工程流体力学答案（陈卓如）第二章

［陈书2-8］容器中盛有密度不同的两种液体，问测压管A及测压管B的液面是否和容器中的液面O-O齐平？为什么？若不齐平，则A、B测压管液面哪个高？

ABOO?1?2

［解］依题意，容器内液体静止。

测压管A与上层流体连通，且上层流体和测压管A均与大气连通，故A测压管的液面与液面O-O齐平。

测压管B与上下层流体连通，其根部的压强为：

p??1gh1??2gh2?pa

其中h1为上层液体的厚度，h2为液体分界面到B管根部的垂向距离，pa为大气压 因测压管B与大气连通，其根部的压强又可表示为：

p??2gh?pa

其中h为B管内气液界面到B管根部的垂向距离 所以：?1gh1??2gh2??2gh

h??1h1??2h2?1?h1?h2

?2?2由此可知：若?1??2，B测压管的液面低于A测压管的液面和O-O面；若?1??2，B测压管的液面高A测压管的液面和O-O面；若?1??2，A、B测压管的液面和O-O面三者平齐。

又因为密度为?1的液体稳定在上层，故?1??2。

［陈书2-12］容器中有密度为?1和?2的两种液体，试绘出AB面上的压强分布图。

A?1?2B

［解］令上、下层液体的厚度分别为h1和h2，取垂直向下的方向为z轴的正方向，并将原点设在自由表面上，可写出AB表面上压强的表达式：

0?z?h1?pa??1gz p????p??gh??gz?h h?z?h?h112112?a整理得：

0?z?h1?pa??1gz p???pa???1??2?gh1??2gz h1?z?h1?h2P/PaP0??1gAC??2gBCP0??1gACP0ACBh/m

［陈书2-24］直径D=1.2m，L=2.5的油罐车，内装密度??900kgm的石油，油面高度为h=1m，以a?2ms的加速度水平运动。试确定油罐车侧盖 A和B上所受到的油液的作用

23力。

［解］取x坐标水平向右，y坐标垂直纸面向内，z坐标垂直向上，原点定在油罐的中轴线上。油液受到的体积力为：

fx??a fy?0 fz??g

由欧拉方程积分可得：p?pC??ax??gz

根据题意及所选的坐标系，当x?0,z?h时，p?pa 故：pa?pC??gh

pC?pa??gh

所以：p?pa??g?h?z???ax

因大气压的总体作用为零，故上式中可令pa?0 于是：p??g?h?z???ax

L,z?0 2L故该处的压强：pL??gh??a

2左侧盖形心的坐标：x??D2?12523.7N（取g?9.81ms2） 左侧盖所受油液的作用力：FL?pL?4L,z?0 2L故该处的压强：pR??gh??a

2右侧盖形心的坐标：x?D2?7439.1N（取g?9.81ms2） 左侧盖所受油液的作用力：FR?pR?4

［陈书2-26］盛有水的圆筒形容器以角速度?绕垂直轴作等速旋转，设原静水深为h，容器半径为R，试求当?超过多少时可露出筒底？

解：非惯性坐标系中相对静止流体满足欧拉方程：dp???Xdx?Ydy?Zdz? 等速旋转时液体所受的质量力为：

X??2rcos?，Y??2rsin?，Z??g

将其代入欧拉方程，积分得：

?1?p????2r2?gz??C

?2?自由表面中心处r=0，p?pa（大气压），再令此处的z坐标为：zC（令筒底处z=0），代入上式，得：

pa???gzC?C

所以：C?pa??gzC 所以：p????2r2?gz??pa??gzC

p?pa??gzC1??2r2?gz 2?1?2??等压面的方程：

?对于自由表面：p?pa，故自由表面的方程为：

??gzC?1??2r2?gz 2当筒底刚好露出时，zC?0，所以自由面方程为：

z?122?r 2g122?R 2g自由面与筒壁相交处的垂向坐标：H?旋转后的水体体积：

V??R2H???r2dz??R2h???00HH2gz?2dz??R2122g?2?R?2H2g???2g?2R4?g?122122?24?24?24?R?R??R??R??R2?2g2g2g4g4g

将水视为不可压缩流体，根据质量守恒，旋转前后的水体体积应相等，所以：

V??4g?2R4??R2h

2gh R所以：??

［陈书2-39］在由贮水池引出的直径D=0.5m的圆管中安装一蝶阀，h=10m，蝶阀是一个与管道直径相同的圆板，它能绕通过中心的水平轴回转。为不使该阀自行转动，问所需施加的力矩应为多大？

［解］将阀门的圆心定为坐标原点，z轴垂直向上，则压强分布为：

p??g?h?z?

由于静水压导致阀门所受的总力矩为：

M??R2?R23pzdA???2??2R2?R22pzR2?z2dz?2?gR3?24?h?Rsin??sin?cos2?d???2

?2?2?gRh?sin?cos?d??2?gR?2????22sin2?cos2?d?3?23?cos??422???2?gRh??2?gRsin?cos?d???3???2????2??2?gR4????22sin2?cos2?d??ei??e?i?22sin?cos????2?1??cos4??1?8M??2?gR4??2????2?ei??e?i???2???e2i??e?2i??????4??2?e4i??2?e?4i????16?

2?211?cos4??1?d????gR4??cos4??1?d???28??24所以： ?2??11??????gR4???sin4???????gR4?30.08N.m4???2????4?4

Pa，h=2m，R=1m。求［陈书2-43］图示一储水设备，在C点测得绝对压强为p?29430半球曲面AB所受到液体的作用力。

RABh2水 ［解］建立如图所示的坐标系，其中坐标原点取在球心，z轴垂直向上。以C为参考点，容器内任意点的压强可表达为：

h??p?pC??g?z??

2??作用在曲面AB上任意点处的压强均与表面垂直，即压力的作用线通过球心。简单分析可知，曲面上水平方向的液体合压力为零，液体的曲面的总作用力仅体现在垂直方向，且合力方向向上，且合力作用线通过球心。 球面的外法线方向：

????n?cos?cos?i,cos?sin?j,sin?k

??其中?为纬度角，?为经度角。 曲面AB上的垂向总液体压力：

Fz???20pnz2?rRd?

其中：nz?sin?，r?Rcos? 所以：Fz?2?R2??20psin?cos?d?

Fz?2?R2??20?h???p??gz????sin?cos?d??C2?????2?2???h??2?R2?pC?sin?cos?d???g??z??sin?cos?d??

002?????2?2h?2?2??2?R?pC?sin?cos?d???g?zsin?cos?d???g?sin?cos?d??0020???21将z?Rsin?和?sin?cos?d??代入上式，得：

02?21?1?Fz?2?R2?pC??gR?sin2?cos?d???gh?04?2??21?2?1?2?R?pC??gR?sin2?cos?d???gh?04?2?

1121?1????2?R2?pC??gR??gh???R2?pC??gR??gh?3432?2???Pa，h=2m，R=1m，??1000kgm和g?9.81ms代入，得： 将pC?29430Fz?41102.6N

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