静态效应 - 图文

电磁测深教程 第四章 静态效应

第四章 静态效应

4.1 静态效应的物理原因和特点

在频率域电磁测深中，静态效应是较为麻烦的问题。这种效应总是与二维或三维构造相关的。一般，它主要是由于近地表的电性横向不均匀性或地形起伏引起的，并且可能在某种程度上影响所有的电场测量。这些非均匀体表面上的电荷分布可能使电场数据向上或向下移动一个数值，这个数值与频率无关。因此视电阻率曲线也发生移动，但相位曲线不受影响。如果视电阻率曲线向上或向下移动一个数值，并仍保持平行，但相位曲线仍保持重合，则定义为静态位移。静态效应的强度可达两个数量级，在推断深度时会引起大的误差，并使构造的解释复杂化。

在不均匀体的界面上，所有穿过边界的场和位都是连续的，只有电感应强度的法向分量不连续：

Dn1?Dn2?qs (4.1.1)

此处qs为物体表面的面电荷密度。利用D=εE，将(4.1.1)改写为：

qEn1?En2?s (4.1.2)

???由欧姆定律的微分形式：J??E及电流连续性方程，并假定频率依从关系为e-iωt，在交流情况下，(4.1.2)式可写为：

??1?i?0??En1???由(4.1.2)和(4.1.3)可得：

qs?En2?02?i?0??En2 (4.1.3)

?2??1 (4.1.4)

?1?i?0?在准静态极限下(????0?)，则有：

qs?En2?0?2??1 (4.1.5) ?1这个表面电荷密度是很小的，然而它对电场的作用却不可忽略，它是所谓静态位移的物理原因。正如Ward和Hohmann(1987)的表达式所所示：

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E???V??V??qs4??0rds (4.1.6)

式中ds为分布有电荷的表面上的面积微元。当趋肤深度比不均匀体的尺寸大许多时，便可察觉到这种表面电荷的影响。这表明，在地表或地表附近小的二维或三维不均匀体可能对整个电场测量都有影响。当然，较深的物体也能引起静态位移，但地表附近的不均匀性是最麻烦的。

静态偏移可以部分地看作一个分辨率问题。当电磁波波长与物体尺寸之比为中等并且直接在物体上作测深时，是可以直接分辨物体的，但是低频段视电阻率曲线存在偏移。当波长与物体尺寸之比很大时，并且测深点在物体上或以外，物体是不可分辨的，但是它引导起测量结果的偏移。

静态位移还取决于传播的方式。在严格的二维地质条件下，只有TM方式受影响。在三维条件下，TE和TM方式都受到影响，依物体的几何尺寸和进行测量的地点而异。

在间接的意义上，静态位移也与地下电阻率有关。因为电阻率影响波长。电阻率高意味着波长大，甚至在较高的测量频率时静态效应也趋于明显。

静态位移还受电场测量偶极长度和物体尺寸之比的影响。由于空间滤波效应，长偶极测量所受浅部不均匀影响比短偶极的要小。此外，静态位移也是电场电极位置的函数。

图4.1.1是Sternberg等（1998）的正演模型。模型主体为3层均匀层状介质，其电阻率分别为100，10，1000??m，一、二层的厚度4m，电阻率50??m。MT观测点分别位于不均匀体中心（MTO）、其边界内侧（MT18）、边界外侧（MT25）和无穷远处（MT500）。

图4.1.1 考察静态效应影响的一个模型

（层状介质中嵌入一局部三维不均匀体）

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图4.1.2（a）为MT500的正演曲线，代表未受地表不均匀体影响的正常MT测深曲线，曲线类型为H型，TE、TM极化的视电阻率曲线重合，其高频起始端接近第1层电阻率（100??m）。图4.1.2（b）为MTO，即位于不均匀体中心的正演曲线。与MT500相比，有了明显位移（偏低），下降幅值达1个级次。由于处于不均匀体中心，两条极化曲线仍重合。图4.1.2（c）（d）显示的是观测点位于不均匀体边界附近时静态偏移的特点，此时两条曲线偏移程度不一致，其中TE曲线偏移幅度小，TM曲线偏移幅度大，最大的偏移可达2个级次（MT18点的TM模式）。另外可注意到，MT25（不均匀体边界外侧）的两条曲线分别向上与向下偏移，而MT18（不均匀体内侧）的两条曲线则都向下偏移。

图4.1.2 静态效应对测深曲线的影响

(a)测点距不均匀体无穷远（MT500）无静态偏移；

（b）测点位于模型中心（MTO）曲线明显下降，但TE，TM曲线重合；

（c）测点位于模型内侧（MT18），TE，TM曲线均匀向下移； （d）测点位于模型外测（MT25），TE，TM曲线分别向上，下移；

图4.1.3是嵌于均匀半空间中无限长导电半圆柱上方静态效应的示意图。注意，在半圆柱中心上方D点测深曲线对地表不均匀有反映，但不能反映出圆柱下方均匀半空间的真电阻率值。想像中，C点测深曲线的高频段应和D点类似，反映浅部导体。但事实上，它并没有探测到半圆柱的存在，而是整个曲线向下平移了，半圆柱外侧及远离它（如B点）的测深曲线则都向上平移，但曲线形态

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无任何变化。除了曲线D的高频段外，其余各点的相位曲线是一致的，没有受到静态效应的影响，因为相位与电阻率的导数成正比。

图4.1.4是澳大利亚某地矢量CSAMT中静态位移的例子。该区地面平坦，薄的冲积层覆盖在电阻性基底上。矿化带走向NE-SW。矢量测量中接地电偶极方向N63E，位于接收线南东5.3km。十字形的电场测量偶极为东西向（TE方式）和南北向（TM方式）。图中显示的是矿化带附近相邻2个点的卡尼亚电阻率测深曲线。

图4.1.3 静态位移效应的图示（据K.L.Zonge）

测深A表示均匀半空间响应；测深B和C表示导体边界附近的静态位移； 测深D显示低频的静态位移（波长与物体尺寸相比很大）和高频时的直接分辨率效应

（波长较小，导体得到一定程度的分辨）

TE方式的除了在最高频率端以外是相同的，最高频率端的差别是因为35号点更直接位于近地表的导电带上，因此TE数据分辨出了地表导体，并显示出

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很小的负静态位移（非完全二维导体造成的）。但相比较于图4.1.3中C与D点曲线，此处TM方式数据显示出两种效应：在高频段明显分辨了导体，以及由于导体存在引起的静位位移，一旦频率低了，就不能直接分辨导体了。

图4.1.4 二维导体上TE、TM方式静态效应的区别（据K.L.Zonge）

在间接的意义上,静态位移也与地下电阻率有关。因为电阻率影响波长。电阻率高意味着波长大，甚至在较高的测量频率时静态效应也趋于明显。

静态位移还受电场测量偶极长度和物体尺寸之比的影响。由于空间滤波效应，长偶极测量所受浅部不均匀影响比短偶极的要小。此外，静态位移也是电场电极位置的函数。

上述讨论和例子说明，静态效应对频率测深数据的影响是复杂的，特别是在地形崎岖、地质构造复杂的地区，它对数据解释产生的影响必须仔细对待，不可低估。

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4.2 静态效应的校正

一般来说，静态效应是不可避免的，也是无法以任何方式预测的。由于它常常使测深曲线难以解释，因此必须对那些与水平电场有关的测量值进行校正。基本的方法有三个：第一是对效应进行理论计算；第二是采用各种滤波和相位积分之类的处理方法；第三是使用独立的、无静态效应的测量方法。

计算静态效应的理论值在理论上是简捷的，但在实际的野外条件下，由于无法预测引起静态效应的物体的几何尺寸和电性参数，因此这种方法无法得到可靠的校正值。

空间滤波处理是目前广泛采用的一类方法，并显示了很大的成功希望。其主要思想在于，静态效应是一种由局部原因引起的局部效应，在广大的区域上效应会被平均掉。

对浅部为层状地质构造的区域，最简捷的空间滤波方法是把所有曲线作简单位移，并使它们在近地表的特定频率相拟合。这时，先找出电阻率有偏移但相位差无异常的测深曲线，然后确定偏移主要对象是静态的并且很少受直接分辨效应影响的频段。但这样作也有不利的因素，首先是它带有较多的人为因素；第二，对那些非静态效应引起的异常点总是会校正过分或不足；第三，它消去了那些貌似静态效应而又非静态效应引起的异常。例如，垂直构造引起的效应，它们看似静态位移，在这种简单的静态校正中会被消除或减弱。

罗延钟等人介绍了一种空间滤波方法。首先根据工区地电条作选择一个在工区内厚度、深度和电阻率者比较稳定的电性层，并大致估计其在频率测深曲线上对应的频段。然后计算各测深点在该频段上实测视电阻率的几何平均值。然后将相邻的若干测深点的平均视电阻率与一滤波函数作数字滤波运算，计算平均视电阻率的滤波值，并将其记录在滤波窗口的中心点上。最后，以各测点的平均视电阻率去除其滤波值，得到静态校正系数。将此系数乘相应测深点各频点的实测视电阻率值，便得到经静态校正后的视电阻率。这种方法通常能有效地校正静态效应对视电阻率的畸变，但对连续出现的地表电性不均匀造成静态位移，校正效果不佳。

