【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用

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专项强化训练(二)

三角函数与平面向量的综合应用

一、选择题

1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,则

tanθ=( ) A. B.

C.- D.-

),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,

【解析】选B.因为a∥b, 所以sinθ-即sinθ=

cosθ=0, cosθ.故tanθ=

.

2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),

n=(cos2B,2cos2-1),且m∥n,则锐角B的值为 ( ) A. B. C. D. 【解题提示】根据m∥n,转化为B的三角函数值后求解. 【解析】选D.因为m∥n, 所以2sinB(2cos2-1)=-所以sin2B=-cos2B,

.

cos2B,即tan2B=-

又因为B为锐角,所以2B∈(0,π).

所以2B=,所以B=.

3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a与b一定满足( )

A.a与b的夹角等于α-β B.a⊥b

C.a∥b D.(a+b)⊥(a-b)

【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.

【解析】选D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β). 同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系. 因为计算得到(a+b)·(a-b)=0, 所以(a+b)⊥(a-b). 故选D. 4.已知a

=值范围 是( )

A.(0,1) B.(0,1] C.(0,【解析】选C.因为a-b=所以|a-b|===

=

,

,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取

) D.(0,

,

]

因为θ∈(0,π),所以∈故|a-b|∈(0,

).

,cos∈(0,1).

5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,A.

·

=-2且a+b=5,则c等于( ) C.4 D.

·

B.

【解题提示】由已知cosC=,=-2,利用数量积公式得到ab=8,

再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c. 【解析】选A.由已知cosC=,

·

=-2,

得b·a·cos(π-C)=-2 b·a·cosC=2, 所以ab=8,

利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5. 所以c=故选A. 二、填空题

6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是 .

【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解. 【解析】由m∥n可得,b=2ccosA. 由正弦定理可得sinB=2sinCcosA, 即sin(A+C)=2sinCcosA.

.

从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA, 故sinAcosC-cosAsinC=0. 即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π, 所以A-C=0,即A=C. 由m⊥p可得c-2bcosA=0, 从而sinC-2sinBcosA=0, 故sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B. 所以A=B=C.

故三角形为等边三角形. 答案:等边三角形

7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量为α,则sinα的值为 . 【解析】设向量β=,

cosβ

=-,sinα=sin(π-α

)=sin

-答案:

×=

.

=sinβ

-cosβ

=

×

与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+=,且有sin

的夹角

8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

2cos2cosB-sin(A-B)sinB+

,b=5,则

在

方向上的投影为 .

cos(A+C)=-,若a=4

【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解. 【解析】由2cos2

cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-,得

[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-, 即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-. 则cos(A-B+B)=-, 即cosA=-.

由0<A<π,得sinA=, 由正弦定理,有

所以,sinB=

==.

,

由题知a>b,则A>B,故B=, 根据余弦定理,有(4

)2=52+c2-2×5c×

,

解得c=1或c=-7(舍去). 故向量答案: 三、解答题

9.(2015·晋中模拟)已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1). (1)若(a+b)⊥(a-b),求cos2x的值. (2)若a∥b,求cos2x-sin2x的值. 【解析】(1)因为(a+b)⊥(a-b),

在

方向上的投影为|

|cosB=.

a+b=(sin x+cos x,-), a-b=(sin x-cos x,),

所以(a+b)·(a-b)=sin2x-cos2x-=0, 即cos2x=-. (2)因为a∥b, 所以-sin x-cos x=0, 即tan x=-, 所以cos2x-sin2x=

=

=.

=

10.已知向量a=（

sin(x+f(x)=m(a·b+

),sin x）,b=(cos x,-sin x),函数

sin2x),m为正实数.

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.

(2)将函数f(x)的图象的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的两倍,然后再向右平移个单位得到y=g(x)的图象,试探讨:当x∈[0,π]时,函数y=g(x)与y=1的图象的交点个数. 【解析】(1)f(x)=m(a·b+=m[sin(x+)cos x-sin2x+=m(cos2x-sin2x+=2msin(2x+).

由m>0知,函数f(x)的最小正周期T=π.

sin2x) sin2x]

sin2x)

又2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).

所以函数的递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z). (2)将函数f(x)的图象横坐标扩大到原来的两倍, 得y=2msin(x+), 再向右平移个单位, 得y=2msin[(x-)+], 所以:g(x)=2msin x.

由0≤x≤π及m>0得0≤g(x)≤2m, 所以当0<m<时,y=g(x)与y=1无交点. 当m=时,y=g(x)与y=1有唯一公共点, 当m>时,y=g(x)与y=1有两个公共点.

11.(2015·保定模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-),且m⊥n. (1)求A的大小.

(2)现给出下列四个条件:①a=1;②b=2sinB;③

2c-(

+1)b=0;④

B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC的面积.

【解析】(1)因为m⊥n, 所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,

即cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-, 因为A+B+C=180°,

所以cos(B+C)=-cosA, 所以cosA=,又0°<A<180°, 所以A=30°.

(2)选择①③可确定△ABC. 因为A=30°,a=1,2c-(由余弦定理12=b2+整理得b2=2,b=

,c=

+1)b=0, -2b·. ×

×

bcos30°,

所以S△ABC=bcsinA=×=

.

【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC. 因为A=30°,a=1,B=45°, 所以C=105°.

因为sin105°=sin(60°+45°) =sin60°cos45°+cos60°sin45°=由正弦定理

得b=

=

==, ,

×

=

. ,

所以S△ABC=absinC=×1×

12.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中0<α<x<π.

(1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值. (2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2α的值. 【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),

c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα), α=,所以f(x)=b·c

=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα =2sinxcosx+令t=sinx+cosx

则2sinxcosx=t2-1,且-1<t<则y=t2+-1<t<

t-1=,

-,

(sinx+cosx).

, .

所以t=-时,ymin=-, 此时sinx+cosx=-, 即

sin

=-,

因为<x<π,所以<x+<π, 所以x+

=π,所以x=

.

所以函数f(x)的最小值为-, 相应x的值为

.

(2)因为a与b的夹角为, 所以cos=

=cos(x-α).

因为0<α<x<π,所以0<x-α<π,

=cosαcosx+sinαsinx

所以x-α=.

因为a⊥c,所以cosα(sinx+2sinα)+sinα(cosx+2cosα)=0, 所以sin(x+α)+2sin2α=0, 即sin

+2sin2α=0.

所以sin2α+cos2α=0, 所以tan2α=-.

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