经济数学微积分第01章+函数.doc(习题答案)

第一章 函数

习题1-1

13、用区间表示满足下列不等式的所有x的集合

(1)|x| 3； [ 3,3]

(2)|x 2| 1； [1,3]

(3)|x a| ； (a ,a )

(4)|x| 5； ( , 5] [5, )

(5)|x 1| 2. ( , 3) (1, )

14、用区间表示满足下列点集,并在数轴上表示出来：

(1)A {x||x 3| 2}； ( 5, 1)

(2)B {x|1 |x 2| 3}. ( 1,1) (3,5)

习题1-2

2、求下列函数的自然定义域 1 x 2； 21 x

1 x2 0 x 1解： D(f) [ 2, 1) ( 1,1) (1, ). x 2 x 2 0(2)y

(4)y arcsin

解：

(6)y x 1； 2x 1 1 |x 1| 2 D(f) [ 1,3]. 2ln(3 x)

x| 1；

解：

3 x 0 x 3 D(f) ( , 1) (1,3). |x| 1 0 |x| 1

2x 1

. (6)y x2 x 6

2x 1 1 2x 1 7 －3 x 4 解： 7 x 2 或 x 3(x 3)(x 2) 0 x2 x 6 0

D(f) [ 3, 2) (3,4]. arccos

2 1 x, |x| 1,4、确定函数f(x) 的定义域并作出函数图形. 2 x 1, 1 |x| 2.

解：函数的定义域为 D(f) ( 2,2).其图形为 图形> plot(max((max(1-x^2,0))^(1/2),x^2-1),x=-2..2);

7、下列各函数中哪些是周期函数？对周期函数指出其周期

(1) y sinx; 解：y f(x) sin2x 21 cos2x,由于 2

1 cos(2x 2 )1 cos2xf(x ) f(x), 22

2所以, y sinx是以 为周期的周期函数.

注：cos2(x T) cos(2x 2T) cos2x 令2T 2

(2) y cos( t ) ( , 为常数);

解：y f(x) cos( t ),由于

f(t 2

) cos( t 2 ) cos( t ),

所以, y cos( t )是以

2 为周期的周期函数.

t T ) cos( t ) 注：f(t T) cos(

(3) y cos令 T 2 1. x

解：y f(x) cos

8、设f(x)为定义在( l,l)内的奇函数,若f(x)在(0,l)内单调增加,证明f(x)在( l,0)内也单调增加.

解： x1 x2 ( l,0),有 x2 x1 (0,l), 1不是周期函数.因为假设有T,使得f(x T) f(x), x1111那么 cos cos 2k (k为某整数) x Txx Tx x x T 2k x(x T) T 2k x(x T) k 0 T 0.

f(x) (0,l), f( x2) f( x1),

又f(x)为奇函数,则

f(x1) f( x1) f( x2) f(x2),

所以f(x)在( l,0)内也单调增加.

习题1-3

3、指出下列函数的复合过程

(1)y cos2x；

解：y cosu,u 2x.

(2)y e；

解：y eu,u

1x1. x

(3)y esinx；

解：y eu,u v,v sinx.

(3)y arcsin[lg(2x 1)]；

解：y arcsinu,u lgv,v 2x 1.

4、(1)设f(sinx) cos2x 1,求f(cosx). 解：由于f(sinx) 2 331 cos2x 2 2sin2x 2, 2

可见f(t) 2t2 2,所以f(cosx) 2cos2x 2 2sin2x.

解2：令t sinx,则f(t) cos2x 1 (1 2sin2x) 1 2t2 2,

所以f(cosx) 2cos2x 2 2sin2x.

1,求f(x). 2x

11122解：由于f(x ) x 2 (x ) 2, xxx

可见f(t) t2 2, 所以f(x) x2 2. (2)设f(x ) x2

解2：令t x 1x111,则f(t) x2 2 (x )2 2 t2 2, xxx

所以f(x) x2 2.

5、已知f(x) x3 x, (x) sin2x,求f[ (x)], [f(x)].

解：f[ (x)] f(sin2x) sin32x sin2x,

[f(x)] [x3 x] sin2(x3 x).

习题1-4

2、下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？

(1) y e x2 sin2x;

解：此函数显然是初等函数.

(2) y 1x ln(2 cosx); 2

1, x 0, 3, x 0.解：此函数显然是初等函数. (3) y

解：此函数不是初等函数.

