高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式学案(含解析)新人教A版必修5

1 2.1 数列的概念与简单表示法

第一课时 数列的概念与通项公式

(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，12，13，14，15，16

. (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，….

(4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永

远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：12，14，18，116，132

，…. 问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 提示：按照一定的顺序排列．

[导入新知]

数列的概念

(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．

(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．

(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }．

[化解疑难]

1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．

2．项a n 与序号n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．

3．{a n }与a n 是不同概念：{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…；而a n 表示数列{a n }中的第n 项

. [提出问题]

问题：观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？

提示：数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)中有无穷多项；数列(1)中每一项都小于它的前一项，数列(2)中的项大小不确定，数列(3)中每一项都大于它的前一项，数列(4)中每一项都小于它的前一项．

[导入新知]

数列的分类

在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出．例如，数列1,2,3,4，…，100.表示有穷数列．但是如果把数列写成1,2,3,4，…，100，…就表示无穷数列．

[提出问题]

问题：仍然观察“知识点一”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？

提示：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示．

[导入新知]

数列的通项公式

如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

[化解疑难]

1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．

2．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．

2

3

[例1] (1)0,0,0,0,0,0；

(2)0，－1,2，－3,4，－5，…；

(3)0，12，23，…，n －1n

，…； (4)1,0.2,0.22,0.23，…；

(5)0，－1,0，…，cos n 2

π，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)

[解析] (1)是常数列且是有穷数列；

(2)是无穷摆动数列；

(3)是无穷递增数列? ??

??因为

n －1n ＝1－1n ； (4)是无穷递减数列；

(5)是无穷摆动数列．

[答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)

[类题通法]

判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列．

[活学活用]

给出下列数列：

(1)2009～2016年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.

(2)无穷多个3构成数列3，3，3，3，….

(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，5次幂……构成数列－2,4，－8,16，－32，….

(4)2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列 1,1.4,1.41,1.414，…；

2,1.5,1.42,1.415，….

分别指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列． 解：有穷数列：82,93,105,119,129,130,132,135.

4 无穷数列：3，3，3，3，…；

－2,4，－8,16，－32，…；

1,1.4,1.41,1.414，…；

2,1.5,1.42,1.415，….

递增数列：82,93,105,119,129,130,132,135；

1,1.4,1.41,1.414，….

递减数列：2,1.5,1.42,1.415，…. 常数列：3，3，3，3，….

摆动数列有：－2,4，－8,16，－32，….

[例2] (1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)112，245，3910，41617，…； (4)－11×2，12×3，－13×4，14×5

，…. [解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42

，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22

(n ∈N *)． (2)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1.

(3)因为112＝1＋1212＋1，245＝2＋2222＋1，3910＝3＋3232＋1，41617＝4＋4242＋1

，…， 所以该数列的一个通项公式为a n ＝n ＋n 2

n 2＋1.

(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)

n 1n n ＋.

[类题通法]

此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．这些方法的具体对象为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特

5 征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．

[活学活用]

写出下列数列的一个通项公式：

(1)0,3,8,15,24，…；

(2)1，－3,5，－7,9，…；

(3)0，22－25，32－310，42－417

，…； (4)1,11,111,1 111，….

解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.

(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)

n ＋1(2n －1)． (3)因为5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为a n ＝n 2－n n 2＋1

(n ∈N *)． (4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19

×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19

(10n －1).

[例3] 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝

n 2＋1. (1)写出该数列的第4项和第7项；

(2)试判断910和110

是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项；若不是，说明理由． [解] (1)由通项公式a n ＝n 2n 2＋1可得 a 4＝4242＋1＝1617，a 7＝7272＋1＝4950

. (2)令n 2

n 2＋1＝910，得n 2＝9， 所以n ＝3(n ＝－3舍去)，

故910

是该数列中的项，并且是第3项； 令n 2

n 2＋1＝110，得n 2＝19，

6 所以n ＝±13

， 由于±13

都不是正整数， 因此110

不是数列中的项． [类题通法]

1．数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．

2．判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．

[活学活用]

已知数列{a n }的通项公式为a n ＝q n ，且a 4－a 2＝72.

(1)求实数q 的值；

(2)判断－81是否为此数列中的项．

解：(1)由题意知q 4－q 2＝72?q 2＝9

或q 2＝－8(舍去)，

∴q ＝±3.

(2)当q ＝3时，a n ＝3n ，显然－81不是此数列中的项；

当q ＝－3时，a n ＝(－3)n

，

令(－3)n ＝－81＝－34，也无解．

∴－81不是此数列中的项

.

2.牢记数列中n ∈N *

[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2

－5n ＋4，求n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． [解] ∵a n ＝n 2－5n ＋4＝? ????n －522－94

， ∴可知对称轴为n ＝52

＝2.5. 又n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，

其最小值为a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.

[易错防范]

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