《概率论与数理统计》习题及答案 - - 选择题

《概率论与数理统计》习题及答案

选 择 题

单项选择题

1．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ ）. （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”； （C）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； （D）“甲种产品滞销”.

解：设B?‘甲种产品畅销’，C?‘乙种产品滞销’，A?BC A?BC?B?C?‘甲种产品滞销或乙种产品畅销’. 选C. 2．设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ ）. （A）(A?B)?B?A?B; （B）(A?B)?B?A;

（C）(A?B)?AB?AB?AB; （D）(A?B)?C?(A?C)?(B?C).

解：(A?B)?B?AB?B?(A?B)?(B?B)?A?B ?A对. (A?B)?B?(A?B)B?AB?BB?AB?A?B?A B不对 (A?B)?AB?(A?B)?(B?A)?AB?AB. C对 ?选B. 同理D也对.

3．若当事件A,B同时发生时，事件C必发生，则（ ）. （A）P(C)?P(A)?P(B)?1； （B）P(C)?P(A)?P(B)?1； （C）P(C)?P(AB)； （D）P(C)?P(A?B).

解：AB?C?P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1 ? 选B.

4．设P(A)?a,P(B)?b,P(A?B)?c，则P(AB)等于（ ）. （A）a?b； （B）c?b； （C）a(1?b)； （D）b?a. 解：P(AB)?P(A?B)?P(A)?P(AB)?a?P(A)?P(B)?P(A?B)?c?b

·151·

? 选B.

5．设A,B是两个事件，若P(AB)?0，则（ ）.

（A）A,B互不相容； （B）AB是不可能事件； （C）P(A)?0或P(B)?0； （D）AB未必是不可能事件. 解：?P(AB)?0??AB??. ? 选D.

6．设事件A,B满足AB??，则下列结论中肯定正确的是（ ）. （A）A,B互不相容； （B）A,B相容； （C）P(AB)?P(A)P(B)； （D）P(A?B)?P(A). 解： A,B相容 ? A不对. A B A?B,B?A,AB?? ? B错.

A B (A)B?0 AB???P，而P(A)P(B)不一定为0 ? C错. )?P(A)?P(AB)? P(A?BP(. A ? 选D.

7．设0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1，则（ ） （A）A,B互不相容； （B）A,B互为对立； （C）A,B不独立； （D）A,B相互独立.

P(AB)P(AB)P(AB)P(A?B)P(AB)1?P(A?B) ?????P(B)P(B)P(B)1?P(B)P(B)1?P(B)P(AB)(1?P(B))?P(B)(1?P(A)?P(B)?P(AB)) ??

P(B)(1?P(B))22 P(B)?P(B)?P(AB)?P(B)?P(A)P(B)?P(B)

)?P(A)P( B ?P(AB ) ? 选D.

解：1? 8．下列命题中，正确的是（ ）. （A）若P(A)?0，则A是不可能事件；

（B）若P(A?B)?P(A)?P(B)，则A,B互不相容； （C）若P(A?B)?P(AB)?1，则P(A)?P(B)?1； （D）P(A?B)?P(A)?P(B).

解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A?B)?P(AB)?P(A)?P(B)?1 由P(A)?0??A??， ? A、B错.

只有当A?B时P(A?B)?P(A)?P(B)，否则不对. ? 选C.

· ·152

9．设A,B为两个事件，且B?A，则下列各式中正确的是（ ）. （A）P(A?B)?P(A)； （B）P(AB)?P(A)； （C）P(B|A)?P(B)； （D）P(B?A)?P(B)?P(A). 解：B?A?A?B?A?P(A?B)?P(A) ?选A. 10．设A,B是两个事件，且P(A)?P(A|B)；

（A）P(A)?P(A|B)； （B）P(B)?0，则有（ ） （C）P(A)?P(A|B)； （D）前三者都不一定成立.

P(AB)要与P(A)比较，需加条件. ?选D. P(B) 11．设0?P(B)?1,P(A1)P(A2)?0且P(A1?A2|B)?P(A1|B)?P(A2|B)，

解：P(A|B)?则下列等式成立的是（ ）.

