过点xA作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是 ▲ ．

【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）。 【考点】反比例函数综合题，平行四边形的性质。

【分析】先求出B、O、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标：

如图，∵△AOE的面积为4，函数y=∴反比例函数为y=k的图象过一、三象限，∴k=8。 x8 x8的图象交于A、B两点， x∵函数y=2x和函数y=∴A、B两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4）， ∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，

∴满足条件的P点有3个，分别为：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）。

3. （2012浙江绍兴5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y??m。

1(x?4)2?3，由此可知铅球推出的距离是 ▲ 12

【答案】10。

【考点】二次函数的应用。

- 5 -

【分析】在函数式y??1(x?4)2?3中，令y?0，得 12?1， (x?4)2?3?0，解得x1?10，x2??2（舍去）

124(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，x∴铅球推出的距离是10m。

4. （2012浙江温州5分）如图，已知动点A在函数y=AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _.

【答案】

13。 3【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F。

44(x>o)的图象上，∴设A（t，）， xt4则AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t。

t∵A在函数y=在Rt△ADE中，由勾股定理，得

?4?DE? AD?AE??? 2?t2??t?22t4+16。 ttt4+16∵△EFQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD。∴QE=。

44t4+16∵△ADE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG。∴DP=。

t38tt4+164t4+16：3?4：9。解得t2?。 又∵QE：DP=4：9，∴

4t3∴图中阴影部分的面积=AC2?AB2?三、解答题

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121212116413t??2??3?。 22t33

1. （2012浙江杭州8分）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 【答案】解：∵当开口向下时函数y=（k﹣1）x﹣4x+5﹣k取最大值

∴k﹣1＜0，解得k＜1。

∴当k=﹣1时函数y=（k﹣1）x﹣4x+5﹣k有最大值，当k=1，2时函数没有

最大值。

∴当k=﹣1时，函数y=﹣2x﹣4x+6=﹣2（x+1）+8。 ∴最大值为8。

【考点】二次函数的最值。

【分析】首先根据函数有最大值得到k的取值范围，然后判断即可。求最大值时将函数解析式化为顶点式或用公式即可。

2. （2012浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）． （1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值． 【答案】解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），

∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：y?2

2

2

22

2

m。 xm，解得：m=﹣2。 12∴反比例函数的解析式为：y??。

x将A（1，﹣2）代入得： ?2?（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0。

2∵二次函数y=k（x+x﹣1）=k（x?）?k，∴它的对称轴为：直线

2

1254x=﹣

1。 2要使二次函数y=k（x+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须

2

在对称轴的左边，即x＜﹣

1时，才能使得y随着x的增大而增大。 21∴综上所述，k＜0且x＜﹣。

2- 7 -

?15? k?。 （3）由（2）可得：Q??，?24?∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是

其中的一种情况）

∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB。

作AD⊥OC，QC⊥OC，垂足分别为点C，D。 ∴OQ?CQ2+OC2?1252+k。 416∵OA?AD2+OD2?1+k2， ∴12522+k?1+k2，解得：k=±3。 4163【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数和二次函数的性质。

【分析】（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y?利用待定系数法即可求得答案；

（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0。 又由二次函数y=k（x+x﹣1）的对称轴为x=﹣

随着x的增大而增大。

（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直

2

m，x11，可得x＜﹣时，才能使得y22?15? k?，A（1，角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q??，24??k），即可得1252+k?1+k2，从而求得答案。 4163. （2012浙江湖州6分）如图，已知反比例函数y?（1）求这个反比例函数的解析式；

k（k≠0）的图象经过点（－2，8）． x（2）若（2，y1），（4，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由．

- 8 -

【答案】解：（1）把（－2，8）代入y?kk，得8?，解得：k=－16。 x?216∴这个反比例函数的解析式为y??。

x（2）y1＜y2。理由如下：

∵k=－16＜0，∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大。 ∵点（2，y1），（4，y2）都在第四象限，且2＜4， ∴y1＜y2。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象上点的坐标特征。 【分析】（1）把经过的点的坐标代入解析式进行计算即可得解。

（2）根据反比例函数图象的性质，在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大解答。

4. （2012浙江嘉兴、舟山10分）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2?图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）． （1）求这两个函数的解析式； （2）当x取何值时，y1＞y2．

m的x

m，得m=6。 x6 ∴反比例函数的解析式为y2?。

x【答案】解：（1）把 A（2，3）代入y2?把 A（2，3）、C（8，0）代入y1=kx+b，得

- 9 -

1??2k+b=3?k=?，解得?2。 ?8k+b=0???b=4∴一次函数的解析式为y1=?x+4。

126?y???x1?6?x2?2?x（2）由题意得?，解得?，?。

?y1?1?y2?3?y??1x+4?2?∴从图象可得，当x＜0 或 2＜x＜6 时，y1＞y2。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）将A、B中的一点代入y2?m ，即可求出m的值，从而得到反比例函数解x析式；把 A（2，3）、C（8，0）代入y1=kx+b，可得到k、b的值，从而得到一次函数解析式。

