高考数学(理)一轮讲义：第32讲 不等关系与不等含答案

第六章 不等式、推理与证明 第32讲 不等关系与不等式

考纲要求

考情分析

命题趋势

1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法：????

?

a －

b ＞0?a __＞__b ，a －b ＝0?a __＝__b ，

a －

b ＜0?a __＜__b .

(2)作商法：?????

a

b

＞1?a __＞__b (a ∈R ，b ＞0)，a

b ＝1?a __＝__b (a ∈R ，b ＞0)，

a b ＜1?a __＜__b (a ∈R ，b ＞0).

2．不等式的基本性质

(1)倒数的性质

①a ＞b ，ab ＞0?1a __＜__1b

. ②a ＜0＜b ?1a __＜__1b

. ③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ?a c __＞__b d

. ④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0?1b __＜__1x __＜__1a

. (2)有关分数的性质

若a ＞b ＞0，m ＞0，则：

①b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m

(b －m ＞0)． ②a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m

(b －m ＞0)．

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．( √ )

(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × )

(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × )

(4)同向不等式具有可加和可乘性．( × )

(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( √ )

解析 (1)正确．两个实数a ，b 之间的大小关系只有三种．

(2)错误．同乘以一个负数或0时不等号改变．

(3)错误．如－2<2，而－12＜12

. (4)错误．同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性，如1＜2，－3＜－2，但－3>－4.

(5)正确．当这个比值中的分母小于零时，分子小于分母，当这个比值中的分母大于零

时，分子大于分母．

2．下列四个结论，正确的是( D )

①a ＞b ，c ＜d ?a －c ＞b －d ；

②a ＞b ＞0，c ＜d ＜0?ac ＞bd ；

③a ＞b ＞0?3a ＞3

b ；

④a ＞b ＞0?1a 2＞1b 2. A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．①③ 解析 利用不等式的同向可加性可知①正确；对②根据不等式的性质可知ac ＜bd ，故②

不正确；因为函数y ＝x 13

是单调递增的，所以③正确；对④由a ＞b ＞0可知a 2＞b 2＞0，所以1a 2＜1b 2，所以④不正确，故选D ． 3．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( D )

A ．a c ＞b d

B ．a c ＜b d

C ．a d ＞b c

D ．a d ＜b c

解析 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0.即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0，得a －d ＞b －c

，从而有a d ＜b c

. 4．设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( D )

A ．ac ＞bc

B ．1a ＜1b

C ．a 2＞b 2

D ．a 3＞b 3

解析 y ＝x 3在(－∞，＋∞)上为增函数，所以a 3＞b 3.

5．下列各组代数式的判断正确的是__①③④__.

①x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9；

② (x －3)2＜(x －2)(x －4)；

③当x ＞1时，x 3＞x 2－x ＋1；

④x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)．

解析 ①2x 2＋5x ＋9－x 2－5x －6＝x 2＋3>0；

所以x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9，故①正确．

②(x －3)2－(x －2)(x －4)＝1，

所以(x －3)2＞(x －2)(x －4)，故②错误．

③当x ＞1时，x 3－(x 2－x ＋1)＝(x －1)(x 2＋1)＞0，

所以当x ＞1时， x 3＞x 2－x ＋1，故③正确．

④x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，

所以x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)，故④正确．

一 比较两个数(式)的大小

比较大小的常用方法

(1)作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论．用作差法比较大小的关键是变形，将差式变成乘积的形式，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．

(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论．要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．

(3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小．

(4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特殊值验证法比较大小．

【例1】 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( B )

A ．M ＜N

B ．M ＞N

C ．M ＝N

D ．不确定

(2)对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：

①log a (1＋a )＜log a ????1＋1a ；②log a (1＋a )＞log a ????1＋1a ；③a 1＋a ＜a 1＋1a ；④a 1＋a ＞a 1＋1a

.其中成立的是( D )

A ．①与③

B ．①与④

C ．②与③

D ．②与④ (3)若a ＝ln 33，b ＝ln 22

，则a 与b 的大小关系为__a ＞b __. 解析 (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1

＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，

又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1＜0，a 2－1＜0.

