2012各省高考文科数学试题解析分类汇编：

2012各省高考文科【圆锥曲线】试题解析分类汇编：

一、选择题

1.【2012高考新课标文4】设F1F2是椭圆E:线x?

3a2xa22?yb22?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直

上一点，?F2PF1是底角为30?的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

12(A) (B)

23 (C)??

(D)??

【答案】C

【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.

【解析】∵△F2PF1是底角为300的等腰三角形， ∴?PF2A?600，|PF2|?|F1F2|?2c，∴|AF2|=c，∴2c?32a，∴e=

34，故选C.

2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线

y2?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）

(A)2 (B) 22 (C)? (D)?

【答案】C

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：x?4，设等轴双曲线方程为：x2?y2?a2，将x?4226?a=43，代入等轴双曲线方程解得y=?16?a，∵|AB|=43，∴21解得a=2，

∴C的实轴长为4，故选C.

3.【2012高考山东文11】已知双曲线C1：

2xa22?yb22?1(a?0,b?0)的离心率为2.若抛物线

C2:x?2py(p?0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为

(A) x2?【答案】D

833y (B) x2?1633y (C)x2?8y (D)x2?16y

考点：圆锥曲线的性质

解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知b?点在y轴上，即（0，p/2）到直线y?角三角形求解。

4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x??4，则该椭圆的方

程为

3a，此题应注意C2的焦

3x的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直

（A）

x216x2?y212y2?1 （B）

x212x2?y28y2?1

（C）

8?4?1 （D）

12?4?1

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数a,b,c，从而得到椭圆的方程。

【解析】因为2c?4?c?2，由一条准线方程为x??4可得该椭圆的焦点在x轴上县a2c?4?a?4c?8，所以b?a?c?8?4?4。故选答案C

22225.【2012高考全国文10】已知F1、F2为双曲线C:x2?y2?2的左、右焦点，点P在C上，

|PF1|?2|PF2|，则cos?F1PF2?

（A）

14 （B）

35 （C）

34 （D）

45

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由题意可知，a?2?b,?c?2，设|PF1|?2x,|PF2|?x，则

|PF1|?|PF2|?x?2a?22，故|PF1|?42,|PF2|?22，F1F2?4，利用余弦定理可

得cos?F1PF2?PF1?PF2?F1F22PF1?PF2222?(42)?(22)?42?22?42222?34。

6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3 B.2 C.

3 D.

2 【答案】B 【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的

关系.

【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为2a?，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则2a?2?2a?，即a?2a?，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为e??ca?，e?ca，

e?e?aa??2.

7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点

M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）

A、22 B、23 C、4 D、25 【答案】B

[解析]设抛物线方程为y=2px(p>0),则焦点坐标为（,0），准线方程为x=?22

pp2,

?M在抛物线上，?M到焦点的距离等于到准?（2-p2）?y0?（2?22线的距离，即p2）?32 有：解得：p?1,y0?22?点M（2,22），根据两点距离公式?|OM|?2?(22)22?23[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).

8.【2012高考四川文11】方程ay?b2x2?c中的a,b,c?{?2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 【答案】B

22[解析]方程ay?bx?c变形得x?2ab2y?cb2，若表示抛物线，则a?0,b?0

所以，分b=-2,1,2,3四种情况：

?a?1,c?0,或2,或3?（1）若b=-2，?a?2,c?0,或1,或3 ; （2）若b=2,

?a?3，c?0,或1,或2??a??2,c?0,或1,或3??a?1,c??2,或0,或3 ?a?3，c??2,或0,或1?以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条； 同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.

综上，共有14+9+9=32种

[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.

229.【2012高考上海文16】对于常数m、n，“mn?0”是“方程mx?ny?1的曲线是椭

圆”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B.

?m?0,??1的曲线表示椭圆，常数常数m,n的取值为?n?0,所以，由

?m?n,?2【解析】方程mx2?ny2mn?0得不到程mx2?ny?1的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示

椭圆，能推出mn?0，因而必要.所以答案选择B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数m,n的取值情况.属于中档题.

xa2210.【2012高考江西文8】椭圆?yb22?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A，B，左、右

焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A.