（2）求出反比例函数与一次函数图象的交点坐标，根据图象可直接得到y1＞y2时x的取值范围。

5. （2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）

（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 元（用含x的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

- 10 -

6. （2012浙江嘉兴、舟山14分）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m． （1）如图1，当m=2时，

①求线段OP的长和tan∠POM的值；

②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标； （2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E． ①用含m的代数式表示点Q的坐标； ②求证：四边形ODME是矩形．

2

- 11 -

【答案】解：（1）①把x=2代入 y=x，得 y=2，∴P（2，2），∴OP=6。

∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan?POM?tan?OPA?2

2

OP2。 =AP2n222②设 Q（n，n），∵tan∠QOB=tan∠POM，∴．∴n=?。 =?n22321∴Q（?。∴OQ=。 ， ）

22233∴当 OQ=OC 时，则C1（0，），C2（0，－）。

22当 OQ=CQ 时，则 C3（0，1）。

（2）①∵点P的横坐标为m，∴P（m，m）。设 Q（n，n），

2

2

n2?nBQBO1=2，得n=?。 ∵△APO∽△BOQ，∴。∴=mmAOAPm∴Q（?11。 ， 2）

mm2

②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m）、Q（?代入，得：

11， 2）mm?m2=mk+b?，解得b=1。∴M（0，1）。 ?11?2=??k+bm?m∵

QBOB1，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA。 =?MOAPm2∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA。 同理可证：EM∥OD。

又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判

- 12 -

定。

【分析】（1）①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标；由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论。

②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情

况来判断：

QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可

确定；

QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定。

（2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点

Q的坐标。

②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，

那么可通过证明两组对边平行来得证。

7. （2012浙江丽水、金华8分）如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝(k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4． (1)求该双曲线所表示的函数解析式； (2)求等边△AEF的边长．

【答案】解：(1) 过点C作CG⊥OA于点G，

∵点C是等边△OAB的边OB的中点，

∴OC＝2，∠ AOB＝60°。∴OG＝1，CG＝3， ∴点C的坐标是(1，3)。由3?k，得：k＝3。 13。 x∴该双曲线所表示的函数解析式为y?(2) 过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝3a。

∴点D的坐标为(4＋a，3a)。

- 13 -

∵点D是双曲线y?3上的点， x∴由xy＝3，得3a (4＋a)＝3，即：a2＋4a－1＝0。 解得：a1＝5－2，a2＝－5－2(舍去)。∴AD＝2AH＝25－4。 ∴等边△AEF的边长是2AD＝45－8。．

【考点】反比例函数综合题，等边三角形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程。

【分析】(1)过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度，从而得到点C的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解。

(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，根据等边三角形的性质表示出DH的长

度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解。

8. （2012浙江丽水、金华12分）在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝

，AC与y轴交于点E．

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(1)求AC所在直线的函数解析式；

(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；

(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：(1) 在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝103234。∴点E(0， 34??234，

35- 14 -

设直线AC的函数解析式为y＝kx＋234，有得：k＝?。

∴直线AC的函数解析式为y＝?x?234。 (2) 在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝

1034k?234?0，解33535EG3?， GO5设EG＝3t，OG＝5t，OE=EG2+OG2=34t，∴234=34t，得t＝2。 ∴EG＝6，OG＝10。∴S?OEG＝?OG?EG=?10?6=30/ (3) 存在。

①当点Q在AC上时，点Q即为点G， 如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1， 由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴， 由于点P1在直线AC上，当x＝10时， y＝??10?234?234?6 ∴点P1(10，234?6)。

②当点Q在AB上时，如图2，有OQ＝OF，作∠FOQ

的角平分线交CE于点P2，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a，

则BH＝QH＝14－a，

在Rt△OQH中，a2＋(14－a)2＝100，

解得：a1＝6，a2＝8，∴Q(－6，8)或Q(－8，6)。 连接QF交OP2于点M．

当Q(－6，8)时，则点M(2，4)；当Q(－8，6)时，则点M(1，3)。 设直线OP2的解析式为y＝kx，则2k＝4，k＝2。∴y＝2x。

121235?1034y=2x??x=??13解方程组?，得?。 3y=?x?234?y=2034?5??13?∴P2(10342034)； ， 13135341534)。 ， 99

当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．同理可求P2′(- 15 -

综上所述，满足条件的P点坐标为 (10，234?6)或(103420345341534)或()。 ， ， 131399【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和应用。