另外一种方法是，利用对称四极测深或利用相位资料求得地表的电阻率，将各测深点的视电阻率对其作归一化，并用一窗口函数对其作平均。利用这种方法还可获得视深度断面。此方法在云南一些地区的CSAMT资料处理中取得了一定的地质效果。

Bostick（1986）提出了消除MT数据中静态效应的磁列阵剖面法（EMAP）。在此方法中，需要用小极距连续地观测电场水平分量，适当地观测磁场水平分量，

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将计算的卡尼亚电阻率作为二度空间，选择一自适应低通滤波器对其作滤波处理，获得静态校正后的视电阻率。EMAP方法的关键是如何选择合更换自适应滤波器，它应具有如下特点：①截止频率与希望滤去的不均匀体的尺寸有关；②滤波窗口面积保持不变，但其宽度随趋肤浓度呈正向变化。即当趋肤深度较小时，探测的是浅部电性，此时滤波宽度应窄，使参加滤波（平均）的点减少，以保留浅部的地电信息。而当趋肤深度较大时，探测的是较深部电性变化，此时希望消除浅部不均匀电性影响，因而滤波窗口变宽，使得滤波在更广泛的区域内进行，从而消除静态位移。

在使用EMAP方法时，必须注意，由于滤波窗口随深度增加而变宽，因此深部视电阻率总是被平均了的，使得“层状”特征被突出而深部的二、三维地质体则被抑止。

EMAP方法经理论模型计算和实际资料处理证明是一种较为有效的消除静态效应的方法。而且，经过EMAP处理后，可以使用简单的一维Bostick反演，得到初步的视电阻率—深度模型。然而，由于EMAP法要求较高的数据采样密度，因而受到经济上的限制。它虽然是为MT方法提出的，却可能在面积性的标量CSAMT中得到最广泛的应用。在本章的最后，我们将对该方法作简要介绍。

Zonge等人介绍了利用相位数据消除静态效应的方法。由于静态效应一般不影响相位曲线，而相位在某些条件下与视电阻率曲线对频率的导数有关，因此利用相位数据作静态校正是可能的。

利用不受静态效应影响的独立测量是消除静态位移的另外一种办法，瞬变电磁法(TEM)是常用的方法，Andrieux和Wightman（1984）、Hohnamm（1900）等已将TEM用于MT数据的静态校正中，这种方法已获得了较好效果，但它受到经济上的限制。

也许利用相位数据（或视电阻率的导数）和磁场数据进行静态校正是可行而且是最经济的，因为这既不需要过高的采样密度，也不需要额外的野外测量。

应该注意的是，静态效应也有可以利用的一面，如在调查浅部电性的工程勘查以及寻找海水渗漏的一些工程中，静态效应可以造成明显的异常带。

4.3 静态效应校正的波数域滤波方法

4.3.1 波数域静态校正的原理

静态效应是局部原因引起的局部效应，因而在广阔的区域上可以用广义的滤波方法消除掉。从理论上，这种滤波处理既可在空间域也可在波数域进行。各种

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空间域的处理方法日渐发展，但在波数域校正静态效应，却没有见到相应的文献介绍。

日丹诺夫利用波谱的概念方便地导出了层状介质表面电(磁)偶极子产生的电磁场表达式。目前，虽有些文献做了尝试性的工作，特别是在航空电磁法中，谱分析技术得到了一定的应用，各种非线性谱分析也开始受到重视，但相比于重磁数据处理中波谱分析的广泛应用，电法数据处理中的波谱分析仍处于起步阶段。

剖面或平面上采集的电法数据也可看作是随机信号。但随机干扰和信号之间可能不是简单的线性叠加。因此，电法数据处理中，似应更侧重于非线性谱的研究，特别是同态信号分析，可能为消除电法数据中的干扰场提供一种有效的工具，本章所作的初步尝试表明了两方面的结果，因而还需要作更深入的研究。

将空间域数据通过傅氏变换转换到波数域后，在理论上，一维介质的波区视电阻率响应表现为零波数?脉冲，深部或区域性的电性变化引起的视电阻率响应则反映在波域谱的低频段上，局部的电性不均匀或地形起伏引起的静态效应将主要反映在谱的高频段上。因此，在波数域，可以设计一种低通滤波器(考虑到电法数据的非线性叠加，可以利用非线性谱及广义线性滤波器)，对波数域数据作滤波处理，滤去高频部分，保留低频部分。再通过傅氏逆变换，将波数域转换到空间域，从而得到静态校正后的视电阻率数据，这便是波数域消除静态效应的基本原理。

必须指出的是，在波数域处理电法数据的一个困难是二维及三维问题的复杂性，以致难以求得其谱的解析表达式，因而无法从理论上详细研究其谱的特征。只能采用数值计算的方法，通过大量的试验对比，验证评估方法的有效性和可行性。

4.3.2 波数域处理电法数据的可行性

为考查波数域处理电法数据的实际有效性，需要研究二维或三维组合模型的情况。由于电磁法实际计算的困难，以直流中梯装置作替代，计算了一些组合模型异常。图4.3.1是其中一个模型的剖面示意图。模型A是埋深为10 m、电阻率为10?·m的50 m×50 m×50 m的小立方体。在其正下方存在模型B，尺寸为500 m×500 m×l00 m，埋深为100 m，电阻率10 ??m。围岩为100??m的均匀半空间。计算时中梯的极距AB为1500 m，点距为25 m。

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图4.3.1组合模型示意图 图4.3.2组合模型的功率谱

图4.3.3(a)是计算结果。将组合模型结果转换到波数域，估计的功率谱为图4.3.2所示。可看出，谱中存在两个平缓的峰值，取低通滤波器参数为0.08和0.12，滤波后结果如图4.3.3(b)，它和只存在模型B时的理论结果一致。这表明，在波数域作滤波消除浅部电性不均体的影响是有效的。

图4.3.3 组合模型的异常分离结果

图(a)中，1～组合体异常；2～模型B异常；3～模型A异常 图(b)中，1～滤波分离出的B模型异常；2～模型B异常

为获得模型B的埋深，利用求磁性体质心深度的办法，在选取的主频段上拟合对数功率谱，以拟合的直线的负斜率求得：

h??3.61?2??x?0.135?0.07?2?272

?98.1m

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该深度和模型B的埋深的相对误差为2％，可见，利用谱分析技术处理电法数据是可行的。

4.3.3 静态效应的自动识别及滤波参数的选择原则 (1)互相关矩阵

从理论上讲，识别静态效应似乎是容易的事情，但实际上却困难的多。特别是对于计算机而言，静态效应的自动判别却是麻烦的事，而这又直接关系到处理结果的优劣。

为使计算机自动识别静态效应，以探测目标的大致尺寸选取合适的窗口，然后分段计算各频率剖面的互相关矩阵。一般，互相关系数大于0.85的信号可认为是同源的。电磁测深中，层状介质响应和静效应在各频点的互相关系数都接近1，深部电性变化引起的异常将使低频段和高频段的互相关系数减小，但在探测到此深部电性的各频率剖面上互相关系数增加。互相关系数的计算公式为：

N?xy???x?x??y?y?iii?1??xi?x????yi?y?i?1i?1N2N （4.3.1）

21N1N式中x??xi,y??yi，分别为x和y的均值。

Ni?1Ni?1因此，通过互相关矩阵，可以识别静态效应。且在滤波前、后分别计算互相关矩阵，便可判别静态效应的压制程度。 (2)滤波参数的选择

定性地讲，静态效应引起的局部异常将主要反映在波数域谱的高频段上。因此，首先应合理地估计所采集的信号的功率谱（采集的数据可以是剖面上的，也可以是平面上的），在分析功率谱特征的基础上，确定主要是由于静态效应引起的异常的波数段，并依此选择低通滤波器的技术指标。在波数域滤波后，经过逆傅氏变换，返回空间域，得到经静态校正后的视电阻率。

从静态效应的特点看，在高波数段，它可能受直接分辨效应的影响。因此，应选择较高的滤波截止波数，以保留浅部地电信息；在低波数段，测深应能反映出深部的电性变化，可以选择较低的滤波截止波数以消除浅部电性不均匀引起的静态位移。另外，滤波截止波数与视电阻率也有一定的关系。视电阻率越高，趋肤深度越大，截止波数应小。TE模式的截止波数应高于TM模式的。因此，低通滤波器的截止波数可写成：

WH?L??f,?,?xy?? (4.3.2)

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式中WH为截止波数，L表示算子，f为测量频率，?为地电参数，?xy为相关矩阵。

