2013年高考文科数学江西卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类

(江西卷)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013江西，文1)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2

2．(2013江西，文2)若集合A＝{x∈R|ax＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )．

A．4 B．2 C．0 D．0或4 3．(2013江西，文3)若sin3，则cos α＝( )．

232112??A．3 B．3 C．3 D．3

??4．(2013江西，文4)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )．

2111A．3 B．2 C．3 D．6

5．(2013江西，文5)总体由编号为01,02，?，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．07 C．02 D．01 6．(2013江西，文6)下列选项中，使不等式x＜

12

＜x成立的x的取值范围是( )． xA．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)

7．(2013江西，文7)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )．

A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11

8．(2013江西，文8)一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )．

A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π

2

9．(2013江西，文9)已知点A(2,0)，抛物线C：x＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与

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其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )．

A．2∶5 B．1∶2 C．1∶5 D．1∶3

10．(2013江西，文10)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图像大致为( )．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

α

11．(2013江西，文11)若曲线y＝x＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 12．(2013江西，文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是

*

前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N)等于________．

13．(2013江西，文13)设f(x)＝3sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．

14．(2013江西，文14)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．

15．(2013江西，文15)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

216．(2013江西，文16)(本小题满分12分)正项数列{an}满足：an－(2n－1)an－2n＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn?1，求数列{bn}的前n项和Tn.

(n?1)an

17．(2013江西，文17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c成等差数列； (2)若C?2πa，求的值． 3b2013 江西文科数学 第2页

18．(2013江西，文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋． (1)写出数量积X的所有可能取值；

(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．

19．(2013江西，文19)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3. (1)证明：BE⊥平面BB1C1C； (2)求点B1到平面EA1C1的距离．

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x2y2320．(2013江西，文20)(本小题满分13分)椭圆C：2?2=1(a＞b＞0)的离心率e?，a＋b＝3.

2ab(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．

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?1x,0?x?a,??a21．(2013江西，文21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝?a为常数且a∈(0,1)．

?1?1?x?,a?x?1.??1?a??1??1(1)当a?时，求f?f???；

2??3??(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶

周期点，并求二阶周期点x1，x2；

2,

(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间?,?上的最大值和最小值．

?11??32?2013 江西文科数学 第5页

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(江西卷)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：D

解析：z＝i(－2－i)＝1－2i，在复平面上的对应点为(1，－2)，在第四象限，故选D. 2． 答案：A

2

解析：当a＝0时，显然不成立；当a≠0时．由Δ＝a－4a＝0，得a＝4.故选A. 3． 答案：C

?3?1解析：cos α＝1?2sin?1?2???.故选C. ???2?3?32?24． 答案：C

解析：从A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为

21?.故选C. 635． 答案：D

解析：所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D. 6． 答案：A

解析：原不等式等价于??x?0,?x?0,①或② ?2233x?1?x,x?1?x,??①无解，解②得x＜－1.故选A.

7． 答案：B

解析：i＝2，S＝5；i＝3，S＝8；i＝4，S＝9，结束．所以填入的条件是“S＜9”．故选B. 8． 答案：A

解析：由三视图可知，该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成．所以体积V＝4×10×5＋

12

×π·3·2＝200＋9π.故选A. 29． 答案：C

解析：射线FA的方程为x＋2y－2＝0(x≥0)． 如图所示，知tan α＝

51，∴sin α＝.

52

由抛物线的定义知|MF|＝|MG|， ∴

|FM||MG|51??sin ???.故选C.

|MN||MN|5510．答案：B

解析：假设经过t秒后，圆心移到O1，则有∠EO1F＝2∠AO1F，且cos∠AO1F＝1－t.

2

而x＝1·∠EO1F，∴y＝cos x＝cos ∠EO1F＝cos 2∠AO1F＝2cos∠AO1F－1＝

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2(1－t)－1＝2t－4t＋1＝2(t－1)－1，t∈[0,1]．故选B.