（A）P(A1?A2|B)?P(A1|B)?P(A2|B)； （B）P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B)； （C）P(A1?A2)?P(A1|B)?P(A2|B)； （D）P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2).

解1：P(A1?A2|B)?P(A1|B)?P(A2|B)?P(A1A2|B)?P(A1|B)?P(A2|B) ?P(A1A2|B)?0?P(A1A2B)?0

P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B)?P(A1A2B)?P(A1B)?P(A2B) ? 选B.

解2：由P{A1?A2|B}?P(A1|B)?P(A2|B) 得

P(A1B?A2B)P(A1B)?P(A2B) ?P(B)P(B) 可见 P(A )B?A)?P(1A?)B(P2A1B2B ? 选B.

12．假设事件A,B满足P(B|A)?1，则（ ）. （A）B是必然事件； （B）P(B)?1； （C）P(A?B)?0； （D）A?B.

P(AB)?1?P(AB)?P(A)?P(A)?P(AB)?0 P(A) ?P(A?B)?0 ? 选C.

13．设A,B是两个事件，且A?B,P(B)?0，则下列选项必然成立的是

解：P(B|A)?( ).

·153·

（A）P(A)?P(A|B)； （B）P(A)?P(A|B)； （C）P(A)?P(A|B)； （D）P(A)?P(A|B).

P(AB)A?BP(A)????P(A) 解：P(A|B)?P(B)P(B) A?B?P(A)?P(B)0?P(B)?1 ?选B

（或者：A?B,P(A)?P(AB)?P(B)P(A|B)?P(A|B)）

14．设P(B)?0,A1,A2互不相容，则下列各式中不一定正确的是（ ）. （A）P(A1A2|B)?0；

（B）P(A1?A2|B)?P(A1|B)?P(A2|B)； （C）P(A1A2|B)?1； （D）P(A1?A2|B)?1.

解：P(A1A2)?0??A1A2??

P(A1A2B)?0 A对.

P(B) P(A1?A2|B)?P(A1|B)?P(A2|B)?P(A1A2|B) ?P(A1|B)?P(A2|B) B对.

P(A1A2|B)? P(A1A2|B)?P(A1?A2|B)?1?P(A1?A2|B)

?1?P(A1|B)?P(A2|B)?1 C错. P(A1?A2|B)?P(A1A2|B)?1?P(A1A2|B)?1?0?1 D对. ∴ 选C.

15．设A,B,C是三个相互独立的事件，且0?P(C)?1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）.

（A）A?B与C； （B）AC与C； （C）A?B与C； （D）AB与C.

解：P[(A?B)C]?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?(1?P(A))(1?P(B))P(C) ?[1?(P(A)?P(B)?P(A)P(B))]P(C)?P(A?B)P(C) A对. P(ACC)?P[(A?C)C]?P(AC?CC)?P(AC)?P(C)?P(AC) ?P(C)?P(AC)P(C) ?AC与C不独立 ? 选B.

16．设A,B,C三个事件两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是（ ）.

（A）A与BC独立； （B）AB与A?C独立； （C）AB与AC独立； （D）A?B与A?C独立.

· ·154

解：?A,B,C两两独立， ?若A,B,C相互独立则必有

P(A)P(B)P(?C)P(A)P(CA与BC独立. B ? 反之，如A与BC独立则P(ABC)?P(A)P(BC)?P(A)P(B)P(C) )? P(ABC ?选A.

17．设A,B,C为三个事件且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是（ ）. （A）若P(C)?1，则AC与BC也独立； （B）若P(C)?1，则A?C与B也独立； （C）若P(C)?1，则A?C与A也独立； （D）若C?B，则A与C也独立.

解：?P(AB)?P(A)P(B),P(C)?1?概率为1的事件与任何事件独立 ?AC与BC也独立. A对. P[(A?C)?B]?P[(A?C)B]?P(AB?BC)

)?P(BC)? ?P(ABP(AB)?C?(PA)C ( PB ?B对.