上式虽然给出了选择滤波截止波数的定性原则，但在实际数据处理中，常常需要调节滤波参数，经互相对比，确定最佳的参数条件。每一个地区的参数都应随具体的地质情况而变化。因此，滤波参数的选择也应和地质情况相结合，遵循从已知到未知的原则。

特别应注意的是，在校正静态效应的所有滤波(空间域或波数域)中，垂直构造所引起的异常通常会被削弱，但从构造两侧的电性变化中仍可识别其存在。 4.3.4 数值计算和应用

图4.3.4是一个三维模型的波数域处理结果。图4.3.4(a)是三层介质中(?1??3?500??m,h1?200??m,?2?20??m,h2?100m)存在埋深为20 m，电阻率为10?·m的三维体(60×60×50m3)时的卡尼亚电阻率拟断面图。图中可明显地看出，浅部的电性不均匀体影响了所有频率上的卡尼亚电阻率。经计算，低频剖面曲线和最高频(15频点，f=4096 Hz)剖面曲线的相关系数都大于0．95。说明低频上的异常与高频异常是完全同源的，属于静态位移。为消除这种静态位移，在波数域作了低通滤波，结果见图4.3.4(b)。它基本反映了层状介质的特征，但在低频段，由于受非波区效应的影响，难以看出基底的电性特征。为此，对其作了非波区校正，求得的全区视电阻率拟剖面如图4.3.4(c)。它清楚地显示出三层介质特征，虽然低频段没有揭示出基底的真电阻率，但这是受发收距限制的。为了解视电阻率随深度的变化，图4.3.4(d)给出了全区视电阻率的Bostick反演结果。图中100??m等值线基本反映了第二层低阻层。

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图4．3．4波数域校正静态效应的模型计算结果

澜沧老厂是一个较老的银-铅锌矿。矿区构造较为复杂，出露地层主要有泥盆系灰岩和石炭系的火山岩。矿体呈块状、层状产于中、上石炭统的火山岩中，少量位于火山岩和灰岩的接触带中。根据以往的物性资料，石炭系地层电阻率比泥盆系灰岩电阻率低1～2个数量级，在石炭系地层内也有较为明显的电阻率差异。

图4.3.5(a)和图4.3.6(a)分别是已知地质剖面Ⅲ线和未知地质剖面Ⅳ线的CSAMT原始卡尼亚电阻率拟断面图。可以看出，严重的静态效应基本上掩盖了层状地层的信息，对这样的图件作出有关的地质解释是比较冒险的，需要对数据作必要的静校正。为合理地选择滤波参数，分别计算了Ⅲ线和Ⅳ线各测深频点上的互相关系数，见表4.3.1和表4.3.2。表中F04—F15对应测量的频点号。从表中可看出，在已知剖面上，高频段(F14和F15)信号是同源的，中低频(F13频点以下)和高频观测剖面的互相关系数不大，但中低频段各频点观测剖面之间的互相关系数较大，这说明，在中低频段的异常既有静态效应引起的，也有较深部电性变化引起的。Ⅳ线的互相关系数表也具有类似的特征。因此，在滤波处理中，

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中低频段选择的截止波数适当增大。经静态校正后，Ⅲ线和Ⅳ线的视电阻率拟剖面图分别为图4.3.5(b)和4.3.6(b)。从Ⅲ线结果看，处理后的数据中基本上消除了静态位移，但又保留了深部电性特征和大的构造信息，并突出了层状地层的响应。而且，84-100点处100??m等值线圈定的范围基本对应于已知矿体。根据构造条件和已知剖面的结果，对Ⅳ线的结果作了推断解释，并在82点布置了钻孔，于462-555 m处见到了铜、银等多金属矿。根据图4.3.5(b)及4.3.6(b)结果所作的Bostick反演结果分别为图4.3.5(c)和4.3.6(c)。在Ⅲ线的图4.3.5(c)中，100??m等值线很好地圈定出已知矿体的空间范围，反演的低阻体深度应为200 m，厚约200 m，实际见矿深度为195 m，厚约100 m。据推断，在此已知矿体的下部，仍存在较好的铜矿体。在Ⅳ线的图4.3.6(c)中，相应的等值线虽然没有形成封闭圈，但仍然可以识别出82点附近的低阻体。

图4.3.5老厂Ⅲ线波数域滤波结果

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图4.3.6 老厂Ⅳ线波数域滤波结果

大量的模型计算和实际数据处理，表明在波数域作低通滤波校正静态效应是可行的、有效的，且具有灵活、快速的特点。而且，利用各频点上的互相关系数表可以较好地分析静态效应和深部电性变化所引起异常之间的相互关系，并合理地选择滤波参数。

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表4.3.1 老厂Ⅲ线CSAMT各频点观测剖面的互相关矩阵

F15 F14 F13 F12 F11 F10 F09 F08 F07 F06 F05 F04 F15 1.00 F14 0.95 1.00 F13 0.38 0.56 1.00 F12 0.38 0.59 0.91 1.00 F11 0.39 0.54 0.88 0.95 1.00 F10 0.37 0.53 0.83 0.92 0.98 1.00 F09 0.39 0.57 0.84 0.94 0.98 0.99 1.00 F08 0.53 0.69 0.90 0.97 0.96 0.94 0.95 1.00 F07 0.50 0.65 0.90 0.96 0.96 0.92 0.93 0.99 1.00 F06 0.51 0.67 0.87 0.96 0.97 0.96 0.96 0.99 0.98 1.00 F05 0.46 0.57 0.72 0.88 0.93 0.91 0.89 0.91 0.92 0.95 1.00

表4.3.2 老厂Ⅳ线CSAMT各频点观测剖面的互相关矩阵

F15 F14 F13 F12 F15 1.00 F14 0.71 1.00 F04 0.17 0.27 0.65 0.72 0.79 0.74 0.72 0.71 0.77 0.79 0.86 1.00 F11 F10 F09 F08 F07 F06 F05 F04 F13 0.75 0.92 1.00 F12 0.58 0.92 0.88 1.00 F11 0.60 0.92 0.88 1.00 1.00 F10 0.52 0.93 0.83 0.98 0.98 1.00 F09 0.56 0.92 0.87 0.99 0.99 0.98 1.00 F08 0.57 0.93 0.81 0.95 0.95 0.98 0.94 1.00 F07 0.75 0.90 0.83 0.88 0.89 0.87 0.87 0.93 1.00 F06 0.71 0.77 0.84 0.58 0.58 0.57 0.57 0.59 0.69 1.00 F05 0.71 0.77 0.81 0.57 0.57 0.57 0.56 0.61 0.70 0.99 1.00 F04 0.07 0.42 0.33 0.50 0.51 0.55 0.51 0.55 0.41 0.26 0.34 1.00

4.4 电磁列阵剖面法(EMAP)及应用

电磁排列剖面法(Electro-magnetic array profiling，简称EMAP)是美国著名地球物理学家，得克萨斯大学（奥斯汀）的巴士蒂克(Franix X. Bostick)提出的，并于1986年5月27申请了美国专利。一些地球物理家进行了野外试验和进一步理论探讨，特别是阐明它对克服静态效应的有效性后，引起了地球物理界的广泛注意。加州大学（伯克利）的博士研究生多莱士-威丁（Carlos Torres-Verdin）在莫利松(Frank H. Mlrrison)和巴士蒂克的指导下，对EMAP进行了3年系统研

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究，于1991年完成了他的博士论文，并将其论文的主要部分形成了两篇论文投Geophysics发表。莫利松对EMAP的近年应用情况进行了综合回顾。我们将EMAP的数据处理和解释方法用于CSAMT资料获得成功。 4.4.1 电磁列阵剖面法基本原理

由于MT法的点距常常都比较大，静态效应对各点的影响不一样，对解释结果影响很大。因而静态效应成了MT法资料处理中使人头痛的问题。为了克服静态效应，研究者们提出了各种方法，如按频率平均的方法，利用相位资料的解释方法或补充独立的TEM以提供静态校正依据等都在一定条件下可以取得一定效果，但都存在一定问题。EMAP法由于采用连续的剖面测量，可采用窗口可变的自适应空间滤波器-汉宁窗（Hanning window）或叫余弦钟形滤波器（参见图4.4.1）消除静态效应。在空间域，宽度为W的汉宁窗H(x)的表达式为：

?1??h?x???W???2?x??1?cos??W??0x?W??2?? (4.4.1) Wx??2??