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：2 解析：切线斜率k＝

α－1

222

2?0＝2， 1?0又y′＝αx在点(1,2)处，y′|x＝1＝α，故α＝2. 12．答案：6

2?1?2n?解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＝＝2(－1

1?2＋2)≥100，∴2≥51，∴n≥6. 13．答案：[2，＋∞)

解析：∵f(x)＝3sin 3x＋cos 3x＝2sin?3x?nn??π??∈[－2,2]，又∵|f(x)|≤a恒成立，∴a≥2. 6?14．

解析：圆心在直线x＝2上，所以切点坐标为(2,1)． 设圆心坐标为(2，t)，由题意，可得4＋t＝(1－t)，∴t??2

2

3252，半径r?. 243?25?2所以圆C的方程为(x?2)??y???.

24??15．

答案：4

解析：作FO⊥平面CED，则EO⊥CD，FO与正方体的侧棱平行，所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．

解：(1)由an－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以an＝2n. (2)由an＝2n，bn?22111?11????，则bn??，

(n?1)an2n?n?1?2?nn?1?1?1111111?1?1?n. Tn??1??????????1?????2?223n?1nnn?1?2?n?1?2(n?1)17．

2

解：(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sinB， 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B.

由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．

2π222

，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)＝a＋b＋ab， 3a32

即有5ab－3b＝0，所以?.

b5(2)由C?18．

解：(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.

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??????????(2)数量积为－2的有OA2·OA5，共1种；

????????????????????????????OAOAOAOAOAOA数量积为－1的有1·5，1·6，2·4，

??????????????????????????????OA2·OA6，OA3·OA4，OA3·OA5，共6种；

????????????????????????????数量积为0的有OA1·OA3，OA1·OA4，OA3·OA6，??????????OA4·OA6，共4种；

?????????????????????????????数量积为1的有OA1·OA2，OA2·OA3，OA4·OA5，??????????OA5·OA6，共4种．

故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为p1?因为去唱歌的概率为p2?－p2＝1?19．

(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.

在Rt△BFE中，BE＝3. 在Rt△CFB中，BC＝6.

222

在△BEC中，因为BE＋BC＝9＝EC， 故BE⊥BC.

由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1， 所以BE⊥平面BB1C1C.

(2)解：三棱锥EA1B1C1的体积V＝在Rt△A1D1C1中，A1C1＝2

7； 154，所以小波不去唱歌的概率p＝115411?. 15151AA1·S?A1B1C1＝2. 3A1D12?D1C12=32. 2同理，EC1＝EC?CC1=32，

222A1E＝A1A?AD?DE=23. 故S?A1C1E＝35. 设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积

V＝·d·S?A1C1E＝5d，

从而5d?20．

132，d?10. 53c?， 2a21c，b?c. 所以a?33解：(1)因为e?

代入a＋b＝3，得c?3，a＝2，b＝1.

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x2故椭圆C的方程为?y2?1.

4(2)方法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)?k?0,k????1??，① 2??8k2?24k?x22,?2①代入?y?1，解得P?2?.

4?4k?14k?1?1x?1.② 2?4k?24k?①与②联立解得M?,?.

?2k?12k?1?直线AD的方程为：y?4k?12?8k?24k?0?1?4k?2?4k?1,?由D(0,1)，P?，N(x,0)三点共线知，解得N,0?. ???2224k?14k?18k?22k?1x?0?????04k2?14k?04k?2k?1?2k?12k?1所以MN的斜率为m＝， ??4k?24k?22?2k?1?2?2?2k?1?24?2k?12k?12k?11则2m－k＝?k?(定值)．

22y0方法二：设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则k?，

x0?21直线AD的方程为：y?(x?2)，

2y0(x?2)， 直线BP的方程为：y?x0?22?直线DP的方程为：y?1???x0?y0?1,0?， x，令y＝0，由于y0≠1可得N?x0?y0?1?1?y??x?2?,?2?联立?

y0?y??x?2?,x0?2???4y0?2x0?4?4y0,解得M??，

2y?x?22y?x?20000??因此MN的斜率为

4y02y0?x0?2m＝

4y0?2x0?4x0?2y0?x0?2y0?14y0?y0?1?＝ 4y02?8y0?4x0y0?x02?44y0?y0?1?＝ 224y0?8y0?4x0y0??4?4y0??42013 江西文科数学 第9页

