圆的综合练习（给学生答案版）

圆的综合练习

1、如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A 作直线MN，若∠MAC＝∠ABC。 （1） 求证：MN是半圆的切线。

（2） 设D是弧AC的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，

求证：FD＝FG。

（3） 若△DFG的面积为4.5,且DG＝3,GC＝4,试求△BCG的面积。

1

2、如图已知直线L：y?3x?3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。 4（1）求点A、点B的坐标。

（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，

保留作图痕迹）。

（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函数关系式。

（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线L相切 于点B，若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明 理由。

2

3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC?PC，?COB?2?PCB． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC?1AB； 2（3）点M是?AB的中点，CM交AB于点N，若AB?4，求MN?MC的值．

C

A O N B

M

??A??ACO， 解：（1）?OA?OC，C 又??COB?2?A，?COB?2?PCB， ??A??ACO??PCB． A

O N B 又?AB是⊙O的直径， ??ACO??OCB?90°，

M

??PCB??OCB?90°，即OC⊥CP， 而OC是⊙O的半径，

··································································································· （3分） ?PC是⊙O的切线．

3

P

P

??A??P， （2）?AC?PC，??A??ACO??PCB??P，

又??COB??A??ACO，?CBO??P??PCB，

??COB??CBO，?BC?OC，?BC?（3）连接MA，MB，

1AB． ····················································· （6分） 2?，??ACM??BCM， AB的中点，??AM?BM?点M是?而?ACM??ABM，??BCM??ABM，而?BMN??BMC，

?△MBN∽△MCB，?BMMN2?MC， ，?BM?MN?MCBM?， 又?AB是⊙O的直径，?AM?BM??AMB?90°，AM?BM．

············································· （10分） ?AB?4，?BM?22，?MN?MC?BM2?8． ·

4、如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若?AEC（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明； （2）当AB?10，BC?8时，求BD的长．

E C

F

A 解：（1）直线BD和⊙O相切． O

证明：∵?AEC??ODB，?AEC??ABC， ∴?ABC??ODB．························································ 2分 ∵OD⊥BC，

∴?DBC??ODB?90°． ············································· 3分 ∴?DBC??ABC?90°．

E C 即?DBO?90°． ····························································· 4分

F ∴直线BD和⊙O相切． ··················································· 5分

（2）连接AC． A O

∵AB是直径，

∴?ACB?90°． ······························································ 6分 在Rt△ABC中，AB?10，BC?8， ∴AC???ODB．

D

B

D

B

AB2?BC2?6．

∵直径AB?10，∴OB?5． ····························································································· 7分 由（1），BD和⊙O相切，∴?OBD?90°． ···································································· 8分 ∴?ACB??OBD?90°． 由（1）得?ABC??ODB， ∴△ABC∽△ODB． ········································································································· 9分 ∴

4

ACBC6820?．∴?，解得BD?． ································································· 10分 OBBD5BD35、在Rt△ABC中，?ACB?90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．

A （1）求证：BD?BF；

D （2）若BC?6，AD?4，求⊙O的面积．

E O

解：（1）证明：连结OE． A B C F ?AC切⊙O于E，

D ?OE⊥AC，

，又?ACB?90°即BC⊥AC， E O ?OE∥BC， ······················································ 2分 ??OED??F．

B C F 又OD?OE，??ODE??OED， ??ODE??F，?BD?BF． ························································································ 4分 （2）设⊙O半径为r，由OE∥BC得△AOE∽△ABC．

?AOOEr?4r??，?r2?r?12?0，解之得r1?4，r2??3（舍），即． ········ 7分 ABBC2r?46··········································································································· 8分 ?S⊙O?πr2?16π． ·

6、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知 AB=8，边BC比AD大6, (1)求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、 D、P为顶点的三角形与△BCP相似?若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由。 解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F

在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC－AD=6 ∴DC2=62+82=100，即DC=10 ………1分 设AD=c，则DE=AD=x，EC=BC=x+6 ∴x+(x+6)=10 ∴x=2

∴AD=2，BC=2+6=8 ……………………4分 方法2：连OD、OE、OC，

由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD=DE，CB=CE 设AD=x，则BC=x+6

由射影定理可得：OE2=DE2EC…………………………………………2分 即：x(x+6)=16 解得x1=2, x2=－8（舍去）

∴AD=2， BC=2+6=8 ……………………………………………4分 （2）存在符合条件的P点

设AP=y，则BP=8－y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：

5

① △ADP∽△BCP时，有8ADAP2y∴y=…………6分?，即?5 BCPB88?y

②△ADP∽△BPC时，有ADAP2y∴y=4 ……………7分 ?，即?BPBC8?y8

8或4 ……………………………………8分 5故存在符合条件的点P，此时AP=

?分为三等份，连接MC并7、已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把OA延长交y轴于点D(0，．（6分） 3) （1）求证：△OMD≌△BAO；（2）若直线l：y?kx?b把⊙M的面积分为二等份， 求证：3k?b?0．（4分）