图4.4.1 汉宁窗空间滤波器

在实际工作中，是按一定极距测量Ex的，因而Ex是离散的，离散的汉宁窗H(x)可以写为：

279

电磁测深教程 第四章 静态效应

H?x,a??N2?a?j?N1a?a?g?x??R?jj?x? (4.4.2)

在图4.4.1中，绘出了连续的汉宁窗h(x)和离散的汉宁窗H(x)的示意图。在(4.4.2)式中，N1和N2为整数，它表示汉宁窗两个端点的电极编号，a为汉宁窗中心点，g为矩形函数

??Rjg?xj?????0xj?12?x?xj?12x?xj?12x?xj?12 (4.4.3)

L为两相邻电极的距离，Rj为权函数，事实上它为每个矩形函数的高度。离散的汉宁窗由一系列高度为Rj的矩形函数所组成。

可变宽度的汉宁窗按下述条件自动调节： 1）保持h(x)的面积不变，并将其单位化：

????h?x,a?dx?1 (4.4.4)

也就是说，当窗的宽度增加时，其高度将相应降低，反之亦然。

2）保持连续的汉宁窗h(x，a)和离散的汉宁窗之间的差别在最小二乘的意义上最小，即：

??a???取最小值。

2?h?x,a??H?x,a??dx （4.4.5） ???3）保持汉宁窗的宽度W与巴士蒂克穿透深度ZB成正比

W?x,???CZB?x,?? （4.4.6）

C是实常数，可称为滤波系数。大量数据分析说明1≤C≤4是一个合适的范围，因为C过大将损失阻抗函数的横向细节，过小又起不到应有的作用。

事实上在波数域中，与(4.4.1)式相对应的为：

?W?sin??2H????W?2??11??????1?2?2? (4.4.7) ?1?2?1?2???W?W????它是一个低通滤波器，不难看出，截止波数?c与宽度W成反比，即随着W的加宽，(4.4.7)式所表达的低通滤波器的截止波数也就随之降低。因此，适当地选取滤波系数C可以滤除浅层局部不均匀体的异常，而保留深部较大目的物的异常，从而起到削弱静态效应的作用。

280

电磁测深教程 第四章 静态效应

4.4.2 计算与应用实例

图4.4.2(a)是二维地电模型，总的来说它是一个两层模型，在4km以下是5??m的低阻岩石，其上是80??m的岩石；在350m深处有一块1??m的低阻水平板状体，其宽度为2km，在地表分布有电阻率不均匀体，每个不均匀体的宽度均为200m，其厚度从4m到50m不等，其电阻率在2-400??m之间。每块的电阻率和厚度都是由高斯随机数发生器随机地选取的，根据图4.4.2(a)的模型可计算出MT的电阻率振幅和阻抗相位。图4.4.2(b)是电阻率振幅的拟断面图（即等视电阻率断面图），所用的电极距为100m。地表的电阻率不均匀体所形成的静态效应在图中表现得十分强烈，地表的低阻（或高阻）都在从103HZ到10-3HZ频段上表现出异常，使得拟断面图主要表现为垂直条带状，根本无法分辨出水平两层，也看不出1??m水平低阻块的存在。阻抗相位受静态影响要小些。

将图4.4.2(b)数据经汉宁波滤后，静态效应尤为削弱，然后进行巴士蒂克反演，结果示于图4.4.2(c)。严格地说，巴士蒂克反演只适用于一维情况，这里所面临的是二维问题，但是从图4.4.2(c)可以看出，尽管静态效应仍有残留，但断面的两个主要特征都反映出来了，即在400m左右有一水平低阻体和在4000m左右以下有低阻层。

图4.4.3是我国华东某地可控源音频大地电磁法（CSAMT）野外实测的视电阻率拟断面图。在图4.4.3的中部1HZ左右出现了明显的低阻异常。对这一异常出现了不同的看法，一种看法认为这个低阻异常是客观存在的，它反映了深部700m左右存在花岗岩突起，在突起处存在金属矿体。我们认为这个异常主要是由于静态效应造成的。该地区主要为厚层灰岩，测线的中间是向斜的轴部，在地形上中间稍低，两侧（6号点和34号点附近）稍高，中间第四系覆盖层较厚（约30-50m），两侧变薄，甚至有灰岩出露。第四系覆盖层的电阻率比灰岩低得多，图4.4.3中间的上部（即频率高于800HZ）出现的低阻层就是第四系加厚的反映。此低阻覆盖形成了明显的静态效应，使剖面中部的视电阻率普遍降低，再加上过渡带的影响，从而形成了这个假的局部低阻异常。由于在该区CSAMT是沿测线连续测量的，正好可以用EMAP的方法处理数据。取C=1.0滤波后，此局部异常完全消失，再经巴士蒂克反演，得到的是一个向斜，与地质情况很一致。这个异常后经钻探验证，打到1200多米终孔，未见矿体，经测井在400多米深处有一破碎带电阻率较低约200c左右，显然，电阻率为200??m的薄层是不可能形成视电阻率低达10??m左右的异常的，这个例子说明用EMAP克服CSAMT中静态效应是成功的。

281

电磁测深教程 第四章 静态效应

图4.4.2 EMAP的一个数值计算例子

(a)产生静态效应的模型；（b）MT卡尼亚电阻率拟断面图；

（c）经EMAP滤波和Bostick反演结果

282

电磁测深教程 第四章 静态效应

图4.4.3 EMAP处理华东某地CSAMT数据的实例

（a）卡尼亚电阻率拟剖面土；（b）经EMAP处理和Bostick反演结果

EMAP方法虽然能克服静态效应的影响，但仍存在一些问题，没有很好地解决，比如系数C的选择具有较大的人为因素，因此，研究其它的静态效应消除方法仍是必要的。特别是有关静态效应的识别和最佳压制，这正是我们下一节所要解决的问题。

4.5 小波理论及其应用基础

小波分析（Wavelets analysis）作为Fourier分析的新发展，它已在量子场论、信号分析、图像数据压缩、语音识别、机械状态控制、天体识别、流体的湍流、逼近论和数值分析等科技领域得到许多应用。它真正产生才几年时间，目前正处于蓬勃发展阶段，引起了数学家、物理学家和工程专家的密切注意，关于这一方面的详情可参见SIAM的报道（Cipra,SIAM，1990以及IEEE Transaction on Information Theory 1992年3月份的小波分析及其应用专刊）。

小波变换（Waveler Transform）由法国科学家Morlet在进行地震信号分析时首创（Morler 1982, Goupilland et al 1984）。到了1987年12月，在法国

283

电磁测深教程 第四章 静态效应

Marseille的小波会议上，小波的理论和应用得到较为系统的总结，从会议的论文集（Combes et al 1989）可以看出小波理论和应用得到快速的发展，但理论上还不怎么成熟。直到1990年，日本京都的国际数学大会，小波理论得到了全面的发展。1992年I. Daubechies的专著（Daubechies 1992）和C. K. Chui主编的小波分析和它的应用（C. K. Chui，1992）对小波理论和应用作了较全面的总结。从他们的著作中可以看到小波分析既可以看作是数学理论中Fourier分析的崭新发展，也可以认为是信号分析、图像处理、量子物理等科学和工程技术近十年来在处理方法上的重大突破。 4.5.1 Fourier变换和窗口Fourier变换

长期以来，在各种信号数据的处理方面，特别在频谱分析和各种波方法中最基本的数学工具就是Fourier分析。在数学上，我们常用函数来刻画信号，通常总是把时间或空间作为自变量，而把反映某一信号的物理量作为函数。信号的一个重要特征就是它的频率特性（或频谱），在数学上也就是信号所表示的函数的

Fourier变换。一个信号f?x??L2?R?的Fourier变换定义为：

?????1?f?x?e?i?xdx (4.5.1) f2????其逆变换为：

????e?i?xd? (4.5.2) f?x???f???????刻画了f(x)的频谱特性。所谓频谱分析、滤波等信号数据处理的方法，f从数学的角度看来就是对一个函数的Fourier变换进行分析、加工处理的种种技巧。这方面已有非常丰富的内容与许多行之有效的方法。但是，Fourier分析只能分别在空间域和频率域上研究函数的性质，在频率域上对空间的分辨率为零，对频率分辨率无穷；而在空间域上，对空间的分辨率为无穷，频率分辨率为零（当然Heisenberg不确定性大批量排除了分别在空间和频率上均有任意高分辨率的可能性）。此外，从(4.5.1)看出信号的突变展现在整个频率轴上，无法表征突变发生的位置。因此，Fourier变换反映的是信号或函数的整体特征，在不少实际问题中我们所关心的却是信号在局部范围中的特征。例如，在音乐和语言信号中人们关心的是什么时刻演奏什么音符，发出什么样的章节；对地震波的记录来说，人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；图形识别中的边缘检测，关心的是信号突变部分的位置。为了弥补Fourier变换这方面的不足，1946年Gabor，D.引进了窗口Fourier变换的概念。他用一个在有限区间（称为窗口）外恒等于零的光滑函数（这个有限区间的位置随一个参数而定）去乘所要研究的函数，然后对它作Fourier变换。即：

284

电磁测深教程 第四章 静态效应

1Gf??,b??2?????e?i?xg?x?b?f?x?dx (4.5.3)

其中g?x?是有限支集的窗函数，一般情况是实函数，且满足如下标准化条件：

?和

???g?x?dx?1

2????????d??0 xg?x?dx?0 或 ??g22???这就是长期以来使用的标准的空（时）间域—频率域局部性分析的工具。窗口Fourier变换半离散形式在信号分析中是常用的，即令b=nb0，??m?0，这里n，m?Z，Z为整数集且b0,m0均为大于零的常数，那么（4.5.3）式化为：