14 B.

55 C.

12 D. 5-2

【答案】B

【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.

利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：AF1?a?c，F1F2?2c，F1B?a?c.又已知AF1，F1F2，F1B成等比数列，故(a?c)(a?c)?(2c)2，即

ca5555a?c?4c，则a?5c.故e?22222?.即椭圆的离心率为.

【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关a,c的方程，然后化为有关a,c的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等. 11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ：渐近线上，则C的方程为 A．

x2xa22-

yb22=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的

20-

y25=1 B.

x25-

y220=1 C.

x280-

y220=1 D.

x220-

y280=1

【答案】A

【解析】设双曲线C ：

xa22-

yb22=1的半焦距为c，则2c?10,c?5.

ba?2，即a?2b.

又?C 的渐近线为y??bax，点P （2,1）在C 的渐近线上，?1?又c?a?b，?a?25,b?2225，?C的方程为

x220-

y25=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 12.【2102高考福建文5】已知双曲线于 A

31414xa22-

y25=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等

B

324 C

32 D

43

【答案】C.

考点：双曲线的离心率。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率e?ca即可。

解答：根据焦点坐标(3,0)知c?3，由双曲线的简单几何性质知a2?5?9，所以a?2，因此e?32.故选C.

二 、填空题

13.【2012高考四川文15】椭圆

xa22?y25?1(a为定值，且a?5)的的左焦点为F，直线

x?m与椭圆相交于点A、B，?FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

【答案】

23，

22[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又?a?c?5

?c?2,?e?ca?23

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 ? y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】23 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适

中。

【解析】由双曲线的方程可知a?1,c??PF122,?PF1?PF2?2a?2,

?2PF1PF2?PF222?4

?PF1?PF2,?PF12?PF22?(2c)?8,?2PF1PF2?4,2

?(PF1?PF2)?8?4?12,?PF1?PF2?23【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。 15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线率为5，则m的值为 ▲ ． 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。 【解析】由

x2x2m?y22m?4?1的离心

m?y22m?4?1得a=m，b=m?4，c=m?m?4。

222 ∴e=ca=m?m?4m=5，即m2?4m?4=0，解得m=2。

16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

【答案】26.

【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0）， 设l与抛物线的交点为A、B，根据题意，知A（-2，-2），

B（2，-2）．

设抛物线的解析式为y?ax， 则有?2?a???2?，∴a??2212．

∴抛物线的解析式为y??122x．

水位下降1米，则y?-3，此时有x?

6或x??6．

∴此时水面宽为26米．

b3a17.【2012高考重庆文14】设P为直线y?x与双曲线

xa22?yb22?1(a?0,b?0) 左支的

交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e?

18.【2012高考安徽文14】过抛物线y2?4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若

|AF|?3，则|BF|=______。

【答案】

32

【解析】设?AFx??(0????)及BF?m；则点A到准线l:x??1的距离为3 得：3?2?3cos??cos??13 又m?2?mcos(???)?m?xa2221?cos??32

19.【2012高考天津文科11】已知双曲线C1:x2?yb22?1(a?0,b?0)与双曲线

C2:4?y216?1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5,0),则a? b?

【答案】1，2 【解析】双曲线的

x24?y216?1渐近线为y??2x，而

xa22?yb22?1的渐近线为y??bax，

所以有

ba2?2，b?2a，又双曲线

xa222?yb22?1的右焦点为(5,0)，所以c?5，又

c?a?b，即5?a?4a2222?5a，所以a2?1,a?1,b?2。

三、解答题

20. 【2012高考天津19】（本小题满分14分） 已知椭圆

（a>b>0）,点P（

,

）在椭圆上。

（I）求椭圆的离心率。

（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ的斜率的值。 【解析】(Ⅰ) 点P(155a,22a)在椭圆上

?52?22aba21a2?1?ba22?58?e?1?2ba22?38?e?64

(Ⅱ) 设Q(acos?,bsin?)(0???2?)；则A(a,0)

AQ?AO?22a(1?co?s?)22bs?in?2a2

?3cos??116c?o?s?5?0??cos3bsin?acos???5

直线OQ的斜率kOQ?

