一元二次方程全章导学案

22．1 一元二次方程（1）

学习目标：

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念； 应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

1．通过设置问题，建立数学模型， 模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．

2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目．

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点：

重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

活动1 ：阅读教材第30至32页，并完成以下内容。

问题1 要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m，则上部高________,得方程

_____________________________

整理得

_____________________________ ①

问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

x 分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长

为________________,宽为_____________.得方程

_____________________________

整理得

_____________________________ ②

问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为___________

设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。列方程

____________________________

化简整理得 ____________________________ ③ 请口答下面问题：

（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________

方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程. 1.一元二次方程:_____________________________________________ __________________________________________________________. 2. 一元二次方程的一般形式:____________________________

一般地，任何一个关于x的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________,

_____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数a 0是一个重要条件，不能漏掉。） 3. 例 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

活动2 知识运用 课堂训练

例1:判断下列方程是否为一元二次方程：

1

(1)1　ｘ 2 0　 (2)2(x2-1)=3y

122 (3)　2ｘ－3x－1 02－=0

xx

222

(5)　(x 3) (x 3) (6)9x=5－4x 1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项： ⑴ 5x2-1=4x ⑵ 4x2=81 ⑶ 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3

2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： ⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;

⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；

⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。

3.求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

活动3 归纳内化

一元二次方程： 1. 概念 2.一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）

活动4：课堂检测

1．在下列方程中，一元二次方程有_____________．

5

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0

x

2

2. 方程2x=3（x-6）化为一般式后二次项系数、 一次项系数和常数项分别是（ ）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数

4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______， 常数项为_________．

5. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项：

⑴ 3x2+1=6x ⑵ 4x2+5x=81 ⑶ x(x+5)=0

⑷ (2x-2)(x-1)=0 ⑸ x(x+5)=5x-10 ⑹ (3x-2)(x+1)=x(2x-1) 活动5：拓展延伸

1．当a______时，关于x的方程a（x2+x）

2-（x+1）是一元二次方程. 2．若关于x的方程（m+3）x

m2 7

+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，

并计算这个方程的各项系数之和．

3．关于x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

22．1 一元二次方程（2）

学习目标：

1．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

2．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．

重点、难点

重点：判定一个数是否是方程的根；

2

难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际 问题的根． 活动1：阅读教材P32 — 33 , 完成课前预习 1：知识准备

例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

一元二次方程的一般形式:____________________________

2223x 1x 25 09x 16 0 2：探究 (1) (2) (3)

问题: 一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m， 苗圃的长和宽各是多

少？

分析：设苗圃的宽为xm，则长为_______m．

根据题意，得___________________．

整理，得________________________． 随堂训练 1)下面哪些数是上述方程的根？ 1.写出下列方程的根： 0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 （1）9x2 = 1 （2）25x2-4 = 0 （3）4x2 = 2

22)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右3x x 2 0的解的是（ ） 2. 下列各未知数的值是方程

两边相等的_______________的值。

A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-2 3)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？

2

4)虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一个答案，即3.根据表格确定方程x 8x 7.5=0的解的范围____________ 宽为_______.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根， 还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．

练习：1.你能想出下列方程的根吗？ 22

(1) x -36 = 0 (2) 4x-9 = 0

222.下面哪些数是方程x+x-12=0的根？

4.已知方程3x 9x m 0的一个根是1，则m的值是______

-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。

5.试写出方程x2-x=0的根，你能写出几个？

活动3：归纳内化

活动2：知识运用 课堂训练 1.使一元二次方程成立的____________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一 元二次方程的________。

2.由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解______________ 例1.下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？

-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。 活动4：课堂检测

3

1.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________． 2.一元二次方程x x的根是__________；方程x（x-1）=2的两根为________ 3.写出一个以x

