《线性代数》复习题

《线性代数》复习题

#

a?1001b?1001c?100? 1d

01c?10r?ar01?ab120??1b????10?1d00a1c?101?aba00 ?(?1)(?1)2?1?1c1 10?1dda 解 ?1001b?10

c3?dc21?abaad??????1c1?cd0?10abad ?(?1)(?1)3?21??11?cd?abcd?ab?cd?ad?1?

＃. 用Gauss消元法解下列线性方程组.

?x1?2x2?7x3??4??2x1?x2?x3?13?3x?9x?36x??33231)?1

解: 1) 对增广矩阵进行变换:

?3x4?x1?2x2?x3?x4??3x2?2x4??2x?x2?4x32)?1?4?0?1?5

?12?7?4?r1?(?2)?r2?12?7?21??r?0?3151?(?3)?r3113???????????39?36?33???03?15r2?1?r3?12?7?4??1r3?(?1/3)?r2?(?2)?r1????????01?5?7?????????0??0??000??0则x3为自由变量, 令x3=t为任意实数, 则x1=10-3t, x2=5t-7, 方程有无穷多解, 解集为

(10-3t, 5t-7, t).

2) 对增广矩阵进行变换:

034?034? ?10?10??02? ?02?1?10?1?10r?(?2)?r14????????? ??03??0?21030?21? ????05?0?14?6?3 ?2?14?? r2?r434??100034??10 r?(?1)r2?3?r3??01?46?2?30?14?6?3r?(1/12)r?2?r 324??????????????52??001 ????0012?20?8?33????

007?13?6007?13?6??????

3

r4?(?) 45 r4?()?r3 34??1003 21?r?(2)?r??10001?42r3?4?r2?010?33?3?01001?r?(?3)?r1 r3?(?7)?r4??41?52????????????? ?001????00101?33?????000?4?4??00011??33????4?21???21??0310?1?5?7??000??

方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1.

＃. 确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数. 1) 无解: 2) 有唯一解:

3) 有无穷多解:

?x?2y?kz?6??3x?6y?8z?4;

?x?y?kz?4??x?2y?z?5?x?2y?z?1?

?kx?y?14??2x?3y??12

解:

1) 对增广矩阵作变换:

因此, 要使方程组无解, 须使8-3k=0, 解得k=8/3, 即当k取值为8/3时, 方程无解. 2) 对增广矩阵作变换:

k6??12k6?r1?(?3)?r2?12???????3684??008?3k?14?????

kr?(??3?12?14?r1?r2?2?3?12?12)?r2?2?k13k?????????????2?3?12?????0?16k?14k114??????2??

23kk???1?03. 因此, 如要方程组有唯一解, 必须有2, 即

3) 对增广矩阵作变换

k?11k4?r1?(?1)?r2?11?1215??r?011?k1?(?1)?r3???????????1?211???0?31?k4?k?11r2?3?r3?1????????011?k??3???004?4k因此, 如要方程组有无穷多解, 必须4-4k=0, 即当k=1时, 方程组才有无穷多解.

＃. 讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解区分是唯一解还是无穷多解.

4?1??0??

解: 1) 方程组有一个自由变元x2, 因此方程组有无穷多解. 2) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解. 3) 第三个方程0=4说明此方程无解.

4) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解.

2

??12?30??002?3????0000?? 1)??1?204??002?3????0004???0000? 3)?

?1?32?1??0203????0014?? 2)??1?20?1??0231????0010???0000? 4)?

＃. 对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组..

??3x?5y??22??3x?4y?4?4x?12y?7z?20w?22??x?8y?321)? 2)?3x?9y?5z?28w?30 ?2x?y?z?w?1?1111x?y?z?w??2222?4x?2y?2z?2w?2 3)?解: 1) 对增广矩阵进行变换:

方程组无解.

2) 对增广矩阵进行变换

??35?22??1?832?r1?(?3)?r2?1?832??3??r?3??r?028?92?3?r11?(3)?r344????44???????????????1?832????35?22???0?1974?????1?832??1?832?23?r2?19?r3?23?r2?(1/28)????????01?????????01??7?7???0?197481????00?7???

?412?7?2022?r1?(1/4)?13?74?39?5?2830????????39?5????1r1?(?3)?r2?????????0?r2?4/7?r1?1????????03?11?2??2830???511?2??5254???5

可以看出y和w为自由变元, 则令y=s, w=t, s与t为任意常数, 则x=100-3s+96t, z=54+52t. 方程的解集表示为(100-3s+96t, s, 54+52t, t). 3) 对增广矩阵进行变换

711?7?5??r?413?42??2????4127??0?13?00142?30?96100?01?5254???2??1?4?1122?11?2?211?22?1??11?r1?r2??????2?2???42???12001?2001?2241212?12?1?2?12121?2?1??2???1200?10201001?2?0??0???

?r1?(?2)?r2?1r1?(?4)?r3???????0??0??1?r2?(?2)?r3?1r2??1/2???2r2?(1/2)?r1?0????????0??0??0????可知y与z为自由变元, 令y=s, z=t, s与t均为任意实数, 则

3

x?1?11?111??s?t,s,t,0??s?t,w?02? 222, 方程组的解集为?22

＃. 对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.

解:对系数矩阵作初等变换

?x?2y?z?w?0??x?2y?2w?0?2y?z?w?0?

因此, w为自由变元, 令w=t为任意实数, 则x=-2t, y=0, z=t, 方程组的解集为 (2t, 0, t, t).

＃. 设一线性方程组的增广矩阵为

11?11?11??12?12?12?1?202??r?0?4?11??r?02?11?2?r31?(?1)?r2???????????????????02?11???02?11???0?4?11??r2?(?1)?r1?1020?r2?(1/2)20??10r2?2?r3??r?01?1/21/2?3?(?1/3)???????02?11???????????1?1??00?33???00?r3?(1/2)?r2?1002?r3?(?2)?r1?????????0100????001?1??

求α的值使得此方程组有唯一解.

解: 对增方矩阵求初等变换

211??1??1432?????2?2?3??

因此, 此方程组要有唯一解, 就必须满足α+2≠0, 即α≠-2.

＃. 设一线性方程组的增广矩阵为

211?r1?r211?11??1?12?12??1432??r?06??r?06?1?(?2)?r32?r3?????43???43??????????2?2?3???0?6??21???00??24??

1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由. 2) β取何值时方程组有无穷多解?

解: 1) 此方程一定有解, 因为此方程是齐次方程, 至少有零解. 3) 对此增广矩阵做初等变换

2?10??1??2?530?????0???14?

4

2?10?r1?2?r2?12?10??10??1?12??2?530??r?0?1??r?0?1?1?r32?6?r3????10????10??????????0???14??06??10???00??50??

因此, 只有当β+5=0, 即β=-5时,方程才有无穷多解.

#. 求λ的值使得下述方程组有非零解.

解: 对系数矩阵作初等行变换:

y?0?(??2)x???x?(??2)y?0 ?因此, 要使方程有非零解, 必须有(λ-2)2+1=0, 但(λ-2)2+1≥0对λ取任何实数值总是成立, 因此必有(λ-2)2+1≠0, 因此, 无论λ取什么值此方程组都不会有非零解. ＃. 设

1?r1?r2??1??2?r1?(??2)?r2??1??2????2??????????????1??2????2?0(??2)2?1?1???????

?121?A????212?, ?432?B?????21?2?

求: 1) 3A-2B;

2) 若X满足AT+XT=BT, 求X.. 解: 1)

2)

因X满足AT+XT=BT, 等号两边同时转置, 有 A+X=B,

等号两边同时减去A, 得 X=B-A, 因此有

?123A?2B?3??21?3?8???6?(?4)1??432??3?2??21?2???62?????6?63?4???5???3?26?(?4)??1063??864????36??42?4???0?1?110??

＃. 计算下列矩阵的乘积:

?432??121??4?13?22?1?X?B?A?????212????2?21?1?2?2??21?2???????311??????40?4?

?3????121??1????2??; 1)

?12?123????212??01???30?3)

解:

1)

?1??2?????12??3???2) ?4?; 0??101??1??312?????1?1?02?1??????031?????1??; ??110????0?? 4)

5

2)

?3????1?3?2?1?1?2?1??121??1????2??

3)

?1??1?(?1)?2??2?(?1)????12????3??3?(?1)???4???4?(?1)1?2???1??22?2????3?2???3??4?2???42?4??6??8?

