MATLAB数学建模1三角函数的计算和曲线族的画法

三角函数的计算和公式的作图

[问题1.1]三角函数的计算 求证：三角函数

1cos3??(3cos??cos3?)

4用MATLAB的符号计算验证，再用曲线验证。

[解析]利用三角公式可得

cos3θ = cos2θcosθ =

11(1?cos2?)cos??(cos??cos2?cos?) 22111?[cos??(cos??cos3?)]?(3cos??cos3?) 224证毕。

[程序]MATH1_1.m

%三角函数的计算和验证

clear %清除变量 theta=-180:5:180; %角度向量 th=theta*pi/180; %化为弧度数 figure %开创图形窗口

plot(theta,cos(th).^3,theta,(3*cos(th)+cos(3*th))/4,'.')%画线和点

syms x %定义符号变量 y=1/4*cos(3*x)+3/4*cos(x) %三角函数的展开式 expand(y) %展开三角函数 y=cos(x)^3 %三角函数 simple(y) %展开三角函数

M1图

练习：验证

1sin3??(3sin??sin3?)

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[问题1.2] 曲线族的画法

根据麦克斯韦速率分布率律，求最概然速率？氧气分子在300K到600K温度区间(温度间隔为100K)，速率分布曲线有什么异同？最概然速率是多少？氢气、氦气、氖气、氮气、氧气和氟气分子的分子量分别为2、4、20、28、32和38，这些气体分子在300K时的速率分布曲线有什么异同？最概然速率是多少？

[解析]麦克斯韦速率分布函数为

m3/22mv2f(v)?4π()vexp(?) (1.2.1)

2πkT2kT其中，k = 1.38×10-23J/K是玻尔兹兹常数，m是分子质量，v是分子速率。

当v = 0时，f(v) = 0；当v→∞时，f(v)→0。由于f(v)不小于零，因此f(v)必有极大值。令df(v)/dv = 0，即

df(v)m3/2mv22?m2v?4π()(2v?v)exp(?)?0 dv2πkT2kT2kT可得

vp?2kT (1.2.2) m这个速率称为最概然速率。在相同的速率间隔之内，最概然速率附近的分子数最多。分子向着各个方向运动时，在很大或很小的速率附近，分子数都很少。分布函数的极大值为

f(vp)?4 (1.2.3)

eπvp温度越高或分子质量越小，最概然速率就越大，分布函数的极大值就越小。

质量一定的分子，温度是参数，麦克斯韦速率分布的函数曲线会随参数不同而有所改变；在温度一定的情况下，不同分子的质量是参数，函数曲线会随参数而有所改变。

[算法]将麦克斯韦速率分布函数定义为速率、质量和温度的内线函数。

在质量一定的情况下，取温度为参数向量，取速率为自变量向量，化为矩阵，计算分布函数，用矩阵画线法画以温度为参数的速率分布曲线族。

在温度一定的情况下，取质量为参数向量，取速率为自变量向量，化为矩阵，计算分布函数，用矩阵画线法画以质量为参数的速率分布曲线族。

用内线函数还能计算峰值坐标，画峰值杆图和峰值线。 [程序]MATH1.2.m如下。

%麦克斯韦速率分布律

clear %清除变量

f=inline('4*pi*(m/2/pi/1.38E-23./T).^1.5.*v.^2.*exp(-m.*v.^2/2/1.38E-23./T)',... 'v','T','m'); %内线函数 k=1.38E-23; %玻尔兹曼常数 u=1.66E-27; %原子质量单位 m=32*u; %氧分子质量 t=(3:6)*100; %热力学温度向量 l=length(t); %向量长度 v=0:20:1600; %速率向量

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[T,V]=meshgrid(t,v); %温度和速率矩阵 F=f(V,T,m); %速率分布函数矩阵 figure %创建图形窗口 plot(v,F,'LineWidth',2) %画曲线族 grid on %加网格

h=legend([repmat('\\itT\\rm=',l,1),num2str(t'),repmat('K',l,1)]);%图例取句柄 fs=16; %字体大小 set(h,'FontSize',fs) %放大图例

title('温度不同的麦克斯韦速率分布曲线的比较','FontSize',fs)%标题 xlabel('速率\\itv\\rm/m\\cdots^-^1','FontSize',fs)%横坐标

ylabel('速率分布函数\\itf\\rm(\\itv\\rm)/s\\cdotm^-^1','FontSize',fs)%纵坐标 text(0,max(F(:)),'氧气O_2:32u','FontSize',fs)%显示文本 vp=sqrt(2*k*t/m); %最概然速率向量 fp=f(vp,t,m); %峰值函数 hold on %保持图像 stem(vp,fp,'--','filled') %画直杆图 text(vp,fp,num2str(vp',4),'FontSize',fs)%显示最概然速率 t=250:1000; %温度向量 vp=sqrt(2*k*t/m); %最概然速率向量 fp=f(vp,t,m); %峰值函数 plot(vp,fp,'LineWidth',2) %画峰值曲线

m=[2,4,20,28,32,38]*u; %分子量向量 l=length(m); %向量长度 n='氢氦氖氮氧氟'; %气体分子名 t=300; %热力学温度 [M,V]=meshgrid(m,v); %质量和速率矩阵 F=f(V,t,M); %速率分布函数矩阵 figure %创建图形窗口 plot(v,F,'LineWidth',2) %画曲线族 grid on %加网格

h=legend([n',repmat('气:',l,1),num2str(m'/u)]);%图例取句柄 set(h,'FontSize',fs) %放大图例

title('分子质量不同的麦克斯韦速率分布曲线的比较','FontSize',fs)%标题 xlabel('速率\\itv\\rm/m\\cdots^-^1','FontSize',fs)%横坐标

ylabel('速率分布函数\\itf\\rm(\\itv\\rm)/s\\cdotm^-^1','FontSize',fs)%纵坐标 vp=sqrt(2*k*t./m); %最概然速率向量 fp=f(vp,t,m); %峰值函数 hold on %保持图像 stem(vp,fp,'--','filled') %画直杆图 text(vp,fp,num2str(vp',4),'FontSize',fs)%显示最概然速率 m=(2:45)*u; %质量向量 vp=sqrt(2*k*t./m); %最概然速率向量 fp=f(vp,t,m); %峰值函数

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plot(vp,fp,'--','LineWidth',2) %画峰值曲线

text(0,max(F(:)),['\\itT\\rm = ',num2str(t),'K'],'FontSize',fs)%显示文本

M1.2a图 M1.2b图

[图示](1)如M1.2a图所示，氧气分子在300K时的最概然速率约为395m/s，在600K时的最概然速率约为558m/s。对于分子质量一定的气体，温度升高则峰值降低，说明：在相同的速率间隔内，向着各个方向运动的速率小的分子数量减少了，速率大的分子数量增加了，分子运动得更剧烈了。

(2)如M1.2b图所示，氢气分子的分子量是2，是氧气分子质量的1/16，在300K的温度下，最概然速率是氧气分子的4倍，达到1579m/s。氟气分子的分子量是38，在相同的温度下的最概然速率只有362m/s。当气体温度一定时，质量较小的分子的速率分布曲线的峰值较低，说明：在相同的速率间隔内，向着各个方向运动的速率大的分子数量比较多，速率小的分子数量比较少。地球的逃逸速率约为1120m/s，由于氢气分子速率分布较宽，很多氢气分子的速率超过逃逸速度，能够脱离地球的吸引，因而大气中的氢气比较少。同理，空气中氦气也比较少。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gb37.html