安徽省蚌埠五中、蚌埠十二中2015届高三上学期期中联考数学（理）试卷

2014-2015学年安徽省蚌埠五中、蚌埠十二中联考高三（上）期

中数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．若集合M={x||x|≤2}，N={x|x2

﹣3x=0}，则M∩N等于（ ） A． {3} B． {0} C． {0，2} D． {0，3}

2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2

+y2

≥4”的（ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

3．下列命题中正确的是（ ）

A． 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题 B． 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0” C． “

”是“

”的充分不必要条件

D． 命题“?x∈R，2x

＞0”的否定是“”

4．已知

，则（ ）

A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． a＞c＞b D． c＞a＞b

5．若幂函数f（x）的图象经过点A（

），是它在A点处的切线方程为（ ） A． 4x+4y+1=0 B． 4x﹣4y+1=0 C． 2x﹣y=0 D． 2x+y=0

6．设函数f（x）=

，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ A． [﹣1，2] B． [0，2] C． [1，+∞） D． [0，+∞） 7．函数

的图象大致是（ ）

A． B．

） C．

8．函数f（x）=

D．

+lg（3x+1）的定义域是（ ）

A． （﹣，+∞） B． （﹣，1） C． （﹣，） D． （﹣∞，﹣） 9．已知围是（ ） A． （0，1） B．

10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣2x，若x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）≥

A． （﹣∞，﹣1]∪（0，3] B． +∞） D．

二、填空题（每小题5分，共25分） 11．已知函数

恒成立，则实数t的取值范围是（ ）

C． [﹣1，0）∪[3，

2

是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范

C． D．

，则

= ．

12．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则

= ．

13．已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最小值是 ．

14．函数

的零点有 个．

15．已知f（x）=ax+bx+c（a≠0）且方程f（x）=x无实数根，下列命题： ①方程f[f（x）]=x也一定没有实数根；

②若a＞0；则不等式f[f（x）]＞x对一切x都成立；

③若a＜0则必存在实数x0，使f[f（x0）]＞x0；

④若a+b+c=0则不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的所有序号都填上）

三、解答题（六大题共计75分）[ 16．已知函数f（x）=

的定义域为A，集合B={x|（x﹣m﹣3）（x﹣m+3）≤0}．

2

（1）求A和f（x）的值域C；

（2）若A∩B=[2，3]，求实数m的值； （3）若C??RB，求实数m的取值范围．

17．设f（x）=x+ax+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． （Ⅱ）设g（x）=f′（x）e．求函数g（x）的极值．

18．已知函数f（x）=x﹣2|x|． （Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；

（Ⅱ）画出函数g（x）=f（4﹣x）的图象，并比较g（﹣1）与g（6）大小．

19．设集合A={x|（2+x）（3﹣x）≥0}，B=

（1）求集合A；

（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，试求实数k的取值范围．

20．已知f（x）=logax﹣x+1（a＞0，且a≠1） （1）若a=e，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．

21．已知二次函数f（x）=ax+bx+c．

（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；

（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；

（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．

2

2

﹣x

3

2

2014-2015学年安徽省蚌埠五中、蚌埠十二中联考高三（上）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．若集合M={x||x|≤2}，N={x|x﹣3x=0}，则M∩N等于（ ） A． {3} B． {0} C． {0，2} D． {0，3}

考点： 交集及其运算． 专题： 综合题．

分析： 求出集合M中的绝对值不等式的解集得到集合M，解出集合N中的方程得到集合N的元素，求出两集合的交集即可．

解答： 解：由集合M中的不等式|x|≤2，解得﹣2≤x≤2，所以集合M=[﹣2，2]； 由集合N中的方程x﹣3x=0，变形得x（x﹣3）=0，解得x=0，x=3，所以集合N={0，3}． ∴M∩N={0}． 故选B

点评： 本题是属于以不等式的解集和方程的解为平台，求集合交集的运算，也是高考中常考的题型．

2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的（ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑．