?120??123?????212??011?????30?1???1?2?2?1?3?01?0?2?1?3?(?1)??1?1?2?0?3?3?????2?1?1?0?2?3?2?2?1?1?2?0?2?0?1?1?2?(?1)???104?1????4?3?1??

4)

# 设

?101??1??1?1?0?(?1)?1?0?312312????????1?????02?10?1?2?(?1)?1?0?031?????????????110??0??031???1?1?1?(?1)?0?0????????1?312?????3?1?1?(?2)?2?(?2)???3??????2???0?1?3?(?2)?1?(?2)????8?031????2??????? ?101??,A??021????013???300??B??012????102??

求: 1) (A+B)(A-B);

2) A2-B2.

比较1)和2)的结果, 可得出什么结论? 解: 1)

2)

?101??30???01(A?B)(A?B)?(?021?????013????10?401???20??01??033?????115?????110??10?022?)(??2????011???9??3?1????1?????71??300??012?)?1?????3????102??15?60??65??

6

?101??10??02A2?B2??021?????013????01?114??9???2??055?????0510????51??30?011????3????1000???8??216????04?????5可得出的结论: 大家知道, 在代数公式上有a-b=(a+b)(a-b), 而将此公式中的a和b换成矩

阵A与B, 就不一定成立了, 这是因为矩阵乘法一般不满足交换律, 即一般AB≠BA, 当然也就有A2-B2≠(A+B)(A-B).

#. 已知矩阵A,B,C, 求矩阵X,Y使其满足下列方程:

0??300??012??2????2????102??14?4?1??56?? 22

解: 将此方程编上号, 用类似解线性方程组一样的办法来解,

?2X?Y?C?TX?Y?(A?B)?

将方程(1)的左边和(2)的左边和左边相加, 右边和右边相加, 等号还是成立, 得: 3X=C+(A+B)T 两边同乘1/3, 得

(2)式等号两边都加上X, 得 Y=(A+B)T-X (4) 将(3)式代入到(4)式, 得

?2X?Y?C?T?X?Y?(A?B)(1)(2)

11X?C?(A?B)T33

(3)

因此

1121Y?(A?B)T?C?(A?B)T?(A?B)T?C3333

#. 如矩阵AB=BA, 则称A与B可交换, 试证:

1) 如果B1, B2都与A可交换, 那么B1+B2, B1B2, 也与A可交换; 2) 如果B与A可交换, 那么B的k(k>0)次幂Bk也与A可交换. 证: 1) 因B1, B2都与A可交换, 即AB1=B1A, AB2=B2A, 则 (B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2) 即B1+B2与A可交换. 而且

(B1B2)A=B1(B2A)=B1(AB2)=(B1A)B2=(AB1)B2=A(B1B2), 因此B1B2与A可交换.

2)因B与A可交换, 即AB=BA, 则用归纳法, 当k=1时, 有B1=B, 结论显然成立. 假设当k=m时假设成立, 即ABm=BmA, 则当k=m+1时, 有

ABm+1=ABmB=BmAB=BmBA=Bm+1A, 结论也成立.

#. 如矩阵A=AT, 则称A为对称矩阵.

7

1T1T1?X?A?B?C?333?221?Y?AT?BT?C333 ?

设A,B都是n阶对称矩阵, 证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 证: 已知A=AT, B=BT,

充分性: 假设AB=BA, 则(AB)T=BTAT=BA=AB, 因此AB为对称矩阵. 必要性: 如果AB为对称矩阵, 即(AB)T=AB, 则因 (AB)T=BTAT=BA, 可得BA=AB.

#. 检验以下两个矩阵是否互为互逆矩阵?

解: 计算AB和BA如下:

?1?0A???0??0210032104?3??,2??1?0??1?21?01?21??B???001?2???0001??

0??21???1?2??01?1?1?2?(?2)?3?12?1?3?(?2)?4?1?1?(?2)?2?11?1?2?(?2)?3?1??1?11?(?2)?2?1??01?1?1?1?0AB???0??0234??1?2?01123????012??00??001??00?1?11?(?2)?2?1?01?1???00?0?0?1000??0100???I4???0010???0001??0??1?1?21?01?21??0???AB???001?2??0???0001???0?1?11?2?(?2)?1?01?1???00?0?0?1000??0100???I4???0010???0001??

234?123???012??001?1?3?(?2)?2?1?11?4?(?2)?3?1?2?1?2?(?2)?11?3?(?2)?2?1?1??1?11?2?(?2)?1??01?1?因此A与B确实互为逆矩阵.

#. 设A,B,C为n阶方阵, 且C非奇异, 满足C-1AC=B, 求证Bm=C-1AmC (m为正整数). 证: 用归纳法, 当m=1时条件已经成立为C-1AC=B, 假设当m=k时, 命题成立, 即有

8

Bk=C-1AkC, 则当m=k+1时, 有

Bk+1= BkB= C-1AkCC-1AC= C-1Ak(CC-1)AC= C-1AkIAC= C-1AkAC= C-1Ak+1C, 命题得证.

#. 若n阶矩阵A满足A2-2A-4I=0, 试证A+I可逆, 并求(A+I)-1. 证: 将A2-2A-4I=0改写为A2-2A-3I=I,

2

先解一元二次方程组x-2x-3=0, 根据公式

x1,2?b?b2?4ac?2a

其中a=1, b=-2, c=-3, 则

x2-2x-3=(x-3)(x+1), 那么, 根据矩阵相乘相加的性质也就能将A2-2A-3I因式分解为 A2-2A-3I=(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I), 因此我们有

(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I)=I, 即A+I与A-3I 互为逆矩阵, (A+I)-1=A-3I.

#. 证明: 如果A=AB, 但B不是单位矩阵, 则A必为奇异矩阵.

证: 用反证法, 假设A为可逆, 其逆为A-1, 则对于A=AB两边同时左乘A-1, 得 A-1A=A-1AB, 即I=B, 这与B不是单位矩阵相矛盾, 因此A必为奇异矩阵.

#. 判别下列矩阵是否初等矩阵?

x1,22?4?12?3???2??1, 因此可将多项式x2-2x-3因式分解为

?100??0?20????001??, 1) ??102??001?????010??3) ,

解: 1) 是初等矩阵P(2(-2)), 2) 是初等矩阵P(1,3), 3) 不是初等矩阵,

4) 是初等矩阵P(3(-4), 2).

#. 设A,B,C均为n阶可逆矩阵, 且ABC=I, 证明BCA=I

证: 因B,C为可逆矩阵, 则BC也是可逆矩阵, 且(BC)-1=C-1B-1, 因ABC=I, 对此等式两边右乘(BC)-1, 即ABC(BC)-1=I(BC)-1, 因为BC(BC)-1=I, 因此上式化简为A=(BC)-1, 因此当然有 BCA=BC(BC)-1=I.

#. 如果n阶矩阵A满足A2=A, 且A≠I, 则A为奇异矩阵.

证: 用反证法, 假设A为可逆, 其逆为A-1, 则上式两边左乘(或者右乘)A-1, 得 AAA-1=AA-1, 即A=I, 但这与A≠I相矛盾, 因此A的逆不存在, 即A为奇异矩阵.

#. 求下列矩阵的逆矩阵:

?001??010????100?? 2) ??100??01?4????001?? 4) ?9

?1111??22?1??A????11?1?1?A?1?24??1)

??582???; 2) ?1?11?1???1?1?11?? ??0a10?0?00a2?0?A???????????(ai?0,i?1,2,?,?000?a?n)n?1?3)

??an00?0??

解: 用对[A|I]进行行初等变换为[I|A-1]的办法来求:

1)

?22?1100?10?[A|I]???1?24010??1?240?r?1???r2??22?1100???582001??????582001??? r011/3?r1?(?2)???)??r?r2?1?24010?r2?(?3)?r3?11?(?53???r2?(1/3)?r?06?91?201?6?91???????????0?018?180?51???009?3rr3?r2?1002/32/9?1/9?r2?1/6?1002/3??3?(??1?/9?)??r1???11?r?060?210?1/33???3?1?/?9????0?009?11????001?1/3?2/32/9?1/9?A?1????1/3?1/61/6?因此, 最后得???1/31/91/9???

2)

??11111000?[A|I]??11?1?10100???1?11?10010???1?1?110001??

rr1??((??11))??r2?11111000?1?r??(??1?)?r?r3?14??00?2?2?1100???0?20?2?1010???0?2?20?1001??

?11111000??r??3???r2??0?20?2?1010???00?2?2?1100???0?2?20?1001??

