9.22高二立体几何试卷线面关系,面面关系 - 副本

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高二立体几何试卷线面，面面关系

1、用m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，给出下列命题： ①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； ②若m∥α，α⊥β则m⊥β； ③若m⊥β，α⊥β，则m∥α； ④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β， 其中，正确命题是__________

2、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．

3、如图，在四棱锥A﹣CDEF中，四边形CDFE为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，AF⊥平面CEFD，P为AD中点，EC= FD．

（Ⅰ）求证：CP∥平面AEF；

（Ⅱ）设EF=2，AF=3，FD=4，求点F到平面ACD的距离．

4、如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点． （Ⅰ）求证：平面FGH∥平面PDE； （Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；

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（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

5、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB=2CD，AC交BD于O，锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ=2QC． (1)求证：PA∥平面QBD； (2)求证BD⊥AD．

6、如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF． (1)求证：EF∥平ABD面；

(2)若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．

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7、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证： (1)AC⊥BC1； (2)AC1∥平面B1CD．

8、已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底面 ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点． (1)证明：DN∥平面PMB； (2)证明：平面PMB⊥平面PAD； (3)直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

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9、如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点． (1)求证：直线BD1∥平面PAC； (2)求证：直线PB1⊥平面PAC． (3)求三棱锥B﹣PAC的体积．

10、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证： (1)DE∥平面B1BCC1； (2)平面A1BC⊥平面A1ACC1．

11、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

(1)求证：PA∥平面BDE； (2)求证：PB⊥平面DEF．

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12、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB= (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面ABE．

13、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，分E，F，G别为PD，AB，CD的中点，PD⊥平面ABCD (1)证明AC⊥PB

(2)证明：平面PBC∥平面EFG．

=AC=2，E，F分别为A1C1， BC的中点．

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24、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=

．

(1)求证：AB⊥平面BCF；

(2)求直线AE与平面BDE所成角的正切值．

25、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内求一点G，使FG⊥平面PCB，并证明你的结论； (3)求三棱锥B﹣DEF的体积．

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26、已知正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点． (1)求证：AB∥平面DFG； (2)求证：FG⊥平面BDE； (3)求该多面体体积．

27、在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1=2，A1A=4，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证： (1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE；

(3)若B1C1=2，求三棱锥F﹣ADE的体积．

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答案解析部分

一、单选题

1、【答案】D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系

α，∴①错误．当m∥α，α⊥β，m与β【解析】【解答】解：当m⊥n，m⊥α时，除了n∥α外，还有可能是n?β，∴②错误． 的关系并不能确定，如右图，还可能出现m?

α，∴③错误 当m⊥β，α⊥β，除了m∥α外，还有可能m?

α或n∥α，又∵n⊥β，∴α⊥β，④正确 当m⊥n，m⊥α时，n?故选：D．

【分析】利用空间直线与平面的位置关系，逐一判断．①考虑到n除了平行于α外，还有可能在α内，②画出不成立的情况说明．③除了m平行于α外，还有可能在α内，④利用两平面垂直的判定定理证明． 二、填空题

2、【答案】③④ 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】【解答】解：∵A、M、C、C1四点不共面 ∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误； 同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误． 同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确； 同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确； 故答案为：③④

【分析】根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线． 三、解答题

3、【答案】（I）证明：如图所示，取AF的中点Q，连接PQ，QE．

又P为AD中点，∴PQ∥FD，PQ= 又CE∥DF，EC=

FD．∴PQ

FD，

EC，∴四边形CEQP是平行四边形，∴CP∥EQ，又CP?平面AEF，EQ?平面AEF，

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∴CP∥平面AEF．

（II）解：设点F到平面ACD的距离为h． 取FD的中点M，则EC

FM，∴四边形CEFM是平行四边形，又EF⊥FD，EF=FM=2，

∴四边形CEMF是正方形，∴CM=FM=MD=2， ∴CD⊥CF，

又∵AF⊥平面CEFD，∴CD⊥AC． S△ACD=

AC?CD=

×2=

．

由VA﹣CDF=VF﹣ACD， ∴

×AF=

×h，

∴h= = ．

【考点】直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算

【解析】【分析】（I）如图所示，取AF的中点Q，连接PQ，QE．利用三角形中位线定理可得：PQ∥FD，PQ= EC= 又CE∥DF，

FD，

FD．可得四边形CEQP是平行四边形，于是CP∥EQ，利用线面平行的判定定理可得CP∥平面AEF（．II）

FM，利用正方形的判定定理可得四边形CEMF是正方形，

设点F到平面ACD的距离为h．取FD的中点M，则EC

可得CD⊥CF，利用三垂线定理可得：CD⊥AC．利用VA﹣CDF=VF﹣ACD，即可得出． 4、【答案】证明：（Ⅰ）因为F，G分别为BP，BE的中点，所以FG∥PE． 又因为FG?平面PED，PE?平面PED， 所以，FG∥平面PED， 同理FH∥BC， 又BC∥AD， 所以FH∥平面PDE