2 1 O M 3 A x y D?0，3? 4 C B ?三等分，∴?1??5?60°， · ·证明：（1）连接BM，∵B、C把OA······························ 1 分

1?5?30°， ········································································ 2 分 21 又∵OA为⊙M直径，∴?ABO?90°，∴AB?OA?OM，?3?60°， ············ 3 分

2∴?1??3，?DOM??ABO?90°， ············································································ 4 分

又∵OM?BM，∴?2???1??3，?在△OMD和△BAO中，?OM?AB， ································································· 5 分

??DOM??ABO.?∴△OMD≌△BAO（ASA） ····························································································· 6 分 （2）若直线l把⊙M的面积分为二等份，

y 则直线l必过圆心M， ············································· 7 分

D?0，3? 3)，?1?60°， ∵D(0，OD3??3， ∴OM?tan60°3∴M(3，··························································· 8 分 0)， ·把 M(3，0)代入y?kx?b得：

6

4 C B 2 1 O M 5 3 A x ························································ 10 分 3k?b?0． ·

8、如图 11，矩形ABCD中，AB?5，AD?3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G． （1）当E是CD的中点时：

①tan?EAB的值为______________； ② 证明：FG是⊙O的切线；

（2）试探究：BE能否与⊙O相切?若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由． E D C

O G

解：（1）①

A F 图11

B

E 6D C ······························································· 2分

5O G ②法一：在矩形ABCD中，AD?BC，

?ADE??BCE，又CE?DE， B A F ∴△ADE≌△BCE， ················································ 3分

得AE?BE，?EAB??EBA，

连OF，则OF?OA， ∴?OAF??OFA， ?OFA??EBA， ∴OF∥EB， ·················································································· 4 分 ∵FG⊥BE， ∴FG⊥OF， ∴FG是⊙O的切线 ································································································· 6分 （法二：提示：连EF，DF，证四边形DFBE是平行四边形．参照法一给分．） （2）法一：若BE能与⊙O相切， ∵AE是⊙O的直径， ∴AE⊥BE，则?DEA??BEC?90°，

又?EBC??BEC?90°， ∴?DEA??EBC，

∴Rt△ADE∽Rt△ECB， ADDE3x??， ∴，设DE?x，则EC?5?x，AD?BC?3，得ECBC5?x3整理得x?5x?9?0． ······································································································· 8 分 ∵b?4ac?25?36??11?0， ∴该方程无实数根．

∴点E不存在，BE不能与⊙O相切． ·········································· 10分 法二： 若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，?AEB?90°，

222设DE?x，则EC?5?x，由勾股定理得：AE?EB?AB，

2222即(9?x)?[(5?x)?9]?25， 整理得x?5x?9?0， ······································· 8分

2∵b?4ac?25?36??11?0， ∴该方程无实数根．

7

2∴点E不存在，BE不能与⊙O相切． ·········································· 10分 （法三：本题可以通过判断以AB为直径的圆与DC是否有交点来求解，参照前一解法给分）

9、问题：（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的

1. 31. 3AE（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的

A

E G O BBCF

D

图1解：（１）证明：过点O作OH⊥AB于点H.

∵等边△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC ，OH⊥AB，OE⊥AC

∴∠B=∠C=60°，∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°， BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG ∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°，∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ 同理：四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＡＨＯＧ

OCD图2∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ≌四边形ＡＨＯＧ ∴S四边形AHOG=S四边形BHOF=S四边形CFOG， 又∵S?ABC?S四边形AHOG+S四边形BHOF+S四边形CFOG=3S四边形CFOG∴S四边形CFOG=S?ABC．

（２）证明：过圆心Ｏ分别作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足为Ｍ、Ｎ. 则有∠OMF=∠ONG=90°，OM=ON，∠MON=∠FOG=120° ∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON，即∠MOF=∠NOG ∴△MOF≌△NOG，∴S四边形CFOG=S四边形CMON=S?ABC ∴若∠DOE保持120°角度不变，当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的

10、如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c． 阅读理解：

（1）如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1

n的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转周（360分之n）．实

360践应用：

（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c，则⊙O自转 周；若AB = l，则⊙O自转 周．在

8

13131. 3阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O在点B处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O在点B处自转 周．

（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=⊙O4的位置，⊙O自转 周．

拓展联想：

（1）如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由． （2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数． ．．B

O1 O1 O O2 O2 O2 O1 O O3 O B n° D A B A D B C A 图13-2 图13-1 C A O4 C

图13-4

图13-3

1c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到2l151解：实践应用（1）2；．；． （2）．

436cl拓展联想（1）∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了周．

c又∵三角形的外角和是360°，

∴在三个顶点处，⊙O自转了

O D 360． ?1（周）

360图13-5

l∴⊙O共自转了（+1）周．

cl（2）+1．

c

?11、如图10，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC?4，?OAC?60．

（1）求∠AOC的度数；

（2）在图10中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；

（3） 如图11，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO?S△CAO时，求动点M所经过的弧长．