分析： 由“x≥2且y≥2”推出“x+y≥4”可证明充分性；由满足“x+y≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案． 解答： 解：若x≥2且y≥2，则x≥4，y≥4，所以x+y≥8，即x+y≥4；

22

若x+y≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．

22

所以“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的充分而不必要条件． 故选A．

点评： 本题主要考查充分条件与必要条件的含义．

3．下列命题中正确的是（ ）

A． 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题 B． 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0” C． “

”是“

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

”的充分不必要条件

”

D． 命题“?x∈R，2＞0”的否定是“

考点： 命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；复合命题的真假；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题．

分析： 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题；命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；“k∈Z”，“

X

”?“”是“”．

+2kπ，或，

”?“”，故“”的必要不充分条件；命题

“?x∈R，2＞0”的否定是“?

解答： 解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确； 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确； ““故“

”?“”?“

”是“

x

+2kπ，或”，

，k∈Z”，

”的必要不充分条件，故C不正确；

”，故D正确．

命题“?x∈R，2＞0”的否定是“

故选D．

点评： 本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答． 4．已知

，则（ ）

A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． a＞c＞b D． c＞a＞b

考点： 指数函数的单调性与特殊点． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 比较大小的方法：找1或者0做中介判断大小，log43.6＜1，log23.4＞1，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对c进行化简，得到＞b，再借助于中间值log2

进行比较大小，从而得到结果．，

＞1

解答： 解：∵log23.4＞1，log43.6＜1，

x

又y=5是增函数， ∴a＞b，

＞

而log23.4＞log2

＞log3

，

=

=b

∴a＞c

故a＞c＞b． 故选C．

点评： 此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小，以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．

5．若幂函数f（x）的图象经过点A（

），是它在A点处的切线方程为（ ）

A． 4x+4y+1=0 B． 4x﹣4y+1=0 C． 2x﹣y=0 D． 2x+y=0

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题．

分析： 先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式式即可．

解答： 解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=x ∴图象经过点A（∴=（） ∴α=

α

α

），

∴f（x）=f'（x）=

它在A点处的切线方程的斜率为f'（）=1，又过点A

所以在A点处的切线方程为4x﹣4y+1=0

故选B．

点评： 本小题主要考查幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

6．设函数f（x）=

，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）

A． [﹣1，2] B． [0，2] C． [1，+∞） D． [0，+∞）

考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 分类讨论．

分析： 分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 解答： 解：当x≤1时，2

1﹣x

≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，

∴0≤x≤1．

当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，

∴x≥1，

故答案为[0，+∞）． 故选D．

点评： 本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解． 7．函数

的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

考点： 函数的图象．

专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 根据函数

的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以

排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．

解答： 解：当x=0时，y=0﹣2sin0=0 故函数图象过原点， 可排除A 又∵y'=

故函数的单调区间呈周期性变化 分析四个答案，只有C满足要求 故选C

点评： 本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．

8．函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（ ）

A． （﹣，+∞） B． （﹣，1） C． （﹣，） D． （﹣∞，﹣）

考点： 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法． 专题： 计算题．

分析： 依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围． 解答： 解：要使函数有意义需

，

解得﹣＜x＜1．

故选B．

点评： 本题主要考查了对数函数的定义域．属基础题．

9．（5分）（2006?北京）已知函数，那么a的取值范围是（ ） A． （0，1） B．

C．

D．

是（﹣∞，+∞）上的减

考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法． 专题： 压轴题．

分析： 由f（x）在R上单调减，确定a，以及3a﹣1的范围，再根据单调减确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．

解答： 解：依题意，有0＜a＜1且3a﹣1＜0， 解得0＜a＜，

又当x＜1时，（3a﹣1）x+4a＞7a﹣1， 当x＞1时，logax＜0，

因为f（x）在R上单调递减，所以7a﹣1≥0解得a≥ 综上：≤a＜

故选C．

点评： 本题考查分段函数连续性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小．

10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x﹣2x，若x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）≥

