山东省威海文登市2013届高三3月质量检测 数学（理）

高三理科数学适应性练习 2013.3

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.答第Ⅱ卷前将答题纸密封线内的项目填写清楚.

4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题纸各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z?1?2i1?i，则2的共轭复数是 1?iz?11111A．??i B．??i C．?i D．?i

2222??1?2?2.已知集合A???1,?，B?xmx?1?0，若A?B?B，则所有实数m组成的集合是

??A．?0,?1,2? B．??,0,1? C．??1,2? D． ??1,0,? 3.下列各小题中，p是q的充要条件的是 （1）p:cos??cos?; q:sin??sin?；

?1?2????1?2?（2）p:f(?x)??1; q:y?f(x)是奇函数； f(x)（3）p:A?B?B; q:CUB?CUA；

（4）p:m?2或m?6；q:y?x?mx?m?3有两个不同的零点. A．(1)(3) B．(3)(4) C．(3) D．(4)

4.已知随机变量?服从正态分布N(2,?)，且P(??4)?0.9，则P(0???2)?

A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6

22x2y2??1表示双曲线，则m的取值范围是 5.方程

2?mm?3A．2?m?3 B．?3?m?0 或0?m?2或m?3 C．m?3或?3?m?2 D．2?m?3或m??3

- 1 -

6.一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3?8且前

4项和S4?28，则此样本的平均数和中位数分别是

开始 A．22,23

B． 23,22 C．23,23 D．23,24

7.右面的程序框图中，若输出S的值为126，则图中应填上的 条件为

A．n?5 B．n?6 C．n?7 D．n?8 8.设函数f(x)?sin(2x? n?1,S?0否 是 （ ） 输出S ?6? )，则下列结论正确的是

A．f(x)的图像关于直线x? B．f(x)的图像关于点(?3对称

S?S?2n结束 ?6,0)对称

n?n?1 C．f(x)的最小正周期为?，且在[0, D．把f(x)的图像向右平移

?12]上为增函数

?????????????9.设O,A,B,M为平面上四点，OM??OA?(1??)OB,??(0,1)，则

A．点M在线段AB上 C．点A在线段BM上

B．点B在线段AM上 D．O,A,B,M四点共线

?个单位，得到一个偶函数的图像 12

10.二项式(ax?a333)的展开式的第二项的系数为?，则?x2dx的值为

?262A.3 B.

7710 C. 3或 D. 3或? 3332211.在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x?y?8x?15?0，若直线y?kx?2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为 A.2 B.

42 C. D. 3 3312.对于正实数?，记M?为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：?x1,x2?R且x2?x1，

有??(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??(x2?x1).下列结论中正确的是 A. 若f(x)?M?1,g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2

B. 若f(x)?M?1,g(x)?M?2且?1??2，则f(x)?g(x)?M?1??2

- 2 -

C. 若f(x)?M?1,g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2 D. 若f(x)?M?1,g(x)?M?2且g(x)?0，则

f(x)?M?1 g(x)?2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13.设不等式组??0?x?1表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标

?0?y?22原点的距离大于1的概率是 ．

214.已知命题p:?x??1,4?,x?a,命题q:?x?R,x?2ax?2?a?0,若命题“p且q”

是真命题,则实数a的取值范围为 . 15.如图，已知球O的面上有四点A,B,C,D，

DA?平面ABC,AB?BC,DA?AB?BC?2, 则球O的体积与表面积的比为 ．

16.函数f(x)?3sin?x?log1x的零点的个数是 ．

2三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

设?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC?(Ⅰ)求角A的大小;

(Ⅱ)若a?1,求?ABC的周长l的取值范围.

