南京市白下区2012届高三“市二模”模拟考试数学试卷
更新时间:2023-12-22 10:14:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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南京市白下区2012届高三“市二模”模拟考试
数学试卷
注意事项:
1. 本试卷共4页,包括填空题(第1题—第14题)、解答题(第15题—第20题)两
部分,本试卷满分为160分,考试时间为120分钟;
2. 统一用黑色水笔作答,答题前,请务必将自己的姓名、学校、考号填涂在答卷纸上相应位置上,试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内,考试结束后,交回答卷纸。 一、
填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在相应位置上。
1. 已知函数f(x)?cosx,则f(x)的导函数f'(x)= 。
2. 命题“?x?R,x2?2?0”的否定是 命题。(填“真”或“假”之一)
x2y2??1(0?m?9)的焦距为23,则m? 。 3. 若椭圆9m4. 抛物线y2?2x上一点M到焦点的距离为1,则点M的横坐标是 。 5. 下面四个条件中,使a?b成立的充分而不必要的条件是 。(填写序号)
3322①a?b?1 ②a?b?1 ③a?b ④a?b
6. 如图所示的“双塔”形立体建筑,已知P?ABD和Q?CBD是
两个高相等的正三棱锥,四点A,B,C,D在同一平面内,要使塔尖P,Q之间的距离为50m, 则底边AB的长为 m。 7. 若m,n为两条不同的直线,?,?为两个不同的平面,则以下命
题正确的是 .(填写序号) ①若m//?,n??,则m//n; ②若m//?,?//?,则m//?;
③若m??,m//n,?//?,则n??; ④若m?n,m??,n??,则???
第6题图
8. 如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使
点M与点F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是 .(填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况) 9. 曲线y?x与y?8在它们交点处的两条切线与轴所围成的x三角形的面积为 。
第8题图
10. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,若这个球的表面积为12?,
则这个正三棱柱的体积为 。 11. 如图所示,在圆锥PO中,已知PO?2,⊙O的直径
AB?2,点C在弧AB上,且?COB?60°,则二面角
B?PA?C的余弦值是 。
x2y212. 已知点F是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点,
ab第11题图
点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若
?ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 。
213. 已知函数f(x)?(ax?x)?xlnx在?1,???上单调递增,则实数a的取值范围
是 。
14. 已知点P是抛物线x?4y上一个动点,过点P作圆x?(y?4)?1的两条切线,切
点分别为M,N,则线段MN长度的最小值是 。
二、解答题:本大题共六小题,共计90分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分14分)
222x2y2??1表示双曲线,命题q:圆x2?(y?1)2?9与圆设命题p:方程
a?6a?7(x?a)2?(y?1)2?16相交。若“?p且q”为真命题,求实数a的取值范围。
16. (本小题满分14分)
已知函数f(x)?(ax2?bx?c)e2?x在x?1处取得极值,且在点(2,f(2))处的切线方程为6x?y?27?0。 (1) 求a,b,c的值;
(2) 求函数f(x)的单调区间,并指出f(x)在x?1处的极值是极大值还是极小值。
17. (本小题满分14分)
已知圆C经过两点P(?1,?3),Q(2,6),且圆心在直线x?2y?4?0上,直线l的方程为(k?1)x?2y?5?3k?0。 (1) 求圆C的方程;
(2) 证明:直线l与圆C恒相交; (3) 求直线l被圆C截得的最短弦长。
18. (本小题满分16分)
如图,平面ABDE?平面ABC,?ABC是等腰直角三角形,AC?BC?4,四边形
ABDE是直角梯形,BD//AE,BD?BA,BD?1AE?2, O,M,N分别为2CE,AB,EM的中点。
(1) 求证:OD//平面ABC; (2) 求证:ON?平面ABDE;
(3) 求直线CD与平面ODM所成角的正弦值。
第18题图
19. (本小题满分16分)
x2y2如图,A,B是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右顶点,M是椭圆上异于A,B的
ab任意一点,若椭圆C的离心率为(1) 求椭圆C的方程;
(2) 设直线AM交l于点P,以MP为直径的圆交直线MB于点Q,试证明:直线
1,且右准线l的方程为x?4。 2PQ与x轴的交点R为定点,并求出R点的坐标。
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)??x?x?b,g(x)?alnx, (1) 若f(x)在x???32第19题图
3?1?,1?上的最大值为,求实数b的值;
8?2?2(2) 若对任意x?? 1,e?,都有g(x)??x?(a?2)x恒成立,求实数a的取值范围;(3) 在(1)的条件下,设F(x)???f?x?,x?1,对任意给定的正实数a,曲线
?g?x?,x?1y?F(x)上是否存在两点P,Q,使得?POQ是以(O为坐标原点)为直角顶
点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由。
南京市白下区2012届高三“市二模”模拟考试
数学参考答案
一、填空题:
1.?sinx 2.假 3.6 4.