而FG∩FH=F，故平面FGH∥平面PDE （Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD， 所以EA⊥CB．

又因为CB⊥AB，AB∩AE=A， 所以CB⊥平面ABE．

由已知F，H分别为线段PB，PC的中点， 所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE． 而FH?平面FGH， 所以平面FGH⊥平面ABE．

（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM． 证明如下：

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在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2， 所以BE=

．

在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2， 所以PE= 所以PE=BE．

又因为F为PB的中点， 所以EF⊥PB．

要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM． 因为PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥CB，

又因为CB⊥CD，PD∩CD=D， 所以CB⊥平面PCD， 而PC?平面PCD， 所以CB⊥PC．

若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得PM：PB=PF：PC． 由已知可求得PB=2

，PF=

，PC=2

，

，

所以PM=

【考点】平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形的中位线的性质证明FG∥PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论．（Ⅱ）先证明EA⊥CB、CB⊥AB，可得CB⊥平面ABE．再根据FH∥BC，则FH⊥平面ABE．（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，满足条件．先证明PE=BE，根据F为PB的中点，可得EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM即可．此时，则△PFM∽△PCB，根据对应边成比列求得PB、PF、PC的值，可得PM的值 四、综合题

5、【答案】（1）证明：如图，连接OQ，因为AB∥CD，AB=2 CD， 所以AO=2OC，又PQ=2QC， 所以PA∥OQ，

又OQ?平面QBD，PA?平面QBD， 所以PA∥平面QBD

（2）证明：在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， PH?平面PAD，所以PH⊥平面ABCD

又BD?平面ABCD，所以PH⊥BD，又PA⊥BD，

且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAD， 又AD?平面PAD，所以BD⊥AD．

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质

【解析】【分析】（1）连接OQ，可得PA∥OQ，即可证得PA∥平面QBD．

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（2）在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，可得PH⊥平面ABCD，即可得PH⊥BD，可得到以BD⊥平面PAD，即BD⊥AD．

6、【答案】（1）证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD?平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF， ∴BD∥EF，又BD?平面ABD，EF?平面ABD， ∴EF∥平ABD面．

（2）解：∵AE⊥平面BCD，CD?平面BCD， ∴AE⊥CD， 由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD， ∴EF⊥CD，

又AE∩EF=E，AE?平面AEF，EF?平面AEF， ∴CD⊥平面AEF，又CD?平面ACD， ∴平面AEF⊥平面ACD

【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质可得BD∥EF，从而得出EF∥平面ABD；（2）由AE⊥平面BCD可得AE⊥CD，由BD⊥CD，BD∥EF可得EF⊥CD，从而有CD⊥平面AEF，故而平面AEF⊥平面ACD． 7、【答案】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC， ∴CC1⊥AC， 又AC⊥BC，BC∩CC1=C， ∴AC⊥平面BCC1B1 ∴AC⊥BC1

BCC1B1为平行四边形， ∴OD（2）证明：设BC1与B1C的交点为O，连接OD，则O为B1C中点，又D是AB的中点，是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1， 又∵AC1?平面B1CD，OD?平面B1CD， ∴AC1∥平面B1CD

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定

【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1， BC1?平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1?平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．

8、【答案】（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点， 所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ． ∵MQ?平面PMB，DN?平面PMB ∴DN∥平面PMB

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（2）证明：∵PD⊥底ABCD，MB?平面ABCD， ∴PD⊥MB 又∵底面ABCD为菱形，∠A=60°且M为AD中点， ∴MB⊥AD．

又∵AD、PD是平面PAD内的相交直线，∴MB⊥平面PAD． ∵MB?平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD

（3）解：设CD中点为E，连接PE，DE， ∵底面ABCD是∠A=60°、边长为a 的菱形 ∴△BCD是等边三角形， ∴BE⊥DC， ∵PD⊥底面 ABCD， ∴PD⊥BE， ∴BE⊥平面PCD，