10

1/30??20?11???2/9?1/9??1/61/6?1/91/9???

r0??r??1?/1?2)?)?r?10101/201/22?(4??r?2?(1??0?20?2?1010???00?2?2?1100???00?2200?11??

r?(??100?101/21/20?3?r1)?r4??3?1?/2??r?1??0?20?2?1010???00?2?2?1100???00041?1?11??

rr4?1/4?r1?10001/41/41/41/4?4?1/2??r??1?/2??r?r2?43??0?200?1/2?1/21/21/2???00?20?1/21/2?1/21/2???00041?1?11??rr2?(??11//22))??10001/41/41/41/4?3?(?r?4?1?/4????01001/41/4?1/4?1/4???00101/4?1/41/4?1/4???00011/4?1/4?1/41/4??因此有

??1/41/41/41/4?A1??1/41/4?1/4?1/4????1/4?1/41/4?1/4???1A3)

?1/4?1/4?1/41/4?4?

??0a10?0100?0?a2?0010?0?[A|I]??00???????????????000?a0?n?1000????an00?0000?1?? r00?000?01??rn??rnr?1?ann?1n?2?a10?010?00??r?1??r2????0??00a?2?001?00????????????????000?an?100?10??r100?000?0?r?1//aan?12?11?10?01/a10?0?r0?n?1?/a?n??1????001?001/a2?0????????????000?100?1/an?1因此, 最后得

11

/an?0?0?????0?? 1

0?0?1/a0?1A?1??01/a2?????0?0????000??1/an?1

#. 解下列矩阵方程, 求出未知矩阵X.

1/an?0??0????0??

?25??4?13?X??2??1) ??25?A????13?解: 令

21??0???123?X?2?13?6????2?31??????3341??? 2) ?

?4?6?B????21?, 则要解的方程为AX=B

将方程两边左乘上A的逆A-1, 可得A-1AX=A-1B, 即 X=A-1B 下面求A-1:

03?5?1?12?? ?3?5?A?1?????12? 因此有

?3?5??4?6??2?23?X?A?1B????21???0??128?????? 因此

21??0?A??2?13?????33?4??2) 令

-1

?25[A|I]???13r2?3?r1r2?(?1)?1???????010?r1?r2?1301?r1?(?2)?r2?1301???????????????0?11?2?01?2510?????

?123?B????2?31?-1

则矩阵方程为XA=B

设A的逆存在为A, 则方程两边右乘A, 得XAA-1=BA-1, 即

X=BA-1 下面求A-1:

21100?r1?r2?1?1/23/201/20??01/2???r?1??A|I???2?13010????021100??????3?4001???33?4001????3? r1?3?r3?1?1/23/201/20?r2?1/2???????011/21/200????03/21/203/21??

r2?1/2?r11/41/20??107/4r2?(?3/2)?r3?????????011/21/200????00?1/4?3/43/21??

12

?107/41/41/20?r3?(?4)???????011/21/200???3?6?4??001?

r3?(?1/2)?r2?100?5117?r3?(?7/4)?r1?????????010?132????0013?6?4??

??5117??A?1???132????3?6?4?? 因此,

??5117??123?????2?1?1?X?BA?1???132??????472?314???3?6?4?????最后得

#. 求矩阵X满足AX=A+2X, 其中

解: 将方程两边减去2X, 得AX-2X=A

因2X=2IX, 因此上面的方程可以从右边提取公因子X, 得 (A-2I)X=A

假设A-2I可逆, 则方程两边同时左乘(A-2I)-1, 得(A-2I)-1(A-2I)X=(A-2I)-1A, 即X=(A-2I)-1A

?301??A??110????014??

?301??200??101????020???1?10?B??110????????014????002????012?? 设B=A-2I, 则X=B-1A, 而

下面用行初等变换求B的逆B-1:

?10?B|I????1?1??01r2?1?r3?1r2?(?1)???????0??0B?1则

1100??10r1?(?1)?r2?0010?????????0?1?2001???0101100?r3?(?1)?r2?1r3?(?1)?r1?111?10?????????0?01?111???0?2?1?1????2?2?1???1???11?

00??1?110??2001??

002?1?1?102?2?1??01?111??

11?2?1?1??301??5?2?2???110???4?3?2?X?B?1A??2?2?1???????1?3???11???014?????22? 最后得

13

验算:

?301????4?4???4?3?A?2X???110?108?6?4??139?5?4???014????????446????????4510??? ?301???2???3?AX???110??5?24?3?2??13?49?5?4???014???????223????????4510???

#. 利用分块的方法, 求下列矩阵的乘积:

?0c0???a000??1?20??0a??100?010c?????01?01110??0b0????00d0??1) ??102???????01??; 2) ?1?010b????000d??

解:

??1?20??01??011????10????A|B???C??I?1) 将乘积分块为??102????01??2?

?1?A???0???20?,B??11?,C??0其中?????1??1???02??

?1???20??01???2?A|B???C????????0?????2?I??AC?BI2?2??0???01???11???00???11???1?1????02????01????02????02) 将乘积分块为

??a000??0c0??0a00??1010c???10b0???0d0?????aI2O2??I???I2cI2??2bI2??OdI2??010b??0???000d??

??a0ac0????aI2acI?2??I(c?bd)I???0a0ac?22???10c?bd0??010c?bd??

0?407?0?7?0?(?4)?0.

#. 计算下列三阶行列式:

14

1?1?3???

abc?124bca031?142; 2) cab 1)

解: 1) 将行列式按第一列展开

?1242)

031??1??1???2?10?84231?142 abc3124

#. 计算下列行列式:

bca?abc?abc?abc?a3?b3?c3?3abc?a3?b3?c3cab

a1a2a3a41)

b1b2b3b4b5c1c2000d1d2000e1e2000;

2)

xy0?000xy?00Dn???????0y0000??x0yx;

a50a000ef

bc000d3) 000解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D=0. 2) 将行列式按第一列展开得

3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得

xy?00y0?00?????xy?00Dn?x?(?1)n?1y?xn?(?1)n?1yn00?xy?????00?0x00?xy

a00defD??b0d00e??ba0f??badf??abdf

#. 利用行列式的性质计算下列行列式

21413?12111) 5

15

20

3262;

?abacbd?cdbfcf2) aede?ef;

a2b2c22d3)

(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2(c?3)2(d?3)2

解: 下面都将所求行列式的值设为D.

1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D=0; 2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a,d,f, 再从第1,2,3列提取公因子b,c,e, 得

?abbdbfac?cdcfae?111?11102?4abcdef20

de?adfbce1?ef1?11?abcdef01?103) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得

a2D?b2c2d2a2b2D?2cd22a?14a?46a?92b?14b?42c?14c?46b?96c?9再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得

2d?14d?46d?9 2a?1262b?126?02c?1262d?126

#. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值

?243 2解:

2?40?1351?2?3051;

r1?2?r2?40r1?(3/2)?r3?22?40?235r1?1?r403?55c2?c30????2?304?8?305102110?420r2?8?r3?2?420?2121r2?5?r40121c3?c40????84?3002050?5350013100?2?402r3?(?2)?r40112???2?1?5?(?27)??27000520000?27 ?224?13120?2r2?r40?0016

?4?5?81?410020354?321 02125201013

#. 计算下列n阶行列式

123234345???n12abab???ba

?????1) n12?n?1 1?2?3???n?2) b解: 1) 设此行列式的值为D, 将第2,3,…,n列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为

1n(n?1)2, 将此公因式提出, 因此有

123?n再令第n行减去第n-1行, 第n-1行减去第n-2行, …, 第2行减去第1行, 可得

134?11D?n(n?1)145?22?????112?n?1

101D?n(n?1)02?01n?1?????????????23?n11?11?n11?1?n11?1?n1111?1?n(n?1)?????2????11?n?111?n1?11?n1?11 1?10?0?n11?10??n1?n(n?1)(????????211?1?n?02) 此题和第3题的2)一样, 因此有D?a?(?1)

#. 证明下列行列式

n1n(n?1)012)?n(n?1)(?1)(?n)n?1?20

n?1bn

2n?????????????aba?abba?b?a

b??(a2?b2)na2) b证:

用归纳法, 设Dn为所求行列式值, 当n=1时,

17

D1?ab?a2?b2ba, 等式成立. 2k?????????????aba??abba?bb?aa

假设当n=k时假设成立, 即有

bDk??(a2?b2)k当n=k+1时,

2k??2????????????aba?Dk?1??bb2?k??1?????????ab?ab?a?b22b?abba?aa2?k??1?????????ba??b?aa22按第一列展开?