P[(A?C)A]?P(ACA)?P(AC)?P(A)P(C)?P(A)P(AC) ∴ C对 ∴ 选D（也可举反例）.

18．一种零件的加工由两道工序组成. 第一道工序的废品率为p1，第二道工序的废品率为p2，则该零件加工的成品率为（ ）. （A）1?p1?p2； （B）1?p1p2； （C）1?p1?p2?p1p2； （D）(1?p1)?(1?p2). 解：设A?成品零件，Ai?第i道工序为成品 i?1,2. P(A1)?1?p1 P(A2)?1?p2 P(A)?P(1A2A?) ∴ 选C.

19．设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为（ ）.

4434 （A）C10p(1?p)6； （B）C9p(1?p)6； 3344 （C）C9p(1?p)6. p(1?p)5； （D）C9P(1A)P(2?A(1)?p1)(1?p2) ?1?p1?p2?p1p2

解：说明前9次取得了3次成功 ∴ 第10次才取得第4次成功的概率为 C9p(1?p)p?C9p(1?p) ∴ 选B.

20．设随机变量X的概率分布为P(X?k)?b?,k?1,2,?,b?0，则

k336346 ·155·

（ ）.

（A）?为任意正实数； （B）??b?1； （C）???11； （D）??. 1?bb?1?k? 解：

?P(X?K)??b??b??k?bk?1k?1k?1?1???b??1 1??1 选C. 1?b 21．设连续型随机变量X的概率密度和分布函数分别为f(x)和F(x)，则

? ??下列各式正确的是（ ）.

（A）0?f(x)?1； （B）P(X?x)?f(x)； （C）P(X?x)?F(x)； （D）P(X?x)?F(x). 解：F(x)?P(X?x)?P(X?x) ∴ 选D. 22．下列函数可作为概率密度的是（ ）. （A）f(x)?e,x?R； 1 （B）f(x)?,x?R； 2?(1?x)?1?xe2,x?0,? （C）f(x)??2?

?0,x?0;??1,|x|?1, （D）f(x)??

?0,|x|?1. 解：A： B：

2?|x|?????e?|x|dx?2???0e?xdx?2???0e?xdx?2 ∴ 错.

dx11?????arctanx?[?]?1 ????(1?x2)????221 且 f(x)? ∴ 选B. ?0x?R2?(1?x)?? 23．下列函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（ ）.

111F(x)??arctanx； ； （B）

2?1?x2?1?xx?0?(1?e), （C）F(x)??2

?,x?0;?0 （A）F(x)? · ·156

x?? （D）F(x)???f(t)dt，其中?????f(t)dt?1.

解：对A：0?F(x)?1，但F(x)不具有单调非减性且F(??)?0 ∴A不是. 对B：?22 由arctanx是单调非减的 ∴ F(x)是单调非减的.

11?11? F(??)???(?)?0 F(??)????1.

2?22?2 F(x)具有右连续性. ∴ 选B.

24．设X1,X2是随机变量，其分布函数分别为F1(x),F2(x)，为使

?arctanx?? ∴ 0?F(x)?1.

F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值

中应取（ ）.

3222,b??； （B）a?,b?； 55331313 （C）a??,b?； （D）a?,b?.

2222 解：F(??)?aF只有A满足 1(??)?bF2(??)?0，F(??)?a?b?1，

（A）a? ∴ 选A

25．设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(?x)?f(x),F(x)是X的分布函数，则对任意实数a有（ ）. （A）F(?a)?1?a0?f(x)dx；

a1 （B）F(?a)???f(x)dx；

02 （C）F(?a)?F(a)；

（D）F(?a)?2F(a)?1. 解：F(?a)? ????a??f(x)dx???a??f(??)du????a0??f(u)du f(x)dx??a0????f(x)dx??a??f(x)dx?1?(?f(x)dx)

?1? 由

aa11??f(x)dx???f(x)dx

0022??0?????f(x)dx?2?f(x)dx?1 ?2???0f(x)dx??0??f(x)dx?1 2 ∴ 选B.

