第二章第六讲 矩阵的秩

第2.6节 矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求法 三.矩阵秩的不等式 四.小结 思考题

一、矩阵秩的概念任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .矩阵的秩

定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k m , k n),位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改2

变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.

定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 式 D,且所有 r 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 等于零 . m n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数 .

对于 AT, 显有 r ( AT ) r ( A).

例1

1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1

解

1 2 在 A 中， 0. 2 3

又 A的 3 阶子式只有一个 A,且 A 0, r ( A) 2.

3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 的秩. 例2 求矩阵 B 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0

其非零行有3行， 解 B是一个行阶梯形矩阵， B 的所有 4 阶子式全为零.

2 1 而0 0 3 0

3 2 0, 4 r ( B ) 3.

1 例3 已知 A 0 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 3 2

3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 0 1 5 计算A的3阶子式，

1 3 2 3 2 2 1 2 2 2 0, 1 3 , 1 3 0, 00 , 2 3 0 0 2 1 0 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5 0.

r A 2.

1 3 2 2 另解 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5 1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 , 2 0 1 5 0 0 0 0 显然，非零行的行数为2, r A 2.

此方法简单！

结论： ( 1 )r ( A) 0 A 0.(2)对于Am n , 有0 r ( A) min(m, n).(3)r ( A) r ( A ), r ( kA) r ( A), k 0为常数。T

(4)n阶矩阵A,r ( A) n A为可逆阵 A 0 A为满秩矩阵。(5)若A有一个r阶子式不等于零，则r ( A) r; 若A的所有r 1阶子式为零，则r ( A) r。

二、矩阵秩的求法因为对于任何矩阵Am n , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶 梯形. 问题：经过变换矩阵的秩变吗？

定理 1 若 A ~ B, r A r B .证 先证明：若A经一次初等行变换变为 B, 则r ( A) r ( B ).

设 r ( A) r,且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.

当A B或 A B 时，

ri r j

ri k

在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式

Dr ,. 由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr ,

因此 Dr 0,从而r ( B ) r . 当A B时，分三种情况讨论：(1)Dr中不含第i行； (2)Dr中同时含第i行和第j行； (3)Dr中含第i行但不含第j行；ri krj

对 (1), ( 2) 两种情形，显然 B 中与 Dr 对应的 子式 D r Dr 0, 故 r ( B ) r .

对情形 ( 3),

r, D r ri krj ri k rj Dr kD r 0, 若D

r 中不含第 i 行知 A 中有不含第 i 行的 r 阶 因D 非零子式, r( B) r .

r 0, 若D

则 Dr Dr 0, 也有 r ( B) r .

若A经一次初等行变换变为B,则 r ( A) r ( B ). 又由于 B 也可经一次初等变换变 为 A, 故也有 r ( B ) r ( A).

因此 r ( A) r ( B ).经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.

设A经初等列变换变为 B, 也有r ( A) r ( B).

设 A 经初等列变换变为B,

则 AT 经初等行变换变为BT , r ( A ) r ( B ), 且 r ( A) r ( A ), r ( B ) r ( B ), r ( A) r ( B ).T T T T

综上, 若 A 经有限次初等变换变为 B( 即 A ~ B ), 则 r ( A) r ( B ).结论: 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.

0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 , 求矩阵 A 的 例4 设 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 .阶梯形矩阵： 解 对A作初等行变换，变成行

0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 r1 r4

1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0

0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4

r1 r4 r2 r4

1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0

0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4

r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1

6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12

r3 3r2r4 4r2

1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0

r4 r3

由阶梯形矩阵有三个非零行可知 r ( A) 3.

求 A 的一个最高阶子式. r ( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .3 3 A 的 3 阶子式共有 C4 C5 40 个 .

考察A的行阶梯形矩阵， 记A (a1 , a2 , a3 ,

a4 , a5 ), 则矩阵B (a1 , a2 , a4 )的行

阶梯形矩阵为

1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0

r ( B ) 3,

故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个.计算B的前三行构成的子式

3

2

5

3 2

5

2 0 5 2 0 5 3 2 6 6 0 11

2

2

5

6 11

16 0.

则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.

设 n 阶可逆矩阵 A,

A 0, A 的最高阶非零子式为 A , 故 A 的标准形为单位阵I , A ~ I .

r ( A) n ,

可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .

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