?bab?abba??a22k222?b

证毕.

?aDk?bDk?Dk(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b2)k?1

3??20?A??1?11????01?2??的伴随矩阵A*, 并求A-1. #. 求矩阵

解:

A11?18

?11?1,1?2A21??03?3,1?2A31?03?3?11

11?2,0?21?1A13??1,01A12??A22?23??4,0?220A23????2,01A32??23?111 20A33???21?1

3??A11A21A31??13???2?41?A*??AAA122232??????A13A23A33????1?2?2?? 因此得

A的行列式为|A|?a11A11?a12A12?a13A13?2?1?0?2?3?1?5 3??131*1?A?1?A??2?41??|A|5??1?2?2?? 因此有

#. 设A为n阶可逆阵, A2=|A|I, 证明: A的伴随矩阵A*=A. 证: 因A可逆, 则在等式A2=|A|I两边乘A-1, 得A=|A|A-1, 即

A?1?11*AA?1?A|A|, 而因为|A|, 所以有A=A*, 证毕.

#. 用克莱姆法则解下列方程组.

解:

方程的系数矩阵A为

?2x1?3x2?11x3?5x4?6?x?x?5x?2x?2?1234??2x1?x2?3x3?4x4?2??x1?x2?3x1?4x2?2

?2?1A???2??13115?152??134??134?, 常数向量???6222?T

先求A的逆A-1:

?2?1??2??131151152013401340r1?(?2)?r2?1r1?(?2)?r3?r1?(?1)?r4?0???????0??001000??115?23110?r?r12????????2130???1??1131520100?1111?200???1?700?210??0?220?101?

001025440100100000100?0??0??1?

19

?1r2?(?1)?r1?0r2?1?r3????????0??0?1r3?r4?r3?(?1/2)?0???????0??0r3?(?4)?r1?1r3?(?1)?r2?0r3?6?r3????????0??0?1?r4?(?1/5)?0???????0??0r4?(?5)?r1?1r4?(?2)?r2?0r4?1?r3????????0??00411110?610?2204111101?10?6100100152?1?1110?1101?13?2?4?13?21/2?41001000010?0??0??1? 0?0???1/2??0?

000?5010005021?1010001000100010?0?7/5?29/10A?1????1/57/10?1/5??1/5因此有

01?1??6??0??x1??0?x??7/5?29/102/5?7/10??2??2?2?1??????X????A????x3???1/57/10?1/51/10??2??0?????????x?1/51/5?1/53/5???2??0? 4??则

即x1=0, x2=2, x3=0, x4=0.

#. 如果齐次线性方程组有非零解, k应取什么值?

2?1?5/201/2??01/20?1/2??1?11?3? ?1102?1?5/201/2??01/20?1/2???1/51/5?1/53/5? 001?1?7/5?29/102/5?7/10???1/57/10?1/51/10???1/51/5?1/53/5? 1?1?2/5?7/10???1/51/10???1/53/5?

解: 此方程组的系数矩阵A为

?(5?k)x?2y?2z?0??2x?(6?k)y?0?2x?(4?k)z?0? ?5?kA???2??226?k0要使方程组有非零解, 必须有det(A)=0.

20

2?0??4?k??

5?k2det(A)?26?k20而5?k?(k?2)22r?(?2)?r2r1?2?r25?k320??4?2k4?k222?k024?2k4?k r?(?2)?r22r3?2?r15?k0?10?k21?1?2?(k?2)2?1204?k204?k r?2?r?102r1?2?r2?10213?(k?2)(k?5)2?12?0?16??(k?2)(k?5)(k?8)204?k008?k因此, 只有当k=5或者k=2或者k=8时, 此方程组才有非零解. #. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组 ??x1?x2?x3?0??x1??x2?x3?0?x?2?x?x?023?1 有非零解? 解: 此方程组的系数矩阵A为 ??A???1??1而 1??1??2?1??, 要使方程组有非零解, 必须det(A)=0, 1因此, 只有当λ=1或者μ=0时, 方程组才有非零解.

#. 设α1=(1,1,1), α2=(-1,2,1), α3=(2,3,4), 求β=3α1+2α2-α3

解: β=3α1+2α2-α3=3(1,1,1)+2(-1,2,1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4) =(3-2-2, 3+4-3, 3+2-4)=(-1, 4, 1)

#. 设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α), 求α, 其中

α1=(2,5,1,3), α2=(10,1,5,10), α3=(4,1,-1,1) 解: 将上述方程整理: 3α1-3α+2α2+2α=5α3+5α -3α+2α-5α=-3α1-2α2+5α3 (-3+2-5)α=-3α1-2α2+5α3 -6α=-3α1-2α2+5α3 最后得

21

11det(A)?1??1012??10 按第3列展开1????11??1??(1??)?(1??)?1??2??112??1 ?r?(?1)?r1r1?(?1)?r2?13?1?1??2?11??1

???1??2??3?(2,5,1,3)?(10,1,5,10)?(4,1,?1,1)125115623651310151010555?(1,,,)?(,,,)?(,,?,)2223333366610105151553105?(1??,??,??,??)33236236236?(1,2,3,4)13

#. 设R为全体实数的集合, 并且设

V1?{X?(x1,x2,?,xn)|x1,?,xn?R,满足x1???xn?0}, V2?{X?(x1,x2,?,xn)|x1,?,xn?R,满足x1???xn?1}.

问V1,V2是否向量空间? 为什么?

解: (一般的技巧: 凡是对Rn作一个齐次线性方程的约束的集合都是向量子空间, 而作非齐次线性方程的约束的集合则因为它不穿过原点, 就不是向量子空间).

V1是向量空间, 且是Rn的向量子空间, 因为V1?R, 而任给X,Y?V1,k?R, 设

nX?(x1,x2,?,xn),x1???xn?0Y?(y1,y2,?,yn),y1??yn?0

则令Z?X?Y?(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn),

则因z1?z2???zn?x1?y1?x2?y2???xn?yn?

?x1???xn?y1???yn?0, 则X?Y?V1,

因为kX?(kx1,kx2,?,kxn), 而kx1???kxn?k(x1???xn)?0 则kX?V1,

因此, V1是Rn的向量子空间.

而V2不是向量空间, 是因为0?0???0?1, 零向量O不属于V2, O?V2.

#. 试证: 由?1?(0,0,1),?2?(0,1,1),?3?(1,1,1)所生成的向量空间就是R3

(?1,?2,?3)?R, 只须证R?Span(?1,?2,?3), 证: 因为Span3D?(d,d,d)?R123任给, 试求实数x1,x2,x3使

33x1α1+x2α2+x3α3=D, 即

x1(0,0,1)+x2(0,1,1)+x3(1,1,1)=(x3,x2+x3,x1+x2+x3)=(d1,d2,d3) 也就是解线性方程组

对其增广矩阵进行行初等变换成阶梯形矩阵:

x3?d1??x2?x3?d2??x?x?x?d233 ?1可见方程有解, 因此得证.

22

?001d1??111d3??011d??r?011d?1?r3????22???????111d3???001d1??

#. 判数下列向量是线性相关还是线性无关. 1) α1=(1,1), α2=(2,2);

2) α1=(2,3), α2=(1,4), α3=(5,6);

3) α1=(1,1,1), α2=(2,1,3), α3=(0,1,2);

4) α1=(a11,0,0,…,0), α2=(0,a22,0,…,0),…,αn=(0,0,…,ann); 解:

1) 考察齐次方程x1α1+x2α2=O, 即x1(1,1)+x2(2,2)=(0,0),

整理得(x1+2x2, x1+2x2)=(0,0), 再写成如下的形式:

对系数矩阵进行行初等变换:

?x1?2x2?0??x1?2x2?0

存在一自由变量x2, 方程有非零解, 因此α1,α2线性相关. 2) 考察齐次方程x1α1+x2α2+x3α3=O 即x1(2,3)+x2(1,4)+x3(5,6)=(0,0)

整理得(2x1+x2+5x3, 3x1+4x2+6x3)=(0,0) 再写成如下形式:

?12?r1?(?1)?r2?12??12????????00?????