26．设随机变量X~N(1,2)，其分布函数和概率密度分别为F(x)和

·157·

f(x)，则对任意实数x，下列结论中成立的是（ ）.

（A）F(x)?1?F(?x)； （B）f(x)?f(?x)； （C）F(1?x)?1?F(1?x)；

?1?x??1?x??1?F???. 22???? 解：?X~N(1,22)?f(x)以x?1为对称轴对称. ?P(X?1?x)?P(X?1?x)

即 F(1?x)?1?P(X?1?x)?1?F(1?x)

（D）F? ∴ 选C.

27．设X~N(?,42),Y~N(?,52)，设P(X???4)?1p，

P(Y???5)?p2，则（ ）.

（A）对任意实数?有p1?p2； （B）p1?p2；

（C）p1?p2； （D）只对?的个别值才有p1?p2.

???4??? 解：p1?P(X???4)??????(?1)?1??(1)

4?????5??? p2?P(Y???5)??1P(Y????5)??1?1 (1)????5?? ∴ p1?p2 ∴ 选A （or利用对称性） 28．设X~N则随着?的增大，概率P(|X??|??)的值（ ）. (?,?)2，

（A）单调增大； （B）单调减少； （C）保持不变； （D）增减不定.

解：P(|X??)|???P(????X????)??(1)??(?1)?2?(1)?1 ∴ 不随?变 ∴ 选C.

29．设随机变量X的分布函数为FX(x)，则Y?5X?3的分布函数 FY(y)为（ ）.

（A）FX(5y?3)； （B）5FX(y)?3； （C）FX?1?y?3??； （D）FX(y)?3.

5?5?1(y?3)) 5 解：FY(y)?P(Y?y)?P(5X?3?y)?P(X? ?FX??y?3?? ∴ 选C. 5?? · ·158

1，则Y?2X的概率密度为（ ）. 2?(1?x)11 （A）； （B）；

?(4?y)2?(1?4y2)22 （C）； （D）.

?(4?y2)?(1?y2)y?y? 解：FY(y)?P(Y?y)?P(2X?y)?P(X?)?FX??

2?2?1?y?112? ? fY(y)?fX???? ∴ 选C. 22y2?2?2?(4?y)?(1?)4 31．设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为

X?11Y?11 11 11

PP2222 30．设X的概率密度为f(x)?则下列式子正确的是（ ）.

（A）X?Y； （B）P(X?Y)?0；

1； （D）P(X?Y)?1. 2 解：A显然不对. P(X?Y)?P(X??1,Y??1)?P(X?1,Y?1)

（C）P(X?Y)? ?P(X??1)P(Y??1)?P(X?1)P(Y?1)?∴ 选C.

32．设X~N(0,1),Y~N(1,1)，且X与Y相互独立，则（ ）.

11111???? 2222211； （B）P(X?Y?1)?； 2211 （C）P(X?Y?0)?； （D）P(X?Y?1)?.

22 解：X~N(0,1)Y~N(1,1)且独立 ∴ X?Y~N(1,2)

（A）P(X?Y?0)? P(X?Y?1)?P(X?Y?1)??(0)? 33．设随机变量

1 ∴ 选B. 2??1Xi~?1??4且满足P(X1X2?0)?1，则P(X1

01?11?,i?1,2

?24??X2)?（ ）.

·159·

（A）0； （B）1/4； （C）1/2； （D）1. 解：

X1 X2 ?10140?1 001401014104111pi?424 P(X1X2?0)?1?P(X1X2?0)?0

∴ P(X1?X2)?P(X1?X2??1)?P(X1?X2?0)?P(X1?X2?1)

1 ?0?0?0?0 ∴ 选A.

34．设随机变量X取非负整数值，P(X?n)?an(n?1)，且EX?1，则

p?j1412 14a的值为（ ）.

3?53?5 （A）； （B）；

223?5 （C）； （D）1/5.

