数学模型--人在雨中奔跑速度与淋雨量的关系

《数学模型与数学实验》 课程设计任务书 题目 学生姓名 设 计 内 容 与 要 求 雨中漫步 学号 专业班级 生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。 给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。 针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。 针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函数关系。分析表明当行走速度为vmax时，淋雨量最少。 针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。列出函数关系式分析并求解。 学生签名

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起止时间 摘要

本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的函数关系。分析表明当行走速度为

vmax时，淋雨量最少。

针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。列出函数关系式分析并求解。

关键词

淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度； 雨滴下落的速度，角度；降雨强度；

一、问题重述

生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其

中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν 。

1、 当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系？

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2、 当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为?，建立总淋雨量与速

度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系？

3、 当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为?，建立总淋雨量与速度v之间

的关系？

二、模型的假设与符号说明

2.1 基本假设

1、假设人行走的路线是直线；

2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；

3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。

2.2 符号说明 a---长方体的长 单位：米 b---长方体的宽 单位：米 c---长方体的厚度 单位：米

Q---淋雨量 单位：升

v---人行走的速度 单位：米每秒

---路程 单位：米

I---降雨强度 单位：厘米每小时 P---雨滴的密度 单位：

u---雨滴下落的速度 单位：米每秒 ?---雨迎面吹来时与人体的夹角 ?---与从后面吹来与人体的夹角

D三、问题分析

2.1 问题一分析

当雨滴垂直下落时（即没有风），此时只有顶部淋雨，淋雨量为

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Q?淋雨面积?降雨强度?淋雨时间

2.2 问题二分析

雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向上。雨迎面吹来时，由于雨相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算出前后侧上单位时间接受雨量。同理，头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前后侧单位时间接雨量，并分别乘以各自面积以及时间

Dv,即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的淋雨量.据此可得Q与v之间关系。

图1

2.3 问题三分析

雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为α，如图2所示。左右方向上淋雨量为0。头顶上单位时间内接收雨的量与雨速垂直方向上的分量成正比，头顶面积bc与时间的

Dv以及单位时间内接收雨的量之积。当v?usin?时，前方不受雨，

后方向上单位时间内淋雨量与人前进方向上人相对于雨的速度（usinθ-v）成正比，据此

推算出后方向上总淋雨量；而当v?usin?时，后方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞上雨滴，即前方向上单位时间内淋雨量与v?usin?成正比，即这时前方淋雨量为人体前面积ab和跑步时间由此可计算出总的淋雨量。

总的淋雨量=前（后）背淋雨量+顶部淋雨量

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Dv以及单位时间淋雨量之积。

据此可得Q与v之间关系。

图2

四、模型的建立与求解 3.1 问题一的求解 总述：当雨滴垂直下落时（即没有风），此时只有顶部淋雨，淋雨量为 Q?淋雨面积?降雨强度?淋雨时间 淋雨面积=bc 降雨强度=pu 淋雨时间=DvDv ?Q?bcpu 3.2 问题二的求解 雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前左右几个方向上。雨迎面吹来时，由于雨相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算

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出前后侧上单位时间接受雨量。同理，头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前侧单位时间接雨

量，并分别乘以各自面积以及时间淋雨量.据此可得Q与v之间关系。

Dv，即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的

图1

顶部淋雨量=淋雨面积?降雨强度?淋雨时间

=bcpucos??

vD前方淋雨量=淋雨面积?降雨强度?淋雨时间

=bap(usin??v)?Dv

总淋雨量=顶部淋雨量+前方淋雨量Q?bcpucos???bpDvDv?bap(usin??v)?Dv

[uccos??a(usin??v)]

3.3 问题三的求解

雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内且与人体夹角为α，如图2所示。左右方向上淋雨量为0。

先考虑v?usin?的情形，也就是说人走的速度慢于雨滴的水平分速度。这是雨滴淋在顶部和后背上，

且淋在后背的雨量为：abp(usin??v)?Dv6

其顶部淋雨量为： bcpucos??Dv

所以总的淋雨量=后背淋雨量+顶部淋雨量 即Q?abp(usin??v)?+bcpucos??

vvDD =

bpDv[uccos??a(usin??v)]

图2

当v?usin?时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面

顶部淋雨量： bcpucos??abp(?v 前面淋雨量：Dv

Dsui?n?)

vDD总的淋雨量：Q?bcpucos???abp(v?usin?)?

vv

DD?bcpucos???abp(v?usin?)???vv所以Q???abp(usin??v)?D+bcpucos??D?vv??u?sin?>v?

?u?sin??v?

五、结果表示与分析

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4.1问题一

因为假设人体表面积是定的，且降雨强度也是一定的，所以由Q?bcpuDv可以看出，

降雨强度Q只与人的行走速度v有关，且成反比，即人走得越快淋雨量越少。

4.2 问题二

上式应用了雨滴速度的分解及相对运动速度的概念，所以总的淋雨量

[uccos??a(usin??v)] vbpDuccos??bpDausin??bpDa ?vQ ?bpD其中假设夹角?一定，淋雨量Q随着v的变大而变小，即人走的越快淋雨量越少

4.3 问题三 DD?bcpucos???abp(v?usin?)??vv??pbDQ??(uccos?)?vDD?abp(usin??v)?+bcpucos???vv??u?sin?>v??v?usin?? ?u?sin??v? 此时表明：当v?usin?时，Q?pbDv(uccos?)，人仅仅只有头顶被雨水淋了，意味着身体前后都没被雨水淋到，当人的速度低于usin?时，则由于雨水落在背上，使得淋雨量增加；而人的速度大于usin?时，人的前面亦要淋到雨；所以人以可能的速度v?usin?走是最优策略。 六、模型评价

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通过对本题的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。本文忽略了降雨密度不均匀，风向不稳定等次要因素，以便更好的对问题进行分析和研究。但在实际问题中的限制性因素远远超过这些，因此此文的分析方法仍存在一定的局限性，有待改进和提高。如果能结合MATLAB来分析模型就更好了，虽然没学过那个软件，但从这次作业中看到自己的不足，在以后的学习中一定要多多了解有关软件。

七、参考文献

【1】数学建模，刘锋，葛照强，南京：南京大学出本社 2005 【2】全国大学生数学建模竞赛组委会，全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 ，北京：中国物价出版社，2002

【3】数学建模简明教程，党林立，孙晓群 主编，西安电子科技大学出版社

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