则因方程数少于变元数, 必有非零解, 因此α1,α2,α3线性相关. 3) 考察齐次方程x1α1+x2α2+x3α3=O 即x1(1,1,1)+x2(2,1,3)+x3(0,1,2)=(0,0,0)

整理得(x1+2x2, x1+x2+x3, x1+3x2+2x3)=(0,0,0) 再写成如下形式:

?2x1?x2?5x3?0??3x1?4x2?6x3?0

对系数矩阵进行初等行变换

?x1?2x2?0??x1?x2?x3?0?x?3x?2x?023?1

方程没有自由变量, 只有唯一零解, 因此α1,α2,α3线性无关.

4) 考察齐次方程x1α1+x2α2+…+xnαn=O,

即x1(a11,0,0,…,0,0)+x2(0,a22,0,…,0,0)+…+xn(0,0,…,0,ann)=(0,0,…,0) 整理得(a11x1,a22x2,…annxn)=(0,0,…,0) 再写成如下形式:

?120?r1?(?1)?r2?120??120?1?r3??111??r?0?11??r?1?(?1)?r32??????????0?11??????????132???012???003??

?a11x1?0?ax?0?222?????annxn?0

由于aii?0,i?1,2,?,n, 此齐次方程组只有零解, 因此α1,α2,…,αn线性无关.

23

#. 设β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1, 证明向量组β1,β2,β3,β4线性相关. 证: 只须证明齐次方程 x1β1+x2β2+x3β3+x4β4=O (1) 有非零解, 即证明了向量组β1,β2,β3,β4线性相关.

将β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1代入(1)式, 得 x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α4)+x4(α4+α1)=O 整理后得

(x1+x4)α1+(x1+x2)α2+(x2+x3)α3+(x3+x4)α4=O

因此, 只须找到不全为零的x1,x2,x3,x4使得上式中的α1,α2,α3,α4,的系数等于0, 则命题得证. 也就是要使

解此齐次方程组, 对系数矩阵进行行初等变换得:

?x1?x4?x?x?12??x2?x3??x3?x4?0?0?0?0

(2)

?1?1??0??0001??1001??010?1?100?r?(?1)?r12??????????0110?110????011?0011???1001??1???r2?(?1)?r3?010?1?r3?(?1)?r4?0?????????????0011??0???0011???0方程有一个自由变量x4, 因此方程组(2)有非零解, 此解也就满足方程组(1), 因此β1,β2,β3,β4

线性相关.

#. 设向量组α1,α2,…,αs 线性无关, 证明向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs也线性无关. 证: 考察齐次方程组

x1α1+x2(α1+α2)+…+xs(α1+α2+…+αs)=O (1) 整理后得

(x1+x2+…+xs)α1+(x2+…+xs)α2+…+xsαs=O (2)

因为α1,α2,…,αs线性无关, 因此要使(2)式乃至(1)式成立必有(2)中的α1,α2,…,αs的各个系数为0, 即

1?10?1??011??000?

00此齐次方程组的系数矩阵为上三角方阵, 对角线上元素全为1, 因此只有零解, 即齐次方程组(1)也只有零解, 因此向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+…+αs线性无关.

#. 设α1,α2,α3是一组3维向量, 已知3维单位坐标向量 e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) 能由α1,α2,α3线性表出, 证明α1,α2,α3线性无关.

证: 用反证法, 假设α1,α2,α3线性相关, 则存在不全为零的数x1,x2,x3, 使得 x1α1+x2α2+x3α3=O

24

?x1?x2???xs?0?x???x?0?2s????xs?0?

不妨假设x1≠0, 则可得

α1,α2,α3可由α2,α3线性表出, 则根据题意e1,e2,e3又可被α1,α2,α3线性表出, 则e1,e2,e3可被α2,α3线性表出, 则三个向量可被少于三个的向量线性表出, 其必线性相关. 但我们知道e1,e2,e3线性无关, 因此导出矛盾. 这就证明了α1,α2,α3必线性无关.

#. 设n维向量组α1,α2,…,αm线性相关. 证明: 任意加上h个n维向量αm+1,αm+2,…,αm+h构成的向量组α1,α2,…,αm,αm+1,αm+2,…,αm+h也线性相关.

证: 因向量组α1,α2,…,αm线性相关, 因此必有不全为零的数x1,x2,…,xm使得 x1α1+x2α2+…+xmαm=O,

因此, 选取m+h个数, 前面m个与x1,x2,…,xm相同, 后面h个数为0, 则这样的m+h个数仍然是不全为零, 且有

x1α1+x2α2+…+xmαm+0αm+1+0αm+2+…+0αm+h=O

所以向量组α1,α2,…,αm,αm+1,αm+2,…,αm+h也线性相关.

#. 判断下述向量组是否线性相关? α1=(1,0,…,0,a1), α2=(0,1,…,0,a2), …, αn=(0,0,…,1,an) 解: 因为向量组α1,α2,…,αn是由单位坐标向量组 e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,…,0), …, en=(0,0,…,1)

增加一个分量构成的Rn+1中的向量组, 而因为e1,e2,…,en线性无关, 因此α1,α2,…,αn也线性无关.

#. 验证α1=(1,-1,0), α2=(2,1,3),α3=(3,1,2)是R3的一个基， 并把β=(5,0,7)用这个基线性表示。 解: 如果将α1,α2,α3看作列向量拼成的矩阵

?1?xx2?2?3?3x1x1, 既然α1可由α2,α3线性表出,即

有逆存在, 则它们必是R3的一个基, 因此试求此矩阵的逆如下:

?123??A???111????032??

?12310??11101???03200r2?(1/3)r2?(?2)?r1?1r2?(?3)?r3????????0??00??123100?r1?1?r2??0??????034110????1???032001?? 01/31/3?2/30?14/31/31/30??0?2?1?11??

因此A有逆存在为

r3?(?1/2)r3?(?1/3)?r1?1001/6?5/61/6?r3?(?4/3)?r2?????????010?1/3?1/32/3???1/2?1/2??0011/2?

因此α1,α2,α3线性无关确实是R3的一个基. 则任给一列向量D=(d1,d2,d3), 将其作为列向量,

则解方程组AX=D, 可得X=A-1D, 具体用β代入D, 可得

25

?1/6?5/61/6??A?1???1/3?1/32/3???1/2?1/2??1/2?

即解得β在这基α1,α2,α3下的坐标为2,3,-1, 即 β=2α1+3α2-α3, 不难验证确实有 (5,0,7)=2(1,-1,0)+3(2,1,3)-(3,1,2)

#. 判断Rn的子集S={X=(x1,x2,…,xn), 其中xn=0}是否Rn的子空间? 如果是子空间, 写出该子空间的基和维数.

解: 任取S中两个元素X=(x1,x2,…,xn),Y=(y1,y2,…,yn), 即xn=yn=0, 则X+Y的第n个分量xn+yn=0, 因此X+Y?S, 再任取S中的一个元素X和一实数k, 则kX的第n个分量kxn=0, 即kX?S, 因此S是Rn的子空间.

实际上, S是齐次方程0x1+0x2+…+xn=0的解集, 此齐次方程共有n-1个自由变元, 将这n-1个自由变元依次取1而其它变元为0, 就可以得到S的基或者说是齐次方程xn=0的基础解系.因此, S的维数为n-1, 其中的基或者说齐次方程xn=0的基础解系为: ξ1=(1,0,…,0,0), ξ2=(0,1,…,0,0),…,ξn-1=(0,0,…,1,0).

#. 在R3中, 设S1是由α1=(1,1,1),α2=(2,3,4)生成的子空间, S2是由β1=(3,4,5),β2=(0,1,2)生成的子空间, 证明S1=S2, 并说出该子空间的维数.

解: 要证明S1=S2只须证明α1,α2与β1,β2相互等价, 也就是要验证α1,α2能够被β1,β2线性表出, 同时β1,β2也能够被α1,α2线性表出.

首先验证α1,α2能够被β1,β2线性表出, 先验证α1能够被β1,β2线性表出, 就是要解线性方程组 x1β1+x2β2=α1, 写成标准的线性方程组的形式为

?x1??1/6?5/61/6??5??2???A?1????1/3?1/32/3??0???3?X??x2??????????1/2?1/2??x3???1/2???7?????1??

对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:

?3x1?1??4x1?x2?1?5x?2x?12?1

方程有唯一解x1=1/3, x2=-1/3. 因此α1能够被β1,β2线性表出为

r1?1/3?301?r1?(?4)?r2?101/3??101/3??411??r?01?1/3??r?01?1/3?1?(?5)?r32?(?2)?r3???????????????????0??521???02?2/3???00?

