粗糙集不确定性度量的矩阵运算2(1)

４２

２０１１，４７（２９）

ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用

粗糙集不确定性度量的矩阵运算

解滨“２，米据生１，张军鹏２

ⅪＥＢｉｎｌ”，ＭＩＪｕｓｈｅｎ９１，ＺＨＡＮＧ

Ｊｕｎｐｅｎ９２

１．河北师范大学数学与信息科学学院，石家庄０５００１６

２．河北师范大学信息技术学院，石家庄０５００１６

１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄ２．Ｃｏｌｌｅｇｅｏｆ

ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｅｂｅｉＮｏｒｍａｌ

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ

０５００１６，Ｃｈｉｎａ

０５００１６，Ｃｈｉｎａ

Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＨｅｂｅｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ

ｆｏｒ

●

ＸＩＥ

Ｂｉｎ。Ｍ匝Ｊｕｓｈｅｎｇ。ＺＨＡＮＧＪｕｎｐｅｎｇ．Ｍａｔｒｉｘｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｍｅａｓｕｒｉｎｇｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ

ｏｆｒｏｕｇｈ

ｓｅｔｓ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉ－

ｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．２０１１，４７（２９）：４２－４５．

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ａｎｃｏｍｐｕｔｉｎｇｔｅｍａｒｅ

ｏｎｅ

ｏｆｔｈｅ

ｍｏｓｔｉｍｐｏｒｔａｎｔｉｓｓｕｅｓ

ｉｓ

ｐｒｏｐｏｓｅｄ

ｆｏｒ

ｉｎｒｏｕｇｈ

ｓｅｔ

ｔｈｅｏｒｙ，ｒｏｕｇｈｎｅｓｓａｎｄｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ

ａｎｄ

ａ

ｆｕｚｚｉｎｅｓｓ

ｓｅｔｓ

ｏｆｒｏｕｇｈ

ｏｎ

ｓｅｔｓｈａｖｅｂｅｅｎ

ｗｉｄｅｌｙ

ｉｍｐｒｏｖｅｄｔｈｅｏｒｙ．Ａ

ｍｅｔｈｏｄｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｍｅａｓｕｒｉｎｇ

ｔｈｅｏｆ

ｒｏｕｇｈ

ｂａｓｅｄ

ｆｕｚｚｙｔｈｅｏｒｙ

ｆｏｒ

ａｎｄｇｒａｎｕｌａｒ

ｓｙｓ－

ｏｆｒｅｌａｔｉｖｅ

ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ

ｇｒａｎｕｌａｔｉｏｎ

ｃｏｎｃｅｐｔ

ｏｆｂｏｕｎｄａｒｙｅｎｔｒｏｐｙ

ａｒｅ

ａｎ

ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ａｎｄ

ｇｉｖｅｎ，ｕｎｄｅｒ

ｗｈｉｃｈｔｈｅｍｅａｓｕｒｅ

ｗｉｔｈｔｈｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆｒｏｕｇｈｎｅｓｓａｎｄ

ｆｕｚｚｉｎｅｓｓ

ｉｎ

ｍｏｄｉｆｉｅｄ．Ｂｏｔｈｏｆｒｏｕｇｈｎｅｓｓ

ｆｕｚｚｉｎｅｓｓ

ａｒｅｍｏｎｏｔｏｎｏｕｓｌｙｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｒｅｆｉｎｉｎｇｏｆｋｎｏｗｌｅｄｇｅｇｒａｎｕｌａｒｉｔｉｅｓａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｐａｃｅｓ．Ｔｗｏｍａｔｒｉｘ“ｇｏｆｉｔｈｍｓａｒｅ

ｅａｓｙｔｏｉｍｐｌｅｍｅｎｔ．

ｐｒｅｓｅｎｔｅｄｆｏｒｍｅａｓｕｒｉｎｇｔｈｅｒｏｕｇｈｎｅｓｓＫｅｙ

ａｎｄ

ｆｕｚｚｉｎｅｓｓｏｆ

ｒｏｕｇｈ

ｓｅｔｓ，ｗｈｉｃｈａｒｅ

ｗｏｒｄｓ：ｒｏｕｇｈｓｅｔｓ；ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ；ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｇｒａｎｕｌａｒｉｔｉｅｓ；ｒｏｕｇｈｎｅｓｓ；ｆｉｌｌＺｚｉｎｅｓｓ