2

2为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：

_________________。

4.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

22

(a 1)x x a 1 0的一个根是0，a的值是5. 若关于X的一元二次方程

几？你能得出这个方程的其他根吗？

活动5：拓展延伸

x 3 _____________。已知m是方程1. 若x 2x 2，则2x 4

x2 x 6 0的一个根，则代数式m2 m ________。

2. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

3. 方程（x+1）2

（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

2

2x(x 1) x x 2化成一般形式是______________,二次项是____一次项4.把

22

9.如果2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是几？你能得出这个方程的其他根吗？

10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．

22.2.1 直接开平方法解一元一次方程

系数是_______，常数项是_______。

5.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0

（ ）． 学习目标

A．1 B．-1 C．0 D．2 6.方程x（x-1）=2的两根为（ ）．

A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 7.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．

11

A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2

aa

8. 请用以前所学的知识求出下列方程的根。

⑴(x-2)=1 ⑵9(x-2) 2=1 ⑶x2+2x+1=4 ⑷x2-6x+9=0

4

1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的

数学思想．

难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如方程． 我们把这种思想称为“降次转化思想”．

归纳：如果方程能化成 的形式，那么可得 （x+m）2=n（n≥0）的方程．

活动2 知识运用 课堂训练 活动1、阅读教材第35页至第37页的部分，完成以下问题

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方例1用直接开平方法解下列方程：

2体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？ （1）(3x+1)2=7 （2）y+2y+1=24

我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，

即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 练习：

计算：用直接开平方法解下列方程：

（1）2x2-8=0 （2）9x2-5=3

（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2

（4）4m2-9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x-1)2

-9=108

（4）3(x-1)2-6=0 （5）x2-4x+4=5

解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次

5

3）9n2-24n+16=11 3）(x+6)2-9=0

（6）9x2+6x+1=4 （（

4若8x2-16=0，则x的值是_________．

（7）36x2-1=0 （8）4x2=81 （9）(x+5)2=25

（10）x2+2x+1=4

活动3 归纳内化

应用直接开平方法解形如，那么可得

活动4 课堂检测 一、选择题

1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．

A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（ ）．

A．3

B．-3 C．±3 D．无实数根

2

3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）．

3

18118 A．（x-）2=，x=

B．（x-）2=-，原方程无解

393

392522512 C．（x-）2=，x1=+x2= D．（x-

）2=1，x1=，x2=-

39333333

6

5如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．

活动5 拓展延伸

1．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．

2．用直接开平方法解下列方程：

（1）（2-x）2-81＝0 （2）2（1-x）2-18＝0 （3）（2-x）2＝4

3．解关于x的方程（x+m）2=n．

4、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）， 另三边用木栏围成，木栏长40m．

（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？ （2）鸡场的面积能达到210m2吗？

5．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框， 并说明你制作的理由吗？

22.2.2配方法解一元二次方程（1）

学习目标

1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．

2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．

重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤． 难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

活动1、阅读教材第38页至第39页的部分，完成以下问题

解下列方程

（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空：

（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2

问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？

7

思考？

1、以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？这也是配方法的基本

4、配方法的关键是什么？

用配方法解下列关于x的方程

（1）2x2-4x-8=0 （2）x2-4x+2=0 （3）x2-1

x-1=0 （4）2x2+2=5

2

总结：用配方法解一元二次方程的步骤：

活动2 知识运用 课堂训练

例1用配方法解下列关于x的方程：

（1）x2

-8x+1=0 （2）2x2

+1=3x （3）3x2

-6x+4=0

【课堂练习】： 1. 填空：

（1）x2+10x+______=（x+______）2；（2）x2-12x+_____=（x-_____）2

（3）x2+5x+_____=（x+______）2．（4）x2-2

x+_____=（x-_____）2

2．用配方法解下列关于x的方程

3

（1） x2-36x+70=0． （2）x2+2x-35=0 （3）2x2-4x-1=0

（4）x2-8x+7=0 （5）x2+4x+1=0 （6）x2+6x+5=0

8

（7）2x2+6x-2=0 （8）9y2-18y-4=0 （9）x2

活动3 归纳内化

用配方法解一元二次方程的步骤：

活动4 课堂检测

1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．

A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3 2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A．x-8x+（-4）=31 B．x-8x+（-4）=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11

3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）．

A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9

4．（1）x-8x+______=（x-______）；（2）9x+12x+_____=（3x+_____） （3）x2+px+_____=（x+______）2．