【分析】(1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解。

(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积。 (3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线

AC的交点坐标即可。

9. （2012浙江宁波6分）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，﹣2）和B（a，4）．

（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；

（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？

【答案】解：（1）设反比例函数的解析式为y=k， xk，解得k=8。 ?2∵反比例函数图象经过点A（﹣4，﹣2），∴?4=∴反比例函数的解析式为y=∵B（a，4）在y=8。 x88的图象上，∴4=，解得a=2。 xa∴点B的坐标为B（2，4）。

（2）根据图象得，当x＞2或﹣4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的

值。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数与一次函数的图象。

【分析】（1）利用待定系数法设反比例函数解析式为y=k，把点A的坐标代入解析式，求x解即可，把点B的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出a的值，从而得到点B的坐标。

（2）写出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可。

- 16 -

10. （2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为2

45，求点M的坐标． 5

【答案】解：（1）∵二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）

∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），

将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。

∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x﹣x﹣2。 （2）设OP=x，则PC=PA=x+1，

在Rt△POC中，由勾股定理，得x+2=（x+1）， 解得，x=

2

2

22

2

33，即OP=。 22（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。

（i）如图1，当H在点C下方时，

∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。 ∴x﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。 ∴M（1，﹣2）。

（ii）如图2，当H在点C上方时， ∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。

由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点， 设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，

- 17 -

2

把P（∴y=由

334，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。 2234x﹣2。 34747102

x﹣2=x﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。此时y=×??2=。 33339710∴M′（，。 ）

394②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE= 5，

5在Rt△AOC中，AC=AO2+CO2=12+22=5。 ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC，

45ADDEAD5∴，即，解得AD=2。 ==ACOC25∴D（1，0）或D（﹣3，0）。

过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图 则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。 当﹣2x﹣6=x﹣x﹣2时，即x+x+4=0，方程无实数根， 当﹣2x+2=x﹣x﹣2时，即x+x﹣4=0，解得

2

2

2

2

x1??1?17?1+17。 ，x2?22∴点M的坐标为（?1?17?1+17。 ， 3+17）或（， 3?17）22【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。

（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。

（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C

下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结

- 18 -

论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。

②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC

相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。

11. （2012浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。

（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。

①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。

（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。

2

2

【答案】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。

则（40－2x）2=484，解得x1?31（不合题意，舍去），x2?9。 ∴剪掉的正方形的边长为9cm。 ②侧面积有最大值。

设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm， 则y与x的函数关系为：

2

y?4(40?2x)x??8x2?160x??8(x?10)2?800，

∴x=10时，y最大=800。

即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为

800cm。

- 19 -

2

（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。

则2(40?2x)(20?x)?2x(20?x)?2x(40?2x)?550 ， 解得：x1??35（不合题意，舍去），x2?15。 ∴剪掉的正方形的边长为15cm。

此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。

【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用。

【分析】（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40－2x）2=484，求出即可

②假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y=4（40-2x）x，利用二次函数最值求出即可。

（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为

550cm2，得出等式方程求出即可。

12. （2012浙江台州8分）如图，正比例函数y=kx（x≥0）与反比例函数y=象交于点 A（2，3），

（1）求k，m的值；

（2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．

m?x>0?的图x

【答案】解：（1）把（2，3）代入y=kx得：3=2k，∴ k=

把（2，3）代入y=（2）x＞2。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，正比例函数和反比例函数图象的性质。 【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将A（2，3）分别代入y=kx和y=3。 2m得：m=6。 xmx

- 20 -

即可求得k，m的值。

（2）由图象可知，当正比例函数值大于反比例函数值时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方，∴自变量x的取值范围是x＞2。

13. （2012浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表： 时间t（秒） 行驶距离s（米） 0 0 0.2 2.8 0.4 5.2 0.6 7.2 0.8 8.8 1.0 10 1.2 10.8 … … （1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；

（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式； （3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？

②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较比较结果的实际意义．

ss1与2的大小，并解释t2t1

【答案】解：（1）描点图所示：

（2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2＋bt＋c，

∵抛物线经过点（0，0），∴c=0。 又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：

?a=?5?0.04a+0.2b=2.8，解得：?。 ??b=15?a+b=10- 21 -

经检验，其余各点均在s=－5t2+15t上。 ∴二次函数的解析式为：s??5t2?15t。

（3）①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。

45345?3? ∵s??5t?15t=?5?t???，∴当t=时，滑行距离最大，为。

2424??22因此，刹车后汽车行驶了

45米才停止。 4②∵s??5t2?15t，∴s1??5t12?15t1，s2??5t22?15t2。

s1?5t12?15t1s2?5t22?15t2∴==?5t1?15， ==?5t2?15。 t1t1t2t2∵t1＜t2，∴

sss1s2?=?5t1?15???5t2?15?=5?t2?t1?>0。∴1>2。

t1t2t1t2其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均

速度。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。 【分析】（1）描点作图即可。

（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解

析式。

（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。 （4）求出

ss1与2，用差值法比较大小。 t2t1214. （2012浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线y??x?2mx(m?0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM?x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。 （1）当m?3时，求点A的坐标及BC的长； （2）当m?1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？