摘要：粗糙集的不确定性度量是粗糙集理论的重要研究内容之一．结合模糊理论和粒计算理论改进了粗糙集的不确定性度量方法。通过集合的相对知识粒度及边界熵给出了粗糙集的粗糙性度量函数与模糊性度量函数，随着近似空间知识粒的细分，粗糙集的粗糙度与模糊度均满足单调递减的性质。利用矩阵理论提出了易于实现的粗糙性度量与模糊性度量的矩阵算法。关键词：粗糙集；不确定性；知识粒度；粗糙度；模糊度ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２－８３３１．２０１１．２９．０１２

文章编号：１００２－８３３１（２０１１）２９ ００４２－０４

文献标识码：Ａ

中图分类号：ＴＰｌ８

ｌ前言

粗糙集理论与方法能有效地处理复杂系统中的数据和信

息，已成为一种处理模糊和不确定问题的新型数学工具，并为管理科学、机器学习、数据挖掘、模式识别等领域的信息处理提供了一种有效的理论框架。近年来，关于粗糙集不确定性问题的研究也备受关注”４１。Ｐａｗｌａｋ较早提出了粗糙集的近似精度和粗糙度的概念”Ｉ，它们分别反映了在知识Ｒ下对集合Ｘ

种基于粒计算的粗糙集的粗糙性和模糊性的度量方法，并且

给出了易于实现的矩阵算法。

２基本概念

称ｓ＝∥，９为—个信息系统，其中ｕ＝“，Ｘ：，…，Ｘ。｝是—个非空有限对象集，一＝ｈ，ａ：，…，口ｊ是—个非空有限属性集，并且对于任意ａｅＡ，都存在映射五：ｕ一圪，圪为属性ａ的值域。任意ＰｃＡ都对应不可辨识关系ｒｏＤ（Ｐ）＝｛＠，力∈Ｕｘ硼Ｖａ∈

表达的范畴了解的确定程度和不完全程度，是度量粗糙集不

确定性很有效的方法。但其局限在于当集合ｘ基于两个不同知识的上、下近似相同时，其近似精度与粗糙度也分别相等。说明这两个度量没有完全反映出知识对粗糙集不确定性的影响程度。为此，文献［７】提出了一种利用过剩熵来度量粗糙集不确定性的改进算法，但其数学形式过于复杂。文献［８】提出

Ｐ眈∽＝厶∽）），易见ＩＮＤ（Ｐ）为ｃ，上的—个等价关系，其建立

的ｕ的—个划分为（，／ＩＮＤ（Ｐ），简记为Ｕ／Ｐ“ｌ。

设Ｕ／Ｐ＝｛Ｐ１，Ｐ２，…，只）和Ｕ／Ｑ＝｛Ｑ。，Ｑ：，…，Ｑ。｝是ｕ的两

僦Ｉ扮，若ＶＰｊ∈Ｕ／Ｐ，了Ｑ『∈叫Ｑ使得Ｐｉ∈Ｑｆ，贝师撼ＩＹｒ）ｕ／ｅ比

融资ＵｆＱ镪，记洳Ｕ／Ｐ－＜Ｕ｜Ｑ。蔷Ｕ／Ｐ＜＿Ｕ｜ＱＡＵ／Ｐ≠Ｕ｜Ｑ，

了一种基于近似空间知识粒的粗糙熵的度量方法，并满足随

近似空间知识颗粒的细分，粗糙熵严格单调递减的性质，这在

则称划分Ｕ／Ｐ比划分叫Ｑ严格细，记为Ｕ／Ｐ＜ｕ／Ｑ嗍。

给定一个信息系统ｓ＝∥，锄，ＰｃＡ，Ｘｃ＿Ｕ，则Ｘ的下

近似和上近似定义如下：

一定程度上弥补了原粗糙度的不足。但其并没有克服集合ｚ的负域的影响，因为直观上集合ｘ的负域的知识粒的大小对ｘ的粗糙度应不产生影响。为解决上述问题，本文提出了一

基金项日：国家自然科学基金（ｔｈｅ

（Ｎｏ．Ｆ２００９０００３１６）。

ＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎ

ｏｆ

￡ｘ＝Ｕ｛Ｐｆ∈Ｕ／Ｐ｜Ｐｔ≤椰

ＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔ

Ｎｏ．６０７７３１７４，Ｎｏ．６０９６３００６）；河北省自然科学基金

作者简介：解滨（１９７６一）。男，博士研究生，副教授．主要研究领域为粗糙集、模糊集、近似推理；米据生（１９６６一），男，教授，博士生导师；张军鹏

（１９８２一），男．讲师。Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉｅｂｉｎ＿ｈｅｂｔｕ＠１２６．Ｃ０１

