广西贺州高中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)

广西贺州高中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．复数 A．+i

的值是( )

B．

+

i

C．+i

D．+i

考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则、共轭复数即可得出．

解答： 解：原式=====．

故选：B．

点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数，属于基础题．

2．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞） 上单调递减的函数是( ) A．y=x

﹣2

B．y=x

﹣1

C．y=x

2

D．

考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 专题：计算题． 分析：根据幂函数奇偶性与单调性与指数部分的关系，我们逐一分析四个答案中幂函数的性质，即可得到答案．

解答： 解：函数y=x，既是偶函数，在区间（0，+∞） 上单调递减，故A正确；

﹣1

函数y=x，是奇函数，在区间（0，+∞） 上单调递减，故B错误；

2

函数y=x，是偶函数，但在区间（0，+∞） 上单调递增，故C错误； 函数

，是奇函数，在区间（0，+∞） 上单调递增，故D错误；

﹣2

故选A．

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，其中指数部分也幂函数性质的关系是解答本题的关键．

3．某算法的程序框图如图所示，则输出S的值是( )

A．6 B．24 C．120 D．840

考点：程序框图．

专题：操作型；算法和程序框图．

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S=2×3×4×5值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案． 解答： 解：执行循环体前，S=1，i=1

第一次执行循环体后，i=2，S=1×2，不满足退出循环的条件 第二次执行循环体后，i=3，S=1×2×3，不满足退出循环的条件 第三次执行循环体后， i=4，S=1×2×3×4，不满足退出循环的条件 第四次执行循环体后，i=5，S=1×2×3×4×5，满足退出循环的条件 此时S=120

故输出结果为：120 故选C

点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

4．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的( ) A．充分非必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定． 专题：计算题．

分析：根据题意，解|x+1|＞2可以求出p为真的解集，从而得到?p，由q可得?q为x＜2，进而能够判断出?p是?q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案． 解答： 解：根据题意，|x+1|＞2?x＜﹣3或x＞1， 则￢p：﹣3≤x≤1，

又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2， 所以￢p是￢q的充分不必要条件； 故选A．

点评：本题考查充分、必要条件的判断，解题的关键是利用补集的思想，并且根据充要条件的判断可以转化为两个集合之间的关系． 5．设a=

，b=

，c=log3，则a，b，c的大小关系是( )

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a

考点：对数值大小的比较． 专题：计算题．

分析：可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可．

解答： 解：由对数的运算法则，a=log32＞c；排除A和C． 因为b=log23﹣1，c=log34﹣1=

，

因为（log23）＞2，所以log23＞

2

，所以b＞c，排除D

故选B．

点评：本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力．

6．下列命题中，真命题是( )

A．?x∈R，使得sinx+cosx=2 B．?x∈（0，π），有sinx＞cosx C．?x∈R，使得x+x=﹣2 D．?x∈（0，+∞），有e＞1+x

考点：全称命题；特称命题． 专题：证明题．

分析：利用辅助角公式，可将sinx+cosx化这正切型函数的形式，进而根据正弦函数的值域，判断A的真假；利用正弦函数和余弦函数的图象和性质，举出反例，可以判断B的真假；根

2x

据一元二次方程根的个数判定方法，可以判断C的真假；构造函数f（x）=e﹣x﹣1，利用导数法，可以函数出函数的在区间（0，+∞）上的单调性，进而判断出D的真假，得到答案． 解答： 解：∵sinx+cosx=当x=

sin（x+

）∈，2?，故A“?x∈R，使得sinx+cosx=2”不正确；

x

时，sinx＜cosx，故B“?x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正确；

2

2

∵方程x+x=﹣2无解，故C“?x∈R，使得x+x=﹣2”，不正确； xxx

令f（x）=e﹣x﹣1，则f′（x）=e﹣1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=e﹣x﹣1在区间（0，+∞）上为增函数，

xx

又∵f（0）=e﹣x﹣1=0，∴D“?x∈（0，+∞），有e＞1+x”正确； 故选D

点评：本题考查的知识点是全称命题，特称命题，三角函数的图象和性质，一元二次方程根的个数判定，函数恒成立问题，要判断一个全称命题错误，只要举出一个反例即可，而要想说明一个特称命题为真命题，只要举出一个正例即可．