恒成立，则实数t的取值范围是（ ）

2

A． （﹣∞，﹣1]∪（0，3] B． +∞） D．

考点： 函数恒成立问题． 专题： 函数的性质及应用．

C． [﹣1，0）∪[3，

分析： 先根据f（x+2）=2f（x），结合x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）≥，将f（x）

转化到[0，2]上，得到具体的表达式，再根据不等式恒成立的解题思路，分离参数求出t的范围．

解答： 解：设x∈[﹣4，﹣2]，则x+4∈[0，2]，

由f（x+2）=2f（x），所以f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=f（x+4），结合x∈[0，2]时，f（x）=x﹣2x， 所以f（x）≥即只需

可化为：f（x+4）≥

2

2

≤2f（x+4）=2[（x+4）﹣2（x+4）]，恒成立

，易知当x+4=1，即x=﹣3时取得最小值﹣2．

即，解得﹣1≤t＜0或t≥3．

故选C．

点评： 本题考查了不等式的恒成立问题，一般是转化为函数的最值来解决，关键是能够根据f（x+2）=2f（x），将所求区间上的函数式转化到已知区间上来，得到具体的关于x的不等式恒成立，使问题获得解决．

二、填空题（每小题5分，共25分） 11．已知函数

考点： 对数的运算性质；函数的值． 专题： 计算题．

分析： 先求f（﹣4），根据分段函数解析式求f[f（﹣4）]；利用对数运算性质求f（log2）的值，然后求和即可．

解答： 解：f（﹣4）=2=16，∴f[f（﹣4）]=f（16）=log416=2； ∵log2=﹣log26＜0，∴f（log2）=∴f[f（﹣4）]+f（log2）=8． 故答案是8．

4

，则= 8 ．

=n，

=6，

点评： 本题借助求函数值，考查了对数的运算性质，计算要细心．

12．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则﹣ ．

考点： 函数奇偶性的性质；函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由题意得 f（﹣

）=﹣f（

）=﹣f（4+）=﹣f（），代入已知条件进行运算．

=

解答： 解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x）， f（﹣

）=﹣f（

）=﹣f（4+）=﹣f（）=﹣2×

=﹣．

故答案为：

点评： 本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．

13．已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最小值是 ﹣2 ．

考点： 简单线性规划．

专题： 计算题；不等式的解法及应用．

分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=0且y=2时，z取得最小值．

解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，其中 A（2，0），B（0，2），C（0，﹣2）

设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移， 观察x轴上的截距变化，可得

当l经过点B时，目标函数z达到最小值 ∴z最小值=F（0，2）=﹣2 故答案为：﹣2

点评： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 14．函数

考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 题目中条件：“函数f（x）=

2

的零点有 3 个．

的零点个数”转化

为方程lnx=x﹣2x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程

2

lnx=x﹣2x左右两式表示的函数图象即得．

2

解答： 解：当x＞0时，在同一坐标系中画出y=lnx与y=x﹣2x的图象如下图所示： 由图象可得两个函数有两个交点． 又一次函数2x+1=0的根的个数是：1． 故函数故答案为：3

的零点有3个

点评： 函数的图象直观地显示了函数的性质．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．

15．已知f（x）=ax+bx+c（a≠0）且方程f（x）=x无实数根，下列命题： ①方程f[f（x）]=x也一定没有实数根；

②若a＞0；则不等式f[f（x）]＞x对一切x都成立；

③若a＜0则必存在实数x0，使f[f（x0）]＞x0；

④若a+b+c=0则不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立． 其中正确命题的序号是 ①②④ ．（把你认为正确命题的所有序号都填上）

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据函数f（x）=ax+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，得出函数y=ax+bx+c与y=x的图象无交点，对选项中的命题进行分析判断，得出正确的结论．