∴(a 1－1)(a 2－1)＞0，即M －N ＞0.∴M ＞N .

(2)当0＜a ＜1时，(1＋a )－????1＋1a ＝(a ＋1)(a －1)a

＜0， 则1＋a ＜1＋1a

，因此②④成立． (3)∵a ＝ln 33＞0，b ＝ln 22＞0，

∴a b ＝ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8

＞1，∴a ＞b . 二 不等式的性质及应用

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．

【例2】 (1)已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a ＞b 且c >d ”是“ac ＋bd ＞bc ＋ad ”的( A )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)若1a ＜1b

＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②||a ＞||b ；③a ＜b ；④ab ＜b 2中，正确的不等式有( C )

A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．③④

解析 (1)因为c ＞d ，所以c －d ＞0.又a ＞b ，所以两边同时乘以(c －d )，得a (c －d )＞b (c －d )，即ac ＋bd >bc ＋ad .若ac ＋bd ＞bc ＋ad ，则a (c －d )＞b (c －d )，所以可能a >b 且c >d ，也可能a ＜b 且c ＜d ，所以“a ＞b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的充分不必要条件．

(2)因为1a ＜1b

＜0，所以b ＜a ＜0，a ＋b ＜0，ab ＞0，所以a ＋b ＜ab ，||a ＜||b ，在b ＜a 两边同时乘以b ，因为b ＜0，所以ab ＜b 2.因此正确的是①④.

三 利用不等式的性质求范围

应用不等式性质求范围问题的注意点

应用不等式的性质求某些代数式的取值范围应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．此外，这类问题还可以用线性规划的知识求解．

【例3】 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解析 f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b .

由题意，得????? 1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4.设m (a －b )＋n (a ＋b )＝4a －2b ，

则????? m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得?????

m ＝3，n ＝1.故f (－2)＝3(a －b )＋(a ＋b )． ∵3≤3(a －b )≤6,2≤a ＋b ≤4，∴5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10，

即5≤f (－2)≤10，∴f (－2)的取值范围是 [5,10]．

1．若a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( C )

A ．a 2＞b 2

B ．a b ＞1

C ．2a ＞2b

D ．lg(a －b )＞0

解析 A 项，当a ＝－1且b ＝－2时，显然满足a ＞b ，但不满足a 2＞b 2，故错误；B 项，

当a ＝－1且b ＝－2时，显然满足a ＞b ，但a b ＝12

，故错误；C 项，由指数函数的单调性可知当a ＞b 时，2a ＞2b ，故正确；D 项，当a ＝－1且b ＝－2时，显然满足a ＞b ，但lg(a －b )＝lg 1＝0，故错误，故选C ．

2．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a

的取值范围为( B ) A ．(1，＋∞)

B ．(0,2)

C ．(1,3)

D ．(0,3)

解析 由已知及三角形的三边关系得????? a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，

a ＋c ＞

b ，

∴????? 1＜b a ＋c a ≤3，1＋b a ＞c a ，

1＋c a ＞b a ，∴??? 1＜b a ＋c a ≤3，－1＜c a －b a ＜1，

两式相加得，0＜2×c a ＜4，∴c a

的取值范围为(0,2)，故选B ． 3．下列命题中正确的是( C )

A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd

B ．若ac ＞bc ，则a ＞b

C ．若a c 2＜b c 2，则a ＜b

D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d

解析 由不等式的性质知C 项正确，故选C ．

4．已知30°≤α＋β≤45°，－30°≤α－2β≤30°，求5α－4β的取值范围．

解析 易求得5α－4β＝2(α＋β)＋3(α－2β)，

∵30°≤α＋β≤45°，－30°≤α－2β≤30°，

∴－30°≤5α－4β≤180°.