7．函数

的图象是( )

A． B． C．

D．

考点：函数的图象． 专题：数形结合．

分析：本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．

解答： 解：函数可化为：

当x＞0时，y=1+x；它的图象是一条过点（0，1）的射线； 当x＜0时，y=﹣1+x．它的图象是一条过点（0，﹣1）的射线； 对照选项， 故选D．

点评：本小题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

8．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )

A． B． C． D．

考点：简单空间图形的三视图． 专题：作图题．

分析：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图． 解答： 解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， ∴侧视图是一个中间有分界线的三角形， 故选D． 点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．

9．已知函数

若f（x0）＞3，则x0的取值范围是( )

A．x0＞8 B．x0＜0或x0＞8 C．0＜x0＜8 D．x0＜0或0＜x0＜8

考点：对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点． 专题：计算题；压轴题；分类讨论．

分析：通过对函数f（x）在不同范围内的解析式，得关于x0的不等式，从而可解得x0的取值范围．

解答： 解：①当x≤0时，f（x0）=

＞3，

∴x0+1＞1，

∴x0＞0 这与x≤0相矛盾， ∴x∈?．

②当x＞0时，f（x0）=log2x0＞3， ∴x0＞8 综上：x0＞8 故选A．

点评：本题主要考查对数函数的单调性，及分段函数，在解不等式时注意分类讨论，是个基础题．

10．已知：f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=x+2，则f（7）=( ) A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1

考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的值． 专题：计算题．

分析：由已知中f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+4）=f（x），我们可得f（7）=f（3）=f（﹣1）=﹣f（1），再由当x∈（0，2）时，f（x）=x+2，求出f（1）的值，即可得到答案． 解答： 解：∵f（x+4）=f（x）， ∴函数是的4为周期的周期函数 ∴f（7）=f（3）=f（﹣1） 又∵f（x）是R上的奇函数， ∴f（﹣1）=﹣f（1）

又∵x∈（0，2）时，f（x）=x+2，

∴f（1）=1+2=3 故f（7）=﹣3 故选B

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数的值，其中利用奇函数的性质及周期函数的性质，将所求的f（7）的值，转化为求出f（1）的值，是解答本题的关键．

11．已知方程|x|=ax+1有一负根且无正根，则实数a的取值范围是( ) A．a＞﹣1 B．a=1 C．a≥1 D．a≤1

考点：函数的零点与方程根的关系． 专题：函数的性质及应用．

分析：法一：由已知方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，可得出x＜0，去掉绝对值符号即可解题．

法二：构造函数y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a的范围． 解答： 解：法一：如果x＜0，|x|=﹣x，

﹣x=ax+1，x=﹣a＞﹣1；

＜0，a+1＞0，

如果x＞0，|x|=x，x=ax+1，x=＞0，1﹣a＞0，

a＜1．

因为没有正根， 所以a＜1不成立． 所以a≥1．

法二：令y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象， 方程|x|=ax+1有一个负根， 但没有正根，由图象可知 a≥1

故选C．

点评：题考查了含绝对值符号的一元一次方程、根的存在性及根的个数判断，难度适中，法一关键是根据已知条件列出关于a的不等式．法二关键是数形结合．

12．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为( ) A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞）

考点：其他不等式的解法． 专题：压轴题；函数思想．

分析：把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集． 解答： 解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4）， 则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，

又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0， 即F（x）在R上单调递增，

则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞）， 即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）． 故选B

点评：此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）

13．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，?UB={1，2，4}，则A∩B={3，5}．

考点：交、并、补集的混合运算． 专题：计算题．

分析：先利用补集的补集性质B=?U（?UB）求出B，再计算A∩B即可．

解答： 解：根据补集的定义可知，B∩（?UB）=?，B∪（?UB）=U，B=?U（?UB） ∵全集U={1，2，3，4，5，6}，?UB={1，2，4}， ∴B={3，5，6}，