18.（本小题满分12分）

某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为

1c?b. 22，且各局比赛胜负互不影响. 3（Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；

（Ⅱ）设?表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量?的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD ⊥平面DEFG，BA?AC,ED?DG,EF∥DG． 且AC?1,AB?ED?EF?2 , AD?DG?4．

E

D F

G

A B C

- 3 -

（Ⅰ）求证：BE?平面DEFG; （Ⅱ）求证：BF∥平面ACGD； （Ⅲ）求二面角F?BC?A的余弦值． 20．（本题满分12分）

已知数列{an}为公差不为0的等差数列，Sn为前n项和，a5和a7的等差中项为11，且

a2?a5?a1?a14．令bn? （Ⅰ）求an及Tn；

1,数列{bn}的前n项和为Tn．

an?an?1 （Ⅱ）是否存在正整数m,n(1?m?n),使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有的

m,n的值；若不存在，请说明理由．

21.(本小题满分12分）

设点P(x,y)到直线x?2的距离与它到定点(1,0)的距离之比为2，并记点P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程;

（Ⅱ）设M(?2,0)，过点M的直线l与曲线C相交于E,F两点，当线段EF的中点落在由四点C1(?1,0),C2(1,0),B1(0,?1),B2(0,1)构成的四边形内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．

22.(本小题满分14分）

已知函数f(x)?ln(e?a?1)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数

xg(x)??f(x)?sinx在区间??1,1?上是减函数．

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若g(x)??t?1在x???1,1?上恒成立，求实数t的最大值； （Ⅲ）若关于x的方程

lnx?x2?2ex?m有且只有一个实数根，求m的值． f(x)

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201303理科数学 参考答案及评分标准

一、BACCD,CBCAC,BA

二、13.1??8 14. a?1或a??2 15. 1:3 16. 9

三．解答题

17.解(Ⅰ)由acosC?11c?b得sinAcosC?sinC?sinB ????2分 22又sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC

11?sinC??cosAsinC,?sinC?0,?cosA?? ????4分 222?又?0?A???A? ????6分

3(Ⅱ)由正弦定理得:b?asinB22?sinB,c?sinC

sinA33l?a?b?c?1?22sinB?sinC?1????sinB?sin?A?B?? 33?1?2132?(sinB?cosB)?1?sin(B?)????9分

23323?A?2????2?,?B?(0,),?B??(,),????10分 33333?3?sin(B?)?(,1]

32故?ABC的周长l的取值范围为(2,23?1]. ????12分

318解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为1?21?.????1分 33比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则

411211P2?C2????. ????4分

333381（Ⅱ）由题意知，?的取值为2,4,6. ???5分 则P(??2)?()?()?22125 ????6分

339201122211212 ????7分 P(??4)?C2()?C2()?33333381

- 5 -

1P(??6)?(C212216)? ????9分 3381所以随机变量?的分布列为

? P

2

5 94

20 816

16 81???10分

则E??2?52016266????12 ?4??6??981818119．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）?平面ABC∥平面DEFG,平面ABC?平面ADEB?AB,平面DEFG?平面

ADEB?DE,?AB∥DE ???1分

又?AB?DE,?四边形ADEB为平行四边形，?BE∥AD ??2分

?AD?面DEFG,?BE?平面DEFG.??3分

（Ⅱ）设DG的中点为M，连接AM,MF，则DM?1DG?2， 2B A

?EF?2,EF∥DG,∴四边形DEFM是平行四边形????4分

∴MF?DE且MF∥DE，由（Ⅰ）知，ADEB为平行四边形，∴AB?DE且AB∥DE,∴AB?MF且AB∥MF, ∴四边形ABFM是平行四边形，????5分

即BF∥AM，又BF?平面ACGD,故 BF∥平面

C

D E

F M

G

ACGD；????6分

（Ⅲ）由已知，AD,DE,DG两两垂直，建立如图的空间坐标系，则

A(0,0,4),B(2,0,4),C(0,1,4),F(2,2,0) ????????∴BF?(0,2,?4),BC?(?2,1,0)

??设平面FBC的法向量为n1?(x,y,z)，

?????????n1?BF?2y?4z?0则???， ?????n?BC??2x?y?0??1 A B C

??令z?1，则n1?(1,2,1)，

??????????n?n2?cos?n1,n2????1??|n1|?|n2|D ＝

???????而平面ABC的法向量n2?DA?(0,0,4)