收稿日期：２０１０．０７．３０；修回日期：２０１０－０９．３０

万方数据

解滨，米据生，张军鹏：粗糙集不确定性度量的矩阵运算

Ｐｘ＝ｕＰｉ∈ｕ／ＰＩＰ，ｎｚ≠四

的Ｐ负域；ｂｎ，（柳＝翩一ｅｘ称为ｘ的尸边黜若ｅｘ＝ｐｘ，

ｐｏｓＰ（朋＝￡ｘ称为Ｘ的Ｐ正域；ｎｅｇＰ（∞＝ｕ－Ｐｘ制ｓｘ

称集合Ｘ是关于ｕ的相对于Ｐ的可定义集，若Ｒｘ≠Ｐ，ｘ，则称集合Ｘ是关于Ｕ的相对于Ｐ的粗糙集唧。

集合的不确定性是由于边界域的存在而引起的，集合的边界域越大，其精确性越低。为了从量化的角度更准确地表达这一点，Ｐａｗｌａｋ。１定义了集合Ｘ的Ｐ近似精度为：

们＝篇

Ｘ的Ｐ粗糙度为：

ｐ，（Ｘ）＝１－ａｅ（朋＝ｌ一网Ｉ＿Ｐｘｌ＝下［ｂｎｄ丁Ｘ）［

其中，ｘ≠ａ，ｌＸＩ表示集合Ｘ的基数。近似精度ａ，（∞反映

了对于了解集合Ｘ的知识的完全程度，而粗糙度ＰＰＣ幻则表达的是集合Ｘ的知识的不完全程度。显然，对于每一个Ｐ和Ｘ譬Ｕ有０≤口Ｐ（。Ｄ≤１，０ｓｐ，（工）≤１。

３粗糙性度量的矩阵算法

设Ｓ＝Ⅳ，锄为信息系统，对任意ＰｃＡ，对应Ｕ上的等价关

系ＩＮＤ（Ｐ）可以表示为玎×刀阶布尔矩阵埤，眸＝沏。）。。。，其中

研口＝任巍ｋ删聊，称矩阵埤为条件属性子集Ｐ的关系ｊ醉。揣Ｘｃ＿Ｕ，记％咆矿 彬，舯铲盅嚣，

称口ｒ为ｘ的集合向量。当Ｘ＝Ｕ时，％＝ｉ＝｛１，１，…，１）１，

当ｘ＝ａ时，口，＝６＝｛Ｏ，０，…，０）７，其中，ｉ，６分别为胛维１向量和ｎ维０向量。对任意ｎ维向量口＝０ｌ，口２，…，口。）１，称

忙０。＝∑ｌａ，ｌ为１ 范数“”。

定义１ｎ１１设彳＝０Ｆ）。。。，口＝（６Ｆ）。。。，ｃ＝（ｃＦ）。。，荛市动母郾茕

（１）序关系：Ａ＜Ｂ当且仅当～≤％，ｆ＿１，２，…，ｍ，Ｊ＝１，

２，…，ｎ。

（２）加法：ＡｖＢ＝（ｍａｘ（ａ口，６Ｆ））。。。＝０ＦＶｂｑ）。。。。

（３）合取：ＡＡＢ＝（ｍｉｎ（ａＦ，６＃））。。。＝魄Ａ６Ｆ）。。。已

（４）布尔积：一Ｏ

ｃ＝（办），。，，其中乃＝。ｍ…ａｘ。（ａｔｋ＾ｃ≯。

由定义１可直接得到：

命题１设Ｕ／Ｐ＝｛Ｐｌ，Ｐ２，…，尸，｝和叫Ｑ＝｛Ｑｌ，Ｑ２，…，Ｑ。）

是ｕ的两个划分，若划分ｕ／Ｐ比划分ｕ／Ｑ细，则坼≤坞。

命题２设ｓ＝∥，爿）为信息系统，对任意Ｐ互彳，Ｑ￡爿，贝巾育

（１）Ｐｃ＿Ｑ当且仅当％≤埤（２）埤ｕ口２坼＾％

０３１ＭＰｎｏ＝ＭＰＶＭｏ

对于任意给定的一个信息系统Ｓ＝∥，爿），每个属性子集

对应—个关系矩阵，在任何一条属性链下。这些矩阵在序关系“≤”下构成—个金字塔结构，称为分层递阶结构ｕ”。在这种分层递阶结构下，有如下命题成立：

命题３若信息系统Ｓ＝∥，栅，则任意一条属性链

０＝风ｃ口ｌｃ…ｃ既＝Ａ，均有％。≤％。≤…≤％。≤％。。

万方数据

下面针对粗糙度给出便于计算的矩阵表不。

定理１设ｓ＝Ⅳ，锄为信息系统，对任意Ｐ互彳，Ｘ￡Ｕ，

则集合ｘ的Ｐ粗糙度Ｐｖ（∞＝｜Ｉ坼ｏ％＾埤＠口．Ｊｍ／ＪＩ埤ｏａｘｌｌ，。

意～∈翩，都触只∈ｕ／Ｐ，满蹴‰∈Ｐｆｎｘ≠ａ，则聊ｔ。＾＝１，

证明设石的集合向量％＝０Ｉ，口２，…，口。）７。首先考黼

‰＝１。记坼Ｏ％＝（６１，ｂ２，…，ｂｎ）ｘ，则６ｆｏ－－－－…ｍａ，ｘ。（ｍ‘ｋＡａｋ）＝１。然后考虑对任意气，坼∈ｎｅｇ，㈣，均有％＝０，因此，

ｂｔ。＝思醢（聊”ＡａＩ）＝ｏ。综上，Ｐｘ的集合向量为Ｍｐ＠ａｘ。