∴∠PBE为直线PB与平面PCD所成角， ∵BE=

a，PA=

，

∴sin∠BPE=

【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角

【解析】【分析】（1）取PB中点Q，连结MQ、NQ，利用三角形中位线定理和菱形的性质，证出DN∥MQ．利用线面平行判定定理，即可证出DN∥平面PMB；（2）由菱形ABCD中∠A=60°，得到△ABD是正三角形，从而MB⊥AD．由PD⊥底ABCD得到PD⊥MB，利用线面垂直的判定定理，证出MB⊥平面PAD，结合面面垂直判定定理可得平面PMB⊥平面PAD；（3）证明△BCD为等边三角形，设CD中点为E，连接PE，DE，可得∠PBE为直线PB与平面PCD所成角．

9、【答案】（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1， BD的中点，故PO∥BD1， 所以直线BD1∥平面PAC

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222

（2）证明：PC=2，PB1=3，B1C=5，所以△PB1C是直角三角形．所以PB1⊥PC，

同理PB1⊥PA，所以直线PB1⊥平面PAC

（3）解：因为P为中点，所以PD=1，易知△ABC为直角三角形，且AB=BC=1，所以

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）直接利用三角形的中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得到结论．（2）利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理得逆定理得到线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到结论．（3）利用等体积法，求三棱锥B﹣PAC的体积．

10、【答案】（1）证明：由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点， ∴DE∥BC， ∵DE?平面B1BCC1， BC?平面B1BCC1， ∴DE∥平面B1BCC1

（2）证明：∵AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴AA1⊥BC， ∵AC⊥BC，AC∩AA1=A， ∴BC⊥平面A1ACC1， ∵BC?平面A1BC， ∴平面A1BC⊥平面A1ACC1

【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥BC，即可证明DE∥平面B1BCC1；（2）证明BC⊥平面A1ACC1，即可证明平面A1BC⊥平面A1ACC1．

11、【答案】（1）证明：连结AC，设AC交BD于O，连结EO， ∵底面ABCD中矩形，∴点O是AC的中点， 又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO， ∵EO?平面BDE，PA?平面BDE， ∴PA∥平面EO

（2）证明：PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD， ∴PD⊥BC， ∵底面ABCD中矩形，∴CD⊥BC， ∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDC， ∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE，

∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC， ∵PC∩BC=C，∴DE⊥PB，

又∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE?平面DEF，EF?平面DEF， ∴PB⊥平面DEF．

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【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，则PA∥EO，由此能证明PA∥平面EO．（2）由已知得PD⊥BC，CD⊥BC，从而BC⊥平面PDC，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，DE⊥PB，由此能证明PB⊥平面DEF． 12、【答案】（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC， ∴BB1⊥AB，∵ ∴AB⊥BC，

∵BC∩BB1=B，∴AB⊥平面B1BCC1， 又AB?平面ABE， ∴平面ABE⊥平面B1BCC1

（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG， ∵E，F分别是A1C1， BC的中点， ∴

，∵

，∴

，

∴FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG， 又EG?平面ABE，C1F?平面ABE， ∴C1F∥平面ABE．

【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）运用直三棱柱侧棱垂直于底面，以及勾股定理的逆定理，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面B1BCC1，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）取AB的中点G，连接EG，FG，运用平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证．

13、【答案】（1）证明：连结BD， ∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC， ∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC， 又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD， ∵PB?平面PBD，∴AC⊥PB

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（2）证明：∵G、E分别为CD、PD的中点，∴CE∥PC，又GE?平面PBC，PC?平面PBC， ∴GE∥平面PBC，

在正方形ABCD中，G、F分别为CD、AB的中点， ∴GF∥BC，又GF?平面PBC，BC?平面PBC， ∴GF∥平面PBC，

∵GF∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面平行的判定

【解析】【分析】（1）连结BD，推导出PD⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．（2）推导出GE∥平面PBC，GF∥平面PBC，由此能证明平面PBC∥平面EFG．

14、【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AD⊥CD， ∴CD⊥BC，又CD⊥PB，BC?平面PBC，PB?平面PBC，BC∩PB=B， ∴CD⊥平面PBC， 又CD?平面PCD， ∴平面PCD⊥平面PBC

