湖北省部分重点中学2010届高三第二次联考 数学（含答案）

湖北省部分重点中学2010届高三第二次联考

数学（理）（附答案）2010. 01

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是满足题目要求的，把你认为正确的答案填写在答题卡上） 1．i(1?i)2等于

A．2-2i

B．2+2i

C．-2

D．2

D．x-y=0

（ ） （ ） （ ）

2．过点A（1，1）且与圆x2?y2?2相切的直线方程为

A．2x-y=1

B．3x-2y=1

C．x+y-2=0

3．\|x?1|?1\是\log2x?1\的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D1B所成角的余

弦值为 （ ）

A．

15 6B．

15 5C．

15 3D．

15 105．a1,a2,a3,a4是各项不为零的等差数列且公差d?0，若将此数列删去某一项得到的数

列（按原来的顺序）是等比数列，则

A．-4或1

B．1

a1的值为 dC．4

D．4或-1

（ ）

26．已知：函数y?f(x?1)的图象关于直线x=1对称，当x?0时,f(x)?x?2x，则当

x?0时,f(x)=

A．x?2x

2

B．x?2

2

C．?x?2x

2

D．x?2x

2（ ）

7．已知a?ln

A．a>b>c

111111?,b?ln?,c?ln?，则 201020102011201120122012B．a>c>b

C．c>a>b

D．c>b>a

（ ）

8．?ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2OA?AB?AC?0,且|OA|?|AB|，则向量

BA在向量BC方向上的投影为

A．

C．? （ ）

1 2B．

3 21 2D．?3 29．三棱锥A—BCD的三条侧棱两两互相垂直，且AB=2，AD=3，AC=1，则A、B两点

在三棱锥的外接球的球面上的距离为

A．22?

B．2?

C．

（ ）

2? 2D．

2? 4x2y210．已知左右焦点分别为F1，F2的椭圆2?2?1上存在一点P使PF直线PF21?PF2，

ab交椭圆的右准线于M，则线段PM的长为

A．2a

B．2b

C．2c

（ ）

2a2D．

c第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位

置上）

1?4?(x??2)?11．已知a?0,a?1，若函数f(x)??4?x22?x在点x=-2处连续，则a=

?(x??2)?log4(?x) 。

12．过抛物线y?4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，过B点作抛物线的准线l的垂线，

垂足为C，已知点A（4，4），则直线AC的方程为 。 13．设y?f?12(x)是函数f(x)?2x?1的反函数，若f?1(a)?f?1(b)?0，则a+b的最小值

为 。

14．北京大学今年实施校长实名推荐制，某中学获得推荐4名学生的资格，校长要从7名优

秀学生中推荐4名，7名学生中有2人有体育特长，另有2人有艺术特长，其余3人有其他特长，那么至少含有一名有体育特长和一名有艺术特长的学生的推荐方案有 种（用数字作答）。 15．对于函数f(x)?|x?2k|(?1?2k?x?1?2k，其中k可以取所有整数）下列三种结

论中正确的有 （只填你认为正确结论的序号） ①使f(x)?113的x的取值集合为|x|?2k?x?2k,k?Z|； 22211②函数f(x)的图像是中心对称图形，点(??k,)(k?Z)是其对称中心；

22③函数f(x)的图像按向量a?(?11,?)平移得到一个奇函数的图像。 22三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

袋中有大小相同的5个球，其中黑球3个，白球2个，甲乙二人分别从中各取一个，

甲先取（不放回）乙后取。

（1）分别求甲乙取到黑球的概率；

（2）求两人共取到黑球的个数?的数学期望。 17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?2asin?xcos?x?2bcos?x?b(??0)在x?x时取最大值12?2。x1,x2是集合M?{x?R|f(x)?0}中的任意两个元素，|x1?x2|的最小值为.

22 （1）求a、b的值； （2）若f(a)?25?,求sin(?4a)的值。 36

18．（本小题满分12分）

如图在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，过D

与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E。 （1）求证：DE⊥PC；

（2）当PA//平面EDB时，求二面角E—BD—C的正切值。 19．（本小题满分12分）

已知：经过点A(?2,0),B(2,0)的动圆与y轴交于M、N两点，C（-1，0），D（1，0）是x轴上两点，直线MC与ND相交于P。 （1）求点P的轨迹E的方程；

（2）直线GH交轨迹E于G、H两点，并且OG?OH?0（O是坐标原点），求点O到

直线GH的距离。

20．（本小题满分13分）

定理：若函数f(x)在闭区间[m，n]上是连续的单调函数，且f(m)f(n)?0，则

存在唯一一个x0?(m,n)使f(x0)?0。已知f(x)?sinx(0?x? （1）若g(x)?f(cosx)?ax(0?x? （2）是否存在c,d?(0,?2).

?2)是减函数，求a的取值范围。

?2)使f(cosc)?c和cos[f(d)]?d同时成立，若存在，指出c、

d之间的等式关系，若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）

已知数列|an|满足：an?n?1?87an?1，且存在大于ak?0,m?1?87a1。 （1）用k表示m（化成最简形式）； （2）若m是正整数，求k与m的值；

（3）当k大于7时，试比较7(m?49)与8(k2?k?42)的大小。

1的整数k使

参考答案

一、选择题

1—5 DCCBA 6—10 DAACA 二、填空题

11．16 12．y=x 13．4 14．25 15．①②③ 三、解答题

16．解：（1）记“甲取到黑球”为事件A，“乙取到黑球为事件B”

1C33则P(A?2?