Gf?m,n??12?????e?im?0xg?x?nb0?f?x?dx

由窗口Fourier变换Gf??,b?可重构f?x?：

f?x??????????Gf??,b?ei?xg?x?b?d?db

对于给定的n，Gf (m，n)对应于f???g???nb0?的Fourier系数。注意到窗口函数g?x?具有紧支集，通过选择恰当ω0，Fourier系数Gf (m，n)可以刻画

f???g???nb0?的结构。改变位置参数n，相当于窗口在移动，从而达到在不同地方研究f (x)的局部特征。

但是，窗口Fourier变换(4.5.3)对f (x)的研究是定分辨率的，即一旦窗口函数g(x)选定，则窗口的形状、大小在各个不同的位置或时间均是不变的。但实际中，对高频信号的分辨率应高于对低频信号的分辨率，因而频率愈高窗口应愈小。此外，在实际计算中必须将连续的Gabor变换离散化，例如在Fourier变换中，离散化以后得到按正交的三角函数系展开的Fourier级数。然而，对于窗口Fourier变换无论如何离散化均不可能使g?x?nb0?e?um?0x（m，n∈Z）成为L2(R)的正交基，这对理论分析和实际计算都是不利的。加上Gabor变换其它的一些缺点，它未能得到广泛的应用与发展。

小波变换继承发展了窗口Fourier变换的局部化思想，它同时具有空间域（或时间域）——频率域双重局部性的特点，并且对不同频率成份在空间域（或时间域）上的取样步长是可变的，具有调节性，即随着频率的增高小波函数的窗口变窄。在这个意义上，小波可以当作“显微镜”来工作。另外，小波还可以当作“偏光镜”来工作，以分开研究对象不同角度的贡献（Farge 1992）。这一思想，对于地下介质界面为高维曲面的情况进行成像是十分有用的。

?? 285

电磁测深教程 第四章 静态效应

另外，小波变换与窗口Fourier变换相比还有下面一个重要的优点，即小波函数通过适当的离散化后能构成L2(R)空间的规范正交基，而且这样的小波可同时具有很好的空（时）间域——频率域双重局部性。这对于原始信号进行多频谱分解和重构是十分重要的，特别是在电磁法数据处理和资料解释以及重磁区域异常和局部异常的分层次提取中有重要的应用。 4.5.2 连续小波变换及其性质 1.连续小波变换的定义

我们称满足条件：

???a,b?x????????2?d??? (4.5.4) ??1的平方可积函数??x?（即??x??L2?R?）为一个基本小波或小波母函数。令：

1a???x?b??，a,b?R,a?0 (4.5.5) ?a?称为由母函数ψ生成的依赖于参数a，b的连续小波。设f?x??L2?R?，定义其小波变换为：

Wf?a,b??f,?a,b?1a?x?b?f?x????dx (4.5.6)

?a?????由上面的定义可见，连续小波?a,b?x?之作用与Gabor变换中的函数

g?x?b?e?i?x相类似，参数b都起着平移的作用。本质不同的是参数a与ω，后者的变化不改变“窗口”g(x)的大小与形状，而前者的变化不仅改变连续小波的频谱结构，而且也改变其窗口的大小与形状。这是因为由Fourier变换的基本关

???????1f??系式：若fa?x??f?ax?，则f??，可见随着a的减小，?a,b?x?的频aa?a?谱就愈集中于高频部分，而其支集supp?a,b则随a的减小面愈狭小（这里仅考虑小波母函数ψ具有紧支集的特殊情况）。这就满足了信号频率愈高相应的窗口就小，因而它在时间（或空间）域上的分辨率亦愈高的要求。

现在来看一下小波母函数??x?满足条件(4.5.4)究竟说明什么问题。我们进一步假定??x??L1?R?（这一要求并不高，今后我们用到的小波母函数都满足此条

????是连续函数。于是，由条件(4.5.4)可知???0??0，这等价于： 件），则????x?dx?0 (4.5.7) 反之，若???x?dx?0，且??x??c?1?x?,??0（这也是要求不高的条

????1????? 286

电磁测深教程 第四章 静态效应

?????d???。因此实际上遇到的小波母函数均满足条件），则不难证明??2?1???件???x?dx?0，故??x?一定是振荡型的函数（正负部分互相抵消），这也是小

???波这一名称的由来。利用Fourier变换的Parseval恒等式及Fourier变换的基本

性质可得：

Wf?a,b??f,?a,ba1??a,b??f,?2?2???????????a??ei?bd? (4.5.8) f?(4.5.8)式为计算函数的连续小波变换提供了有效的算法。

与Fourier变换、Gabor变换类似，小波变换也有的反演公式及“Parseval等式”：

?????d?,令 c????2?1???f,g?L2?R?

则在f的连续点有反演公式：

f?x??1c?????????Wf?a,b??a,b?x?dadb (4.5.9) 2a小波变换的“Parseval等式”：

??1c?2.小波变换的基本性质

??????Wf?a,b?Wg?a,b?dadb?c?f,g (4.5.10) 2a????Wf?a,b?2?dadb2???fxdx (4.5.11) 2???a下面，我们不加证明给出连续小波变换的性质。

(1)在Hilert空间，连续小波变换为线性变换，将函数分解成不同的尺度的分量。 (2)平移性

f?x??f?x?u?,Wf?a,b??Wf?a,b?u?

(3)伸缩性

f?x??f?sx?,Wf?a,b??1sWf?sa,sb?

反映了小波变换象一个数学显微镜，具有不依靠放大率的特征。 (4)内积不变性（又称恒等分辨，resolution of identity）

对?f?x?,g?x??L2?R?，有

????????f,?a,b?a,b,gdbda?c?f,g a2当f?x??g?x?时，在变换域保持能量守恒。

287

电磁测深教程 第四章 静态效应

(5)再生(reproducing)条件

Wf?a,b??1c?????????k?a,b;a?,b??Wf?a?,b??da?db? 2a?再生核方程(reproducing kernel equation)

k?a,b;a?,b???W?a,b?a?,b????a?,b?,?a,b

反映了连续小波变换是冗余的。

在实际应用中，常常用到小波变换的局部化特征，下面我们对此作重点分析。 a) 空间（或时间）局部性

根据小波变换的定义式(4.5.6)，一般来说不能保证小波变换具有局部性。小波变换的值既依赖于分析对象f(x)，又依赖于小波??x?的选择以及伸缩参数a和平移参数b。

然而，若选择小波??x?具有紧支集，即??x?在某一有限有区间[xmin，xmax]外恒为零，那么情况又如何呢？为了研究这一问题，我们引入空间—尺度（或时间—尺度）平面H?b?R,a?R?。如果我们只对尺度a>0的情况感兴趣，则只要考虑空间—尺度半平面H?b?R,a?R?。取空间变量b轴为水平的，向右为正，而取尺度变量a轴垂直向下，向下的方向为增加的方向。

下面我们考虑如下两个问题：

（1）函数f(x)在x0处的值影响空间—尺度平面H内哪些区域上的小波变换的值？

从小波变换定义式(4.5.6) ，我们容易看出x0点的影响域是如图4.5.1所画的锥形区域，其中锥宽由小波??x?的支集来确定。即在a=a0处锥宽为：

a0?xmax?xmin? (4.5.12)

图4.5.1 锥形区域 图4.5.2 倒锥形区域

（2）对于空间—尺度平面上一给定点(b0，a0)处的小波变换的值Wf(a0，b0)将受到哪些点上的f(x)的值影响？

和前一个问题的道理一样。根据(4.5.6)式，如图4.5.2所示的倒锥形在b轴

288

电磁测深教程 第四章 静态效应

上所确定的区间内f(x)的值将影响Wf (a0，b0)。

由上面的分析可知，当小波??x?在空间域上个有紧支集时，那么f(x)关于这样的小波??x?的小波变换具有空间的局部性。

b) 频率域的局部性

????,?????分别为f(x)和??x?的Fourier变换，根据小波变换(4.5.6)式，设f则

Wf?a,b??a2???????????a??eib?d? (4.5.13) f?从(4.5.6)式得到(4.5.13)式，其中用到下面的关系式：

?x??a????a???a?? (4.5.14) 记 ?a?x?????，则?a??从(4.5.14)式还可以看出尺度a与频率ω特征的对应关系，粗略地讲，小尺度a对应于高频，而我们常又习惯于高频部分位于低频部分的上面，这也就说明了为什么要按约定方式来画出空间—尺度平面。由于尺度a与频率有上述的对应关系，我们也就可以将空间—尺度平面看成是空间—频率平面。