同理可证，户（～∞的集合向量为埤＠口一工。则有，ｂｎ，（∞的集合向量为埤Ｏ％＾埤０窿一ｚ。因此，

例１表１给出有３种症状属性集合Ａ＝ｂ，口：，口３）和８个病棚＝智＝％掣

例的对象集合ｕ＝“，ｘ：，…，Ｘｓ｝所表示的信息系统，Ｕ的一个

子集ｘ＝｛ｚ２，ｘ３，工５，ｘｓ｝。

ｍ一２皿一３３

１１１ｌ３３ｌ１２１２２

３

Ｐ。＝｛口。），Ｐ２＝“，口０，可得到Ｕ的两个划分：己ｒ／Ｐｌ＝｛｛ｘ１，ｘ８），｛ｘ２，工３，ｚ５），｛ｚ４，工６，ｘ７｝｝

Ｕ／Ｐ２＝｛｛工１，工８），｛ｘ２，ｘ５｝，｛ｚ３），｛ｘ４，％，ｘ７））尸ｌ，Ｐ２的关系矩阵分别为：

ＯＯＯ００Ｏｌ１ＯＯｌ０００Ｏ１０Ｏ００００

Ｏ１Ｏｌ１０ＭＰｊ＝

ＭＰｌ２

ｌＯＯ１ＯＯＯＯ０１Ｏ１１ＯＯ

０ｌＯ１１００

０

０

Ｏ

Ｏ

Ｏ

ｌ

口ｘ＝（０，ｌ，１，０，１，０，０，１）７，口一ｚ＝（１，０，０，１，０，１，ｌ，ｏ）１，计算得

为了克服上述问题，文献［８］中定义了粗糙熵：

定义２闱设ｓ＝∥，Ａ）为一个信息系统，对任意Ｐ∈彳，

ＧＫ（Ｐ）＝击ＥＩｕｌ一－，ＩＰ，

ｆ定义３嗍设ｓ＝∥，锄是—个信息系统，Ｘ￡Ｕ，Ｐ∈爿，则

ＲｏｕｇｈｎｅｓｓＰ（∞＝所Ⅸ）ＧＫ（Ｐ）

＾如ｏ％＝（１，１，１，０，１，０，０，１）７，＾００口一Ｊ＝（１，０，０，１，０，１，ｌ，１）１，

代入定理１可得ＰＰ（∞＝户，．（幻＝０．。该粗糙度没有反映出，４

集合ｘ的户，正域中的知识粒要比ｚ的Ｐ，正域中的知识粒严格细这—特征。

ＵＩＰ＝｛户ｌ，Ｐ２，…，只）为ｕ的划分，则尸的知识粒度定义为：

Ｚ的尸粗糙性定义如下：

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２０１１，４７（２９）

ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ

ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用

在该度量下，例１中的集合并关于Ｐｌ和Ｐ，的粗糙性为

Ｒｏｕｇｈｎｅｓｓｐ（∞＝Ｏ．，了出１４＞Ｒｏｕｇｈｎｅｓｓｅ，（ｘ３映反这，１．Ｏ＝１

叫户：比叫Ｐ。严格细。

例２例ｌ中取Ｐ３＝‰ａ３｝，司！导至！Ｊ【，的戈吩：叫Ｐｓ＝｛‰工。），

｛ｘ２，屯，ｘ矗，｛ｘ４），｛ｘ６，ｘ７｝）。由定义３训。舅彳寻Ｒｏ昭矗ｎｅ船只（∞＝Ｏ．１ｌ，

与例１结果比较易见Ｒｏｕｇｈｎｅｓｓｐ

（∞。

集合ｚ的尸，正域中的知识，（粒Ｘ）比＝Ｒｘｏｕ的ｇｈ只ｎｅｓ正ｓｐ，域中的知识粒严格细，这一点在上述度量中没有反映出来，其原因在于度

量中与ｘ无关的负域中知识粒的大小也产生了影响。

经分析发现，对于集合ｘ，粗糙集的不确定度量应该是由集合本身的尸粗糙度和信息系统的不确定性两方面因素决定

的。对于信息系统引起的不确定部分主要来自集合ｚ的尸

正域和边界域知识粒的大小，而负域中的知识粒的变化与集合Ⅳ是无关的。

为了能更合理地反映粗糙集的不确定性，在文献［１３】中给出了集合Ⅳ的相对知识粒度的定义：

定义４ｔ”１设ｓ＝∥，Ａ）为一个信息系统，对任意Ｐｅａ，

ｕ／Ｐ＝｛Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐ，）为ｃ，的划分。对Ｘｃ＿Ｕ，Ｘ的户相对知识粒度定义为：