21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)?3?e，的左、右焦点分别为F1(?c，都在椭圆上，其中e为椭圆0)，F2(c，0)．已知(1，e)和????2??的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．

（i）若AF1?BF2?62，求直线AF1的斜率；

（ii）求证：PF1?PF2是定值．

【答案】解：（1）由题设知，a2=b2?c2，e=1a22ca，由点(1，e)在椭圆上，得

?eb22?1?1a2?c222ab=1?b?c=ab?a=ab?b=122222222，

∴c2=a2?1。

?3?e，由点?在椭圆上，得 ???2??ea22??3????2?b2224?1?ca?3????2??122?1?a?1a4?34?1?a?4a?4=0?a=2422∴椭圆的方程为

x22?y?1。

2（2）由（1）得F1(?1，0)，F2(1，0)，又∵AF1∥BF2， ∴设

AF1、BF2的方程分别为

my=x?1，my=x?1，

A?x1，y1?，B?x2，y2?，y1>0，y2>0。

?x1222m?2m?2?y1?1?22?m?2y1?2my1?1=0?y1= ∴?2。 2m?2?my=x?1?11??

222∴AF1=?x1?1???y1?0?=?my1??y1=m?1?222m?2m?2m?2222?2?m?1??mm?122m?22。①

同理，BF2=2?m?1??mm?1m?222。②

（i）由①②得，AF1?BF2?2mm?1m?22。解2mm?1m?222=62得m2=2。

∵注意到m>0，∴m=2。 ∴直线AF1的斜率为

1m=22。

PBPF1BF2AF1 （ii）证明：∵

AF1∥BF2，∴

?，即

PBPF1?1?BF2AF?1?1PB?PFPF1?1BF?AF2AF。

11 ∴PF1=AF1AF1?BF2BF1。

由点B在椭圆上知，BF1?BF2?22，∴PF1=AF1AF1?BF2?22?BF2。

? 同理。PF2=

∴PF1+PF2=AF1AF1?BF2BF2AF1?BF2?22?AF1。

??22?BF2??BF2AF1?BF2?22?AF1?22??2AF?BF2AF1?BF2

由①②得，AF1?BF= ∴PF1+PF2=22?2222m?1m?2=322。

2?2?，AF?BF=m?1m?222，

∴PF1?PF2是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

e，【解析】（1）根据椭圆的性质和已知(1，e)和???62?3??都在椭圆上列式求解。 2?? （2）根据已知条件AF1?BF2?，用待定系数法求解。

22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）

如图，F1,F2分别是椭圆C：

xa22+

yb22=1（a?b?）

的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另

一个交点，?F1AF2=60°.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）已知△AF1B的面积为403，求a, b 的值.

【解析】（I）?F1AF2?60??a?2c?e?ca?12

（Ⅱ）设BF2?m；则BF1?2a?m 在?BF1F2中，BF12?BF22?F1F22?2BF2?F1F2?cos120

3? ?(2a?m2)?m2?a2?am?m? a5 ?AFB面积1S?12?F2F1?AB?sin60??12?a?(a?35a)?32?403

?a?10,c?5,b?5323.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：

F1(?1,0)，且点P(0,1)在C1上.

xa22?yb22?1（a?b?0）的左焦点为

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2?4x相切，求直线l的方程. 【答案】

【解析】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1(?1,0)，所以c?1，

xa22点P(0,1)代入椭圆?yb22?1，得

1b2?1，即b?1，

所以a?b?c?2，

x2222所以椭圆C1的方程为

2?y?1.

2（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y?kx?m，

?x22?y?1?222，消去y并整理得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0， ?2?y?kx?m?