2 解：1?EX??nan?1?n?a?nan?1?n?1?a?(X)?nn?1?X?a?a(?Xn?1)?n?0?X?a

??x? ?a??1?x??2?aX?a1

(1?a)2 ∴ a?(1?a),a?3a?1?0,a? ∴ a?23?5，但a?1. 23?5. ∴ 选B. 2 35．设连续型随机变量X的分布函数为

1?1?x?1,?x4,F(x)??

?0,x?1,?则X的数学期望为（ ）.

· ·160

（A）2； （B）0； （C）4/3； （D）8/3.

?5??4x 解：f(x)????0x?1x?1

EX???1x??dx41?3?4? dx?4?4?(?)x?1x413x53 ∴ 选C.

36．已知X~B(n,p),EX?2.4,DX?1.44，则二项分布的参数为（ ）. （A）n?4,p?0.6； （B）n?6,p?0.4； （C）n?8,p?0.3； （D）n?24,p?0.1.

EX?np?2.4? 解：??q?1.44?2.4?0.6?p?0.4 n?6

DX?npq?1.44? ∴ 选B.

37．已知离散型随机变量X的可能值为x1??1,x2?0,x3?1，且

EX?0.1,DX?0.89，则对应于x1,x2,x3的概率p1,p2,p3为（ ）.

（A）p1?0.4,p2?0.1,p3?0.5；（B）p1?0.1,p2?0.1,p3?0.5； （C）p1?0.5,p2?0.1,p3?0.4；（D）p1?0.4,p2?0.5,p3?0.5.

??? 22DX?EX?(EX)?EX?0.89?(0.1)?0.9?p1?p3???p1?0.4? ??p2?0.1 ∴ 选A.

?p?0.5?3解： EX?0.1??p1?p3 22 38．设X~N(2,1),Y~N(?1,1)，且X,Y独立，记Z?3X?2Y?6，则Z~__________.

（A）N(2,1)； （B）N(1,1)； （C）N(2,13)； （D）N(1,5). 解：X~N(2,1)Y~N(?1,1)且独立

∴ EZ?E(3X?2Y?6)?2. DZ?9DX?4DY?9?4?13.

又独立正态变量的线性组合仍为正态变量，∴ Z~N(2,13) ∴ 选C.

39．设X~N(2,9),Y~N(2,1),E(XY)?6，则D(X?Y)之值为（ ）.

·161·

（A）14； （B）6； （C）12； （D）4. 解：D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)， cov(X,Y)?EXY?EXEY?6?4?2 D(X?Y)?9?1?2?2?6. ∴ 选B.

40．设随机变量X的方差存在，则（ ）.

（A）(EX)2?EX2； （B）(EX)2?EX2； （C）(EX)2?EX2； （D）(EX)2?EX2.

解：DX?EX2?(EX)2?0 ? EX2?(EX)2. ∴ 选D. 41．设X1,X2,X3相互独立，且均服从参数为?的泊松分布，令

1Y?(X1?X2?X3)，则Y2的数学期望为（ ）.

3111222 （A）?； （B）?； （C）???； （D）???.

333 解：?X1X2X3独立~P(?) ?(X1?X2?X3)~P(3?)

E(X1?X2?X3)?D(X1?X2?X3)?3?

1?D(X1?X2?X3)? 932222 ?EY?(EY)?EY??

?22 ∴ EY??? ∴选C.

3 42．设X,Y的方差存在，且EXY?EXEY，则（ ）.

D[(X1?X2?X3)]?13 （A）D(XY)?DXDY； （B）D(X?Y)?DX?DY； （C）X与Y独立； （D）X与Y不独立. 解：D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)

?DX?DY?2(EXY?EXEY)?DX?DY ∴选B.

XDY?0，则必有 43．若随机变量X,Y满足D(X?Y)?D(X?Y)，且D（ ）.

（A）X,Y独立； （B）X,Y不相关； （C）DY?0； （D）D(XY)?0.