9

2

2

2

2

2

2

2

2

2x x 22

5、（1）方程x+4x-5=0的解是________．（2）代数式的值为0，则x

x2 1

的值为________．

活动5 拓展延伸

一、解下列方程

3

（1）x2+10x+16=0 （2）x2-x-=0

4

（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x-9=0

二、综合提高题

1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．

2．如果x2-4x+y2

，求（xy）z的值．

22.2.3用公式法解一元二次方程

学习目标

1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．

2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0） 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式法的推导．

配方，得： 即

∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：

b2 4ac

（1） b-4ac＞0，则＞0 2

4a

2

直接开平方，得： 即

∴x1，x2b2 4ac

（2） b-4ac=0，则=0此时方程的根为即一元二次程

4a2

2

活动1 阅读教材第40页至第42页的部分，完成以下问题 1、用配方法解下列方程

ax2+bx+c=0（a≠0）有两个 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52

bb2 4ac22

b-4ac＜0，则＜0，此时（x+）＜0，而x取任何实数都不 总结用配方法解一元二次方程的步骤： （ 3 ） 2

2a4a

b2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方 能使（x+）2 ＜0，因此方程 实数根。 2a

法的步骤求出它们的两根？

2

由上可知，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定， b 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）试推导它的两个根x1

=

2a因此：

b（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0x2

=

2a

b 时，将a、b、c代入式子

x=就得到方程的根，当b2-4ac＜0，方程

2a

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c 也当成一个具

没有实数根。

体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

（2）

ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．

解：移项，得： ，二次项系数化为1，得

10

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根，也可能有 实根或

者 实根。

（5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b2-4ac

用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0

活动2 知识运用 课堂训练

用公式法解下列方程．

（1）x2-4x-7=0 （2）2x2-2x+1=0 （3）5x2-3x=x+1 （4）x2+17=8x

（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0

1

（4）4x2-3x+1=0 （5）x2-3x-=0 （6）3x2-6x-2=0

4

1

（7）x2+4x+8=4x+11 (8) x（2x-4）=5-8x （9）x2-2x-=0

4

（10）x2+4x+8=2x+11 （11）x（x-4）=2-8x (12) x2+2x+10=0

3

练习： 5、利用判别式判定下列方程的根的情况：（1）2x2-3x-=0 （2）16x2-24x+9=0

21、在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根？

有两个相等的实数根？ （3）x2-42x+9=0 （4）3x2+10x=2x2+8x

2、写出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的求根公式。 活动 3 归纳内化

2

3、方程x-4x+4=0的根的情况是（ ） （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数 根 （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况．

4、用公式法解下列方程．

11

活动4 课堂检测

1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．

A．

B．

C．

D．

3、 某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm

2

2

+（m-2）x-1=0提出了下列问

2

2

的根是（ ）．

A.x1

x2

B.x1=6，x2

C.x1

x2

D.x1=x2

3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2

4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．

5．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．

活动5 拓展延伸

1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．

2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，

bc

（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；

aa

（2） 求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．

12

题．

（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．

22.2.4因式分解法

学习目标：

1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。

重点、难点

1、重点：应用分解因式法解一元二次方程

2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.

活动1 阅读教材P43— 4044 , 完成课前预习 1：知识准备

将下列各题因式分解

am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2=

因式分解的方法：

解下列方程．

（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）

2：探究

仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？

3、归纳：

(1)

5x 4x 0 (2) x(x 2) x 2 0

2

2

3x(2x 1) 4x 2(x 5) 3x 15 （3） (4)

（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，

再使_________________________，从而实现_____ ____________，

这种解法叫做__________________。 （5）4x2-144=0

（2）如果a b 0，那么a 0或b 0，这是因式分解法的根据。

如：如果(x 1)(x 1) 0，那么x 1 0或_______，即x 1或________。 （7）5x2

2x

134 x2 2x 4练习1、说出下列方程的根：

（1）x(x 8) 0 （2）(3x 1)(2x 5) 0

练习2、用因式分解法解下列方程： 随堂训练

1、 用因式分解法解下列方程

(1) x2

-4x=0 (2) 4x2

-49=0 (3) 5x2

-20x+20=0 （1）x2+x=0

（3）3x2-6x=-3 活动2 知识运用 课堂训练：

用因式分解法解下列方程 （5）3x(2x+1)=4x+2

13

6）(2x-1)2=(3-x)2

（8）3x2-12x=-12 （2）x2

（4）4x2-121=0 （6）(x-4)2=(5-2x)2 （

2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆

1．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ）

A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2

2．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 形场地的半径。

活动3 归纳内化

因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1） 将方程右边化为

（2） 将方程左边分解成两个一次因式的

（3） 令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程 （4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解