又集合A={1，3，5}， ∴A∩B={3，5}． 故答案为：{3，5}．

点评：本题考查了集合的补集、交集运算，属于基础题．

14．命题“?x∈R，2x﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．

考点：命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．

2

分析：根据题意，原命题的否定“?x∈R，2x﹣3ax+9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．

2

解答： 解：原命题的否定为“?x∈R，2x﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，

2

只需△=9a﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2． 故答案为：

2

点评：存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．

15．在区间上任取一个数x，使得不等式x﹣3x+2＞0成立的概率为．

考点：几何概型． 专题：计算题．

2

分析：根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由不等式x﹣3x+2＞0，则必须有x＜1或x＞2，并求出构成的区域长度，再求出在区间上任取一个数x构成的区域长度，再求两长度的比值．

2

解答： 解：不等式x﹣3x+2＞0， 则有x＜1或x＞2，，

2

即不等式x﹣3x+2＞0，且x∈，则构成的区域长度为：2， 在区间上任取一个数x构成的区域长度为3， 使得不等式x﹣3x+2＞0成立的概率为； 故答案为：．

点评：本题主要考查概率的建模和解模能力，本题是长度类型，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值．

16．在R上定义运算△：x△y=x（1﹣y） 若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是

．

2

2

考点：函数恒成立问题． 专题：计算题．

分析：利用新定义的运算△：x△y=x（1﹣y），将不等式转化为二次不等式，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方，从而有△＜0，解△＜0即可． 解答： 解：根据运算法则得（x﹣a）△（x+a）=（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1

22

化简得x﹣x﹣a+a+1＞0在R上恒成立，即△＜0，

解得a∈故答案为

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查了函数恒成立问题，题目比较新颖，关键是理解定义了新的运算，掌握恒成立问题的处理策略，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c在R上单调递减；q：函数f（x）=x﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

x

2

考点：复合命题的真假．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：由函数y=c在R上单调递减，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，知q：0＜c≤，￢q：c＞且c≠1．由“p或q”为真，“p且q”为假，知p真q假，或p假q真，由此能求出实数c的取值范围． 解答： 解∵函数y=c在R上单调递减，∴0＜c＜1． 即p：0＜c＜1，

∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．

又∵f（x）=x﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤． 即q：0＜c≤，

∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1． 又∵“p或q”为真，“p且q”为假， ∴p真q假，或p假q真．

①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c综上所述，实数c的取值范围是{c|

}=?． }．

}．

2

x

x2

点评：本题考查复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二次函数的性质的灵活运用．

18．已知向量=（sinA，cosA），=（1，﹣2）且⊥．

（1）求tanA的值；

（2）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域．

考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；三角函数的最值． 专题：三角函数的求值．

分析：（1）⊥故有∵?=sinA﹣2cosA=0可解得tanA的值；

（2）由二倍角的余弦将函数f（x）化简，由三角函数的最值即可求函数f（x）的值域． 解答： 解：（1）∵?=sinA﹣2cosA=0 ∴tanA=2

（2）f（x）=cos2x+2sinx

2

=1﹣2sinx+2sinx =

∵﹣1≤sinx≤1 ∴当

时，f（x）有最大值；

当sinx=﹣1时，f（x）有最小值﹣3． 所以f（x）的值域是

．

点评：本题主要考察平面向量数量积的运算、三角函数的最值，属于基础题．

19．设a∈R，且a≠2，函数f（x）=lg

是奇函数．

（1）求函数f（x）的定义域； （2）讨论函数f（x）的单调性．

考点：复合函数的单调性；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．

专题：函数的性质及应用． 分析：（1）根据函数奇偶性的定义建立条件关系求出a，然后根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；

（2）利用复合函数单调性之间的关系即可判断函数f（x）的单调性．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=lg即lg

=﹣lg

，得lg，得

=lg

是奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x）…

，所以a=﹣2… ＜x＜，

所以f（x）=lg＞0，解得，）…

即函数f（x）的定义域为（

（2）令，则…

则u'（x）＜0在（，）上恒成立，所以u（x）在（，）上为单调减函数，

又y=lgu在（0，+∞）上为增函数… 所以f（x）=lg

在（

，）为单调减函数．…

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．

20．一工厂生产甲，乙，丙三种样式的杯子，每种样式均有500ml和700ml两种型号，某天的产量如右表（单位：个）：按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个，其中有甲样式杯子25个． 型号 甲样式 乙样式 丙样式 500ml 2000 z 3000 700ml 3000 4500 5000

