拉格朗日方程对平衡问题的应用

目 录

摘 要................................................................................................................... 1 关键字................................................................................................................... 1 Abstract ................................................................................................................. 1 Key Words............................................................................................................ 1

1引 言................................................................................................................ 1 2拉格朗日方程的推导.................................................................................... 1 3在物体平衡上的应用.................................................................................... 3 2.1平衡体系中拉格朗日的特殊形式 .............................................................. 3 2.2实例 .............................................................................................................. 4 4结论 .................................................................................................................... 5

参考文献 .............................................................................................................. 5

拉格朗日方程对平衡问题的运用

摘 要：本文通过对拉格朗日方程得推导和对其可以在平衡系统中运用的原因的阐述，来说明了拉格朗日方程在平衡系统中运用的可行性和方便性，并通过举例说明了一类较典型的问题和解决该问题的方法。

关键字：拉格朗日;平衡;约束力;广义坐标

The Use Of The Lagrange Equation To Balance

Abstract: By Lagrange's equations pushed to this article, and can cause the ap -plication of the balanced system set out to illustrate the Lagrangian of the feasibility and ease of application of the balanced system, and illustrates a more typical issues and ways to solve the problem.

Key Words: Lagrange; balance; binding; generalized coordinates

1引言

牛顿运动力学[1]作为描述物体运动的重要方程大家都有了解，但本文介绍的拉格朗日方程，在力学体系特别是动力学体系有着举足轻重的地位，同时在平衡问题上也发挥了一定的作用，本文将带领大家了解并熟悉这一方程，和它在平衡问题上的运用。

2拉格朗日方程的推导

拉格朗日方程的判定是由其坐标的性质决定的。直接有广义坐标所表示的方程就是拉格朗日方程[2]。我们常以q来表示广义坐标，而一个系统所拥有的广义坐标个数是由系统的自由度和约束条件所确定，一般满足s=3n-k（其中那位所含物体的个数，k是系统的约束条件个数，s是广义坐标个数）。

当确定了广义坐标后，该系统的ri物体位置即可表示为：

?? ri?ri(q1,q2,?qs,t) (1)

利用上式将达朗贝尔方程[3]中的?ri和ri用广义坐标表示出来就可得到拉格朗日方程，推导如下： 由(1)式得

s ?ri????1?ri?q??q? (2)

1

将(2)式代入达朗贝尔方程得：

ns

?i?1(Fi?m??ri)????1?ri?q??q??0 (3)

化简(3)式得：

sn

ri)??[?(Fi?m????1i?1?ri?q?]?q??0 (4)

要使(4)式成立则?q?系数为0即：

n

?i?1(Fi?m??ri)??ri?q??0 (??1?s) (5)

或写为

n

?i?1m??r??ri?q?n??i?1Fi??ri?q??Q? (6)

其中我们把Q?称作广义力，即由广义坐标所表示的系统所受合力的量，为方便计算，我们降介(6)式如下：

n

?i?1m??r?ri?q??ddtn?i?1(mi??ri??ri?q?n)??mi??ri?i?1???ri?q? (7)

又有(1)式中知道

ri? ??ddtsri(q1,q2?qs,t)???q??1?ri????q?ri?t

(8)

于是可以用广义坐标表示出系统的动能T

T?.12?i?T(q1,q2?qs;q?1,q?2?q?s;t) mr2(9)

由(8)和(9)式得出T对q?和q?的导数

?T?q??T???qn??i?1n?T?i?r?T?i?r??i?r?q??i?r???qn??i?1n?i?mr?i?r?q??i?r???q (10)

??i?1???i?1?i?mr (11)

再将(10)和(11)式代入到(7)式即可得到

d?Tdt??q???T??q?Q?

(12)

2

其中我们就把(12)式称作理想完整体系的普遍拉格朗日方程，也就是一般方程，就是我们所求的最终方程，但由于在理论基础上我么通常所求的系统一般都是保守力，所以一般方程就可以进行一定的变换。即我们可以把保守力用-?V来表示，那么广义力Q?可表示如下：

n Q????i?1?V?r??r?q????V?q? (13)

将其代入(12)式可得

d?T??dt?q??（T-V）?Q?

?q? (14)

我们令L?T?V有V为保守力能量即势能，则只与q?和t有关则(14)式可改写为

d?L??dt?q??L?q??0

(15)

则(15)式就是理想完整条件下所受力是保守力[4]的拉格朗日方程，也就是我们在研究基础理论常要用到的方程。

当然为方便期间，当系统即有保守力又有非保守力时我们可以把非保守力用Q?表示出来则又有拉格朗日方程为：

d?L??dt?q??L?q??Q?

(16)

有以上推导过程可知道拉格朗日方程是描述物体运动的动力学方程[5]，即是另一种标量形式的动力学方程，就这一方面而言，他比牛顿的矢量描述在计算上要简单的多。

3在物体平衡上的应用

3.1平衡体系中拉格朗日的特殊形式

作为动力学的拉格朗日方程[6]为何可以在平衡问题上加以运用，很明显，平衡也是一种运动的状态，所以可以运用拉格朗日方程，有L?T?V这个式子我们知道，当物体处于平衡状态时，他的速度唯一恒定值，也就是说是T个常数则在这种情况下，拉格朗日方程可以变形为下式：

n Q???Fi?1i??ri?q??0 (??1?s) (17)

或

3

?V?q??0

(18)

也就是说只需要知道系统所受的保守力的势能广义坐标表达式V(q1,q2?qs)，然后代入(18)式解微分方程就可以求出系统的位移表达关系式。同时根据

?? Fi?mr (19) i可得出系统所受约束力的大小和方向。 3.2实例

下面举一个实际的例子来说明拉格朗日方程在平衡问题[7]的运用。 如图1长度都为l的的轻棒四根，光滑的连成一个菱形ABCD.AB、CD两边支于同一水平线上相距为2d的两个钉子M和N上.BD间用一根绳联接，C点系一重量P，设A点的顶角为2?，求绳中的张力FT。

A M N B M A N B D FT D C P P C

图1 轻棒连成菱形图 图2 轻棒形成菱形受力分析图

解：本题所求的式体系平衡时的约束力[8]。拉格朗日方程不能求约束力。但我们把欲求的约束力看成主动力，而把相应的约束力解除，增加一个自由度，则仍可以用拉格朗日方程来求体系平衡时的约束力。本题中将BD间的绳去掉，同时加上一对主动力FT来表示，如图2,此图中的自由度为1，则取顶角为广义坐标，则有

rB??lsin? (20)

rD?lsin? (21)

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gd2f.html