活动4 课堂检测

1．方程x(x 3) 0的根是 __________

2．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________

3．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于___

4．若（2x+3y）2+4（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_________．

5．已知y=x2-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．

活动5 拓展延伸

C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0 3．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）

A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对 4、用因式分解法解下列方程：

(1) (4x 1)(5x 7)

0 (2) x2

(3) 3x(x 1) 2(1 x) (4) (x 1)2

25 0

(5) 2(x 3) x2

9 (6) 16(x 2)2

9(x 3)2

(7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x2+x（x-5）=0

22.2.5解一元二次方程 学习目标：

1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法

14

2、选择合适的方法解一元二次方程

3

5、5x-2X- =x-2X+4 6. 4(x 2)2

2

4

2

9(2x 1)2

重点、难点

3、 重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程 4、 难点：选择合适的方法解一元二次方程 活动1：

一、梳理知识

1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次 2

3、一般考虑选择方法的顺序是：

直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法 二、用适当的方法解下列方程：

1. x2 7x 0 2. x2

12x 27

3、X（x-2）+X-2=0 4. x2

x 2 4

活动2 知识运用 课堂训练： 1．用直接开方法解方程：

⑴

36x2 1 0

⑶

x 5 2

16

2．用因式分解法解方程： ⑴x2 x 0

⑶3 2x 1 x 2x 1 0

3．用配方法解方程：

⑴x2

10x 16 0 ⑵4x2 81 ⑷x2 2x 1 4 ⑵4x2

121 0

⑷

x 4 2 5 2x 2

0x2

x 3

⑵4

0

15

活动4 巩固提高 ⑶3x2

6x 5 0 ⑷4x2

x 9 0

4．用公式法解方程：

2

x 12 02

1

⑴x ⑵x 2x4

0

⑶x2 4x 8 2x 11 ⑷

x x 4 2 8x

⑸x2

2x 0 ⑹

x2 25x 10 0

活动3： 归纳内化

解一元一次方程的方法：

1．用直接开方法解方程：

⑴4x2 9 0 ⑵ x 2 2 1

2

2

⑶

9 x 2 1 ⑷x 2x 1 4

2．用因式分解法解方程： ⑴

x2 23x 0 ⑵3x 2x 1 4x 2

⑶5x2

2x 14 x2

2x 34

⑷

2x 1 2 3 x 2

3．用配方法解方程：

⑴x2 8x 1 0 ⑵2x2 1 3x ⑶

3x2 6x 4 0

16

⑷x 10x 9 0 ⑸3x 6x 4 0 ⑹22

x x 4 8x 12

2．会用根的判别式及根与系数关系解题. 重点、难点

重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系. 难点：会用根的判别式及根与系数关系解题；

4．用公式法解方程：

⑴x2

x 1 0 ⑵x2

3x

1

4

0 ⑶3x2 6x 2 0

⑷4x2 6x 0 ⑸x2 4x 8 4x 11 ⑹x 2x 4 5 8x

22.2.6一元二次方程根与系数的关系

学习目标：

1．理解并掌握根与系数关系：xbc

1 x2 a，x1x2 a

；

活动1：阅读教材P54 — 55 , 完成课前预习 1、知识准备

( 1 ) 一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：

（3）一元二次方程的求根公式： 2

问题：你发现什么规律？

①用语言叙述你发现的规律；

②x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律。

探究问题：上面发现的结论在这里成立吗？ 请完善规律；

①用语言叙述发现的规律；

17

② ax2+bx+c=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律。

3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）

ax2+bx+c=0的两根x1, x2

x1 x2 x1.x2 = = = = = = = =

练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：（1）x2 3x 1 0 （2）2x2 3x 5 0 （3）1