9

C C P A O

B

A M 2 O B

图10

图11

．解：（1）∵ 在△ACO中，?OAC?60，OC?OA

∴ △ACO是等边三角形 ∴ ∠AOC?60° ························································ （3分） （2）∵ CP与⊙O相切，OC是半径． ∴ CP⊥OC

∴ ∠P?90°-∠AOC?30° ∴ PO?2CO?8 ·············································· （6分） （3）如图11，（每找出一点并求出弧长得1分）

① 作点C关于直径AB的对称点M1，连结AM1，OM1 ．

C M3 ?4π4?AM1??60?π ∴ ?180?3易得S?M1AO?S?CAO，?AOM1?60?

A M 2 M1 O B ∴ 当点M运动到M1时，S△MAO?S△CAO， 此时点M经过的弧长为

M2 图11

4π． 3② 过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连结AM2，OM2，易得S△M2AO?S△CAO． ∴ ?AOM1??M1OM2??BOM2?60?

AM2?∴?4π84π8??2?π 或 ?AM2??120?π 33180?38π． 3∴ 当点M运动到M2时，S△MAO?S△CAO，此时点M经过的弧长为

③ 过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连结AM3，OM3，易得S△M3AO?S△CAO ∴ ?BOM3?60?，

AM2M3?∴?4π168π16???240?πAMM??2?π 或 23180?33316π． 3∴ 当点M运动到M3时，S△MAO?S△CAO，此时点M经过的弧长为 ④ 当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO?S△CAO， 此时点M经过的弧长为

4π2016π4π20??300?π??π． 或 180?3333

12、如图11，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60o． （1）求⊙O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0?t?2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

10

C E O C F C F B

A O E B

A O B D A 图10（1） 图10（2） 图10（3）

解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知）

∴∠ACB＝90o（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC＝60o（已知） ∴∠BAC＝180o－∠ACB－∠ABC＝ 30o（三角形的内角和等于180o） ∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30o锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O的直径为4cm．

（2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/22AB＝2cm．

∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD＝90o（垂直的定义）

∵∠BAC＝ 30o（已求） ∴∠COD＝2∠BAC＝ 60o（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角

的一半）

∴∠D＝180o－∠COD－∠OCD＝ 30o（三角形的内角和等于180o） ∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30o锐角所对的直角边等于斜边的一半） ∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm） ∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切． （3）根据题意得：BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC 即：（4－2t）：4＝t：2 解得：t＝1

如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA 即：（4－2t）：2＝t：4 解得：t＝1.6

∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．

13、如图，点A、B、C是?O上的三点，AB//OC. （1）求证：AC平分?OAB. （2）过点O作OE?AB于点E，交AC于点P. 若AB?2，

CBEA?AOE?30?，求PE的长．

解：（1）∵AB//OC， ∴?C??BAC；∵OA?OC，∴?C??OAC ∴?BAC??OAC 即AC平分?OAB. （2）∵OE?AB ∴AE?BE?OP1AB?1 又??AOE?30?，?PEA?90?∴?OAE?60?211

∴?EAP?11?OAE?30?， ∴PE?PA，设PE?x，则PA?2x，根据勾股定理得22PE33（或者用tan?EAP?） 即PE的长是.

AE33x2?12?(2x)2，解得x?

13、如图，在平面直角坐标系中，直线l∶y=?2x?8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点

P?0，k?是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

（1）连结PA，若PA?PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

y l l

A O A x

P

B

解：（1）⊙P与x轴相切．……………1分 直线y??2x?8与x轴交于A??4，0?， 与y轴交于B?0，-8?，

（备用图）

l A y O P B P2 第（1）题

第（2）题 l x A C E y O P1 D B y O x ?OA?4，OB?8，

?PB?PA?8?k. 由题意，OP??k，22?k??3， 在Rt△AOP中，k?4??8?k?，2x ?OP等于⊙P的半径，?⊙P与x轴相切.

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD. 当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E.