解：D(X?Y)?D(X?Y)?cov(X,Y)?0?P?0?X,Y不相关. ∴ 选B.

44．设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X?Y)?DX?DY是X,Y · ·162

（ ）.

（A）不相关的充分条件，但不是必要条件； （B）独立的必要条件，但不是充分条件； （C）不相关的必要条件，但不是充分条件； （D）独立的充分必要条件.

解：由D(X?Y)?DX?DY?cov(X,Y)?0???0?X与Y不相关 ∴ D(X?Y)?DX?DY是不相关的充要条件. A、C不对. 由独立?D(X?Y)?DX?DY，反之不成立 ∴ 选B.

45．设X,Y的相关系数?XY?1，则（ ）

（A）X与Y相互独立； （B）X与Y必不相关； （C）存在常数a,b使P(Y?aX?b)?1； （D）存在常数a,b使P(Y?aX?b)?1. 解：|?XY|?1?存在a,b使P(Y?aX?b)?1 ∴ 选C.

46．如果存在常数a,b(a?0)，使P(Y?aX?b)?1，且0?DX???，那么X,Y的相关系数?为（ ）.

（A）1； （B）–1； （C）|?|?1； （D）|?|?1. 解：cov(X,Y)????cov(X,aX?b)?acov(X,X)?aDX DY????aDX ?XY以概率12以概率12covX(,Y)以概率1aDXa??????

|a|DX|a|DX?DY ?|?|?1，以概率1成立. ∴ 选C.

47．设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为

X

Y 00.100.210.050.10.120.25 0.20012则（ ）.

（A）X,Y不独立； （B）X,Y独立； （C）X,Y不相关； （D）X,Y独立且相关.

·163·

解：P(X?0,Y?0)?0.1

P(X?0)P(Y?0)?(0.1?0.05?0.25)(0.1?0.2) ?0.4?0.3?0.12 P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0) ∴ X与Y不独立. ∴ 选A.

48．设X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C和??0，必有（ ）.

（A）P(|X?C|??)?E|X?C|/?； （B）P(|X?C|??)?E|X?C|/?； （C）P(|X?C|??)?E|X?C|/?； （D）P(|X?C|??)?DX/?2. 解：P(|X?C|??)? ?? ∴ 选C.

49．设随机变量X的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有P(|X?EX|?10)（ ）.

（A）?0.25； （B）?0.75； （C）?0.75； （D）?0.25. 解：P(|X?EX|?10)?1? ∴ 选C.

50．设X1,X2,?为独立随机变量序列，且Xi服从参数为?的泊松分布，

?????|X?C|??f(x)dx??f(x)dx?1|X?C||X?C|???f(x)dx

|X?C|??E|X?C|

DX?2?1?253??0.75 1004i?1,2,?，则（ ）.

?n?X?n??i???i?1? （A）limP??x???(x)；

n??n??????? （B）当n充分大时， （C）当n充分大时，

?X?Xi?1i?1nni近似服从标准正态分布； 近似服从N(n?,n?)；

i · ·164

n （D）当n充分大时，P(?Xi?1i?x)??(x).

解：由独立同分布中心极限定理? ∴ 选C

i?1n???Xni近似服从N(n?,n?)

51．设X1,X2,?为独立随机变量序列，且均服从参数为?的指数分布，则（ ）.

n?n?X??i????i?1? （A）limP??x???(x)； 2n???n/???????n??X?n?i???i?1? （B）limP??x???(x)；

n??n??????1?n?X??i????i?1? （C）limP??x???(x)； 2n???1/???????n??X?n?i???i?1? （D）limP??x???(x).

n??n??????11?n?n?n?n 解：EXi? DXi?2 E??Xi?? D??Xi??2

???1???1???n??n?n?X?nX??i?i??????1??1??x???(x). 由中心极限定理limP??x??limP?n??n??nn?????????2???? ∴ 选B.

52．设X1,X2,X3,X4是总体N(?,是统计量的是（ ）.

?2)的样本，?已知，?2未知，则不

·165·

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gdc5.html