大学物理刚体的转动

第三章3.1 刚体的运动

刚体的转动A’A B B’ A” B”

刚体: 受力时不改变形状和体积的物体。 刚体的平动、定轴转动和复合运动 一、刚体的平动在运动过程中刚体上的任意一条 直线在各个时刻的位置都相互平行 任意质元运动都代表整体运动

刚体的平动

二、 刚体的定轴转动

用质心运动代表刚体的平动 (质心运动定理)

刚体所有质元都绕一固定直线(定轴)作圆周运动

1. 用角量描述转动 1) 角位移 θ :在 t 时间内刚体转动角度

z θ

2)角速度 :

3)角加速度 α :

刚体定轴转动

角速度

的方向按右手螺旋法则确定

2. 线量与角量关系

dS r d

ds d v r r dt dt

z

a

切向分量 法向分量

dv d a r r dt dt

v

dSP

v2 an r 2 r匀变速定轴转动 Od dt

r d

匀变速直线运动

dS v dtdv a dt

v v0 at 1 2 S v0t at 22 v 2 v0 2aS

0 t1 2 0t t 2 2 2 0 2

d dt

3.2 刚体定轴转动定律质点系的角动量定理 M 外 dLz Z轴分量 M z ? dt 质元 mi : Fi 对O点的力矩

z

1. 刚体定轴转动定律

dL dt

MzOi

M i roi Fi

vi ri mi ri

Fi

Fiz

roi Fi roi Fiz(垂直z轴 )

i

roi Fi ri Fi riz Fi (垂直z轴) M iz | ri Fi | ri Fi sin i ri Fi M z M iz ri Fi sin i

rizO

Fi

roi

Lz Liz ?

dLz Mz dt

roi vi

?

Li roi mi viLi

z

Li mi roi vi

Liz

Liz Li sin mi roi vi sin 质元 mi 到转轴的垂直距离

MzOi

vi ri mi ri

Fi

Fiz

ri roi sin Liz mi rvi vi ri i 2 ( mi ri ) dLz d Mz Jz dt dti

i

转动惯量

Lz ( mi ri 2 ) J z J z mi ri 2i

rizO

Fi

roi

对固定轴

M J

刚体定轴转动定律

与牛顿第二定律对比： F ma 外 刚体到转轴的转动惯量： J m ri i i

M 轴外 J 2

J 与 m 对应

对比刚体的角动量和质点的动量：

L J 转动惯量的物理意义:

p mv

1. 刚体转动惯性大小的量度; 2. 转动惯量与刚体的质量有关; 3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关; 4. J与转轴的位置有关。

二、刚体 转动惯量的计算J mi ri 2 称为刚体对转轴的转动惯量i

对质量连续分布刚体

J r dm2

线分布 dm dx 面分布 dm ds

是质量的线密度

是质量的面密度

体分布

dm

dv 是质量的体密度

例: 一均匀细棒长 l 质量为 m 1) 轴 z1 过棒的中心且垂直于棒 2) 轴 z2 过棒一端且垂直于棒

Z1

dm dx dxX l 2

求: 上述两种情况下的转动惯量

l 2

o

m 解: 棒质量的线密度 lZ2

dm dx dx Xl

o

J z 2 J z1

所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义

例: 匀质圆环半径为 R,总质量为 m,求绕垂直于环面通过中心轴的转动惯量 如下图:

Z R dm

解: J z

R 2 dm

例: 匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:圆盘半径为 R, 总质量为 m .