因为直线l与椭圆C1相切，所以??16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?0， 整理得2k2?m2?1?0 ①

?y2?4x，消去y并整理得k2x2?(2km?4)x?m2?0。 ??y?kx?m因为直线l与抛物线C2相切，所以??(2km?4)2?4k2m2?0， 整理得km?1 ②

??22?k??k??综合①②，解得?2。 2或????m??2?m?2所以直线l的方程为y?22x?2或y??22x?2。

24.【2102高考北京文19】(本小题共14分) 已知椭圆C：

xa22+

yb22=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为

22， 直线y=k(x-1)

与椭圆C交与不同的两点M,N

（Ⅰ）求椭圆C的方程 （Ⅱ）当△AMN的面积为

103时，求k的值

【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

a?2??2?c解：（1）由题意得?解得b??a2?222?a?b?c?222.所以椭圆C的方程为

x4?y2?1.

?y?k(x?1)?2222（2）由?x2y2得(1?2k)x?4kx?2k?4?0.

??1??42设点M,N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则y1?k(x1?1)，y2?k(x2?1)，x1?x2?4k221?2k，x1x2?22k?41?2k22.

22所以|MN|=(x2?x1)?(y2?y1)=(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]=由因为点A(2,0)到直线y?k(x?1）的距离d?|k|1?2k

222(1?k)(4?6k)1?2k222.

，

所以△AMN的面积为S?k??1.

12|MN|?d?|k|4?6k221?2k. 由

|k|4?6k221?2k?103，解得

25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)

如图，椭圆M:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为32，直线x??a和y??b所围成的矩

形ABCD的面积为8.

(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；

(Ⅱ) 设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个

不同的交点S,T.求

ca32|PQ||ST|2的最大值及取得最大值时m的值.

2【答案】(21)(I)e???a?ba2?34??①

矩形ABCD面积为8，即2a?2b?8??② 由①②解得：a?2,b?1， ∴椭圆M的标准方程是

x24?y?1.

2?x2?4y2?4,22(II)??5x?8mx?4m?4?0，

?y?x?m,设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??m,x1x2?584m?452，

由??64m2?20(4m2?4)?0得?5?m?5.

|PQ|?4m?442?8?2??m??4?55?5?225?m2.

当l过A点时，m?1，当l过C点时，m??1. ①当?5?m??1时，有S(?m?1,?1),T(2,2?m),|ST|?|PQ||ST|?455?m222(3?m)，

(3?m)?45?4t2?6t?1，

|PQ||ST|其中t?m?3，由此知当?t134，即t?43,m??53?(?5,?1)时，取得最大值255.

|PQ||ST|②由对称性，可知若1?m?5，则当m?③当?1?m?1时，|ST|?22，由此知，当m?0时，

53|PQ||ST||PQ||ST|2553时，

2取得最大值255.

?5?m，

取得最大值|PQ||ST|255.

25综上可知，当m??和0时，取得最大值5.

26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）

如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。

（1） 求抛物线E的方程；

（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的

圆恒过y轴上某定点。

考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。

解答：

22（I）设A(x1,y1),B(x2,y2)；则x1?2py1,x2?2py2

OA?OB?x1?y1?x2?y2?2py?1y?12py?2y?(y1?y2)(2p?y1?y)2?0?y?y(?2p,y,y1?0)122222222

2 得：点A,B关于y轴对称（lfxlby）

OA?OB?AB?83?A(?43,12),B(43,12)

x2 代入抛物线E的方程得：p?

2y?2?抛物线E的方程为x?4y

2

（II）设P(x0,x042)；则y?14x?y??1412212x

1214 过点P的切线方程为y?x0?42x02x0?2x0(x?x0)即y?x0x?x0

2 令y??1?Q(,?1)

2??????????????????x0?4 设M(0,t)满足：MP?MQ?0及MP?(x0,y0?t),MQ?(,?1?t)

2x02 得：4(t2?t?2)?(1?t)x0?0对x0?0均成立

?t2?t?2?0,1?t?0?t?1 以PQ为直径的圆恒过y轴上定点M(0,1)

27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2?y2?1

（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若MF?22，求点M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k（k?证：OP⊥OQ [解]（1）双曲线C:x22）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x?y?1相切，求

2212?y?1，左焦点F(?2622262,0).