（2）证明：连结BD交AC于O，连结EO．

∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∴

又PE=2ED，即∴OE∥PB，

∵OE?平面EAC，PB?平面EAC， ∴PB∥平面AEC．

【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定

【解析】【分析】（1）由CD⊥BC，CD⊥PB得出CD⊥平面PBC，故而平面PCD⊥平面PBC；（2）连结BD交AC于O，连结EO．利用三角形相似得出

，从而得到OE∥PB，得出结论．

，

，

15、【答案】（1）证明：∵D，E为中点， ∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC， 又∵ABC﹣A1B1C1为棱柱， ∴AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， A1C1F， 又∵A1C1?平面A1C1F，且DE?∴DE∥平面A1C1F

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（2）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1， 又∵A1C1⊥A1B1且AA1∩A1B1=A1， AA1， A1B1?平面AA1B1B， ∴A1C1⊥平面AA1B1B，

又A1C1∥AC∥DE，∴DE⊥平面AA1B1B， 又∵A1F?平面AA1B1B，∴DE⊥A1F

又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE，B1D?平面B1DE， ∴A1F⊥平面B1DE，

A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F 又∵A1F?

【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）推导出DE∥AC，从而DE∥A1C1，由此能证明DE∥平面A1C1F．（2）推导出AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面AA1B1B，进而DE⊥平面AA1B1B，再由DE⊥A1F，得A1F⊥平面B1DE，由此能证明平面B1DE⊥平面A1C1F．

16、【答案】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，

∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角， 在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°， ∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°

（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA， 由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A， ∴CD⊥面PAC，

又AE?面PAC，∴AE⊥CD，

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA， ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC， 又PC∩CD=C， 综上，AE⊥平面PCD．

（3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD， ∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，

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由已知得∠CAD=30°， 设AC=a，得PA=a，AD=

，PD=

，AE=

，

在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM?PD=PA?AD，

∴AM= = ，

在Rt△AEM中，sin∠AME= ．

∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．

【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，用空间向量求平面间的夹角

【解析】【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值． 17、【答案】（1）证明：∵BG∥AF，BG?平面ADEF，AF?平面ADEF， ∴BG∥平面ADEF； 同理，BC∥平面ADEF． 又∵BG∩BC=B，

∴平面BCG∥平面ADEF， ∴CG∥平面ADEF

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（2）证明：如图，连接FG，GO，EQ，AC，AR，SD．

∵GO∥SD，平面EPQ∥平面RAC，在正方体中FSTR﹣ABCD中，显然体对角SD线∥平面RAC， ∴GO⊥平面EPQ．

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）欲证明CG∥平面ADEF，只需推知平面BCG∥平面ADEF即可．（2）如图，通过作辅助线构建正方体，结合正方体的性质进行证明即可．

18、【答案】（1）解：∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN∥CD． ∴∠BCD是直线MN与BC所成的角． 又∵BC⊥CD，

直线MN与BC所成的角为90°

（2）解：证明：∵AB⊥平面BCD，CD?面BCD， ∴AB⊥CD． 而BC⊥CD，AB∩BC=B， ∴CD⊥面ABC． 又∵CD?面ACD，

平面ACD⊥平面ABC

【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理可得MN∥CD，因此∠BCD是直线MN与BC所成的角．即可得出．（2）由AB⊥平面BCD，可得AB⊥CD．而BC⊥CD，可得CD⊥面ABC．即可证明． 19、【答案】（1）证明：连接A1B交AB1于E，由题意知E是A1B中点， ∵点D是BC的中点，∴在△A1CB中ED是三角形的中位线， ∴ED∥A1C，

∵ED?平面AB1D，A1C不包含于平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D

（2）证明：∵BC=BB1， ∴A1B1BA是菱形，∴AB1⊥A1B，连结EM，AM，B1M，BM，A1M， ∵E是AB1中点，M是CC1中点， ∴EM⊥平面A1B1BA，∴A1C⊥EM， ∴A1C⊥平面A1BM，

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∵MB?平面A1BM，∴MB⊥AB1

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质

【解析】【分析】（1）连接A1B交AB1于E，从而得到ED是三角形的中位线，由此能证明A1C∥平面AB1D．（2）由BC=BB1，得AB1⊥A1B，连结EM，得EM⊥平面A1B1BA，从而得到A1C⊥EM，进而得到A1C⊥平面A1BM，由此能证明MB⊥AB1．

20、【答案】（1）证明：∵E、G分别为SA、SC的中点， ∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．

∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，

∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC 又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线， ∴平面EFG∥平面ABC