根据(4.5.13)式，若我们假设小波??x?在其频率域中具有紧支集，即??x?的

??x?在有限的区间（ωmin，ωmax）外恒为零。 Fourier变换?类似于空间域的局部性，我们也有下面两个问题：

????影响空间—尺度平面H哪些区域（1）在ω0点的f(x)的Fourier系数f0上的f(x)的小波变换Wf (a，b)的值？

根据(4.5.13)式，如果f(ω)在ω0的小邻域内取值，当aω0不在（ωmin，ω

max）内时，那么

Wf (a，b)必为零。所以影响f(x)的小波变换Wf (a，b)的是函数

????的一条水平带形，如图4.5.3所示。 f(x)的Fourier系数f0

图4.5.3

（2）对于空间—尺度平面上一给定点(b0，a0)处的小波变换值Wf (a，b)将

????的影响？ 受到哪些频段范围内的f 289

电磁测深教程 第四章 静态效应

????的自变量ω应满足不等式 根据(4.5.13)式，f?mina????maxa (4.5.15)

从(4.5.12)式和(4.5.15)式可知小波变换同时可以作空间域—频率域的局部特性的分析，而且函数f(x)的高频部分（对应于(4.5.15)式知a>0应取较小值）在空间域（或时间域）的分辨率高（根据(4.5.12)式a越小空间分辨率越高），这是小波变换比窗口Fourier变换的重要优点之一。

但是，从(4.5.12)和(4.5.15)两式可以看出，小波变换在空间域（或时间域）与频率域的分辨率是相互制约的，即提高空间域（或时间域）的分辨率是以降低频率域的分辨率为代价的，反之亦然。这方面已由Heisenberg测不准原理所描述（李世雄，1993）。

定理4.5.1：（Heisenberg测不准原理）设窗口函数g?x??L2?R?，

?????L2?R?，?g?????L2?R?，则 g?g?g??1 (4.5.16) 2当且仅当g?x??cei?x积。

1其中?g?g?g??1?g12??e??x?b?24?时等号才成立。?g?g?称为g(x)窗口的面

??????x?x?g?x?*2g*2?g2dx为g(x)的窗宽；

?12??2????????????g2????的窗宽； dx为g?12x?*g1g????xg?x?dx；

2*?g?1?g2????????dx。 ?g2*这里?为L2(R)的范数，x*g，?g称为窗口中心。不等式(4.5.16)说明了窗口

函数g(x)在空间域（或时间域）与频率域的分辨率是相互制约的。同时，Heisenberg测不准原理还告诉我们高斯分布类小波同时具有空间域（或时间域）与频率域最好的分辨率。这也就是在奇性检测中，选取高斯分布的一阶导数作为我们的小波函数的道理之一。

若小波母函数??x?，满足条件：?,x??L2?R?，则不难求得?a,b?x?的窗口中心：

290

电磁测深教程 第四章 静态效应

**x??ax??b (4.5.17) z.b**特别当 x??0时，x??b z.b窗口宽度 ??a,b?a?? (4.5.18) 可见连续小波?a,b的窗口中心随参数b的变化而平衡，其宽度随参数a的变化而伸缩。

??L2?R?，因 现设?,x??a,b???????a?? (4.5.19) ae?ib??所以

*x??z.b1*x?? (4.5.20) a??a,b???a,b?a???1????????? (4.5.21) a所以连续小波的窗口面积不随参数a，b而变，即小波变换在空间域和频率的分辨率是相互制约的。 4.5.3 多分辨分析与正交小波基 1.离散小波变换

连续小波变换与Fourier变换相类似，这种连续依赖于参数的变换主要用于理论分析与论证。在实际问题及数值计算中重要的是其离散形式，也就是取定a0>1与b0>0，定义：

?m2?m?mn?x??a0??a0x?nb0?,m,n?Z (4.5.22)

对于f?L2?R?，相应的离散小波变换为：

Wf?m,n???f?x??mn?x?dx,m,n?Z (4.5.23)

???f(x)。对于离散小波变换，由?Wf?m,n??,m,n?Z能否唯一确定函数f(x)是一个需b0=1，且??mn?x??m,n?Z构成空间L2(R)的一组标准正交基，亦即：

我们知道对连续小波变换，由Wf?a,b?,a,b?R,a?0可唯一确定函数

要进一步研究的问题。在本节中，我们要讨论一种重要的特殊情况，取a0=2，

m?m???1,??n?n? (4.5.24) 0,?其它情况??????mn?x??m?,n??x?dx??mm?,nn?且对?f?L2?R?有展开式

291

电磁测深教程 第四章 静态效应

f?x??m,n?z?W?m,n???x? (4.5.25)

fm,n这种由一个函数的平移和伸缩所构成的正交基和展开式，当然是非常有用的。问题是这样的母函数?是否存在？如何具体构作？S. Mallat多分辨分析理论解决了这一问题。 2.多分辨（多尺度）分析

多分辨分析方法(Multi-Resolution Analysis，简称MRA方法)是S. Mallat在1988年提出的，它实际上是构作Shannon小波基方法的抽象与推广。

定义4.5.1：我们称满足下列条件的L2(R)中的一列子空间?Vm?m?Z及一个函数??x?为一正交MRA（正交多尺度分析）：

(i) Vm?1?Vm,?m?Z； (ii) (iii) (iv) (v)

m?Z?Vm??0?；

m?Z?Vm?L2?R?；

??x??V0，且???x?n??n?Z是V0的标准正交基；

f?x??Vm?f?2x??Vm?0

m????m?m2由性质(iv)，(v)可见f?x??V0?f2x?Vm，且函数系?2?2x?n???n?Z????构成空间Vm的一组标准正交基。因?Vm?m?Z不是L2(R)的正交分解，所以不能期

??m??m22?2x?n望函数系?构成空间L2(R)的标准正交基。现在来考虑Vm+1???m,n?Z??在Vm中的正交补空间Wm+1，且Wm?1?Vm?1，且Vm?Vm?1?Wm?1。显然，对任意m，m??Z，子空间Wm与Wm?是互相正交的。且f?x??W0?f2?mx?Wm。

因

??VN?VN?1?WN?1?VN?2?WN?2?WN?1???VS?WS?WS?WS?1???WN?1

由于性质(i)，(ii)，(iii)，令N??,S??,，即得

L?R???Wm (4.5.26)

2m????且上式右方是正交分解。因此，问题归结为利用??x?构造一个函数??x?，使它的整数平移???x?n??n?Z构成空间W0的标准正交基，S. Mallat给出了以下

292

电磁测深教程 第四章 静态效应

定理。

定理4.5.2 设?Vm?m?Z是L2(R)的一个多分辨逼近，则存在唯一函数

??m?组成Vm的规范正交基。 ??x??L?R?，叫做尺度函数，使得?22?2?mx?n???m,n?Z2??定理4.5.2表明，Vm的规范正交基可以由??x?构成；以系数2m伸缩，平移网点间隔正比于2m。

根据实际计算的需要，一般地，我们需要光滑的尺度函数。图4.5.4给出了

????具有低通的形一个连续可微且呈指数衰减的尺度函数。它的Fourier变换?状。其中

???????12??41?8??? (4.5.27)

这里?8????k???????2k??14,k?Z

类似于定理4.5.2，Mallat证明了下述定理(Mallat，1989)。

图4.5.4 一个尺度函数的例子

(a) 尺度函数空间特征；(b)尺度函数频谱特征

定理4.5.3 设?Vm?m?Z是一个多分辨逼近，??x?为尺度函数，H为相应的共轭滤波器，即H????其Fourier变换满足

?x??in???，而hne??hn????,??x?n?，令??x?为一函数，??2?k??????????????G???? (4.5.28) ?????2??2?式中G????e?i?H?????

293

电磁测深教程 第四章 静态效应

并令?mn?x??2?2?mx?n，则??mn?x??n?Z为Wm的规范正交基，而且

?m2????mn?x??n,m?Z组成L2(R)的规范正交基，且这样的小波??x?为正交小波。

图4.5.5给出了图4.5.4中所确定的尺度函数??x?相对应的小波函数??x?的空间域和频率域中的特征。

从图4.5.4和图4.5.5可见，尺度函数对应于低通滤波器，而小波函数对应于带通滤波器。

图4.5.5 与图5.3.1中尺度函数对应的小波函数 (a)小波函数空间特征；(b)小波函数频谱特征

3.双尺度差分方程

设?由于??x??V0?V?1，而Vm?m?Z及??x?是一个正交MRA，是V-1的标准正交基，因此根据Hilbert正交投影定理，可得：

?2??2x?n??n?Z??x???h?n???2x?n? (4.5.29)

n?Z(4.5.29)称为双尺度差分方程。根据??x?的构造，可写出??x?满足的方程为：

??x?????1?h?1?n???2x?n? （4.5.30）

n?Zn利用方程(4.5.29)和(4.5.30)和MRA分析，便可构造正交小波基。 4.信号多尺度分解的快速算法

地球物理勘探中，特别是频率域电磁测深和重磁法中，地表的采样是对地下地质体特征在地表所提供的信息在一定分辨率意义下的逼近。对于详查，采样密度应适当地加细以能够获得足够的信息，在这个意义上说，较密的采样对应着较高的分辨率。对于以探测有一定深度大结构为目标的勘探，采样密度可适当地放宽，但要在能够识别勘探目标所规定的分辨率范围内。这个时候由于采样变稀，相当于较粗的分辨率逼近。

不管如何采样，对于一事实上的采样值?fn?n?Z，Z为整数集，在?fn?既包含有浅部的地质信息，又包含有深部的结构信息，如何从采样集?fn?n?Z中将它们分

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电磁测深教程 第四章 静态效应

别提取出来，分别加以利用以达到识别大小，埋深不同的地质体？Mallat的信号的多分辨逼近的理论为我们提供了崭新的理论和算法。 设原始信号为f(x)，将f(x)分为如下两部

f?x??P1f?x??Q1f?x? (4.5.31)

其中P1f?x?为对信号f(x)的粗分辨率逼近，Q1f?x?为其相应的细节部分。 从滤波的角度来看相当于

?带能滤波G?Q1f?x?输入f?x???