3x2 2x 0

活动2 知识运用 课堂训练：

例1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积：

（1）x2-6x-15=0 （2）3x2+7x-9=0 （3）5x-1=4x2

例2：已知方程2x2 kx 9 0的一个根是 -3 ，求另一根及K的值。

例3:已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值

1 1 (2) 2 2(3)

例4:已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根

是x方程的两根的平方,则关于y的方程是__________

随堂训练

（1）x2-3x=15 （2）5x2-1=4x2+x

（3）x2-3x+2=10 （4）4x2-144=0

（5）3x（x-1）=2（x-1） （6）（2x-1）2=（3-x）2

18

活动3： 归纳内化

一元二次方程的根与系数的关系：

活动4 课堂检测

1． 若方程ax2 bx c 0(a≠0)的两根为x1，x2则x1 x2= ，x1.x2= __ 2 ．方程2x2 3x 1 0 则x1 x2= x1.x2= __

3 ．若方程x2 px 2 0的一个根2，则它的另一个根为____ p=____ 4 ．已知方程x2 3x m 0的一个根1，则它的另一根是____ m= ____ 5 ．若0和-3是方程的x2 px q 0两根，则p+q= ____

活动5 拓展延伸

1 ．在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=——，q=——。

2 ．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）

A7x2 12x 5 0 B6x2 13x 5 0C4x2 21x 5 0 Dx2 15x 8 0

3 ．若方程x2 px q 0的两根中只有一个为0，那么 （ ） A p=q=0 B P=0,q≠0 C p≠0,q=0 D p≠0, q≠0）

19

4、不解方程，求下列方程的两根和与两根积：

（1）x2-5x-10=0 （2）2x2+7x+1=0

（3）3x2-1=2x+5 （5）x（x-1）=3x+7

22

（5）x-3x+1=0 (6)3x- 2x=2

22.3.1 实际问题与一元二次方程（1）

学习目标：

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

3.通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．

4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．

重点、难点

重点：列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率问题的应用题 难点：发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系 活动一 阅读教材P458— 469, 完成课前预习 探 究：

问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；

2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。 则：列方程

， 解得

思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？

活动2：典型例题，初步应用

例1：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？

例2：青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8460kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.

即平均一个人传染了 个人。

再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？

活动3：归纳内化

问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成

本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，

1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:

生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精

(1)“设”，即设_____________，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；

确到0.001）

(2)“列”，即根据题中________ 关系列方程；

绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元， 乙种药品

(3)“解”，即求出所列方程的_________；

成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然， 乙种药品成本的年平

(4)“检验”，即验证是否符合题意；

均下降额较大．

(5)“答”，即回答题目中要解决的问题。

相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种

药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．

2

2.增长率=（实-基数）/基数。平均增长率公式：Q a(1 x) 其中a是分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为

元，两年后甲种药品成本为 元． 增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，2是增长（或降低）的 依题意，得

次数。

解得：x1≈ ，x2≈ 。

根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 。

活动4 课堂检测 ②设乙种药品成本的平均下降率为y．则，

1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组列方程：

共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）A．x 解得：

（x+1）=182 B．x（x-1）=182 答：两种药品成本的年平均下降率 ．

20

C．2x（x+1）=182 D．x（1-x）=182×2 2．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）． A．12人 B．18人 C．9人 D．10人

3．某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人？

4.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？

5.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？

活动6 拓展延伸

1．两个连续偶数的积为168，求这两个偶数.

2.某商品原来单价96元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降低的百分数相同，现单价为54元，求平均每次降价的百分数？

3.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（结果精确到0.01﹪）

4.一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面积是24 cm2，求两条直角边的

21

长。

5.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12 cm2，求菱形的周长。

22.3.2 实际问题与一元二次方程（2）

学习目标：

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

3.通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．

4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．

重点、难点

重点：列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题 难点：发现特殊图形问题中的等量关系

活动一 阅读教材P50 — 51 , 完成课前预习

探 究：问题：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）

分析：封面的长宽之比是27∶21= ，中央的长方形的长宽之比也应是 ，若设中央的长方形的长和宽分别是9acm和 ，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是 .

想一想，怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请你试一试。

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