(简单的判断:因为函数不连续,由后面知识知函数不是初等函数)

(4) y x 1, 1 x 0, 2x 1, 0 x 1.

图形> plot([x+1,-2*x+1],x=-1..1);

解：令u x 1,v 2x 1, 1 x 1，有 y min{u,v} u v |u v| 2

(x 1) ( 2x 1) x 1) ( 2x 1)]2

2

2 x (3x)2

, 1 x 1，故此函数是初等函数. 2

3、函数y 2 x, x 1,能用一个解析式表示吗？为什么？ x, x 1.

图形> plot([2-x,x],x=-1..3);

解：令u 2 x,v x,有

y max{u,v} u v |u v| 2(2 x) x 2 x) x]22 (2 2x)2

(x 1)2 1, 22

故此函数能用一个解析式表示,当然是初等函数.

4、由y 2的图形作下列函数的图形 x

(1) y 3 2; > plot([3*2^x,2^x],x=-2..2);

(2) y 2 4; > plot([2^x+4,2^x],x=-2..2);

(3) y 2; > plot([-2^x,2^x],x=-2..2);

(4) y 2. > plot([2^(-x),2^x],x=-2..2);

5、由y lgx的图形作下列函数的图形

(1) y 3lgx;

> plot([3*ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-2.5..2);

(2) y lgx;

> plot([2*ln(abs(x))/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=-2..2,-2.5..2); (3) y lg

(4) y lg2 xxxxx; 图形> plot([1/2*ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-1..1); 1. x

图形> plot([-ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-1..1);

6、由y sinx的图形作下列函数的图形

(1) y sin2x; > plot([sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);

(2) y 2sin2x; 图形> plot([2*sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);

(3) y 1 2sin2x; 图形> plot([1-2*sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);

习题1-5

1、某运输公司规定货物的吨公里运输价为:在a公里以内,每公里k元;超过a

4k元.求运价m和里程s之间的函数关系. 5

ks, 0 s a, 解：m 4ka k(s a), s a. 5 公里,超过部分每公里

2、拟建一个容积为v的长方体水池,设它的底为正方形,如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍,试将总造价表示成底边长的函数,并确定此函数的定义域.

解：依题意,设底边长为x,四周单位面积造价为a,则水池高为

那么总造价为 v, x2

y 2ax2 a 4 x v2v2 2a(x ), x (0, ). 2xx

3、设一矩形面积为A,试将周长s表示为宽x的函数,并求其定义域. 解：依题意,矩形的长为

s 2(x A,于是周长s为 xA), x (0, ). x

4、在半径为r的球内嵌入一圆柱,试将圆柱的体积表示为其高的函数,并确定此函数的定义域.

解：依题意,设圆柱的高为h,圆柱的半径为r (),那么圆柱的体积为 2h

22

2h2 h2

2y r () h h(r ), h (0,2r). 2 4

5、用铁皮做一个容积为v的圆柱形罐头筒,试将它的全面积表示成底半径的函数,并确定此函数的定义域.

解：依题意,设底半径为r,则圆柱形底面积为 r,高为22v,那么全面积为 r2

S 2 r2 2 r vv2 2( r ), r (0, ). r2r

6、按照银行规定,某种外币一年期存款的年利率为4.2%,半年期存款的年利率为4.0%,每笔存款到期后,银行自动将其转为同样期限的存款,设将总数为A单位货币的该种外币存入银行,两年后取出,问存何种期限的存款能有较多的收益？多多少？

解：依题意,半年期存款两年后本利和为A1 A(1 0.5 4.0%),

一年期存款两年后本利和为A2 A(1 4.2%),由于 24

A2 A1 A(1 4.2%)2 A(1 0.5 4.0%)4 0.00333184A.

所以, 一年期存款有较多的收益,多0.00333184A.

7、某工厂生产某种产品,年产量为x,每台售价250元,当年产量600台以内时,可以全部售出, 当年产量超过600台时,经广告宣传又可再多售出200台,每台平均广告费20元,生产再多,本年就售不出去了,建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系.

解：(1)当0 x 600时, R 250x；

(2)当600 x 800时,R 250x 20(x 600) 230x 12000；

(3)当x 800时,R 230 800 12000 196000.

250x, 0 x 600, 所以R 230x 12000, 600 x 800,

196000, x 800.

习题1-6

1、某厂生产录音机的成本为每台50元,预计当以每台x元的价格卖出时,消费者每月购买200 x台,请将该厂的月利润表达为价格x的函数.