解答： 解：∵由函数f（x）=ax+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，

2

即y=ax+bx+c与y=x的图象无交点，

∴①函数y=f[f（x）]与y=x的图象无交点，即方程f[f（x）]=x没有实数根，①正确； ②当a＞0时，函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）的图象开口向上，与y=x无交点， ∴f（x）的图象在y=x图象的上方，

∴不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立，②正确；

③同理，当a＜0时，函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）的图象在y=x的下方， f[f（x）]＜x恒成立，∴③错误；

④当a+b+c=0时，f（1）=0，结合题意知a＜0，函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）的图象在y=x的下方，

不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立，∴④正确． 综上，正确的答案为①②④． 故答案为：①②④．

点评： 本题考查了复合函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合二次函数的图象与性质进行解答，是难理解的题目．

三、解答题（六大题共计75分）[ 16．已知函数f（x）=

的定义域为A，集合B={x|（x﹣m﹣3）（x﹣m+3）≤0}．

2

2

2

2

2

2

2

（1）求A和f（x）的值域C；

（2）若A∩B=[2，3]，求实数m的值；

（3）若C??RB，求实数m的取值范围．

考点： 集合的包含关系判断及应用；交集及其运算． 专题： 计算题；集合．

分析： （1）解不等式求A，配方法求f（x）的值域C；

（2）由已知A=[﹣1，3]，B=[m﹣3，m+3]，A∩B=[2，3]，即可求实数m的值； （3）求出CRB={x|x＞m+3，或x＜m﹣3}，利用C??RB，即可求实数m的取值范围．

2

解答： 解：（1）由f（x）有意义知：3+2x﹣x≥0，得﹣1≤x≤3

22

又3+2x﹣x=﹣（x﹣1）+4≤4， ∴A=[﹣1，3]，C=[0，2]…（4分）

（2）由已知A=[﹣1，3]，B=[m﹣3，m+3] 又A∩B=[2，3]，得m﹣3=2，即m=5

经检验当m=5时，B=[2，8]满足A∩B=[2，3]∴m=5…（8分）

（3）∵CRB={x|x＞m+3，或x＜m﹣3}，C=[0，2]且C??RB， ∴m+3＜0或m﹣3＞2，

∴m＞5或m＜﹣3…（12分）

点评： 本题考查集合的包含关系判断及应用，考查集合的运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

17．设f（x）=x+ax+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． （Ⅱ）设g（x）=f′（x）e．求函数g（x）的极值．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；综合题；转化思想．

分析： （I）根据已知中f（x）=x+ax+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． （II）根据g（x）=f′（x）e求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．

解答： 解：（I）∵f（x）=x+ax+bx+1∴f'（x）=3x+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3

令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x﹣3x+1

∴f（1）=﹣，

又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，

故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x﹣3x﹣3）e

2﹣x

从而有g'（x）=（﹣3x+9x）e 令g'（x）=0，则x=0或x=3

∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0， 当x∈（0，3）时，g'（x）＞0， 当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，

∴g（x）=（3x﹣3x﹣3）e在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3 点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．

18．已知函数f（x）=x﹣2|x|．

2

2

﹣x

2

﹣x

3﹣

3

2

2

﹣1

3

2

﹣x

3

2

x

2

（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；

（Ⅱ）画出函数g（x）=f（4﹣x）的图象，并比较g（﹣1）与g（6）大小．

考点： 二次函数的性质；函数奇偶性的性质． 专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．

分析： （Ⅰ）先判断f（x）=x﹣2|x|是偶函数，再利用定义证明；

2

（Ⅱ）函数g（x）=f（4﹣x）=（4﹣x）﹣2|4﹣x|，从而作出其函数图象，求值比较大小．

2

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x﹣2|x|是偶函数，证明如下， 函数f（x）的定义域是R，