1313 (1)

再验证α2能够被β1,β2线性表出, 就是要解线性方程组x1β1+x2β2=α1, 写成标准线性方程组的形式为

?1??1??2对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:

?3x1?2??4x1?x2?3?5x?2x?42?1

方程有唯一解x1=2/3, x2=1/3. 因此α1能够被β1,β2线性表出为

26

r1?1/3?302?r1?(?4)?r2?102/3??102/3??413??r?011/3??r?011/3?1?(?5)?r32?(?2)?r3????????????????????524???022/3???000??

(2)

将(1)式和(2)式等号两边分别相加, 得 而(1)式两边乘-2再加到(2)式, 可得

因此β1,β2也能够被α1,α2线性表出. 所以两个向量组生成的子空间S2=S2. 下面讨论α1,α2是否线性无关, 即解齐次方程x1α1+x2α2=O, 即解如下方程:

?2?21?1??233

?1??1??2

?2??2?1??2

对此方程的系数矩阵作行初等变换

?x1?2x2?0??x1?3x2?0?x?4x?02?1

可见方程没有自由变量, 只有唯一零解, 因此α1,α2线性无关, 构成S1的一组基, 因此S1的维

数是2.

#. 设α1,α2,…,αn是Rn的一个基, A为n阶可逆矩阵, 求证Aα1,Aα2,…,Aαn也是Rn的一个基. 解: 这种表述方法是将所有的向量看作是列向量, 即n行一列的矩阵. 任给一向量β?Rn, 当然有A-1β?Rn, 又因α1,α2,…,αn是Rn的一个基, 因此向量A-1β可以由α1,α2,…,αn线性表出, 即存在一组数c1,c2,…,cn使得 A-1β=c1α1+c2α2+…+cnαn

则在上式两边同时左乘矩阵A, 可得 β=c1Aα1+c2Aα2+…+cnAαn

即β可由Aα1,Aα2,…,Aαn线性表出.

下面证Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关. 用反证法, 如若不然, 假设Aα1,Aα2,…,Aαn线性相关, 齐次方程组

x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=O

有非零解, 则方程两边左乘A-1可得 x1α1+x2α2+…+xnαn=O

也有非零解, 导出α1,α2,…,αn线性相关, 这与α1,α2,…,αn是Rn的一个基相矛盾. 因此Aα1,Aα2,…,Aαn线性无关, 从而也是Rn的一个基.

#. 证明: 同一个向量组的任意两个极大无关组等价.

证: 假设向量组α1,α2,…,αn的秩为r, 它的两个极大无关组为β1,β2,…,βr和γ1,γ2,…,γr, 则因为 向量组β1,β2,…,βr中的每一个向量都是向量组α1,α2,…,αn中的向量, 当然就能够被向量组 γ1,γ2,…,γr线性表出, 反之亦然, 因此向量组β1,β2,…,βr和向量组γ1,γ2,…,γr相互间等价.

#. 证明: 等价的向量组有相同的秩.

证: 假设向量组α1,α2,…,αn和向量组β1,β2,…,βm相互等价, 其中向量组α1,α2,…,αn的秩为r, 不妨假设其头r个向量α1,α2,…,αr为它的一个极大无关组, 而向量组β1,β2,…,βm的秩为s, 不妨假设其头s个向量β1,β2,…,βs为它的一个极大无关组. 则因为向量组α1,α2,…,αn和向量组β1,β2,…,βm相互等价, 必有它们的极大无关组α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βs相互等价, 则两个线性无关的向量组相互等价, 必有它们的个数相同, 即r=s.

#. 设向量β可以由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出, 但向量β不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表出, 试证: 向量组α1,α2,…,αr-1,αr与α1,α2,…,αr-1,β有相同的秩.

27

?12?r1?(?1)?r2?12??12??13??r?01??r?01?1?(?1)?r32?(?2)?r3????????????????????14???02???00??

证: 因β可以由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出, 即存在一组数c1,c2,…,cr-1,cr使得 β=c1α1+c2α2+…+cr-1αr-1+crαr (1)

现证明cr?0, 如若不然, cr=0, 则上式就成为β=c1α1+c2α2+…+cr-1αr-1, 但这与题意所述β不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表出相矛盾.

因此将(1)式的两边减β, 然后两边减crαr, 两边再乘(-1/cr), 可得

?r??即αr可由向量组α1,α2,…,αr-1,β线性表出, 当然向量组α1,α2,…,αr-1,β也可由向量组α1,α2,…,αr-1,αr线性表出, 这两个向量组等价, 因此必有相同的秩.

#. 求下列向量组的秩, 并求出它的一个极大无关组:

1) α1=(2,0,1,1), α2=(-1,-1,0,1), α3=(1,-1,0,0),α4=(0,-2,-1,-1) 2) α1=(1,2,1,3), α2=(4,-1,-5,-6), α3=(1,-3,-4,-7) 解:

1) 解齐次方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=O, 化成AX=O的形式, 对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵, 首项变元的个数为向量组的秩, 而首项变元对应的向量构成极大无关组.

c1cc1?1?2?2???r?1?r?1??crcrcrcr

则首项变元x1,x2,x3对应的向量α1,α2,α3构成极大无关组, 因此向量组的秩为3.

2) 解齐次方程组x1α1+x2α2+x3α3=O, 化成AX=O的形式, 对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵, 首项变元的个数为向量组的秩, 而首项变元对应的向量构成极大无关组.

?2?0A?(?1,?2,?3,?4)???1??1?11r1?(?1)?r3?r1?(?2)?r4?0?1???????0?1??0?3?11?r3?(?4)?r4?0?1???????00??00?110??110?1??0?1?1?2??1?1?2?r?r14?????????100?1?00?1????10?1?2?110?? 0?1??110?1?r?(?1)?r23?0?1?1?2??1?2?r?(?3)?r24??????????00100?2????12?0048?? 0?1??1?2??12??00?

首项变元数为2个，因此秩为2，首项变元x1,x2对应的向量α1,α2构成极大无关组.

28

1?r1?(?2)?r2?141??14r?(?1)?r3?2?1?3?1?0?9?5?r?(?3)?r14????A?(?1,?2,?3)????????1?5?4??0?9?5?????3?6?70?18?10????

1??14r2?(?1)?r3??r2?(?2)?r4?0?9?5????????000???0? ?00

#. 求下列矩阵的秩

解: 求矩阵A的秩, 就是求A作为系数矩阵的齐次方程组AX=O的解中首项变元的数目. 因此将A作行初等变换变成阶梯矩阵后, 不为零的行数就是A的秩.

?218?2?30A???3?25??10337?7?5??80??20?

?21837??10320??2?307?5??2?307?5?r?r41????A???????3?2580??3?2580?????1032021837???? r1?(?2)?r2?10320?32?10r1?(?3)?r3???2?1r1?(?2)?r4?0?3?63?5?r2?r4?01????????????0?2?42?0?2?420????2?17??01?0?3?63?1r2?2?r3?r2?3?r4?0??????0??00100320??1?02?17?r?(?26/14)?r34???????????00014???0026??001003200秩为3.

#. 求下列齐次线性方程组的基础解系, 并写出其通解:

0?7??0??5?

20??17??014??00?

解: 对系数矩阵作行初行变换:

?x1?x2?2x3?x4?0??2x1?x2?x3?x4?0?2x?2x?x?2x?0234?1

x4为自由变元, 令x4=t, t为任意常数, 则有

r2?1?r12?1?r2?(?1)?10?10??112?1?r1?(?2)?r2?11?211?1??r?0?1?31??r?013?1?(?2)?r33?(1/3)??????????1??????????2212???00?34???001?4/3?? r3?1?r1?100?4/3?r3?(?3)?r2????????0103????001?4/3?? x1?44t,x2??3t,x3?t33

写成向量形式为:

29

?4??4??4?t?3??3??3??3t???3???3?X????t???4?4??4??t??????3??3??3??t????1??, 基础解系为?1?? ??

#. 求解下列非齐次线性方程组：

解: 对其增广矩阵作行初等变换:

?3x1?4x2?x3?2x4?3??6x1?8x2?2x3?5x4?7?9x?12x?3x?10x?13234?1

3?1??4??

4/31/301/3?0011??0000??