∴

M F G E

- 6 -

?41?4?1?4?6 6 由图形可知，二面角F?BC?A的余弦值-6．????????12分 620解：（Ⅰ）因为{an}为等差数列，设公差为d，则由题意得

?a5?a7?22?2a1?10d?22??a2?a5?a1?a14?(a1?d)(a1?4d)?a1(a1?13d)整理得?所以an?1?(n?1)?2?2n?1?????3分 由bn??a1?5d?11?d?2??

a?1d?2a?1?111111??(?)

an?an?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1所以Tn?111111n?????5分 (1???????)?23352n?12n?12n?1n1mn，所以T1?,Tm? ,Tn?2n?132m?12n?1（Ⅱ）假设存在 由（Ⅰ）知，Tn?若T1,Tm,Tn成等比，则有

Tm2m21nm2n?T1?Tn?()???????8分 22m?132n?14m?4m?16n?34m2?4m?16n?334m?1?2m2????，。。。。。（1） 22mnnm因为n?0，所以4m?1?2m?0?1??266?m?1?，?????10分 22因为m?N,m?1,?m?2,，当m?2时，带入（1）式，得n?12； 综上，当m?2,n?12可以使T1,Tm,Tn成等比数列．?????12分 21解:（Ⅰ）有题意|x?2|(x?1)?y22?2， ??????2分

x2x22?y?1，所以曲线C的方程为?y2?1??????4分 整理得22（Ⅱ）显然直线l的斜率k存在，所以可设直线l的方程为y?k(x?2).

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设点E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 线段EF的中点为G(x0,y0)，

?y?k(x?2)?由?x2 2??y?1?2得(1?2k)x?8kx?8k?2?0

由??(8k)?4(1?2k)(8k?2)?0解得?2222222222．?(1) ????7分 ?k?22?8k2由韦达定理得x1?x2?，于是 21?2k4k2x1?x22k=?， ?????8分 x0?y?k(x?2)?00221?2k21?2k4k2因为x0???0，所以点G不可能在y轴的右边，

1?2k2又直线C1B2,C1B1,方程分别为y?x?1,y??x?1 所以点G在正方形内（包括边界）的充要条件为

?2k?4k2??12?22??y0?x0?1?2k?2k?1?0,?1?2k1?2k 即? 亦即?2 ??????10分 ?2??y0??x0?1?2k?2k?1?0.?2k?4k?1??1?2k21?2k2解得?3?13?1?k?，?????(2) 223?13?1,].??????12分 22由（1）（2）知，直线l斜率的取值范围是[?x22．解：（Ⅰ）?f(x)?ln(e?a?1)是实数集R上奇函数，

?f(0)?0，即ln(e0?a?1)?0?2?a?1?a??1 ??2分．

将a??1带入f(x)?lne?x，显然为奇函数． ??3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)??f(x)?sinx??x?sinx，?g'(x)???cosx,x???1,1?

x?要使g(x)是区间??1,1?上的减函数，则有g'(x)?0在x???1,1?恒成立，

- 8 -

???(?cosx)min，所以???1． ??5分

要使g(x)??t?1在x???1,1?上恒成立，

只需g(x)max?g(?1)????sin1??t?1在???1时恒成立即可． ?(t?1)??sin1?1?0(其中???1)恒成立即可． ???7分

令h(?)?(t?1)??sin1?1(???1)，则??t?1?0,?t?1?0,即?

?h(?1)?0,??t?2?sin1?0,?t?sin1?2，所以实数t的最大值为sin1?2 ???9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程

lnxlnx?x2?2ex?m，即?x2?2ex?m， f(x)x令f1(x)?

lnx,f2(x)?x2?2ex?m x1?lnx ?f'1(x)?2x当x??0,e?时，f'1(x)?0,?f1(x)在?0,e?上为增函数； 当x?[e,??)时，f'1(x)?0,?f1(x)在[e,??)上为减函数； 当x?e时，f1(x)max?21． ??????11分 e22而f2(x)?x?2ex?m?(x?e)?m?e

当x??0,e?时f2(x)是减函数，当x?[e,??)时，f2(x)是增函数， ?当x?e时，f2(x)min?m?e． ??????12分

只有当m?e?

22112，即m?e?时，方程有且只有一个实数根． ????14分 ee

- 9 -

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