1333?△PCD为正三角形，?DE?CD?，PD?3，. ?PE?222??AOB??PEB?90°，?ABO??PBE，△?AOB∽△PEB，

33AOPE4315??，?2，?PB?即，……………2分 ABPBPB245?315?315?PO?BO?BP?8?，?P??0，2?8??， 2???k?315?8.……………2分 212

??315P?8?当圆心在线段OB延长线上时，同理可得P?0，-??， 2???k??315?8，……………2分 2315315以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形?8或k???8时，

22? 当k?是正三角形．

0)和点E(0，4)．动点C从点M(5，14、如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3，0)出发，

以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长

度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标； （2）以点C为圆心、

1t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），2y E P O A C B M D x 连接PA、PB．

①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

13

0)，以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于15、如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为(?4，A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2(13，5)为圆心

的圆与x轴相切于点D．

（1）求直线l的解析式；

（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．

14

y l 60° O1 O B O2 D x A C 解：由题意得OA?|?4|?|8|?12，

?A点坐标为(?12，0)．

y l 60° ?在Rt△AOC中，?OAC?60°， OC?OAtan?OAC?12?tan60°?123 ?C点的坐标为(0，································· 1分 ?123)． ·

设直线l的解析式为y?kx?b， 由l过A、C两点，

O1 O3 P O2 x A O B D1 D C ????123?b?b??123得?解得? ???0??12k?b?k??3········································································ 3分 ?直线l的解析式为：y??3x?123． ·

（2）如图，设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，

⊙O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1．

则OO13?O1P?PO3?8?5?13

?O3D1⊥x轴，?O3D1?5，

在Rt△O1O3D1中，O1D1?O1O3?O3D1?13?5?12． ······································· 6分

2222?O1D?OO1?OD?4?13?17， ?D1D?O1D?O1D1?17?12?5，

?t?5?5（秒） ?⊙O2平移的时间为5秒． ································································· 8分 1

16、如图10，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F． （1）求证：CF?BF；

（2）若AD?2，⊙O的半径为3，求BC的长．

15

C D F A O E B

图10

证明：（1） 连结AC，如图10 G ∵C是弧BD的中点

C ∴∠BDC=∠DBC ················································ 1分

D 又∠BDC=∠BAC

F 在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB

∴ ∠BCE=∠BAC B A O E ∠BCE=∠DBC ·············································· 3分 ∴ CF=BF ······················································· 4分 因此，CF=BF．

图10 （2）证法一：作CG⊥AD于点G，

∵C是弧BD的中点

∴ ∠CAG=∠BAC ， 即AC是∠BAD的角平分线． ··········································· 5分 ∴ CE=CG，AE=AG ···························································································· 6分 在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG ， CB=CD ∴Rt△BCE≌Rt△DCG ∴BE=DG ·············································································································· 7分 ∴AE=AB-BE=AG=AD+DG 即 6-BE=2+DG

∴2BE=4，即 BE=2 ··························································································· 8分

又 △BCE∽△BAC

·AB?12 ·∴ BC?BE···················································································· 9分

BC??23（舍去负值）

∴BC?23 ··································································································· 10分 （2）证法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB

∴∠BEF=?ADB?90?， ······························· 5分 在Rt△ADB与Rt△FEB中， ∵?ABD??FBE

2C D F A O E B

ADAB?∴△ADB∽△FEB，则 EFBF26?即， ∴BF?3EF ···················· 6分 EFBF又∵BF?CF， ∴CF?3EF

利用勾股定理得：

图10

······································································ 7分 BE?BF2?EF2?22EF ·又∵△EBC∽△ECA 则

CEBE2?，即则CE?AE?BE ································································ 8分 AECE2∴(CF?EF)?(6?BE)?BE

即(3EF?EF)2?(6?22EF)?22EF

16

∴EF?2 ···································································································· 9分 2········································································ 10分 BE2?CE2?23 ·

∴BC?

17、如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60?，AB与PC交于Q点． （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：

APAQ；（3）若∠ABP = 15?，△ABC?PBQBP A Q O B C 的面积为43，求PC的长．

解：（1） ∵ ∠ABC =∠APC = 60?，∠BAC =∠BPC = 60?，

∴ ∠ACB = 180?－∠ABC－∠BAC = 60?， ∴ △ABC是等边三角形．

（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则 ∠BDP =∠APC = 60?． 又 ∵ ∠AQP =∠BQD，∴ △AQP∽△BQD，

AQAP． ?QBBDP A Q O F C H AQAP?∵ ∠BPD =∠BDP = 60?， ∴ PB = BD． ∴ ． QBPB（3）设正△ABC的高为h，则 h = BC· sin 60?．

B R E 11∵ BC · h = 43， 即BC · BC· sin 60? = 43，解得BC = 4．

22连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．

由△ABC是正三角形知∠BOC = 120?，从而得∠OCE = 30?， ∴ OC?G M N CE4?．

cos30?3由∠ABP = 15? 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75?，于是 ∠POC = 2∠PBC = 150?． ∴ ∠PCO =（180?－150?）÷2 = 15?．

如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM = 15?，则∠RNG = 30?，作GH⊥RN，垂足为H．设GH = 1，则 cos∠GNM = cos15? = MN．

∵ 在Rt△GHN中，NH = GN · cos30?，GH = GN · sin30?．

17

于是 RH = GH，MN = RN · sin45?，∴ cos15? =

2?6． 426． 3在图中，作OF⊥PC于E，∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15? =22?