（1）求z的值；

（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500mL杯子的概率．

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；用样本的频率分布估计总体分布． 专题：方程思想． 分析：（1）根据分层抽样的规则计算出总体容量，即可算得z值．

（2）算出两种杯子在样本中的数量，用列举法列举出所有的基本事件及事件所包含的基本事件数，由公式求出概率即可． 解答： 解：（1）．设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个，在丙样式的杯子中抽取x个，由题意得，

，所以x=40．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

则100﹣40﹣25=35，所以，

，n=7000，

故z=2500﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2）设所抽样本中有m个500ml杯子，

因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本， 所以

，解得m=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

也就是抽取了2个500ml杯子，3个700ml杯子，

分别记作S1，S2；B1，B2，B3，则从中任取2个的所有基本事件为 （S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（ （S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）

共10个，其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件：

（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（ （S1，S2），所以从中任取2个，

至少有1个500ml杯子的概率为

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

点评：本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的重点是列举出基本事件的个数及事件包含的基本事件数，列举时要做到不重不漏．

21．已知函数f（x）=ax+bx+cx+d，（x∈R）在任意一点（x0，f（x））处的切线的斜率为k=（x0﹣2）（x0+1）．

（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）若y=f（x）在﹣3≤x≤2上的最小值为，求y=f（x）在R上的极大值．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题．

32

分析：（1）由f′（x）=3ax+2bx+c和f（x）在（x0，f（x0））处的切线斜率k=（x0﹣2）（x0+1），能求出求a，b，c的值．

2

（2）由f′（x）=x﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），能求出函数f（x）的单调区间． （3）由f′（x）=（x﹣2）（x+1）及﹣3≤x≤2，列表能求出函数f（x）在R上的极大值．

2

解答： 解：（1）f′（x）=3ax+2bx+c，

2

而f（x）在（x0，f（x0））处的切线斜率k=f′（x0）=3ax0+2bx0+c=（x0﹣2）（x0+1）， ∴3a=1，2b=﹣1，c=﹣2， ∴a=，b=﹣，c=﹣2． （2）∵f（x）=

2

2

，

由f′（x）=x﹣x﹣2 =（x﹣2）（x+1）≥0，

知f（x）在（﹣∞，﹣1]和上为减函数． （3）由f′（x）=（x﹣2）（x+1）及﹣3≤x≤2，可列表 x f′（x） + 0 ﹣ f（x） ↑ 极大值 ↓

f（x）在上的最小值产生于f（﹣3）和f（2）， 由f（﹣3）=﹣

，f（2）=

，

知f（﹣3）＜f（2）， 于是f（﹣3）=﹣则d=10．

∴f（x）max=f（﹣1）=

，

．

，

即所求函数f（x）在R上的极大值为

点评：本题考查函数的切线方程、单调区间和极值，综合性强，难度大，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．

选修4-5：不等式选讲

22．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣2| （1）求不等式f（x）＞5的解集；

2

（2）若?x∈R，是f（x）≤t﹣2t有解，求实数t的取值范围．

考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（1）通过求解分段函数，分别求不等式f（x）＞5的解集即可；

2

（2）利用绝对值的几何意义求出，函数的最小值，转化f（x）≤t﹣2t为二次不等式，即可求实数t的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

当x＜﹣1，﹣2x+1＞5，x＜﹣2， ∴x＜﹣2

当﹣1≤x≤2，3＞5，∴x∈?

当x＞2，2x﹣1＞5，x＞3，∴x＞3 综上所述 {x|x＜﹣2或x＞3}．…

（2）函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，函数的几何意义是数轴上的点到﹣1和3的距离之和， 易得f（x）min=3，若?x∈R，使f（x）≤t﹣2t有解， 则只需

，解得{t|t≤﹣1或t≥3}．…

2

点评：本题考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gbeg.html