1 5.② 6.503 7.③④ 26331 12.?1,2? 13.a? 14. 332e21. 8.椭圆 9.6 10.54 11.22. 二、解答题:
x2y223. 15.解:若p真,即方程??1表示双曲线,
a?6a?724. 则?a?6??a?7??0,??6?a?7. ………………………………5分 25. 若q真,即圆x2??y?1??9与圆?x?a???y?1??16相交,
26. 则1?a2?4?7,??35?a?35. ………………………………10
分
27. 若“?p且q”为真命题,则p假q真, ??a??6或a?728. ??,即?35?a??6,
???35?a?3522229. ?符合条件的实数a的取值范围是?35?a??6. ………………………………14
分
30. 16.解:(1)f??x???2ax?b?e2?x?ax2?bx?ce2?x??1?
22?x?31. ??, ………………………………4分 ?ax?2a?bx?b?ce??????1???f??1??0??a??2a?b???b?c???e?0???032. 由题意,?f??2???6,即????4a?2?2a?b???b?c???e??6,
??0?f?2??15???4a?2b?c?e?15??33. ?a?c?1,b?5; ………………………………8分 34. (2)由(1)知,f?x??x2?5x?1e2?x,
35. ?f??x???x2?3x?4e2?x???x?4??x?1?e2?x, ………………………………10分 36. 令f??x??0,得?4?x?1,f??x??0,得x??4或x?1,
????
?函数f?x?的单调递增区间为??4,1?,单调递减区间为???,?4?和?1,???.……13分
37. 由此可知,f?x?在x?1处的取值是极大值. ………………………………14分 38. 17.解:(1)设圆C的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0. …………………………2分 ??1?9?D?3E?F?0?D??4??39. 由条件,得?4?36?2D?6E?F?0,解得?E??2,
?D?F??20E??(?)?2?(?)?4?0?2240. ?圆C的方程为x2?y2?4x?2y?20?0. ………………………………6分 41. (2)由?k?1?x?2y?5?3k?0,得k?x?3???x?2y?5??0,
?x?3?0?x?342. 令?,得?,即直线l过定点?3,?1?,……………………………8分
x?2y?5?0y??1??43. 由32???1??4?3?2???1??20?0,知点?3,?1?在圆内,
44. ?直线l与圆C恒相交. ………………………………10分 45. (3)圆心C?2,1?,半径为5,由题意知,
2246. 直线l被圆C截得的最短弦长为252???2?3???1?1???45.………………14分
??E 47. 18.(1)证明:如图1,取AC中点F,连接OF,BF.
248. ?O是EC中点,?OF是?CAE的中位线, 49. ?OF//EA,且OF?1EA, 2O
N 150. 又DB//EA,且DB?EA,?OF//DB且OF?DB,
251. ?四边形ODBF是平行四边形,?OD//FB.
D F A B
C
M 52. ?OD?面ABC,FB?面ABC,OD//平面ABC.………………5分
图1
53. (2)证明:连接CM,?N是EM的中点,?ON//CM.
54. ?平面ABDE?平面ABC,平面ABDE?平面ABC?AB, 55. BD?平面ABDE,BD?AB,?BD?平面ABC, 56. ?CM?平面ABC,?BD?CM,?BD?ON.