18、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D． （1）求证：BC＝CD； （2）求证：∠ADE＝∠ABD；

（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．

CDAEO?B 解：（1）∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC． ···················································································· 1分

∵OB是⊙O的半径，∴CB为⊙O的切线． ················ 2分 又∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD； ·························· 3分 （2）∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°．

∴∠ADE＋∠CDB ＝90°． ······································· 4分 又∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°． 由（1）得BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD． ∴∠ADE＝∠ABD；

（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．

∴△ADE∽△ABD． ························································································· 7分 ∴

CDAEO?BADAE＝． ································································································· 8分 ABAD21∴＝，∴BE＝3，················································································ 9分

21?BE∴所求⊙O的直径长为3． ·········································································· 10分

19、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB?AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径R?5，BC?8，求线段AP的长． A P

O

C B

18

解：（1）证明：过点A作AE⊥BC，交BC于点E． ?AB?AC，?AE平分BC．

······································ （2分） ?点O在AE上． ·

又?AP∥BC， ?AE⊥AP．

?AP为⊙O的切线． ································ （4分） （2）?BE?A P O 1C B BC?4，?OE?OB2?BE2?3． E 2 又??AOP??BOE，

?△OBE∽△OPA． ··································································································· （6分） BEOE43???． ． 即APOAAP520?AP?． ················································································································· （8分）

3

20、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE．

(1)当BD=3时，求线段DE的长； (2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．

19

21、如图，Rt△ABC中，?ABC?90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）连接OC交DE于点F，若OF?CF，求tan?ACO的值．

C

D F E 证明：（1）连接OD、OE、BD．

?AB是⊙O的直径，??CDB??ADB?90°， ?E点是BC的中点，?DE?CE?BE． ?OD?OB，OE?OE，△?ODE≌△OBE． ??ODE??OBE?90°，?直线DE是⊙O的切线． （2）作OH⊥AC于点H，

由（1）知，BD⊥AC，EC?EB．

A

O

B

C

D F H A

O

B

1AC． 2??CDF??OEF，?DCF??EOF．

?CF?OF，?△DCF≌△EOF，?DC?OE?AD． ?BA?BC，??A?45°． ?OH⊥AD，?OH?AH?DH．

OH1?CH?3OH，?tan?ACO??．

CH3?OA?OB，?OE∥AC，且OE?E

22、如图9所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动.

（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF＝45°的等腰三角形？若能，请指出△OEF为等腰三角形时动点E，F的位置.若不能，请说明理由. （2）当∠EOF＝45°时，设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围. （3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图10），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论.

A A

E E F F

B

C B

C O 图9

O 图10

20

简析（1）点E，F移动的过程中，△OEF能成为∠EOF＝45°的等腰三角形.此时点E，F的位置分别是：①E是BA的中点，F与A重合.②BE＝CF＝2.③E与A重合，F是AC的中点.（2）在△OEB和△FOC中，∠EOB+∠FOC＝135°，∠EOB+∠OEB＝135°，所以∠FOC＝∠OEB，又因为∠

BEBO1＝.因为BE＝x，CF＝y，OB＝OC＝22?22＝2，COCF22BEOEBEOE所以y＝(1≤x≤2).（3）EF与⊙O相切.因为△OEB∽△FOC，所以＝，所以＝，

xCOOFBOOFBEBO即＝，又因为∠B＝∠EOF＝45°，所以△BEO∽△OEF，所以∠BEO＝∠OEF，所以点OOEOFB＝∠C，所以△OEB∽△FOC，所以

到AB和EF的距离相等.因为AB与⊙O相切，所以点O到EF的距离等于⊙O的半径.所以EF与⊙O相切.

23．如图，已知直线L与⊙O相交于点A，直径AB=6，点P在L?上移动，连结OP交⊙O于点C，连结BC并延长BC交直线L于点D． （1）若AP=4，求线段PC的长；

（2）若△PAO与△BAD相似，求∠APO的度数和四边形OADC的面积．（?答案要求保留根号）

BOCADP

L解：（1）∵L与⊙O相切于点A， ∴∠4=90°，∴OP=OA+AP， ∵OB=OC=

2

2

2

1AB=3，AP=4， ∴OP2=32+42，∴OP=5， ∴PC=5-3=2． 2 （2）∵△PAO∽△BAD，且∠1>∠2，∠4=90°， ∴∠2=∠APO，∴OB=OC，∴∠2=∠3 ∵∠1=∠2+∠3，∴∠2=2∠2=2∠APO ∴∠4=90°，∴∠1+∠APO=90° ∴3∠APO=90°，∴∠APO=30°．

在Rt△BAD中，∠2=∠APO=30°． ∴AD=6sin30°=633=23． 3333，BE=33cos30°=， 22 过点O作OE⊥BC于点E ∵∠2=30°，BO=3， ∴OE= ∴BC=2BE=33，∴S四边形OADC=S△BAD-S△BOC=