ＲＫＧ，（∞＝由∑旧ｆｌＵ

１只ｅ肘

集合ｘ的Ｐ相对知识粒度由ｚ的Ｐ正域和Ｐ边界域知识颗粒决定，ｘ的Ｐ负域知识颗粒的大小对其不产生影响。

对于给定的信息系统，Ｐ，ＫＧ，（朋不是定值，而是随Ｘ的变化

而变化，因此具有相对性。

定理２设Ｓ＝Ⅳ，∞为雇息系统，对任意ＰＧＡ，Ｘｃ＿Ｕ，贝煤

合Ｘ的Ｐ相对知识粒度ＲＫＧ，㈣＝｜｜眸 ㈣０呶）｜Ｊｌ／｜ｕｒ，

其中，“．”为矩阵的普通乘积运算。

证明设划分ｕ／Ｐ＝｛尸１，Ｐ２，…，Ｐ１）。对任意ｔ∈｛１，２，…，，｝，

记Ｐｆ＝仁ｔｌ＊Ｘｔ，，…，Ｘｔ，．）。对任意ｔ，１）。口，…，２口，１Ｘｃ＿Ｕ口（＝％记，

埤０％＝（６１，ｂ２，…，６。）’，蛑 ％Ｏ％）＝ｐ。，ｅ：，…，ｃ。）Ｔ，若

Ｐ，ｃ＿ＰＸ，当ｉ∈‰ｔ２，…，‘Ｐ》时，有ｍ以＝１当且仅当ｔｔ∈

｛ｆｌ＇ｔ２，…，１，１）。由定理１的证明得ｂ‘：ｌ，‘∈｛ｆｌ＇ｔ２，…，１Ｐ１），

。

ｌ—１

．

故ｃ；＝∑脚Ｆ％＝∑小虬６～＝ＩＰ，Ｉ，因此

‘２１

∑

Ｃｉ＝ｌ尸，ｆ。若

。５１

‘‘｛Ｘｒｌ＇Ｘｔ２’’”’’‘ｆ

只ｃ＿ｎｅｇｅ（Ｘ），当ｉ∈诈ｔ２，…，ｔｌＰ》时，有ｍｆｆ．＝１当且仅当ｔｔ∈¨乞，…，ＩＰｌ｝。由定理１的证明得ｂ，。＝ｏ，ｔｋ∈％ｆ２，…，ｔＬ，》，故

Ｃｉ＝ＥｒａＦ哆＝ｏ。综上，ｌＪ埤－（坼。口Ｊ）ｍ＝Ｅｃ，＝∑１只ｌ‘

Ｊ２Ｉ

８１

Ｐｔ‘ＰＸ

代入定义４结论得证。

文献［１３冲定义了粗糙集的粗糙性度量函数

ＥＰ（∞＝户Ｐ（Ｘ）ＲＫＧＰ（幻

（１）

命题４””设ｓ＝∥，Ａ）为信息系统，对任意Ｐｃ＿Ａ，Ｑｃ＿ａ，ｘ量Ｕ，若ｕ／Ｐ！ｕ／Ｑ，则ＥＰ（椰≤ＥＤ（的。

下面将给出集合ｘ在信息系统Ｓ＝∥，Ａ）中粗糙性度量

的矩阵算法。

算法ｌ粗糙性度量的矩阵算法

输入——噌吖言薏｝看琶充Ｓ＝（Ｕ爿）冉９作ｉ《ａ表，其中Ｕ＝｛ｘ。，工：，…，ｘ。），

万方数据

Ａ＝“，ａ２，…，口≯；Ｕ的—个子集Ｘ；Ａ的—个子集Ｐ。

输出集合Ｘ在信息系统ｓ＝Ⅳ，椰中关于Ｐ的粗糙性度量Ｅ，（柳。

步骤１计算Ｐ的关系矩阵Ｍ。。

步骤２计算ｘ的集合向量口，及其余集～Ｘ的集合向量

ａ一膏２１一瘟ｚ。

步骤３分另Ｉ肼算栅眸ｏ％和坼０口一ｚ。若眸ｏ

％＾坼Ｏ口一ｚ＝６，则输出Ｅ，（∞＝０。否则进一步计算