C55 ????3分

1C333P(B)?2? 故甲、乙取到黑球的概率均为

5C55????6分

（2）?的所有可能取值为0，1，2

112C3C23C32C213且P(??0)?2? ,P(??1)??,P(??2)??225C510C5C510∴?的分布列为

? P 0 1 2 1 103 53 10?E??0?1336?1??2?? 1051056（注意：错误算法的答案也是）

5 ????12分

17．解：（1）

可设

f(x)?asin2?x?bcos2?x

f(x)?Asin(2?x??)，

其中

A?a2?b2,sin??ba?b22,cos?aa?b22

由题意知：

f(x)的周期为?,A?2

由

2?2???知??1 ?f(x)?2sin(2x??)

?f(??12)?2?sin(6??)?1

从而?6????2?2k?,k?z

即???3?2k?(k?z)

?f(x)?2sin(2x??3)?sin2x?3cos2x

从而a?,b?3

（2）由

f(a)?23知2sin(2a??23)?3 即sin(2a??13)?3

?sin(5?6?4a)sin[3?2?(4a?2?3)]

??cos(4a?2?3)

??1?2sin2(2a??3)

??1?2?(13)2??79

18．解：（1）证明：?PB?平面DEF

?PB?DE 又?PD?平面ABCD 又?BC?DC

?BC?面PDC

????2分

?DE?平面PDC ?BC?DE

从而DE⊥平面PBC

????4分 ?DE?PC

（2）连AC交BD于O，连EO

由PA//平面EDB

及平面EDB∩平面PAC于EO 知PA//EO

?O是正方形ABCD的对角线AC的中点 ?E为PC的中点 又?DE?PC ?PD?DC

????3分

????6分

????7分

????9分 ????11分 ????12分

????1分

????5分

????6分

设PD=DC=a，取DC的中点H，作HG//CO交BD于G， 则HG⊥DB，EH//PD

?EH?平面CDB。

由三垂线定理知EG⊥BD

故?EGH为二面角E—BD—C的一个平面角。 易求得EH?12PD?12a,HG?12OC?22a ?tan?EGH?EHGH?22 ∴二面角E—BD—C的正切值为

22.

19．解：（1）设M（0，m），N（0，n），P（x，y）

则??y?m(x?1)y??n(x?1)

?两式相乘得：

y2??nm(x2?1)

连MB、NB，则MB⊥NB，在Rt?MNB中 知|OB|2?|OM||ON|

?mn??2?y2?2(x2?1)x2?y2即

2?1故P的轨迹方程为x2?y22?1 （2）当直线GH与x轴垂直时，设G(x0,y0),则H(x0,?y0)从而x20?y20?0

又?x2y200?2?1?x20?2?|x0|?2 ?O到直线GH的距离为2.

当直线与x轴不垂直时，设其方程为

y?kx?m

y2代入x2?2?1并整理得： ????9分

????12分????6分

????8分

(2?k2)x2?2mkx?m2?2?0

2mkm2?2,x1x2?2设G(x1,y1),H(x2,y2)则x1?x2?

2?k2k?2?（*）??9分

?x2x2?y1y2?0?(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2?0

将（*）代入并整理和m2?2(1?k2) |m|1?k2?O到GH的距离d??2

故O到GH的距离为20．解：（1）?g(x)2

????12分

?sin(cosx)?ax

?g'(x)?cos(cosx)?(?sinx)?a

依题意cos(cos即ax)(?sinx)?a?0对x?[0,]恒成立

2???cos(cosx)sinx

?0

????6分

显然?cos(cosx)sinx?a?0，故a的取值范围是a?0

（2）由（1）知：当a=1时，g(x)且g(0)?f(cosx)?x在[0,]上是减函数

2??sin1?0,g()???0

22??∴存在唯一c?(0,同理由F(x)且F(0)知存在d?2)使g(c)?0即f(cosc)?C

????8分

?cosf(x)?x在[0,]上是减函数

2??1?0,F()?cos1??0

22?(0,)使F(d)?0 2???即cosf(d)由cosf(d)及

?d成立

????10分

?d得f[cos(f(d))]?f(d)

f(cosc)?c的唯一性知c?f(d),即c?sind

综上可知，存在c，d使

f(cosc)?c和cos[f(d)]?d同时成立，

且c?sind

????13分

21．解：（1）m?1?888a1?1?(2?a2) 777882?()a277

8828?1?2??()[3?a3]777?1?2?888?3?()2???k?()k?1 ① ????2分 77788888?m?1??2?()2?3?()3???k?()k② 7777718828k?18?k?()k????4分 由①—②得?m?1?1??()???()777778()k?118??m?7?k?()k

877?17?1?2?8k?m?49?(k?7)?k?17 （2）由k ????6分

?1知|k?7|?7n?1

*又?m?N故此有k故k=7，m=49 （3）?m?7?0

????9分

?49?(k?7)?17k?1

1?7(m?49)?56(k?7)?(1?)k?17111112k?11?56(k?7)[1?Ck??C????C?]?56(k?7)[1?C?] ?1k?1k?1k?12k?17777?8(k?7)(k?6)?8(k2?k?42)?7(m?49)?8(k2?k?42)

????14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gcco.html