1AB2AD 21113915=BC2OE=36323-3333=63-3=2222443 ．

21

4

24、如图2－5－11所示，直线y=－ x+ 4与x 轴、y轴分别交于点M、N．

3（1）求M、N两点的坐标；

124

（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心， 为半径的圆与直线y=－ x+ 4相切，求点P的坐标．

53

22

25、如图所示，点O2是⊙O1上一点，⊙O2与⊙O1相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交⊙O1、⊙O2于B、C两点，延长DO2交⊙O2于E，交BA的延长线于F，BO2交AD于G，连结AG．? （1）求证：∠BGD=∠C；

（2）若∠DO2C=45°，求证：AD=AF；

（3）若BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0?的两个实数根，求BD、BF的长．

解析：（1）∵BC⊥AD于D， ∴∠BDA=∠CDA=90°， ∴AB、AC分别为⊙O1、⊙O2的直径．

∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°， ∴∠BGD=∠C． （2）∵∠DO2C=45°，∴∠ABD=45°，∵O2D=O2C， ∴∠C=∠O2DC=

1（180°-∠DO2C）=67.5°， ∴∠4=22.5°， ∵∠O2DC=∠ABD+∠F， 2 ∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF．

（3）∵BF=6CD，∴设CD=k，则BF=6k． 连结AE，则AE⊥AD，∴AE∥BC， ∴

AEAF? ∴AE2BF=BD2AF． BDBF 又∵在△AO2E和△DO2C中，AO2=DO2 ∠AO2E=∠DO2C， O2E=O2C，

∴△AO2E≌△DO2C，∴AE=CD=k， ∴6k2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）． ∵∠BO2A=90°，O2A=O2C，∴BC=AB． ∴6k2=（BC-k）（6k-BC）．∴BC2-7kBC+12k2=0， 解得：BC=3k或BC=4k． 当BC=3k，BD=2k．

∵BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根． ∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2． 整理，得：4m2-12m+29=0．

∵△=（-12）2-434329=-320<0，此方程无实数根． ∴BC=3k（舍）．

当BC=4k时，BD=3k．

∴3k+6k=4m+2，18k2=4m2+8，整理， 得：m2-8m+16=0， 解得：m1=m2=4，

∴原方程可化为x2-18x+72=0，

解得：x1=6，x2=12， ∴BD=6，BF=12．

23

26、已知矩形ABCD在平面直角坐标系中，顶点A、B、D的坐标分别为A（0，0），B（m，0），D（0， 4）其中m≠0．

⑴ 写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标（用含m的代数式表示） ⑵ 若一次函数y=kx－1的图象l把矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的解析式（用含 m的代数式表示）

⑶ 在⑵的前提下，l又与半径为1的⊙M相切，且点 M（0，1），求此矩形ABCD的中心P点的坐标．

27、两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按如图1所示的位置放置A与C重合，O与E重合.

（1）求如图19中，A，B，D三点的坐标.

（2）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式. （3）当Rt△CED以（2）中的速度和方向运动，运动时间x＝4秒时Rt△CED运动到如图20所示的位置，求经过A，G，C三点的抛物线的解析式．

（4）现有一半径为2，圆心P在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况，若存在请求出P的坐标，若不存在请说明理由.

y (C)y A C A

G D B x (E) O O B D x E

图19 图20

24

y y C A A C

G

G I J

x D O H E B O D H B E x

图21 图22

简析（1）由图形容易求得A(0，6)，B(6，0)，D(－6，0).

（2）当0≤x＜3时，位置如图21所示，作GH⊥DB，垂足为H，可知：OE＝2x，EH＝x，DO＝6－2x，DH＝6－x，所以y＝2S

梯形IOHG

＝2(S△GHD－S△IOD)＝2[

11(6－x)2－(6－2x)2]＝－3x2+12x；当222?1?23≤x≤6时，位置如图22所示，可知：DB＝12－2x，所以y＝S△DGB＝DB???＝2?2??2???3x?12x(0≤x?3),1?2?2

＝x－12x+36.所以y与x之间的函数关系式y＝ (12?2x)?2??2?2??x?12x?36(3≤x≤6).?1（3）如图21中，当x＝4时，OE＝2x＝8，DB＝12－2x＝4，所以GH＝DH＝DB＝2，OH＝6－

21HB＝6－DB＝6－2＝4，所以可知A(0，6)，G(4，2)，C(8，6).所以经过A，G，C三点的抛物线

211的解析式为y＝(x－4)2+2＝x2－2x+6.（4）当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况，

442设P点坐标为(x0，y0). 当⊙P与y轴相切时，有x0＝2，x0＝±2，由x0＝－2，得y0＝11，所以P1(－2，11)，由x0＝2，得y0＝3，所以P2(2，3)，当⊙P与x轴相切时，有y0＝2，因为y＝

1(x－4)2+24＞0，所以y0＝2，得x0＝4，所以P3(4，2)，综上所述，符合条件的圆心P有三个，其坐标分别是：P1(－2，11)，P2(2，3)，P3(4，2).