Ｍ， （Ｍ，０ａｘ），然后进入下一步。

步骤４由步骤３结果计算１－范数』埤ｏ％＾埤。窿一ｚＩｆｌ，

０坼ｏ％ｌ和０埤 （埤＠呶）｜』ｌ。

步骤５计算４㈣＝Ｉｌ埤ｏ％＾坼。口。圳ｌ埤 似，ｏ口姚／

．２１１

ｏａ，ｍ并输出，算法结束。

例１与例２中集合ｚ关于Ｐｌ，只，只的粗糙性度量由算

法１计算得：Ｅｐ（∞＝０．，８Ｅｅ２０（加＝０．，ＥＰ．（∞＝Ｏ．，难０６不。

０８

发现度量Ｅ，（∞的计算结果去除了负域的影响，因此更符合

人们的认知规律。

４模糊性度量的矩阵算法

对于粗糙集的模糊性度量是先将集合Ｘ转化为—个模糊集，再利用模糊集的不确定性测度研究其模糊程度。下面将

讨论用矩阵算法实现这两个过程。

定义５“”设Ｓ＝∥，一）为信息系统，Ｐｃ＿Ａ，Ｘｃ＿Ｕ，则对任意的ｘ∈Ｕ，Ｘ属于集合ｚ的粗糙隶属度为：

嘲∽＝铡（２）

廷月萄诈惭副生子集Ｐ的兴暑法醉肘，司幕融（捕，，历：，…，廊Ｊ７，

其中历ｆ＝（ｍ订，ｍ良，…，ｍ加）为睥的行向量，记睥的各行向量的ｌ－范数构成的列向量为孙，其中），，＝０Ｉ廊。ｌＩＩ，１Ｉ廊：１１１，…，０廊。｜１１）７。

下面定理为粗糙隶属度向量的矩阵运算。

定理３设ｓ＝（Ｕ锄为信息系统，Ｐｃ：Ａ，Ｘｃ＿Ｕ，若记Ｐ，＝

（Ｐ（∞＠。），Ｐ（柳（ｘ：）＇…，Ｐ（∞＠Ｊ）１为集合ｘ的Ｐ粗糙隶属

度向量，则办＝（埤 盘膏）．印，，其中，“．／”为数值右除（即若

ａ＝０口）。。。，声＝（６口）。。。，则口．伊＝（口口／ｂＦ）。。Ｊ。

证明设划分Ｕ／Ｐ＝｛Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｆ｝。对任意ｔｅ｛１，２，…，ｎ，

记只＝｛Ｘｔ，ｘ‘，…，石‘．）。对任意。

ｔ，‘

，口，ｌ刊

…，２口，１口（Ｘｃ＿Ｕ＝％记，

。

ｌ一｛

埤 ％＝（６１，６２，…，ｂ。）１’贝惦。＝∑脚口ｑ＝∑ｍ以口‘胚沩脚机＝口‘＝ｌ

』２１

ｋ＝１

当且仅当ｘ‘ｅｘｆ７［ｘ，】，，故ｂ，＝ｌＸＮｔｘ，】ＰＩ。又由关系矩阵埤的定义可得０唬ｍ＝｜【ｘｆ】，Ｉ，因此，办＝（埤 口Ｊ）．／７，。

文献【１４】给出了有限论域ｕ上的模糊集合４的模糊度定义

联∞＝４∑彳ｏ）（１—４∞）

（３）

给定一个信息系统ｓ＝（Ｕ，棚，Ｐｅａ，Ｘｃ＿Ｕ，依据定义５