?1f?x??低能滤波H?P再将P1f?x?分为两部分

P1f?x??P2?x??Q2f?x?

其中P2(x)为对P1f?x?的粗分辨率逼近，Q2f?x?为其相应的细节部分。 若将上述过程继续下去，就得到如下的子带编码式滤波器所作的分解。见图4.5.6。

?G?Q1f?x???G?Q2f?x???f?x????G?Q3f?x??H?P1f?x????H?P2f?x????????H?P3f?x???图4.5.6 多分辨分解示意

这就在不同分辨率意义下完成了对原始信号的分解。

J即 f?x??PJ?x???Qjf?x? (4.5.32)

j?1设???x?分别为定理4.5.2和定理4.5.3??x?、Vm?m?Z是L2(R)的一个多分辨逼近，所确定的尺度函数和小波函数

根据对信号f(x)的采样值，构造f(x)在分辨率20之下的逼近：

P0f?x???con?0n?x???con??x?n? (4.5.33)

n?Zn?Z其中??0n?x??为L2(R)的逼近空间V0的规范正交基。

显然，P0f?x?在V0中，?c0n?为采样值。另外，由于

V0?V1?W1 (4.5.34)

即，又可将

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电磁测深教程 第四章 静态效应

P0f?x?根据(4.5.34)分为正交的两部分

P0f?x??P1f?x??Q1f?x? (4.5.35)

其中，PQ1f?x??W1。 1f?x??V1,由于??1n?x??及??1n?x??分别是V1和W1的正交基，所以

n?ZP1f?x???c1n?1n?x? (4.5.36)

n?ZQ1f?x???d1n?1n?x? (4.5.37)

这里用c1??c1n?n?Z代表f(x)的采样值c0??c0n?n?Z的粗分辨逼近，而

d1??d1n?n?Z则代表c0与c1之差信息，即c0细节部分。 (4.5.36)与(4.5.37)中的c1k和d1k分别由

c1k??h?n?2k?c0n (4.5.38)

n?Zn?Zd1k??g?n?2k?c0n (4.5.39)

所确定，其中

??1?h?n??2?12???x???x?n?dx (4.5.40)

???2?g?n??2?12??????x???x?n?dx (4.5.41)

?1??2?根据(4.5.38)~(4.5.41)，可以引进记号

c1?Hc0 (4.5.42)

d1?Gc0 (4.5.43)

这说明，由高一组分辨率逼近可以计算低一级分辨率逼近。

一般地，由于Vj?1?Vj?Wj，所以上述的过程可一直进行下去，即有

cj?Hcj?1 (4.5.44) dj?Gcj?1 (4.5.45)

其中cj?cjk??k?Z,dj??djk?k?Z,，而djk，djk由下述的递推公式算出：

n?Zcjk??h?n?2k?cj?1n (4.5.46)

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电磁测深教程 第四章 静态效应

djk??g?n?2k?cj?1n (4.5.47)

n?Z根据(4.5.38)~(4.5.47)就可以逐次求出对采样值c0??c0n?n?Z的各种不同的分辨率意义下的逼近及其相应的细节信号。

同时，由Vj?1?Vj?Wj，所以，从低一级的粗分辨率逼近和相应的细节信号，可反求出高一级分辨率逼近，即有如下的重构公式

cj?1n??cjkh?n?2k???djkg?n?2k? (4.5.48)

k?Zk?Z

4.6 高维地质体的特征刻画与静态效应的识别

在第4节，我们研究了校正静态效应的波数域和空间域滤波方法。从理论上，这两类方法都可以取得令人满意的结果。然而，在实际资料处理时，滤波参数(截止频率或窗宽)的选择是十分关键的。虽然给出了一些选择原则，但人为因素仍很大，做静态效应校正时，处理结果因人而异。下面以广泛应用的EMAP方法作进一步说明。

在静态效应的汉宁窗空间域滤波方法中(Bostick，1986，Torres-Verdin等，1992)，其关键一步是根据穿透深度来确定滤波窗口的宽度。在汉宁窗

?1?2?x?W1?cos,x????W?W?2?h?x??? ?0,x?W??2中，窗宽形W?CZB?x,??，其中ZB?x,??为由频率?所确定的Bostick穿透深度，C为实常数，称为滤波系数。对MT法，F．x．Bostick等进行大量数值试验得

出1≤C≤4为一个合适的范围，因为C过小起不到压制静态效应的目的，过大将太多地损失阻抗函数的横向细节。

显然，尽管1≤C≤4，但对实际情况究竟如何确定C，人为因素很大。可以看到当ZB?x,??确定时，C取1或4，其窗宽相差很大，做静态效应校正时，处理结果将有很大差别。对于理论模型，由于事先已知地下地质体的分布，可以通过多次试算从1≤C≤4中确定C，使得静态校正效果最佳。然而，对实际数据，地下的情况预先不知道，如何确定C，这是Bostick空间域滤波方法本身不能解决的。另外，当穿透深度一定时，汉宁窗宽是确定的，

以此作滤波时，一定损失横向细节，能否找到既能消除静态效应又能保持某些地段所需的细节的随水平位置变化的静态效应校正方法，这也是空间域滤波方

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电磁测深教程 第四章 静态效应

法难以做到的。

波数域和空间域滤波方法产生不足的根本原因在于其所使用的信号处理工

??x?提供的是f?x?在具是Fourier分析。由于一个函数f?x?的Fourier变换, f??x?分析f?x?在某处的局部特征是困难的，而静全空间的频谱特征，因此，由f态效应恰恰是近地表局部电性不均匀产生的局部特征，因而，用Fourier分析研究静态效应必然带来相应的缺陷。同时，由于窗口Fourier变换中?h?x???e?i?t?不论如何离散化都不能构成L2?R?空间中的正交基，这对于静态效应的分离从理论上和实际计算均是不利的。

小波理论的出现为这一问题的解决带来了可能，它能对信号按空间～频率进行局部分析，并且小波函数通过适当伸缩和平移可组成L2?R?空间的正交基，这便为静态效应的识别和最佳压制提供了理论依据。

现约定称Lipschitz指数?为“奇性指标”。下面从电场的积分表达式入手，具体讨论用奇性指标识别静态效应的方法。

设均匀大地内有三维地质体V0，围岩和三维体的电导率分别为?0和?，准静态极限下，在源区以外频率域中刻画电磁场的Maxwell方程为：

??E?i??H （4.6.1）

??H??0E （4.6.2）

若设Ep、Hp分别为一次电场与磁场，Es、Hs分别为二次电场与磁场，则

E?Ep?Es, H?Hp?Hs （4.6.3）

并设

???0??? （4.6.4）

这里??表示三维体V0的电导率与围岩电导率的差异。

从(4.6.3)-(4.6.4)式可得

?2Es?k2Es??i????E （4.6.5）

其中k2?i???0

从非奇次Helmhotz方程(4.6.5)式得到下面积分表达式

Es?r???G?r,r0???E?r0?d?0 （4.6.6）

V0其中，r??x,y,z?是观察点；r0??x0,y0,z0??V0；d?0?dx0dy0dz0；函数G?r,r0?是并矢格林函数，它满足

?2G?r,r0??k2G?r,r0??i????r?r0?? （4.6.7）

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电磁测深教程 第四章 静态效应

在均匀大地中．一次场

Ep?r0??E0e?ikr?r0?ikr?r0Hp?r0??H0e替，则(4.6.6)中的二次场可近似地写为

Esj?r???Gj?r,r0?E0eV0

对积分表达式(4.6.6)进行一阶Born近似，即积分号下的总场用一次场Ep代

?ikr?r0??E?r0?d?0 （4.6.8）

其中Gj由式子G?Gx,Gy,Gz?所给出，j?x,y,z。

在准静态极限下，k???i???1?i????02，故(4.6.8)式可进一步写为：

???r0?d?0 （4.6.9）

??i????r?r0Esj?r???Gj?r,r0?Ee0V0??i????r?r0从(4.6.9)可以看出，二次电场是对三维体电导率e分布的一种加权平

均，平均的权函数为E0Gj?r,r0?e??i????r?r0???r0?，平均区域为V0，也即三维体的大小。

从横向来看，当三维体V0的埋深一定时，若V0的分布较宽广，则相应的异常范围也较大，从而异常的畸变相对平缓，所以异常的奇性也相对变弱。

从纵向来看，若三维体V0的横向分布不变，当埋深增大时，由于积分式(4.6.9)中因子e??r?r0具有随距离衰减作用，二次电场异常的幅度变小，从而异常的奇性

也相对变弱。另外，在MT法、CSAMT法等频率域电磁测深方法中，其振幅测量的结果均表示为卡尼亚电阻率，分子中包含电场水平分量，所以电场的奇性特征在一定程度上要传递给卡尼亚电阻率。