说明 本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第4小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方.

28、如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（－4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D. （1）求直线l的解析式；

（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O2第一次与⊙O2相切时，直线l也恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度；

（3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙

25

O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结A O2、FG，那么FG2A O2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

解（1）直线l经过点A（－12，0），与y轴交于点（0，－， 123）

设解析式为y＝kx＋b，则b＝－123，k＝－3，所以直线l的解析式为y＝－3x－123. （2）可求得⊙O2第一次与⊙O1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。 在5秒内直线l平移的距离计算：8＋12－所以直线l平移的速度为每秒（6－53＝30－33，

53）个单位。 3FGEG1＝ （其中O2E＝EG）（3）提示：证明Rt△EFG∽Rt△AE O2 于是可得： O2EAO22所以FG2A O2＝1EG2，即其值不变。

2

?29、如图1，已知Rt△ABC中，?CAB?30，BC?5．过点A作AE⊥AB，且AE?15，连

接BE交AC于点P．（1）求PA的长；

（2）以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断BE与⊙A是否相切，并说明理由；

（3）如图2，过点C作CD⊥AE，垂足为D．以点A为圆心，r为半径作⊙A；以点C为圆心，R为半径作⊙C．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使D点在⊙．．A的内部，B点在⊙A的外部，求r和R的变化范围．

E

P C

A B

图1

26

E Ｄ

A P C B 图2

[解]（1）?在Rt△ABC中，?CAB?30，BC?5， ?AC?2BC?10．

?AE∥BC，?△APE∽△CPB． ?PA:PC?AE:BC?3:1． ?PA:AC?3:4，PA?（2）BE与⊙A相切．

?在Rt△ABE中，AB?53，AE?15， ?tan?ABE??3?1015?． 42AE15??3，??ABE?60?． AB53???APB?90， 又??PAB?30，??ABE??PAB?90， ?BE与⊙A相切．

（3）因为AD?5，AB?53，所以r的变化范围为5?r?53．

当⊙A与⊙C外切时，R?r?10，所以R的变化范围为10?53?R?5； 当⊙A与⊙C内切时，R?r?10，所以R的变化范围为15?R?10?53．

30、在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过点A(-2，0)和点B(0，为y????23)，直线l2的函数表达式 334x?3，l1与l2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，设圆心C的横 33坐标是a．过点C作CM⊥x轴，垂足是点M．

(1) 填空：直线l1的函数表达式是 ，交点P的坐标是 ，∠FPB的度数是 ；

(2) 当⊙C和直线l2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出R=32?2时a的值.

(3) 当⊙C和直线l2不相离时，已知⊙C的半径R=32?2，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点)．S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由．

y

l2 C 3

F 2 B 1 P E A

-3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 l1

27

32x?3；P(1，3)；60o 33(2) 设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CD⊥PD．

[解] (1) y?过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则Rt△CDP≌Rt△PGC (∠PCD=∠CPG=30o，CP=PC)， 所以PG=CD=R． 当点C在射线PA上，⊙C和直线l2相切时，同理可证．

取R=32?2时，a=1+R=32?1，或a=-(R-1)?3?32． (3) 当⊙C和直线l2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论： ① 如图乙，当0≤a≤32?1时， S?12334332[?(?a?)]?a??a?3a， 23336y l2 3 2 1 F B P 1 2 C A -3 -2 -1 O -1 l1 3 E 4 x (第24题图甲)

y 当a??32?(?3)6?3时，（满足a≤32?1），S有最大值．此时

l2 3 2 1 F B C P E 4 x 339S最大值??（或）．

23234?(?)6?3A -3 -2 -1 O -1 l1 图2

1 2 3 ② 当3?32≤a＜0时，显然⊙C和直线l2相切即a?3?32时，S最大．此时 S最大值?12334333[?(3?32)?]?3?32?． 2333233 2 综合以上①和②，当a?3或a?3?32时，存在S的最大值，其最大面积为

31、半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC ：CA＝4 : 3，点P在?AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O （1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长； （2）当点P运动?AB到的中点时，求CQ的长；

（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

28

[解] （1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D.

∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=900. ∴AB=5,AC:CA=4:3, ∴BC=4, AC=3.

又∵AC2BC=AB2CD ∴ CD?1224,PC?. 55 在Rt△ACB和Rt△PCQ中，

∠ACB＝∠PCQ=900, ∠CAB＝∠CPQ， Rt△ACB∽Rt△PCQ ∴

ACBCBC?PC432?,CQ??PC?. PCCQAC35（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E

（如图）.