易错点 不等式的变形不等价

错因分析：①乱去分母；②忘掉分母可正、可负、不可以为零．

【例1】 若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝?????

x ?????1x ≤1，则A ∩B ＝________. 解析 A ＝{x |－1≤x ≤1}．由1x ≤1得1－x x

≤0， ∴?????

x (1－x )≤0，x ≠0，解得x <0或x ≥1，∴B ＝{x |x <0或x ≥1}．因此A ∩B ＝{x |－1≤x <0或x ＝1}．

答案 {x |－1≤x <0或x ＝1}

【跟踪训练1】 已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( C )

A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2

B ．若a c ＞b c

，则a ＞b C ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1b

D ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b

解析 当c ＝0时，可知A 项不正确；当c ＜0时，可知B 项不正确；对于C 项，由a 3

＞b 3且ab ＜0知a ＞0且b ＜0，所以1a ＞1b

成立，C 项正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 项不正确．

课时达标 第32讲

[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．

一、选择题

1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a

”是“0

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析 可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a

，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a

，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a

”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件． 2．若1a <1b

<0，则下列结论不正确的是( D ) A ．a 2

B ．ab

C ．a ＋b <0

D ．|a |＋|b |>|a ＋b |

解析 令a ＝－1，b ＝－2代入选项验证可知D 项错误，故选D ．

3．(2018·浙江富阳模拟)如果a ，b ，c 满足c A ．ab >ac

B ．bc >ac

C ．cb 2

D ．ac (a －c )<0

解析 因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 项均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．

4．(2016·北京卷)已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( C )

A ．1x －1y

＞0 B ．sin x －sin y ＞0 C ．????12x －????12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0

解析 函数y ＝????12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，????12x

?12y <0，故C 项正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴x >y >0?1x <1y ?1x －1y

<0，故A 项错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 项错误；x >y >0?xy >1?ln(xy )>0?ln x ＋ln y >0，故D 项错误．

5．(2016·浙江卷)已知a >0，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( D )

A ．(a －1)(b －1)<0

B ．(a －1)(a －b )>0

C ．(b －1)(b －a )<0

D ．(b －1)(b －a )>0

解析 讨论a 的取值范围，可以利用指数式、对数式的互化将条件转化为a 与b 的关系，再判断即可．∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1，

∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为log a b >log a a ，

∴b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，

(b －1)(b －a )>0.当01可化为log a b >log a a ，即0∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.故选D ．

6．(2018·陕西西安检测)设α∈????0，π2，β∈????0，π2，那么2α－β3

的取值范围是( D ) A ．?

???0，5π6 B ．????－π6，5π6 C ．(0，π)

D ．???

?－π6，π 解析 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6

， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3

＜π. 二、填空题

7．(2018·山西四校联考)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是__a b 2＋b a 2≥1a ＋1b __. 解析 a b 2＋b a 2－????1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )????1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2

. 因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，

所以(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，所以a b 2＋b a 2≥1a ＋1b

. 8．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3

y 4的最大值是__27__. 解析 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4

y

2≤81. 又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13

， ∴2≤x 3y 4≤27.∴x 3

y

4的最大值是27. 9．(2018·贵州遵义模拟)已知下列结论：

①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b

； ③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1a . 其中正确的是__①③④__(只填序号即可)．

解析 对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确； 对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；

对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0， ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确．

三、解答题

10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a

的大小． 解析 ∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1

， a 2＋a ＋1＝????a ＋122＋34

>0， ∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a

. 11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg x y

≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围． 解析 设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，

lg x y

＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， ∴????? m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得?????

m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg x y . ∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg x y

≤4， ∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．

12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a

的取值范围． 解析 ∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．

又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0，

∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞c a

， 即－2＜c a ＜－12，故c a

的取值范围是????－2，－12.