＝

y0?12y，

0?x0?2所以2m－k＝2?y0?1?y2y2?0x

0?x0?0?2＝2?y0?1??x0?2??y0?2y0?x0?2??2y2??x

0?x0?0?2?＝2?y0?1??x0?2??2y20?y0?x0?2??2y?x

00?2??x0?2?2?y10?1??x0?2??(4?x20)?y0?x0?2?＝2?2y

0?x0?2??x0?2?＝12(定值)． 21． 解：(1)当a?1时，f??1?2?3?2??，f?f??1??3??????f?3???2??3???2???1?2?3?2??3. ??1x，0?x?a2,?a2?1?(a?x),a2?x?(2)f(f(x))＝??a(1?a)a，?1

?2(x?a)，a?x?a2?a?1，?(1?a)?1??a(1?a)(1?x)，a2?a?1?x?1.当0≤x≤a2

时，由

1a2x?x解得x＝0， 因为f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；

当a2

＜x≤a时，由

1a(1?a)(a?x)?x解得x?a2

?a2?a?1∈(a，a)，

因f??a?a??a2?a?1???1a??a2?a?1?1?a2?a?1?a?a2?a?1， 故x?a?a2?a?1为f(x)的二阶周期点： 当a＜x＜a2－a＋1时，由1?1?a?2(x－a)＝x解得x?12?a∈(a，a2

－a＋1)，因f??1??2?a???11?a????1?1?12?a???2?a， 故x?12?a不是f(x)的二阶周期点；

当a2

－a＋1≤x≤1时， 由

11a(1?a)(1?x)?x解得x?2

?a2?a?1∈(a－a＋1,1)，2013 江西文科数学 第10页

f??1???a2?a?1?? 因＝

11a1??， ??1?2???22(1?a)??a?a?1??a?a?1?a?a?11故x?为f(x)的二阶周期点．

?a2?a?1a1因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1?，. x?222?a?a?1?a?a?1aa??(3)由(2)得A?,?， 22??a?a?1?a?a?1?11??B?2,2?， ??a?a?1?a?a?1?1a(a3?2a2?2a?2)1a2(1?a)则S(a)??，S'(a)??， 2222(?a?a?1)2?a?a?1?11?2

因为a∈?,?，有a＋a＜1，

?32?1a(a3?2a2?2a?2)所以S'(a)?? 222(?a?a?1)1a[?a?1??a?1?2??1?a2?a?]>0. ＝?222??a?a?1?(或令g(a)＝a－2a－2a＋2， g′(a)＝3a2－4a－2 ＝3?a?3

2

???2?10??2?10?a?， ??????3??3?因a∈(0,1)，g′(a)＜0，则g(a)在区间?,?上的最小值为g????0，

?2?8?32??11??1?5?11?32

??1a(a3?2a2?2a?2)S'(a)???0)，

2(?a2?a?1)2?11?则S(a)在区间?,?上单调递增，

?32??11??1?1?1?1故S(a)在区间?,?上的最小值为S???，最大值为S???.

?2?20?32??3?33故对于任意a∈?,?，g(a)＝a－2a－2a＋2＞0，

32

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11a1??， ??1?2???22(1?a)??a?a?1??a?a?1?a?a?11故x?为f(x)的二阶周期点．

?a2?a?1a1因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1?，. x?222?a?a?1?a?a?1aa??(3)由(2)得A?,?， 22??a?a?1?a?a?1?11??B?2,2?， ??a?a?1?a?a?1?1a(a3?2a2?2a?2)1a2(1?a)则S(a)??，S'(a)??， 2222(?a?a?1)2?a?a?1?11?2

因为a∈?,?，有a＋a＜1，

?32?1a(a3?2a2?2a?2)所以S'(a)?? 222(?a?a?1)1a[?a?1??a?1?2??1?a2?a?]>0. ＝?222??a?a?1?(或令g(a)＝a－2a－2a＋2， g′(a)＝3a2－4a－2 ＝3?a?3

2

???2?10??2?10?a?， ??????3??3?因a∈(0,1)，g′(a)＜0，则g(a)在区间?,?上的最小值为g????0，

?2?8?32??11??1?5?11?32

??1a(a3?2a2?2a?2)S'(a)???0)，

2(?a2?a?1)2?11?则S(a)在区间?,?上单调递增，

?32??11??1?1?1?1故S(a)在区间?,?上的最小值为S???，最大值为S???.

?2?20?32??3?33故对于任意a∈?,?，g(a)＝a－2a－2a＋2＞0，

32

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