∵P是弧AB的中点，

∴?PCB?45,CE?BE?02BC?22 24 3又∠CPB=∠CAB ∴∠CPB= tan∠CAB=

∴PE?BE33272 ?BE?,而从PC?PE?EC?tan?CPB4224142PC?. 33BC?PC4?PC. AC320 3由（l）得，CQ?（3）点P在弧AB上运动时，恒有CQ?故PC最大时，CQ取到最大值． 当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ 最大值为

2)，以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x轴于另一点B，过点2B作BF∥AE交?A于点F，直线FE交x轴于点C． （1）求证：直线FC是?A的切线；

（2）求点C的坐标及直线FC的解析式；

（3）有一个半径与?A的半径相等，且圆心在x轴上运动的?P．若?P与直线FC相交于M，N两，，0)E(0，?32、如图，已知A(?1点，是否存在这样的点P，使△PMN是直角三角形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明

y 理由．

B A

O C

E F

29

x [解] （1）证明：连结AF ?AE∥BF??1??3，?4??2 又?AB?AF??3??4??1??2

又?AO?AF，AE?AE?△AOE≌△AFE??AFE??AOE?90??FC是?O的切线． （2）方法①由（1）知EF?OE?2 2?AE∥BF，?22ACCEOC?1CECO?，?CE? ① ???221ABEF222?2?2又?OE2?OC2?CE2，?CE2?? ②

?2???CO??由①②解得OC?0（舍去）或OC?2， ?2?0)两点 ，C(2，0，??直线FC经过E????2??设FC的解析式：y?kx?b ?2?2k?b?0k????4 ??2解得??b???b??2?2??2?直线FC的解析式为y?22x?． 42方法②：?CF切?A于点F，??AFC??EOC?90?

OECO又?ACF??OCE，?△COE∽△CFA，? ?AFCF2?2?1COCE?22 即CE?2CO?2 ① 22?2?2又OE2?OC2?CE2，?CE2?? ② ?CO??2???由①②解得CO?0（舍去）或CO?2

?C(2，0) （求FC的解析式同上）． 方法③?AE∥BF，??OC?1CE ?12222CO? ① 2230

ACCE ?ABEF?CE?

?FC切?A于点F，??AFC??COE?90? ??ACE??OCE，?△COE∽△CFA

2OECO，?2???1AFCFCO2CE?2 2 ② 2由①②解得：CO?2， ?CE?2CO?（求FC的解析式同上）． （3）存在；

当点P在点C左侧时，若?MPN?90?，过点P作PH?MN于点H， ??MPN?90?，PM?PN，?PH?PM?cos45???AF?FC，?PH∥AF，?△CPH∽△CAF

2 22CPPHCP，?2? ??13AFCA?CP??323232??2，?P?2?，?PO?，0??? 222???P?N??90，过点P?作P?Q⊥M?N?于点Q，则P?Q?当点P在点C右侧P?时，设?M??P?Q?PH，可知P?与P关于点C中心对称，根据对称性得

?OP??OC?CP??2?32 22 2y

?32??P??2?，0??? 2??N?

M?

B

3

?存在这样的点P，使得△PMN为直角?32?三角形，P点坐标?2?，0???或2???32?2?，0????． 2??A

4

1

2

P O H E

Q

N

C

P?

x

F M

31

33、已知：∠MAN?60，点B在射线AM上，AB?4（如图1）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心．

（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；

（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP?x，

?AC?AO?y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）若点D在射线AN上，AD?2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆IA 相切时，请直接写出点A与点O的距离．

P

B

O

Q M

图10

解析：（1）证明：如图3，连结OB，OP，

A P B O N M Q 备用图2

N

360??120?． ?O是等边三角形BPQ的外心，?OB?OP，圆心角?BOP?3 当OB不垂直于AM时，作OH?AM，OT?AN，垂足分别为H，T． 由?HOT??A??AHO??ATO?360，且?A?60， ?AHO??ATO?90，??HOT?120．

????BOH??P．O ??tBOH≌R△tP．O T ?R△T?点O在?MAN的平分线上． ?OH?O．

?? 当OB?AM时，?APO?360??A??BOP??OBA?90．

即OP?AN，?点O在?MAN的平分线上．

综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在?MAN的平分线上．

A A P T H B C B P O O Q M

图3

N

Q M

图4

N

（2）解：如图4，

?? ?AO平分?MAN，且?MAN?60，??BAO??PAO?30．

32

由（1）知，OB?OP，?BOP?120， ??CBO?30，??CBO??PAC．

????P，C??AOB??APC．?△ABO∽△ACP． ??BCO ?ABAAC?A．OP?AC?AO?AB?AP．?y?4x． 定义域为：x?0．

（3）解：①如图5，当BP与圆I相切时，AO?23； ②如图6，当BP与圆I相切时，AO?433； ③如图7，当BQ与圆I相切时，AO?0．

A P(A) I (DP) I D B O B O Q Q M N

M

N

图5

图6

33

P (A) O QI D B N M

图7

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