解:

Jz

r 2 dm

设质量面密度

Zm R r

m R 2

dm dSdr

1. 有关转动惯量计算的几个定理： 1) 转动惯量叠加

ZB C

J z J A J B JC式中:是A球对z轴的转动惯量 是B棒对z轴的转动惯量

A

是C球对z轴的转动惯量

h C Z

2) 平行轴定理式中:

J z J c mh2

关于通过质心轴的转动惯量 m 是刚体质量, h 是 c 到 Z轴的距离

J z 是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量

3) 垂直轴定理对于薄板刚体,

Jz Jx Jy

zxi

薄板刚体对 z 轴的转动惯量 等于对 x 轴的转动惯量 与 对 y 轴的转动惯量 之和。

mi

x

0 yi

y

2. 刚体定轴转动定律的应用1. 已知：滑轮M(看成匀质圆盘)半径 R 物体： m 求： a =? 解： 物体m加速运动：

MR

ω T

mg T ma

滑轮加速转动，由转动定律得： TR 1 J MR 2 2

J

T m a mg

线量与角量关系：

a R g

解得：a=

J 1+ mR 2

2. 已知：滑轮M(看成匀质圆盘)半径R 物体： m1 m2 求： a =? m m2 解： m1 g T m1a a 1 g m1 m2 T m2 g m2 a

MT2 T2 T m2 m2g m1g

R

T1T1 T m1 a

m1 g m2 g (m1 m2 )a

对否？

T1 T2

否则滑轮静止或匀速转动，而物体加速运动

m1 g T1 m1a T2 m2 g m2 a转动定律

1 J MR 2 2

T1R T2 R J

线量与角量关系

a R

m1 m2 a g 1 m1 m2 M 2

例3.2 已知：匀质杆m 求： 解： 转动定律

长 l

下落到θ时

F

lO

m

θ C 1 mgl cos 3g cos M 2 θθ 2l 1 2 J ml mg 3 d 3g cos dt 2l 对上式两边分别乘以 dθ ,再进行积分得：

d 0 0

3g cos d 2l

3g sin l

M 3g cos 2l J 质心运动定理：

3g sin l

l 3g cos a 2 4 5 F1 mg sin 22 1 2 2

F1 mg sin man mg cos F2 ma 2 1 an l 3g sin 2 2

F F1 βO

F2

lθ C θθ

m

1 mg 99sin 2 1 F F F 4

1 F2 mgco s 4

mgtan F2 cos F1 10 sin

例3.3答案：转到竖直位置时: F=5mg/2 (θ=90°)

三、刚体定轴转动中的动能定理 dA F dr F cos

| dr | F cos rd M F cos r dA Md

v

dθ

F | dr |P

d O d A Md J 1 1 dt 2 2 J d 1 J 2 1 J 12 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 EK mi vi mi ( ri ) ( mi ri ) J 2

2

2

θ

r

i

2

i

2

2

i

2

刚体的转动动能 E 1 J 2 k 2

A Ek 2 Ek1 定轴转动动能定理

已知： 匀质杆M 求： ω ,

子弹m

水平速度 v0 射入不复出

匀质杆的质心速度 vc

?

,最大摆角θ O

解： 对M , m系统： 合外力为零，系统动量守恒。

mv0 mv Mvc m 2vc Mvcmv0 vc 2m M设杆长为 l

对否？m

c vc ? v0ω

l

M

M 轴外 0

1 2 系统角动量守恒 mv0l mvl Ml 3

3m v0 3m M l

v l

l 3mv0 vc 2 2(3m M )

l 3mv0 vc 2 2(3m M )在碰撞过程中，子弹和细棒的总机 械能不守恒。 但碰撞后，在子弹随细棒摆动过程中，只 有重力做功，因此系统机械能守恒。 以转轴处为势能零点。 由始末状态机械能相等得：

Oθ M

c v0m

1 1 1 1 2 2 2 ( Ml +ml ) -mgl - Mgl -mglcos - Mglcos 2 2 3 2 (M 3m)l 2 arccos 1 3 M+2m)g (

3.3 刚体的复合运动在以上对于刚体动力学的讨论中，得到两个结论：

1. 质心运动定律： F ma cF是刚体所受合外力，ac是刚体质心加速度，m是刚体的质量。

2. 刚体的定轴转动定律： M

J

M是刚体所受合外力矩，α是刚体绕定轴转动的角加速度，

J是刚体的定轴转动惯量。

刚体的复合运动：

可以分解为刚体的平动和刚体绕质心轴的转动

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