得到的模糊集Ｐ（∞的模糊性完全来自于边界，由式（３）定义

的Ｐ（朋的模糊度简记为ＥＰ（Ｘ），该度量并没有完全反映出边

界知识粒的大小，为了解决这一问题，定义边界熵

蹦ｂｎ耻只∑ｂｎｐ∞阱一阱

（４）

只

∞ｌｏ

ｌ。ｌ

解滨，米据生，张军鹏：粗糙集不确定性度量的矩阵运算

２０１Ｉ，４７（２９）４５

用

Ｆｅ（ＩＯ＝ＥＰ（Ｘ）（１一Ｅ多（∞）

（５）

表示集合ｚ在信息系统Ｓ＝∥，Ａ）中关于属性子集Ｐ的粗糙集的模糊性度量，称作集合ｚ的Ｐ模糊度。

命题５１”１由式（５）定义的模糊度满足如下性质：

（１）Ｆｅ（２３＝０当且仅当ｘ为经典可定义集合。

（２）对任意Ｘｃ＿Ｕ，有耳㈤＝砟（～幻。

（３）在信息系统ｓ＝∥，锄中，Ｂ。ｃ＿Ａ，Ｂ２≤彳，ｘ￡Ｕ，如

果ＵｆＢ２＿‘Ｕ｝Ｂｌ。黜ＦＢ＆ｎｓＦＢｔ（２３。

（４）椭系统ｓ＝∥，印中，ＰＧＡ，Ｘｃ＿Ｕ，若Ｂ㈣＝１，

则ｘ关于Ｐ是全不可定义的，并且Ｕ／Ｐ＝｛Ｕ｝。

（５）在信息系统Ｓ＝∥，锄中，ＢＩｃ＿Ｂ２＿ｃＡ，ｘ∈Ｕ，若

凡．㈣＝凡，㈣，则如（２３＝ＰＢ

对于划分Ｕ／Ｐ＝｛Ｐｌ，Ｐ：，…，尸ｆ｝，记Ｐ，的集合向量为口，，

ｔ∈｛１＇２，…，，），称Ｄ，＝似ｊ，ａ：Ｔ，…，ａｊ）７为Ｐ的代表矩阵。下

面给出模糊度量矩阵算法的理论依据。

定理４设ｓ＝（以爿）为信息系统，ｕ＝“，工２，…，硝，Ｐｃ＿Ａ，Ｘｃ＿Ｕ，则集合ｚ的Ｐ模糊度的矩阵算式为Ｂ（∞＝【ｉ４办Ｔ

ｄ—ｐＪ）】 【ｌ一砖 （ｉ一６ｚ）】，其中，Ｐｘ＝（＾‘ 口ｚ）－／ｒ尸，ｂｘ＝告Ｄ，

（－Ｍ，Ｐｏ口ｚ＾ｊＩ‘０口～ｚ）。

证明由定理３及式（３）易得Ｅ尸（田＝ｉ４ｐｚＴ （ｉ一如）。下面仅需证明髟ｂｎＩ五Ｊ＝％Ｔ （ｉ—ｂｘ）即可。由定理１的证明知

埤０％＾坼＠扭一ｚ为边界域ｂｎ，（∞的集合向量，又因为

ｑ为Ｐｆ的集合向量，因此

牵㈣＠呶＾眸队护｛被他Ｐｔ。～？’ｒ－ｌ，２，…，，

若记ｂｘ＝（６１，ｂ：，…，彬。，则

ｎＰ

６。：｛掣，Ｐ，ｃ＿ｂｎＰ（２３，ｆ：ｌ，２，…，，ｂ，其他

因此由式（４）可得：

６６ｊ

ｊ－（１（ｉ－ｂ护委，。掣（１工）＝∑掣（１～ｎ，＝一咎Ｉｔ／Ｉ）Ｐ

ｒｃｂｎ口㈤“

”

＾磊。∞斜（１一涮）＝矽㈤

下面给出集合ｘ在信息系统ｓ＝∥，锄中尸模糊度的矩

阵算法。

算法２模糊性度量的矩阵算法