方程有两个首项变元x1和x4, 两个自由变元x2和x3, 令x2=s, x3=t, 其中s,t为任意常数, 则

?34123?r1?(?2)?r2?3412?68257??r?00011?(?3)?r3???????????91231013???0004r2?(?4)?r3?34101??1r2?(?2)?r1?r1?(1/3)????????00011????????0???00000???0x1?141?s?t,x4?1333, 将解写成向量形式, 有

#. 当a1,a2,b1,b2满足什么条件时, 下述方程组有解, 当方程组有解时, 求出其通解.

?x1??1?4s?1t??1???4???1?3??3??3??3??x??33???0??1??0?sX??2????????s???t???x3?t??0??0??1??????1??0??0??x4??1????????

2

解: 对增广矩阵进行行初等变换,

?x1?x2?x?x?34??x1?x3??x2?x4?a1?a2?b1?b?1?0??1??0100a1?a1??1100?0011?011a2?ar?(?1)?r212??????????0?110b1?a1?010b1????101b2?0101b2??

a1?a1?b2??1100?100?1r?r?0101?23?0101?bbr2?r4?r?(?1)?r2221???????????????0?110b1?a1??0011b1?b2?a1?????0011a0011a22????

30

?1?r3?(?1)?r4?0???????0??000?1100100110因此, 为使方程有解, 必须有a1+a2-b1-b2=0, 这时有a2=b1+b2-a1. 方程有一个自由变元x4, 令x4=t, t为任意常数, 则x1=a1-b2+x4=a1-b2+t, x2=b2-t, x3=a2-t, 写成向量形式, 就是

??b2?b1?b2?a1??a2?a1?b1?b2?

a1?b2

#. 设三维向量空间里的两个基底分别为α1,α2,α3与β1,β2,β3, 且

?x1??a1?b2?t??a1?b2??1??x??b?t??b???1????2??t??X??2???2?x3??a2?t??a2???1?????????t??0??1? ?x4????1??1??2???2?2?1?3?2?2?3?????3??2?123 ?3

1) 若向量ξ=2β1-β2+3β3, 求ξ对于基底α1,α2,α3的坐标; 2) 若向量η=2α1-α2+3α3, 求η对于基底β1,β2,β3的坐标.

解: 将两个基底拼成按列分块的矩阵, 即令A=(α1,α2,α3), B=(β1,β2,β3), 则A与B均为三阶方阵. 则按题意知A与B的关系为

其中则 1)

?121???ACB?(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)??133????022??

?121??C???133????022??

即ξ对于基底α1,α2,α3的坐标为3,4,4

2)

由B=AC知A=BC-1, 先求C-1如下:

?2??2??2???B??1??AC??1???2?1??2?3?3?(?1,?2,?3)??1??????????3???3???3??

?121??2??3??3????1??A?4??(?,?,?)?4??3??4??4??A??133123??123??????????022????3???4???4??

?121100??121100???133010??r?054110?1?r2??????????022001???022001??

31

r2?r3?1??121100?r2?(?2)?r2?10?110r2?(?5)?r3?r2?(1/2)????????011001/2???????011001/2??????054110???00?111?5/2??

r3?(?1)r3?r1?1000?13/2?r3?(?1)?r2????????01011?2????001?1?15/2?? ?0?13/2??C?1??11?2?????1?15/2?? 求出

则有

?2?????2?1??2?3?3?(?1,?2,?3)??1????3????2??2??2?????????1??1?A??1??BC??1??B?C??1????????3?3???3??????

因此η对基底β1,β2,β3的坐标为11/2, -5, 13/2.

# 求如下矩阵的特征值和特征向量:

?0?1?B??11???1?111??1?5?223/2??2??11/2??11/2???1??B??5??(?,?,?)??5??2?123?????????5/2????3???13/2???13/2??13??32

解: (注: 对于三阶以上矩阵, 没有多少可以解出特征值的好办法, 通常是尝试0,1,2,-1,-2这几个值是否特征值, 通过这样的尝试找出一个特征值之后, 通过因式分解将多项式化为二次方程再解余下的两个根). 1) 特征方程为

??34?A????2?1?; 1)

02??3?2?4??1??0?A???26?2A?12????????4?23??; 3) ?3?a?22a?? 2)

det(A??I)??3??24?1???(3??)(1??)?8?3?4???2?8

解出两个特征值为:

??2?4??5?0?1,2即两个特征值λ1=1, λ2=-5,

对λ1=1, 解齐次线性方程组

?1?4?42?4?1?536???2???2?3??22??5

??4x1?4x2?0??2x1?2x2?0, 容易看出方程有一个自由变元x, 令x=t为任意常数, 则x=x=t, 因此

2

2

1

2

32

?x1??1??x??t?1???, 则求得λ1=1对应的特征向量为t(1,1)T. 通解为?2?对λ2=5, 解齐次线性方程组

?2x1?4x2?0??2x1?4x2?0, 此方程也有一个自由变元x2, 令x2=t为任意常数, 则x1??2x2??2t

?x1???2t???2??x???t??t?1????, 则求得λ=5对应的特征向量为t(-2,1)T 因此通解为?2??2

2) 特证方程为

?4r?(?1)?r7??0?7??31det(A??I)??26???2??26???2?4?23???4?23??

c?c?101c1?43?1002?(??7)?26???2?(??7)?424?4??4?23??因此特征值为λ1=λ2=7, λ3=-2. 对于特征值λ1=λ2=7, 解齐次方程

?1??

?100?100c3?(?1)?c2?(??7)?428?4??4??4(??7)2111?4?7???1???41?1??

?100c2?(?1)?c3??4(??7)2110??4(??7)2(??2)?41?2??

?4?2?4?8??4x1?2x2?4x3?0???2x1?x2?2x3?0??4x?2x?4x?0123?

3??对系数矩阵作行初等变换,

方程有两个自由变元x2,x3, 令x2=s, x4=t, s,t为任意实数， 则

??4?2?4?r1?(?1)?r3??4?2?4???2?1?2??r?0?1?(?1/2)?r2??????00??????00???4?2?4???0? 11x1??x2?x3??s?t22

写成向量形式有

?x1???1??1/2???1?2s?t??x???s??s?1??t?0???2?????????x3????0????1??, ?t??因此特征值λ1=λ2=7对应的特征向量为s(-1/2,1,0)T, t(-1,0,1)T. 对于特征值λ3=-2, 解下面的齐次方程

33

对系数矩阵作行初等变换

?5x1?2x2?4x3?0???2x1?8x2?2x3?0??4x?2x?5x?0123?

有一个自由变元x3, 令x3=t为任意常数, 则 x1=x3=t, x2=(1/2)x3=(1/2)t, 写成向量形式, 得

?5?2?4?r1?r2?1?41?r1?(?5)?r2?1?41???28?2??r?5?2?4??r?018?9?1?4?r31?(?1/2)?????????????????????4?25????4?25???0?189?? r2?r31??1?4?10?1?r2?(1/18)?r2?4?r1?????????01?1/2??????01?1/2?????0?0??00??00?

因此特征值λ3=-2对应的特征向量为t(1,1/2,1).

3) 特征方程为

?x1??t??1??x???1t??t?1/2??2??2?????x3????t????1??

1??det(A??I)??1031r2?(?1)?r11??1??2?0?a?22a??3020?(1??)1???a?2022a??

因此A的三个特征值为λ1=1, λ2=2, λ3=2a-1. 对于特征值λ1=1, 解齐次方程

?110r1?3?r3?(??1)01??2?(??1)01??23?a?22a??0?a?12a?? 1??2c2?(1/2)?c12??2??(??1)??(??1)?a?12a??1??/22a??

12r1?(?1/2)?r212?(??1)(??2)?(??1)(??2)1/22a??02a?1??

??(??1)(??2)(??2a?1)?0

对其系数矩阵作初等行变换,

2x3?0??2x3?0??3x?(a?2)x?(2a?1)x?023?1

02?r1?r3?0?3?a?22a?1??0??r?0?2?(?1)?r302?????02??????00??3?a?22a?1???0?

有一个自由变量x2, 令x2=t为任意常数, 则x3=0, x1=(1/3)(a+2)x2-(2a-1)x3=(1/3)(a+2)t, 写成向量形式, 得

34

即对于应特征值λ1=1的特征向量为t((a+2)/3,1,0)T. 对于特征值λ2=2, 解齐次方程

?1?x1??13(a?2)t?3(a?2)???t?1??x???t????2????0?x3???????0??

对系数矩阵作初等行变换,

?2x3?0??x1??x2?2x3?0??3x?(a?2)x?(2a?2)x?023?1

02?0??1??1?0??r?01?3?r3?12?????1??????3?a?22a?2???0?a?2??102?r1?(?1)?1r2?(?a?2)?r3?r2?(?1)??????????0?12????????0??00??0??0?2??2a?4?? 0?2?1?2??00??