222 设M(x,y)，则|MF|?(x? 由M是右支上一点，知x? 所以M(6222)?y?(3x?)， ……2分

222，所以|MF|?3x??22，得x?62.

,?222). ……5分 ,0)，渐近线方程：y??2x.

2x平行的直线方程为：y? （2）左顶点A(? 过A与渐近线y?2(x?22)，即y?2x?1.

2 解方程组??y??2x，得???x??4. ……8分

?y?2x?1??y?12 所求平行四边形的面积为S?|OA||y|?24. ……10分

（3）设直线PQ的方程是y?kx?b.因直线与已知圆相切，故

|b|k2?1?1，

即b2?k2?1 (*).

由?y?kx?b?2x2?y?1，得(2?k2)x2?2kbx?b2?1?0. ?2 设P(x、Q(x?1, y1)2, y2)，则?x2kb?1?x2?2?k2??x1x2??1?b2. 2?k2 y1y2?(kx1?b)(kx2?b)，所以

OP?OQ?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?kb(x1?x2)?b2

(1?k2)(?1?b2)k2b21?b2?k22?k2?22?k2??2?k2.

由(*)知OP?OQ?0，所以OP⊥OQ. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为y??x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本

题属于中档题 ．

28．【2012高考新课标文20】（本小题满分12分）

设抛物线C：x2

=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.

（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；

（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.

【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.

【解析】设准线l于y轴的焦点为E，圆F的半径为r， 则|FE|=p，|FA|?|FB|=|FD|=r，E是BD的中点， (Ⅰ) ∵?BFD?900，∴|FA|?|FB|=|FD|=2p，|BD|=2p，

设A(xp0，y0)，根据抛物线定义得，|FA|=2?y0，

∵?ABD的面积为42，∴S?ABD=

12|BD|(yp0?2)=12?2p?2p=42，解得p=2，

∴F(0,1), FA|=22， ∴圆F的方程为：x2?(y?1)2?8；

(Ⅱ) 【解析1】∵A，

B，F三点在同一条直线m上, ∴AB是圆F的直径，?ADB?900, 由抛物线定义知|AD|?|FA|?12|AB|，∴?ABD?300，∴m的斜率为

333或－

3，

∴直线m的方程为：y??设直线n的方程为：y??3333x?p2，∴原点到直线m的距离d1=234p，

2x?b，代入x?2py得，x?233x?2pb?0，

∵n与C只有一个公共点， ∴?=∴直线n的方程为：y??33x?43p?8pb?0，∴b??2p6，

312p，

p6，∴原点到直线n的距离d2=

∴坐标原点到m，n距离的比值为3. 【解析2】由对称性设A(x0,x022p)(x0?0)，则F(0,2p2)

点A,B关于点F对称得：B(?x0,p?3px02pp)?p?x022p??p2?x0?3p

22 得：A(3p,3p2)，直线m:y?22x?p?x?23p3333?3y?3p2?0

x?2py?y?2x22p?y??xp??x?p?切点P(3p3,p6)

直线n:y?p6?33(x?3p3)?x?3p63y?36p?0

坐标原点到m,n距离的比值为3p2:?3。

1229.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，抛物线C：y=2px（P＞0）的准线的距离为上的两动点，且线段AB被直线OM平分。

2）到

54。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C

（1）求p,t的值。

（2）求△ABP面积的最大值。

【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 【解析】

1?2pt?1?p???（1）由题意得?2. p5，得???1??t?1?24?（2）设A(x1,y1),B?x2,y2?，线段AB的中点坐标为Q(m,m) 由题意得，设直线AB的斜率为k（k?0）.

2??y1?2px1由?，得(y2?y1)(y1?y2)?k(x2?x1)，得k?2m?1

2??y2?2px2所以直线的方程为y?m?12m(x?m)，即x?2my?2m?m?0.

