概率论习题解答 (1)

概率论第六章习题解答

1、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在与之间的概率。 解 因为2(52,6.3)N ，所以

2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ，

（1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <

解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5114(12,)55

i i X X N ==∑ 所求概率为

（2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 51((1.5))=-Φ51(0.9332)0.2923=-=.

（3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X < 3、求总体(20,3)N 的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值不超过的概率。 解 设容量为10的样本均值为X ，样本容量为15的样本均值为Y ， 则 3(20,)10X ，3(20,)15Y ，331()(0,

)(0,)10152X Y N N -+= 4、（1）设126,,,X X X 样本是来自总体(0,1)N ，22123456()()Y X X X X X X =+++++，

试确定常数C ，使CY 服从2χ分布。

（2）设125,,

,X X X 来自总体(0,1)N 样本，1212222345()

()C X X Y X X X +=++，试确定常数C 使Y 服从t

分布。 （3）已知()X t n ，求2(1,)X F n

解 （1）因为126,,

,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本， 由2(,)i i i X N μσ知222121212()(,)N n n X X X N μμμσσσ+++++++++） 故 123

(0,3)X X X N ++，456(0,3)X X X N ++，

且相互独立，因此

(0,1)N

(0,1)N

且两者相互独立，由22212,,,n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，则统计量

由2χ分布的定义知 即2(2)3Y χ，所以13C =。

（2）因为设125,,

,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本12(0,2)X X N +，

(0,1)N ，

又有 2222345(3)X X X χ++

且

，222345X X X ++相互独立，于是由t 分布的定义知 因此所求常数为

C = （3） 因为()X t n ，故X

的形式，

其中(0,1)Z N ，2()Y n χ，且Z ，Y 相互独立，按F 分布的定义知

2(1,)X F n 。

5、（1）已知某种能力测试的得分服从正态分布2(,)N μσ，随机地取10个人

参加这一测试，求他们的联合概率密度，并求这10个人得分的平均值小于μ的概率。

（2）在（1）中设62μ=，225σ=，若得分超过70就能得奖，求至少有一人得奖 的概率。

解 设i X 表示参加测试的i 个人的得分（1,2,

,10i =），则2(,)i X N μσ，

2

2()2()x X f x μσ--=，0σ>，x -∞<<∞

由于1210,,,X X X 相互独立，所以它们的联合的联合分布密度为

又 101110i i X X ==∑，10101111()()()1010i i i i E X E X E X μ=====∑∑

故2

(,)10X N σμ，则

（2） 因为(62,25)i X N ，若一人得分超过70就能得奖，则一人得奖的概率为 则10个人得奖可以看作是一个二项分布：(10,0.0548)b ，设A 表示没有人得奖，则 即至少有一得奖的概率为。 6、设总体(1,)X b p ，12,,,n X X X 是来自总体的样本。

（1）求12(,,,)n X X X 的分布律；

（2）求1n

i i X =∑的分布律；

（3）求()E X ，()D X ，2()E S 解 （1）因为12,,,n X X X 相互独立，且有(1,)i X b p ，1,2,,i n =， 即i X 具有分布律 1{}(1)i i x x i P X x p p -==-，0,1i x =，

因此12(,,,)n X X X 分布律为 （各个样本的分布律的乘积）

（2）因为12,,,n X X X 相互独立，且有(1,)i X b p ，故1(,)n i i X b n p =∑，

其分布律为

7、设总体2()X n χ，1210,,,X X X 是来自X 的样本，求()E X ，()D X ，2()D S 。

解 因为2()X n χ，所以2()()i E X E n χ==，2()()2i D X D n χ== 1,2,,10i = 因为 222()()(())2i i i E X D X E X n n =+=+

所以 102

2211()((2)10())95i n E S n n n ==+-+∑ 8、总体2(,)X N μσ，1210,,,X X X 是来自X 的样本，

（1）写出1210,,,X X X 的联合分布密度；

（2）写出X 的概率密度。

解 （1）1210,,,X X X 联合概率密度

（2）因为 ()E X μ=，2

()10D X σ=，

所以

2

225()()x X f x μσ--==。 一般地 2(,)X N μσ

，2()X f x =。

9、设在总体2(,)X N μσ中抽取一容量为16的样本，这里μ，2σ均为未知。

（1）求22{ 2.041}S P σ

≤；其中2S 为样本方差。 （2）2()D S 。

解 （1）设1216,,,X X X 为总体的一个样本，则由教材P143定理二知

从而 22

22{ 2.041}{1515 2.041}S S P P σσ

≤=?≤? （n-1＝15） （查表，115n -=，2(1)30.615n αχ-=，得0.01α=） （2）由于 2221(1)1S n n χσ

--，故 2

2(1)()2(1)n S D n σ-=-

（因为2()2D n χ=） 即 44

222(1)2()(1)1n D S n n σσ-==--

10题和11题略去

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