（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。

- 22 -

【答案】解：（1）当m=3时，y=－x2＋6x。

令y=0得－x2＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。 当x=1时，y=5。∴B（1，5）。

∵抛物线y=－x2＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，

∴BC=4。

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）

由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。 又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。 ∴

AHPB。 ?CHBC∵抛物线y=－x2＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且

B，C关于对称轴对称，

∴BC=2（m－1）。

∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。

又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。 ∴AH=1，CH=2m－1， ∴

31m?1?，解得m= 。 2m?12?m?1?2（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。

（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1， （i）若点E在x轴上（如图1），

∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，

PC=EP。

- 23 -

∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。 此时点E的坐标是（2，0）。

（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N， 易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。 此时点E的坐标是（0，4）。

（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m， （i）若点E在x轴上（如图3）， 易证△BPC≌△MEP，

∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=此时点E的坐标是（

2。 34 ，0）。 3（ii）若点E在y轴上（如图4），

过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE， ∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。

综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），

当m=

24时，点E的坐标是（，0）。 33【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知

条件证明

△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：CH，BP，代入比例式即可求出m的值。

（3）存在。本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m－1和当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。

AHPB ，再用含有m的代数式表示出BC，?CHBC- 24 -

15. （2012浙江义乌8分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y=的图象经过点D、E，且tan∠BOA=． （1）求边AB的长；

（2）求反比例函数的解析式和n的值；

（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

k（k≠0）在第一象限内x

【答案】解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，∴OA=4，

在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=

11，∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2。 22（2）由（1），可得点B的坐标为（4，2），

∵点D为OB的中点，∴点D（2，1）。

kk（k≠0）的图象上，∴2=，解得k=2。 x12∴反比例函数解析式为y=。

x21又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，∴n==。

42∵点D在反比例函数y=（3）如图，设点F（a，2），

∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F， ∴2=，解得a=1。∴CF=1。

连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t， 在Rt△CGF中，GF=CF+CG，即t=（2﹣t）+1， 解得t=

2

2

2

2

2

2

2a55，∴OG=t=。 44【考点】反比例函数综合题，锐角三角函数定义，曲线上点的坐标与方程的关系，折叠对称的性质，勾股定理。

- 25 -

【分析】（1）由点E的纵坐标得出OA=4，再根据tan∠BOA=

1 即可求出AB的长度； 2（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后

利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值。

（3）利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根

据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度。

16. （2012浙江义乌10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍． （1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；

（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ （3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．

【答案】解：（1）由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20（km/ h）。

在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h）。 （2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）

如图，设直线BC解析式为y=20x+b1， 把点B（1，10）代入得b1=﹣10。 ∴直线BC解析式为y=20x﹣10 ①。 设直线DE解析式为y=60x+b2， 把点D（

4，0）代入得b2=﹣80。 3∴直线DE解析式为y=60x﹣80②。

- 26 -

联立①②，得x=1.75，y=25。 ∴交点F（1.75，25）。

答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km。

17. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=?6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

4222x+x交于点A（3，273（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

- 27 -

【答案】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。

∴y=2x。

∴OA?32+62=35。

（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下：

如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H． ①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合， 此时

QMQHQH???tan?AOM=2。 QNQGOH②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y

轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN。

又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。

∴

QMQHQH???tan?AOM=2。 QNQGOH当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。 （3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作

QM=2。 QNFC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。

∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。 ∴OC=AC=OA=1255。 2515OFAO355?5?。 ???5。∴OF=OCOR322∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC， ∴△AOR∽△FOC。∴

- 28 -

15，0）。 2422设点B（x，，过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。 ?x2+x）

27322??46???x2+x?BKAKx?33??27∴，即。 ??FRAR7.5?36∴点F（

解得x1=6，x2=3（舍去）。∴点B（6，2）。 ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。 在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，

∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。

∴∠ABE=∠DEO。

∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED。 设OE=x，则AE=35﹣x （0

AEOD35?xm，即??。

5xABOE211351?3?9x=??x?5?+0

∴当m=时，E点只有1个，当0

【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。

（2）如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM

与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即

- 29 -

QMQHQH???tan?AOM=2为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成QNQGOH立。

（3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED。

在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度。设OE=x，

1?3?95?+，这是一个二次则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式m=??x?5?2?4函数．借助此二次函数图象（如图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。

2- 30 -

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