22??x?2my?2m?m?0由?，整理得y2?2my?2m2?m?0，

2??y?x所以??4m?4m2，y1?y2?2m，y1y2?2m2?m.从而得

1k222AB?1?y1?y2?1?4m4m?4m，

设点P到直线AB的距离为d，则 d?1?2m?2m1?4m22，设?ABP的面积为S，则S?12AB?d?1?2(m?m)?2m?m. 22由??4m?4m?0，得0?m?1.

令t?m?m，0?t?21212，则S?t(1?2t). ，则S??1?6t.

222设S?t(1?2t)，0?t?2由S??1?6t?0，得t?66?1???0,?，所以Smax?，故?ABP的面积的最大值为. 699?2?630.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为x+y-4x+2=0的圆心.

12的椭圆E的一个焦点为圆C：

22

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为相切时，求P的坐标.

【答案】

12的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C

【解析】（Ⅰ）由x2?y2?4x?2?0，得(x?2)2?y2?2.故圆Ｃ的圆心为点

xa222(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为

ca2?yb222?1(a?b?0),其焦距为2c，由题设知

2c?2,e??12,?a?2c?4,b?a?c?12.故椭圆Ｅ的方程为：

x216?y12?1.

（Ⅱ）设点p的坐标为(x0,y0)，l1,l2的斜分率分别为k1,k2.则l1,l2的方程分别为

l1:y?y0?k1(x?x),l:y?02y?0k(x?2且x),k1k2?012.由l1与圆c:(x?2)?y?2相

22切，得

2k1?y0?k1?12k1x0?2，

即 ??x0?(2同理可得 ??x0?(222)??k1??2?2(x20?2(x20y0?k)2?y?0y0?k)2?y?022 20.022)??k2??2. 2022?从而k1,k2是方程?(2?x)?2k?2(2?x)yk?y?2?0的两个实根，于是 0000??2?(2?x0)?2?0,? ? ① 22???8???(2?x0)?y0?2??0,?且k1k2?y0?2(2?x2)?222?2.

22?x0y0??1,?10?16122x?. 5x?8x?36?0.x?2,由?得解得或000025y?210??2??(2?x0)?22由x0??2得y0??3;由x0?185得y0??575575185,它们满足①式，故点Ｐ的坐标为

(?2,3)，或(?2,?3)，或(185,)，或(,?575).

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出c,a,b即得椭圆E的

方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为

12，得出关于点P坐标的

一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标. 31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分）

设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足轨迹为曲线C。

当点A在圆上运动时，记点M的

（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

（2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】

解：（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x0,y0)，则由|DM|?m|DA|(m?0,且m?1)，

可得x?x0，|y|?m|y0|，所以x0?x，|y0|?1m|y|.

①

因为A点在单位圆上运动，所以x02?y02?1. ② 将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x?2ym22?1 (m?0,且m?1).

因为m?(0,1)?(1,??)，所以

当0?m?1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(?1?m2,0)，(1?m2,0)； 当m?1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0,?m2?1)，(0,m?1).

2

?k?0，（Ⅱ）解法1：如图2、3，设P(x1,kx1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?kx1)，N(0,kx1)，

直线QN的方程为y?2kx?kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得

(m?4k)x?4kx1x?kx1?m?0.

2222222依题意可知此方程的两根为?x1，x2，于是由韦达定理可得

?x1?x2??4kx1m?4k222，即x2?mx1m?4k222.

2kmx1m?4k222因为点H在直线QN上，所以y2?kx1?2kx2?.

2????????于是PQ?(?2x1,?2kx1)，PH?(x2?x1,y2?kx1)?(?????????4(2?m2)k2x21?0而PQ?PH等价于PQ?PH?22m?4k4kx1m?4k22,2kmx1m?4k222).

，

即2?m2?0，又m?0，得m?2， 故存在m?2，使得在其对应的椭圆x?2y22?1上，对任意的k?0，

都有PQ?PH.

y y y H A H N P P N M O x O x O D x Q

解法2：如图2、3，?x1?(0,1)，设P(x1,y1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?y1)，

N(0,y1)，

2222??mx1?y1?m,因为P，H两点在椭圆C上，所以?2222??mx2?y2?m, 两式相减可得

m(x1?x2)?(y1?y2)?0. ③

22222依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合， 故(x1?x2)(x1?x2)?0. 于是由③式可得

(y1?y2)(y1?y2)(x1?x2)(x1?x2)??m2. ④

2y1x1?y1?y2x1?x2又Q，N，H三点共线，所以kQN?kQH，即于是由④式可得kPQ?kPH?y1x1?y1?y2x1?x2.