输入—惴獭ｓ＝∽彳）自瞧皂表，其中ｕ＝瓴，ｘ２，…，Ｊ，Ｉ｝，

Ａ＝｛口１，ａ２，…，口。｝；Ｕ的—个子集Ｘ；Ａ的—个子集Ｐ。

输出集合石在信皂系统ｓ＝∥，Ａ）中的Ｐ模糊度，Ｐ（∞。

±岛骤１计算ＪＰ雕睁与ｉ暂《葬＾‘及，，＝０ｌ，；ｉ。¨ｌＩ廊：Ｉ｜１＇…，｜Ｊ痈。ｍ）１。步骤２计算ｊ的集合向量％，并结合眸及】，，求得集合ｚ的尸粗糙隶属度向量以＝（坼 ａｘ）．／７，。

步骤３计算ｅｅ（２３＝４ｐｌ （ｉ—Ｐｘ）Ｉｎ，若ｂｅ（Ｘ）＝０，则输

出，，㈤＝Ｏ。否则进入下一步。

步骤４由Ｍ，计算Ｐ的代表矩阵Ｄ，及边界域ｂｎ，㈤的集

万方数据

合向量眸。呶＾埤。窿．工，进而计算得出ｂＪ＝ＤＰ （坼＠

ａｘ八ＭＰＱ覆．ｘ）／ｎ。

步骤５计算Ｆ，（２３＝Ｃ４，，Ｉ （ｉ—ｐｘ）／ｎ］［１一砖－（ｉ一６ｚ）】并输

出，算法结束。

５结束语

经典粗糙集理论把知识定义为关于论域的划分模式，从而使知识有了颗粒性，并导致了粗糙集不确定性的存在。粗糙度和模糊度从不同角度给出了粗糙集不确定性的度量。粗糙集不确定性来自集合本身及近似空间两个方面，将这两个方面合理地结合起来才能更好地反应粗糙集的不确定性。本文通过集合的相对知识粒度与Ｐａｗｌａｋ粗糙度结合，给出了一

种新的粗糙集粗糙性的度量。该度量既刻画了近似空间对粗糙集不确定性的影响，又去除了负域的干扰。粗糙集的模糊度与近似空间知识粒大小也是密切相关的，边界域对于模糊

度起决定性的影响。文中结合重新定义的边界熵，给出了新

的粗糙集的模糊度量，可以更合理地反映不同知识粒度对集

合的模糊性的影响。借助于矩阵理论这一有力工具，本文还提出了粗糙性度量与模糊性度量的矩阵算法，为大型信息系

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解滨(河北师范大学数学与信息科学学院,石家庄050016;河北师范大学信息技术学院,石家庄050016)， 米据生(河北师范大学数学与信息科学学院,石家庄,050016)， 张军鹏(河北师范大学信息技术学院,石家庄,050016)计算机工程与应用

Computer Engineering and Applications2011,47(29)

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