为了对电场积分表达式(4.6.9)及卡尼亚电阻率作更深入的分析，需用奇性分析理论，为此引人两个基本概念：

定义4.6.1设0≤?≤1，函数f?x?在点x0处被认为是Lipschitz ?的，当且仅当存在一个常数K>0使得对x0的某一邻域内的一切x有不等式

f?x??f?x0??Kx?x0 (4.6.10)

?成立。

函数f?x?称为在区间(a，b)上是一致Lipxchitz ?的。当且仅当一切x,x0∈(a，b)，不等式(4.6.10)均成立。

从数学理论知道，若f?x?是可微的，则Lipschitz指数??1，若f?x?在x0处不连续但有界，则Lipshcitz指数??0。可见，Lipschitz指数刻画了一个函数(或信号)的奇性。

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电磁测深教程 第四章 静态效应

为了研究地球物理异常的奇性，定义4.6.1的要求太苛刻，必须将Lipcshitz指数?的非负性要求取消，为此引入定义4.6.2：

定义4.6.2设f?x?是一个广义函数，f?x?被称为是在区间(a，b)上一致Lipschitz ?的，当且仅当f?x?的原函数在区间(a，b)上一是致Lipschitz??1的。

从定义4.6.1，4.6.2可以看出，Lipschitz指数?是对信号(或函数)奇性的一种度量。所谓信号的奇性，直观地说就是信号变化剧烈与平缓的一种反映，变化越剧烈的地方奇性越强，体现为Lipschitz指数?越小，反之亦然。在地球物理勘探中，有异常的地方，总在其背景值上产生一畸变，从而奇性增强，所以利用Lipschitz指数?就能刻画这种奇性。特别是结合小波变换，利用小波母函数具有紧支集的局部性特点，就能深入分析异常奇性的强弱，并给出具体的计算。

根据Mallat研究结果，有如下结论：函数f?x?在区间(a，b)上是一致Lipschitz ?的充要条件为存在常数K>0，使得对所有的x∈(a，b)，f?x?的小波变换Wsf?x?满足不等式

Wsf?x??Ks? (4.6.11)

由于在电磁法勘探中，采集的数据均是离散的，所以设原始卡尼亚电阻率为

???n??，在实际研究中要用(4.6.11)式的离散形式：

W2j??n??K?2j? (4.6.12)

其中，n为观测点点号；2j为小波尺度离散值。

利用带约束条件的最优化方法，可以计算出异常的奇性指标?。将(4.6.12)式取对数

logW2j??n??log2K???j (4.6.13)

其中j?1,2,???,J;J为分解层数，对应于尺度s?2j，构作目标函数：

???logj?1J22K???j?log2W2j??n??? (4.6.14)

求在约束条件式(4.6.13)之下，使(4.6.14)式取最小值的最优化解，这样就可确定(4.6.12)式的系数K及奇性指标?。

通过计算理论模型和实际资料的原始卡尼亚电阻率???n??的小波变换，并选取出小波变换绝对值的最大值和对应的点号，可以发现：小波变换?W2j??n??的最大值与二、三维异常体的大小和埋深有密切关系。对浅部可能引起静态效应的局部不均匀体，随着小波尺度2j的增大，小波变换?W2j??n??的最大值快速下降；对于深部有一定规模的地质体，随着小波尺度2j的增大，其小波变换?W2j??n??的最大值增加或基本上保持常值。根据这一现象，结合不等式(4.6.12)可以得到

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电磁测深教程 第四章 静态效应

下面的结论：

在浅部的局部不均匀体产生的异常范围内，其异常的奇性指标应为负值；在深部有一定规模的地质体产生的异常范围内，其异常的奇性指标应为正值。因此，奇性指标?刻画着不同异常的特征。

下面以几组模型计算说明奇性指标与地质体的关系。

理论模型1如图4.6.1所示。图4.6.1(a)、(b)分别为均匀半空间和三层介质中存在一个60m?60m?50m、电阻率为10??m的三维体。取点距为20 m，计算卡尼亚电阻率???n??。设图4.6.1(a)、(b)中三维体相应的异常的奇性指标分别为

?a、?b。计算结果为：当埋深H=20 m时，?a??1.279,?b??1.282；当埋深

H=30 m时，?a??1.203,?b??1.217。

理论模型2如图4.6.2所示。图4.6.2(a)、(b)与图4.6.1(a)、(b)的不同是三维体变大(1000m?400m?100m)并且埋深H?200m也相应变大。同图4.6.1一样，取点距为20 m计算卡尼亚电阻率???n??，并设图4.6.2(a)、(b)三维体产生的异常相应的奇性指标为?a、?b，计算结果为：?a?0.6972,?b?0.707。

理论模型3如图4.6.3所示。为了考查电法数据异常奇性指标的实际有效性，需要研究二维、三维组合模型的情况。计算电阻率???n??时，中梯极距为3000 m，点距为25 m。设图中模型A和模型B对应的奇性指标分别为?a、?b。计算的结果为?a??0.7129,?b?0.6876

图4.6.1理论模型1示意图

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电磁测深教程 第四章 静态效应

图4.6.2理论模型2示意图

图4.6.3理论模型3示意图

根据以上的理论分析与计算，可以得到在勘查电磁法中对二、三维地质体异常特征的新认识：

①浅部横向分布较小的二、三维地质体产生的异常的奇性强，表现为奇性指标取负值；

②横向分布有一定规模的二、三维地质体(埋深可深可浅)产生的异常的奇性弱，表现为奇性指标取正值；

③同一个二、三维地质体随着埋深的增加，相应的异常的奇性减弱，表现为奇性指标逐步变大。利用这一点，可通过奇性指标反演异常体深度。

利用这几点结论，根据异常奇性指标的正或负，可以区分频率域电磁法中静态效应与有用异常。再结合小波变换的极大值与异常体边界的对应关系，还能圈定出异常体的横向分布范围。这对于识别、分离与压制静态效应是十分有用的。

必须指出，采样密度与异常的奇性之间的关系一般有如下规律：当测量极距

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电磁测深教程 第四章 静态效应

小于地质体水平尺寸的五分之一时，奇性指标为正，反之为负。因此，当讨论某一地区异常的奇性指标时，应在同一观测极距下进行，否则会导致错误的理解和结论。

4.7 多分辨分析与静态效应的最佳压制

4.7.1信号的多尺度分离

Fourier分析中，其基函数?ei?x?通过适当离散后可以组成L2?0,2??的正交基，因而它容易将一个函数按频谱成分进行分解，这是经典频谱分析滤波理论的基础。但是，对于窗口Fourier变换，由于不论如何离散化，?g?x???ei?x?均不可能组成正交基，这不利于将一个函数进行分解。然而，小波分析有Mallat的多尺度分析作为理论基础，可将函数进行多尺度分解，并且还有实现这种分解的快速算法。Mallat的多尺度分析(多分辨分析)可相当经典频谱分析的快速Fourier变换。理论上已证明，存在一些特殊的小波母函数??x?，使得

?ji?x??2?j/2??2?jx?i? (4.7.1)

组成L2?R?的正交基，这里j、i∈Z，Z为整数集。故，对f?x??L2?R?，有如下分解式

f?x????Wf?j,i??ji?x? (4.7.2)

j?Zi?Z?其中，Wf?j,i??f?x?,?ji?x??2?j/2?f?x???2?jx?i?dx为f?x?的2进小波变

??换，也称小波系数。

如果要把(4.7.2)式运用到异常的分离，除了小波函数外还要引进尺度函数

??x?。根据多分辨逼近理论，可以选择与??x?相应的尺度函数??x?，令

?ji?x??2?j/2??2?jx?i?,j,i?Z，则?ji?x?与?mn?x?正交(当m

f?x???f?x?,?Ji?x??Ji?x????f?x?,?ji?x??ji?x? (4.7.3)

i?Zj?0i?ZJ其中，J是待定整数，它可根据信号奇性识别来确定。

在(4.7.3)式中，随着J的不同，就会引起尺度S?2j的变化(j=0，l，2，?，J)。因此，可称(4.7.3)式为对一个函数的多尺度分解。令

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