21(y?y2)(y1?y2)m??1??2(x1?x2)(x1?x2)2.

2而PQ?PH等价于kPQ?kPH??1，即?m222??1，又m?0，得m?y2，

故存在m?2，使得在其对应的椭圆x?2?1上，对任意的k?0，都有

PQ?PH.

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想

以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

2已知抛物线C:y?(x?1)与圆M:(x?1)?(y?212)?r(r?0)有一个公共点A，

22且在点A处两曲线的切线为同一直线l. （Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，

并在此基础上求解点到直线的距离。

解：（1）设A(x0,(x0?1)2)，对y?x?(x?1)2求导得y??2(x?1)，故直线l的斜率

k?2(x0?1)，当x0?1时，不合题意，所心x0?1

12

圆心为M(1,)，MA的斜率k??21(x0?1)?x0?12由l?MA知kk???1，即2(x0?1)?(x0?1)?x0?1212??1，解得x?0，故A(0,1) 0所以r?|MA|?(1?0)?(212?1)?252 22（2）设(a,(a?1))为C上一点，则在该点处的切线方程为y?(a?1)?2(a?1)(x?a)即

y?2(a?1)x?a?1

2若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为

12252，即

|2(a?1)?1??a?1|22?52，化简可得a2(a2?4a?6)?0

[2(a?1)]?(?1)求解可得a0?0,a1?2?10,a2?2?10 2抛物线C在点(ai,(ai?1))(i?0,1,2)处的切线分别为l,m,n，其方程分别为

y?2x?1① y?2(a1?1)x?a1?1② y?2(a2?1)x?a2?1③

22②－③得x?a1?a22?2，将x?2代入②得y??1，故D(2,?1)

所以D到直线l的距离为d?|2?2?(?1)?1|2?(?1)22?655。

【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。 33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)

如图，动圆C1:x2?y2?t2,1

x与椭圆C2：?y2?1相交于A，B，C，D四点，点A1,A292分别为C2的左，右顶点。

(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并

求出其最大面积；

(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。

【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 【解析】(Ⅰ)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S=4|x0|y0|， x0922020由?y?1得，y?1?x092，

∴xy=x(1?当x0?2202020x092)=?1219(x0?292)?294，

92，y0?2时，Smax=6，

∴t=5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6. ??6分 (Ⅱ) 设A?x1,y1?,B?x1,-y1?，又知A1?-3,0?,A2?3,0?，则 直线A1A的方程为 y=直线A2B的方程为 由①②得 y=2y1x1+3-y1x1-3?x+3? ①

y=-y1222?x-3? ②

-322x1-3?x2? ③

2?x12?由点A?x1,y1?在椭圆C0上，故可得2+y1=1，从而有y1=?1-2?，代入③得

3?3?x1x29-y=1?x<-3,y<0?

2∴直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程为

x29-y=1?x<-3,y<0? ??12分

2【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函

数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 34.【2012高考江西文20】（本小题满分13分） 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足

（1）求曲线C的方程；

（2）点Q（x0,y0）(-2

????????????????????? 【解析】（1）MA?(?2?x,1?y)，MB?(2?x,1?y)，OM?(x,y),OA?OB?(0,2)

代入式子可得4x2?4(1?y)2?2y?2整理得x2?4y （2）设Q(x0,x042)；则S?QAB?2(1?2x042)，kl?y?x?x0?x02

得：l:y?x04?x02(x?x0)交y轴于点M(0,?x042)?PM?1?x042

lPA:x?y?1?0,lP 可求xD?x0?22B:x?y?1?与0l:y?x0?22x042?x02(x?x0)联立：

,xE??xD?xE?2

?S?PDE?12?xD?xE?PM?1?x024

?SQAB:S?PDE?2

35.【2012高考四川文21】(本小题满分12分)

如图，动点M与两定点A(?1,0)、B(1,0)构成?MAB，且直线MA、MB的斜率之积

yMA为4，设动点M的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程；

OBx

（Ⅱ）设直线y?x?m(m?0)与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且

|PQ|?|PR，求||PR||PQ|的取值范围。

[解析]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线

MB的斜率不存在。

于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为由题意，有

y2

2

yX?1，MB的斜率为

yx?1.