57. 又?ABC是等腰直角三角形,AC?BC,M是AB的中点, 58. ?CM?AB,?ON?AB,
59. 由AB,DB?平面ABDE,AB?DB?B,?ON?平面ABDE.……………………11分 60. (3)解:建立如图2所示的空间直角坐标系.
61. 由条件,得M?0,0,0?,C22,0,0,E0,22,4,D0,?22,2,?O?????62. ?MO?????????2,2,2,
???????????E 2,2,2,MD?0,?22,2,CD??22,?22,2, ?????63. 设平面ODM的法向量为n??x,y,z?,
????????????64. 由n?MO,n?MD,
N z O y ???2x?2y?2z?0n65. ??,取??3,1,2,
???22y?2z?0D A C x ??M 图2
66. 设直线CD与平面ODM所成角为?,则 ??????62?22?223067. sin??cos?n,CD??, ?1025?23B 68. ?直线CD与平面ODM所成角的正弦值为30. ………………………………16分 10?c1?a?2?2??a?a?269. 19.解:(1)由题意:??4,解得?.
c???b?3222?a?b?c??x2y270. ?椭圆C的方程为??1. ………………………………6分
4371. (2)由(1)知,A??2,0?,B?2,0?,设M?x0,y0?,R?t,0?,则 72. 直线AM的方程为y?y0?x?2?, x0?273. 令x?4,得y??6y0?6y0,即点P的坐标为?4,?, …………………………9分 x0?2x?20??74. 由题意,MQ?PQ,?kMQ?kPQ??1,
6y02y04?ty0x0?2??75. ?, …………………………12分 ???1,即?6x0?24?t?x0?2??x0?2?22x0y0322?1,?y0??4?x076. 又??,
43477. ??
4?t31??,?t??. 642
?1?78. ?直线PQ与x轴的交点R为定点??,0?. …………………………………16分
?2?79. 20.解:(1)由f?x???x3?x2?b,得f??x???3x2?2x??x?3x?2?, 80. 令f??x??0,得x?0或81. 列表如下:
2. 3?1???,0? ?2??
x
f??x? f?x?
1? 2
0 0 极小值
?2??0,? ?3?2 30 极大值
?2??,1? ?3??
?
?
1f(?)
2? ?
13241282. 由f(?)??b,f()??b,?f(?)?f(),
283272313383. 即最大值为f(?)??b?,?b?0. ………………………………5分
28884. (2)由g?x???x2??a?2?x,得?x?lnx?a?x2?2x.
85. ?x??1,e?,?lnx?1?x,且等号不能同时取,?lnx?x,即x?lnx?0,
x2?2xx2?2x86. ?a?恒成立,即a?()min. ………………………………7分
x?lnxx?lnx?x?1??x?2?lnx?x2?2x87. 令t?x??, ,x??1,e??,求导得,t??x??2x?lnx?x?lnx?88. 当x??1,e?时,x?1?0,lnx?1,x?2?lnx?0,从而t??x??0,
89. ?t?x?在?1,e?上为增函数,?tmin?x??t?1???1,?a??1. …………………10分 ??x3?x2,x?190. (3)由条件,F?x???,
alnx,x?1?91. 假设曲线y?F?x?上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在y轴两侧, 92. 不妨设P?t,F?t???t?0?,则Q?t,t3?t2,且t?1.
93. ??POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,
????????94. ?OP?OQ?0,??t2?f?t?t3?t2?0 ??*?,
????95. 是否存在P,Q等价于方程?*?在t?0且t?1时是否有解. …………………12分 96. ①若0?t?1时,方程?*?为?t2??t3?t2t3?t2?0,化简得t4?t2?1?0,
????
97. 此方程无解;
98. ②若t?1时,?*?方程为?t2?alnt?t3?t2?0,即
??1??t?1?lnt, a199. 设h?t???t?1?lnt?t?1?,则h??t??lnt??1,
t100. 显然,当t?1时,h??t??0,即h?t?在?1,???上为增函数, 101. ?h?t?的值域为?h?1?,???,即?0,???, 102. ?当a?0时,方程?*?总有解.
103. ?对任意给定的正实数a,曲线y?F?x? 上总存在两点P,Q,使得?POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.………………16分
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