解：依题意,月收入为R x(200 x),成本为C 50(200 x),则月利润为

L R C x(200 x) 50(200 x) (200 x)(x 50).

2、当某商品价格为P时,消费者对该商品的月需求量为D(P) 1200 020P0.

(1)画出需求函数图形；

(2)将月销售额(即消费者购买此商品的支出)表达为价格的函数；

(3)销售额的图形,并解释其经济意义.

解：(1) 图形> plot(12000-200*p,p=0..61);

(2)月销售额R(P) P D(P) 12000P 200P.

(3) > plot(12000*p-200*p^2,p=0..61);

22由于R(P) 12000P 200P 200(P 30) 180000,于是

①当商品价格不超过30时,月销售额随价格上涨而增加；

②当商品价格达到30时,月销售额随价格达到最大180000；

③当商品价格超过30时,月销售额随价格上涨而减少；

④当商品价格达到60时,因无需求量而使得月销售额0.

3、报纸的发行量以一定的速度增加,三个月前发行量为32000份,现在为44000份.

(1)写出发行量依赖于时间的函数关系,并画出图形； 2

(2)2个月后的发行量是多少？

解：(1)依题意,报纸的发行量每月增加44000 32000 4000份,若以现在3

为时间起点,用x表示报纸发行的月份数,那么发行量为

y 4000x 44000. 图形> plot(4000*x+44000,x=0..2);

(2)2个月后的发行量是y 4000 2 44000 52000份.

4、某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元,固定成本为7500元,可变成本为每台60元.

(1) 要卖多少台手掌机,厂家才可保本(收回投资)？

(2) 卖掉100台的话,厂家赢利或亏损了多少？

(3) 要获得1250元利润,需要卖多少台？

解：依题意,设手掌机卖掉x台,则厂家赢利为

L R C 110x (7500 60x) 50x 7500.

(1)令L 50x 7500 0,有x 150,即要卖150台手掌机,厂家才可保本.

(2)因L 50 100 7500 2500,可见卖掉100台的话,厂家亏损2500元.

(1)令L 50x 7500 1250,有x 175,即要获得1200元利润,需要卖175台.

5、有两家健身俱乐部,第一家每月会费300元,每次健身收费1元, 第二家每月会费200元,每次健身收费2元,若只考虑经济因素,你会选择哪一家俱乐部(根据年每月健身次数决定)？

解：依题意,设每月健身次数为x次,则第一家与第二家消费费用差额为

y (300 x) (200 2x) 100 x.

所以,当每月健身次数小于100次时,y 0,说明第一家比第二家消费费用要高,当然选择第二家,否则应选择第一家.

6、设某商品的需求函数与供给函数分别为D(P) 5600和S(P) P 10. P

(1)找出均衡价格,并求此时的供给量与需求量；

(2)在同一坐标中画出供给与需求曲线；

(3)何时供给曲线过P轴,这一点的经济意义是什么？

解：(1)令D(P) S(P),即5600 P 10,得均衡价格P 80. P

5600此时的供给量D(80) 70,需求量S(80) 80 10 70. 80

(2) 图形> plot([5600/p,p-10],p=8..100);

(3)令S(P) P 10 0,得P 10,说明只有当商品的价格超过10时,才有厂家愿意生产并提供该商品出售.

7、某化肥厂生产某产品1000吨,每吨定价为130元,销售量在700吨以内时,按原价出售,超过700吨时超过的部分需打9折出售,请将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出.

解：设总销售量为Q吨, 销售总收益为R元,依题意有

(1)当0 Q 700时, R 130Q；

(2)当700 x 1000时,

R 130 700 130 90% (Q 700) 117Q 9100.

130Q, 0 Q 700,所以R 117Q 9100, 700 Q 1000.

8、某饭店现有高级客房60套,目前租金每天每套200元则基本客满,若提高租金,预计每套租金每提高10元均有一套房间空出来,试问租金定为多少时,饭店房租收入最大？收入多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？

解：依题意,设每套租金提高10n元,n 0,1,2, ,59,饭店房租收入为

R (200 10n)(60 n) 10n2 400n 12000

10(n 20)2 16000.

可见,当n 20时, 房租收入达到最大R 16000元,

此时每套租金为200 10 20 400元,

这时饭店将空出n 20套高级客房.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gdoi.html