X?1x?1·y=4

化简可得，4x-y-4=0

故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分 ?y?x?m22

（2）由?2消去y，可得3x-2mx-m-4=0. (﹡) 2?4x?y?4?0 对于方程(﹡)，其判别式

?=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0

而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.

结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1

设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根. 因为PQ?PR,所以

XQ?X2R，

XQ?m?2m32?3,XP?m?2m32?3

21?3所以

PRPQ?XXPR?21?m3m3?1?1?221?3。

22?1m?1此时1?3m2?1,且1?m2?2

所以1?1?21?23?3,且1?2221?3?253

mRP?1m?53?1所以1?PRPQ?XX?3,且PRPQ?XXRP

综上所述，

PRPQ的取值范围是（551，）?（，3） …………………………12分 33[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨

迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

36.【2012高考重庆文21】本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为

线段OF1,OF2 的中点分别为B1,B2 ，且△AB1B2是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）F1,F2 ，

求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1 作直线交椭圆于P,Q，PB2?QB2，求△PB2Q的面积

【答案】：（Ⅰ）

x220+

y24=1（Ⅱ）

16109

，OA?B1B2|

（*）

设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则y1,y2 是上面方程的两根，因此yy1?y2??16m?521?y2?4mm?52,

又

?????????B1P?(x1?2,y1),B2P?(x2?2,y2)???x2)?(m?1)y1y22，所以

????B1?P2(B??y1y2???P21?) x(?(my1?4)(my2?4)?y1y2?4m(y1?y2)?16

??16(m?1)m?516m?64m?52222?16m22m?5?16

????????????由PB2?QB2 ，知B2P?B2Q?0 ，即16m2?64?0 ，解得

m??2

当m?2 时，方程（*）化为：9y2?8y?16?0

,y2?4?4109故y1??PB2Q4?4109 ，|y1?y2|?161098109

的面积S?12|B1B2||y1?y2|? 当m??2 时，同理可得（或 综上所述，?PB2Q 的面积为

由对称性可得）?PB2Q 的面积S16109?16109 。

37.【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）

x2已知椭圆C1:4?y?1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率。

2（1）求椭圆C2的方程；

????????（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB?2OA，求直线AB的方程。

【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆C2的方程为

32ya22?x24?1?a?2?，

其离心率为，故y2a?4a?x22?32，则

a?4．

故椭圆C2的方程为164?1．

（Ⅱ）解法一：A，B两点的坐标分别为?xA，yA?，?xB，yB?，

???????? 由AB?2OA及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，

因此可设直线AB的方程为y?kx．

x2 将y?kx代入

4y2?y2?1中，得?1?4k2?x2?4，所以xA?241?4k162，

将y?kx代入

16+x24?1中，得?4?k2?x2?16，所以xB?24?k2，

????????22 又由AB?2OA，得xB?4xA，即

164?k2?161?4k2．

解得k??1，故直线AB的方程为y?x或y??x． 解法二：A，B 两点的坐标分别为?xA,yA?,?xB,yB?，

由AB?2OA及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上， 因此可设直线AB的方程为y?kx．

x2 将y?kx代入

4?y2?1中，得?1?4k2?x2?4，所以xA?241?4k2，

????????2 又由AB?2OA，得xB?y2161?4k2，y2B?16k221?4k，

将x,y代入

2B2B16?x24?14?k2中，得1?4k2?1，即4?k2?1?4k，

2 解得k??1，故直线AB的方程为y?x或y??x

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