（2）证明：连接AF，CF， ∵AS=AB，CS=CB， ∴SB⊥AF，SB⊥FC， ∵AF∩CF=F， ∴SB⊥平面AFC， ∵AC?平面AFC，

∴SB⊥AC

【考点】平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质

【解析】【分析】（1）证明EF∥平面ABC，EG∥平面ABC，即可证明平面EFG∥平面ABC；（2）连接AF，CF，转化证明SB⊥平面AFC，即可得证SB⊥AC．

21、【答案】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴EC∥PD，又PD?平面PDA，EC?平面PDA，

∴EC∥平面PDA， ∵四边形ABCD为正方形，

∴BC∥AD，又AD?平面PDA，BC?平面PDA， ∴BC∥平面PDA，

∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，EC∩BC=C， ∴平面EBC∥平面PDA．

∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点，（2）证明：设AC与BD相交于点O，连接NO，又N为PB的中点， ∴NO∥PD且NO=

PD，

，

又由（1）得EC∥PD，且

∴NO∥EC且NO=EC，∴四边形NOCE为平行四边形，

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∴NE∥OC，即NE∥A，C

∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD， 又DB⊥AC，PD∩BD=D ∴AC⊥平面PBD，又NE∥AC， ∴NE⊥平面PDB．

【考点】平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）由线面垂直性质得EC∥PD，由四边形ABCD为正方形，得BC∥AD，由此能证明平面EBC∥平面PDA．（2）推导出四边形NOCE为平行四边形，从而AC⊥PD，再由DB⊥AC，能证明NE⊥平面PDB． 22、【答案】（1）解：因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC又EO?平面PCD，PC?平面PCD，所以EO∥平面PCD

同理可证，FO∥平面PCD，又EO∩FO=O 所以，平面EFO∥平面PCD

（2）解：因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC

又BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD 【考点】平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）由题意知，EO∥PC，由线面平行的判定定理得到EO∥平面PCD，同理可证，FO∥平面PCD，再由面面平行的判定定理，即得证平面EFO∥平面PCD．（2）由于PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，再由已知得到BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，即得证平面PAC⊥平面PBD．

23、【答案】（1）证明：∵M，N分别为棱DD1， A1D1的中点，∴MN∥A1D， ∵A1D?平面A1DE，MN?平面A1DE，∴MN∥平面A1CD． ∵E是BC中点，N是A1D1的中点，∴A1N=CE，A1N∥CE， ∴四边形A1ECN是平行四边形，∴CN∥A1E， ∵A1E?平面A1DE，CN?平面A1DE，∴CN∥平面A1CD， 又∵MN∩CN=N，MN?平面MCN，CN?平面MCN， ∴平面CMN∥平面A1DE．

（2）证明：∵AA1⊥平面ABCD，DE?平面ABCD， ∴AA1⊥DE．

∵AB=1，AD=2，E为BC的中点， ∴

，

∴EA2+ED2=AD2，即AE⊥DE．

∵AA1?平面AA1E，AE?平面AA1E，AE∩AA1=A， ∴DE⊥平面A1AE．

又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面A1AE．

【考点】平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】（I）由中位线定理可得MN∥A1D，由长方体的结构特征可得四边形A1ECN是平行四边形，故CN∥A1E，从而平面CMN∥平面A1DE；（2）由AA1⊥平面ABCD可得AA1⊥DE，由线段的长度可由勾股定理的逆定理得出AE⊥DE，故DE⊥平面A1AE，从而平面A1DE⊥平面A1AE．

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24、【答案】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1， ∵EF∥平面ABCD，EF?平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB， ∴EF∥AB，即EF∥MB． ∵EF=MB=1

∴四边形EMBF是平行四边形． ∴EM∥FB，EM=FB．

222

在Rt△BFC中，FB+FC=BC=4，又FB=FC，得FB=

．

∴EM= ．

，AM=1，EM=

，

在△AEM中，AE= ∴AM2+EM2=3=AE2， ∴AM⊥EM．

∴AM⊥FB，即AB⊥FB． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB⊥BC．

∵FB∩BC=B，FB?平面BCF，BC?平面BCF， ∴AB⊥平面BCF．

（2）解：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接OH，EO，FH， 则OH∥AB，OH=

AB=1．

AB，

由（1）知EF∥AB，且EF= ∴EF∥OH，且EF=OH．

∴四边形EOHF是平行四边形． ∴E0∥FH，且EO=FH=1．

由（1）知AB⊥平面BCF，又FH?平面BCF， ∴FH⊥AB，

∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH?平面ABCD，BC平面ABCD， ∴FH⊥平面ABCD． ∴E0⊥平面ABCD． ∵AO?平面ABCD， ∴EO⊥AO．

∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO?平面EBD，BD平面EBD， ∴AO⊥平面EBD．

∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角． 在Rt△AOE中，tan∠AEO=

=

．

．

∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为

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【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角

【解析】【分析】（1）先证明出四边形EMBF是平行四边形，推断出EM∥FB，EM=FB．进而在Rt△BFC中求得EM，

222

在△AEM中，根据边长推断出AM+EM=3=AE，进而证明出AM⊥EM．然后证明出四边形ABCD是正方形，进而推

断出AB⊥BC．最后通过线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面BCF．（2）先证明出∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角，进而在Rt△AOE中，求得tan∠AEO．

25、【答案】（1）证明：（1）因为底面ABCD是的正方形，所以AD⊥DC．又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥CD． 又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD， 又PA?平面PAD，所以CD⊥PA．

因为E，F分别是AB，PB的中点，所以EF∥PA 所以EF⊥CD．

（2）解：当G为AD的中点时，FG⊥平面PCB．证明：设BD的中点为O，连接OF，OG，PG，GB． 因为O，F，G分别是BD，PB，AD的中点，所以FO∥PD，GO∥AB． 因为AB⊥BC，所以GO⊥BC，所以BC⊥平面GFO． 又GF?平面GFO，所以GF⊥BC． 因为PD=DC=2，所以

又F是PB的中点，所以GF⊥PB， 所以GF⊥平面PCB．

（3）解：∵PD⊥底面ABCD，O，F分别是DB，PB的中点， ∴FO⊥平面BDE，且FO= S△BDE=

=1，

PD=1，

．

∴三棱锥B﹣DEF的体积

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）推导出AD⊥DC，PD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥PA，再由EF∥PA，能证明EF⊥CD．（2）

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当G为AD的中点时，设BD的中点为O，连接OF，OG，PG，GB．推导出BC⊥平面GFO，从而GF⊥BC，推导出GF⊥PB，由此得到GF⊥平面PCB．（3）三棱锥B﹣DEF的体积VB﹣DEF=VF﹣BDE．由此能求出结果．

26、【答案】（1）证明：∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点， ∴BG

AD，∴四边形BGDA是平行四边形，∴AB∥DG，

∵AB?平面DFG，DG?平面DFG， ∴AB∥平面DFG．

（2）∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点， ∴BF=FG=BG=EF=2，∴∠BFE=120°，∠BFE=60°，

∴∠FBE=∠FEB=30°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE，∴FG⊥BE， ∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直， ∴FG⊥DE，

∵BE∩DE=E，∴FG⊥平面BDE．

（3）解：∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点， ∴S梯形BCEF= S△ADF=

=3

，DE=2，

，

=2，B平面ADF的距离d=

∴该多面体体积： V=VD﹣BCEF+VB﹣ADF=

= = ．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定

【解析】【分析】（1）推导出四边形BGDA是平行四边形，从而AB∥DG，由此能证明AB∥平面DFG．（2）推导出FG⊥BE，FG⊥DE，由此能证明FG⊥平面BDE．（3）该多面体体积V=VD﹣BCEF+VB﹣ADF，由此能求出结果． 27、【答案】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，∴CC1⊥AD． 又∵AD⊥DE，CC1， DE?平面BCC1B1， CC1∩DE=E， ∴AD⊥平面BCC1B1．又AD?平面ADE， ∴平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）证明：∵A1B1=A1C1， F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1． ∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， ∴CC1⊥A1F．

又∵CC1， B1C1?平面BCC1B1， CC1∩B1C1=C1，

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∴A1F⊥平面BCC1B1．

由（1）知AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD． 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，∴A1F∥平面ADE； （3）解：∵A1B1=A1C1=B1C1=2，∴AD=

，又A1A=4，∴

，

∴ ．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定

【解析】【分析】（1）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得CC1⊥平面ABC，进一步得CC1⊥AD．又AD⊥DE，由线面垂直的判定得AD⊥平面BCC1B1．再由面面垂直的判定得平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）由A1B1=A1C1， F为B1C1的中点，得A1F⊥B1C1．进一步得CC1⊥A1F．可得A1F⊥平面BCC1B1．结合（1）知AD⊥平面BCC1B1，得A1F∥AD．再由线面平行的判定定理得A1F∥平面ADE；（3）直接利用等积法把三棱锥F﹣ADE的体积转化为A﹣FDE的体积求解．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ga73.html