2方程有一个自由变量x3, 令x3=t为任意常数, 则x1=x2=2x3=2t, 写成向量形式, 得

即对应于特征值λ2=2的特征向量为t(2,2,1)T.

对于特征值λ3=2a-1, 解齐次方程

?x1??2t??2??x???2t??t?2??2???????x3????t????1??

对其系数矩阵作行初等变换

?(2?2a)x1?2x3?0??(2?2a)x2?2x3?0?3x?(a?2)x?x?023?1

这是为了方便起见使矩阵变成一个\倒\的阶梯形, 可以看出x1为自由变元, 令x1=t为任意常

数, 则x2=x1=t, x3=(a-1)x1=(a-1)t, 写成向量形式:

02?r1?(1/2)?1?1a01??2?2a?0??r?0?2?(1/2)2?2a2?????1?1a1???????a?21??a?21??3??3?

r2?(1/3)r3?(?1)?r1??2?aa?20?r2?(?a?2)?r1?000?r3?(?1)?r2?r2?(a?2)?r3??110?????????330??????????????a?21??3??1?a01??

因此, λ3=2a-1对应的特征向量为t(1,1,a-1)T.

# 已知A为n阶方阵且A2=A, 求A的特征值.

解: 设A的一个特征值为λ, 对应的特征向量为X, 则有AX=λX, 又将题意中的条件A2=A代

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?x1??t??1??x???t??t?1??2???????x3????(a?1)t????a?1??

入此式, 得A2X=λX, 但A2X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ2X, 因此有

λX=λ2X, 即λ2X-λX=(λ2-λ)X=O, 因为X为特征向量则必不为零向量, 因此只能有 λ2-λ=0, 即λ(λ-1)=0,

因此, A的特征值只能取0或者1值.

#. A是3阶实对称矩阵, A的特征值为1, -1, 0. 其中λ=1和λ=0所对应的特征向量分别为(1,a,1)T及(a,a+1,1)T, 求矩阵A.

解: 此题原本不适宜在这一章做. 因为A是实对称矩阵, 则必有它的各个不同特征值对应的特征向量相互正交, 因此特征向量(1,a,1)与(a,a+1,1)正交, 即对应分量相乘相加后等于0, 即

1a?a(a?1)?1?a2?2a?1?(a?1)2?0, 因此a=-1, λ=1和λ=0对应的特征向量为

α1=(1,-1,1)T及α2=(-1,0,1)T, 则因剩下的那个特征向量, 即λ=-1对应的特征向量α3=(x1,x2,x3)T必与α1和α2正交, 由此可得下面的齐次方程组:

对其系数矩阵作行初等变换,

?x1?x2?x3?0???x1?x3?0

方程有一个自由变量x3, 令x3=t为任意常数, 则x1=x3=t, x2=2x3=2t, 写成向量形式, 有

r?(?1)?1?11?r1?r2?1?11?r2?10?1?2?r1???????????101??0?12??01?2???????

?x1??t??1??x???2t??t?2??2???????x3????t????1??, 因此t(1,2,1)T为特征值-1对应的特征向量, 可令α3=(1,2,1).T

将这三个向量规范化得

?1??2??3?131612?1?(?2?(131,?,1326,1136)T

6)T

22 ?111????362??12P?(?1,?2,?3)???0???36?111???362?? 则令

?100??P?1AP?PTAP????0?10????000??则必有

(?1,0,1)T?(?1,01)T, 因此有

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?1??31A?P?PT????3?1??3?1??31????3?1??3

162616?1??1??2??100??3??10??0?10??6???000???11?????2?2???132601??1?3??61??2?????6?3??10????6?120361??3?1?6?1??2? 1?6?2???3?1?6??

162616?1??1??2??310?????61????02??231?32?3??001??A??x10????100??有三个线性无关的特征向量, 求x. #. 已知

解: 特征方程为

因此, A有三个特征值λ1=λ2=1, λ3=-1, 因此, x的选值必须使特征值为重根1的时候对应的齐

次方程有两个自由变量, 才能够得到两个线性无关的特征向量.

因为待定数为x, 因此齐次方程就用y1,y2,y3来作变元, 则特征值为1对应的齐次方程为:

1r???r??0113det(A??I)?x1??0?x1??010??1??200

?(1??2)(1??)?(1??)(1??)2

0??对系数矩阵作行初等变换

??y1?y3?0??xy1?0?y?y?03?1

如要方程有两个自由变元, 必须x=0.

#. 判断第一题中各矩阵是否可对角化. 如可对角化, 求可逆矩阵T, 使得T-1AT为对角阵. 解: 各矩阵是否可对角化的等价条件是要有与矩阵阶数一样多的线性无关的特征向量. 1) 矩阵A有两个线性无关的特征向量α1=(1,1)T, α2=(-2,1)T, 因此可对角化,

r1?(?1)??101?r1?(?x)?r2?10?1??x00??r?00x?1?(?1)?r3????????????10?1???000??

2) 矩阵A有三个线性无关的特征向量α1=(-1/2,1,0)T,α2=(-1,0,1)T,α3=(1,1/2,1)T,因此可对角化,

?1?2?T?(?1,?2)???11??

37

3) A的三个特征值为λ1=1, λ2=2, λ3=2a-1. 当λ3?1且λ3?2时, 特征方程没有重根, 三个特征值不同, 因此对应的必有三个线性无关的特征向量, A可对角化, 三个特征向量为 α1=((a+2)/3,1,0)T,α2=(2,2,1)T,α3=(1,1,a-1)T, 因此

??1/2?11??T?(?1,?2,?3)??101/2???11??0?

而当λ3=2a-1=1时, a=1, 这时候α1=α3=(1,1,0)T, 则不够三个线性无关的特征向量, 矩阵A不

能被对角化.

当λ3=2a-1=2时, a=3/2, 这时候α3=(1,1,1/2)T=(1/2)α2, 即与α2线性相关, 这样就还是不够三个线性无关的特征向量, 矩阵A也不能被对角化.

1??(a?2)/32?T?(?1,?2,?3)??121???01a?1???

?2a2??A??5b3?????11?1??有特征值1和-1, 问A是否能对角化? #. 已知

解: 将已知的特征值1和-1分别代入特征方程det(A??I)?0, 可得关于a和b的两个方

程,

先将特征值1代入特征方程得

得a=-1,

再将特征值-1代入特征方程得

c?c21a2c1?(?2)?c21a?101det(A?I)?5b?13?5b?4?7?7(a?1)?0?11?2?100

3a2c?c31det(A?I)?5b?13?110将a=-1代入上式, 得 因此有a=-1,b=-3, 则

?2a?325b?63??3(a?3)?2(b?6)?0?100

?3?2?2b?12?0,b??6/2??3

看A除了1和-1外还有没有其它的特征值, 再重解特征方程,

?2?12??A??5?33?????11?1??

2??01??r3?r11??det(A??I)?5?3??3?5?3??3?11?1???11?1??

c?c2101c1?(?1011)?c23?(1??)5?3??3?(1??)5?1??3?12?138

1?1???11???1??

因此知道矩阵A除了1和-1这两个特征值外还有一个特征值-2, 这样三个不同的特征值必有三个线性无关的特征向量, A可对角化.

#. 已知λ1,λ2,λ3是A的特征值, α1,α2,α3是相应的特征向量, 如果α1+α2+α3仍是A的特征向量, 证明λ1=λ2=λ3.

证: 如α1,α2,α3及α1+α2+α3都是A的特征向量, 假设α1+α2+α3对应的特征值为λ, 则有 Aα1=λ1α1, Aα2=λ2α2, Aα3=λ3α3, 和 A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3) (1) 但

A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 (2) 将(1),(2)两式左边与右边分别相减, 得 λ(α1+α2+α3)-λ1α1-λ2α2-λ3α3=O 整理后得

(λ-λ1)α1+(λ-λ2)α2+(λ-λ3)α3=O

而因为α1,α2,α3是对应于三个特征值的特征向量, 则必线性无关, 因此上式要成立必须α1,α2,α3的系数都为0, 即

101r3?r2?(1??)(1??)5?13?(1??)(1??)402???11?1???11?1??

?(1??)(1??)[4?(2??)]?(1??)(1??)(2??)

101则必有λ1=λ2=λ3, 证毕.

????1?0?????2?0?????03?

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