且f（﹣x）=（﹣x）﹣2|﹣x|=x﹣2|x|=f（x）． 则函数f（x）是偶函数．

（Ⅱ）函数g（x）=f（4﹣x）=（4﹣x）﹣2|4﹣x|， 作其函数图象如下，

2

2

22

g（﹣1）=f（5）=15， g（6）=f（﹣2）=0； 则g（﹣1）＞g（6）．

点评： 本题考查了学生的作图能力及应用图象的能力，属于基础题．

19．设集合A={x|（2+x）（3﹣x）≥0}，B=

（1）求集合A；

（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，试求实数k的取值范围．

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 集合；简易逻辑．

分析： （1）利用一元二次不等式的解法即可得出；

（2）记g（x）=kx+4x+k+3，由g（x）≥0在R上有解，而k＜0，由△≥0，得﹣4≤k＜0，对k分类讨论，及其充要条件的判定即可得出． 解答： 解：（1）由（2+x）（3﹣x）≥0，化为（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3． ∴A=[﹣2，3]．

（2）记g（x）=kx+4x+k+3，由g（x）≥0在R上有解，而k＜0， 故△=16﹣4k（k+3）≥0，得﹣4≤k＜0，① 当

．

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设g（x）=0的两个根x1，x2（x1＜x2），则B=（x1，x2），

由x∈A是x∈B的必要不充分条件得：②

由①②得．

点评： 本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、分类讨论、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．已知f（x）=logax﹣x+1（a＞0，且a≠1） （1）若a=e，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）利用导数判断函数的单调性即可； （2）f（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，等价于lna＜利用导数求得函数F（x）=解答： 解：（1）a=e时，

的最小值，即可得出结论．

在区间（1，2）上恒成立，

（2）∵∴

，

而x∈（1，2）时，lnx＞0，x﹣1＞0∴0＜a＜1不合题意∴a＞1 ∴

由（1）知，当x＞0，f（x）=lnx﹣x+1＜f（1）=0， ∴

，

∴F'（x）＜0恒成立∴F（x）在（1，2）上单调递减， 即F（x）＞F（2）=ln2，∴lna≤ln2，∴a≤2， 综上得a∈（1，2]．

点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题，考查学生恒成立问题的等价转化能力及运算求解能力，属于中档题．

21．已知二次函数f（x）=ax+bx+c．

（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；

（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；

（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．

考点： 函数与方程的综合运用． 专题： 计算题．

分析： （1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根据a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判别式可证；

（2）由条件知方程的一根为1，另一根满足﹣2＜x2＜0．由于f（m）=﹣a＜0，可知m∈（﹣2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立． （3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，进而证明g（x1）g（x2）＜0，所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，故方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．

解答： 解：（1）因为f（1）=0， 所以a+b+c=0， 又因为a＞b＞c， 所以a＞0，且c＜0， 因此ac＜0，

所以△=b﹣4ac＞0，

因此f（x）的图象与x轴有2个交点．

（2）由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2， 因为f（1）=0，

所以f（x）=0的一根为x1=1， 因为x1+x2=﹣，x1x2=， 所以x2=﹣﹣1=，

因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0， 所以﹣2＜x2＜0．

因为要求f（m）=﹣a＜0，

所以m∈（x1，x2）， 因此m∈（﹣2，1）， 则m+3＞1，

因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增； 所以f（m+3）＞f（1）=0成立．

（3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，

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则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]， g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]， 于是g（x1）g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）][f（x2）﹣f（x1）] =﹣[f（x1）﹣f（x2）]， 因为f（x1）≠f（x2），

所以g（x1）g（x2）=﹣[f（x1）﹣f（x2）]＜0， 所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，

即方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．

点评： 本题以二次函数为载体，考查方程根的探求，考查函数值的确定及函数的零点问题，有一定的综合性．

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参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；wzj123；zlzhan；394782；733008；371146915；翔宇老师；zhwsd；孙丰亮；王兴华；清风慕竹；00；ywg2058；742048；刘长柏；lgh；孙佑中；liu老师（排名不分先后） 菁优网

2015年9月12日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gc6o.html