13.6实系数一元二次方程

实系数一元二次方程 导入：a、b、c R 解一元二次方程 ax 2 bx c 0 (a 0)

配

b 2 b2 4ac (x ) 2a 4a 2 b 1 当 0时 x1,2 2 a 2a b 2 当 0时 x1,2 2a b 3 当 0时 x1,2 i 2a 2a注：、必须是实系数一元二次方程； 1

方

2、当 0时，

方程有两个共轭 虚根；3、当 0时， 根与系数满足韦达定理； 4、ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 )

补充例题：

1、若关于x的一元二次方程x2 2kx k 0有虚根，则实数k的取值范围 ( 1,0) 是 ______ 4k 2 4k 0

{ 1} 值范围是 ______

2、已知关于x的一元二次方程x2 2ix (a 1) 0有实数解，则实数a的取

a ( , 2] 典型错解 x02 2ix0 (a 1) 0 正确解： 设方程的实根为x0 x02 a 1 2x0i 0 4i 2 4(a 1) 0

x02 a 1 0

2x0 0

a 1

3、已知方程x2 ax b 0(a, b R)的一个根为 3i, 求a, b. 1解： 方程的另一根为 1 3i

a 2

b 4

4、已知方程x2 4x k 0有一个虚根1 2i, 求k.方程的另一根为 1+2i k 5 典型错解 解： 正解： 1 2i代入x2 4x k 0 k (1 2i)2 (1 2i) 7 4i 把

5、已知关于x的实系数方程x2 kx k 2 3k 0有一模为 的虚根，求实数k. 1解： 设方程的两个虚根分别为 z , z 3 13 2 1 k z z k 3k 2 3 13 2 2 k 4(k 3k ) 0 k ( ,0) (4, ) k 2

6、若方程x2 x p 0有两个根 、 ,且 | | 3, 求实数p.解： 、 为实根 (1) 1 4 p 0 p 1 4

1 2 ( ) 2 4 1 4 p 9 p 2 p(2) 、 为虚根 设 =a bi, a bi(a, b R) 1 1 4 p 0 p 4 2a 1 a 1 1 2 3 2 5 2 2 2 p ( ) ( ) a b p 2 2 2 3 2b 3 b 22 2 2 | 解法二： | 3 | | 9 | ( ) | | ( ) 4 | |1 4p |

p

5 或 2 2

7、设a R, 方程x2 2x a 0的两根x1, x2 , 求 | x1 | | x2 | .解 : (1)x1、x2为实根 4 4a 0 a ( ,1]

4 0 a 1 ( x1 x2 ) 2x1x2 2 | x1x2 | 4 2(| a | a) 4 4a a 0 2 0 a 1 | x1 | | x2 | 2 1 a a 02

(| x1 | | x2 |)2 x12 x22 2 | x1x2 |

(2)x1、x2为虚根 4 4a 0 a (1, ) 且x2 x1 x1

x2 x1 x2 a | x1 | | x2 | 2 a2 2

2 0 a 1 综上 | x1 | | x2 | 2 1 a a 0 a 1 2 a

7、设a R, 方程x2 2x a 0的两根x1, x2 , 求 | x1 | | x2 | .解 : (1)x1、x2为实根 4 4a 0 a ( ,1]

x1 x2 a 0 x1 x2 a 0

| x1 | | x2 | x1 x2 2

0 a 1

| x1 | | x2 | | x1 x2 | 4 4a a 0

2 0 a 1 | x1 | | x2 | 2 1 a a 0(2)x1、x2为虚根 4 4a 0 a (1, ) 且x2 x1 x1 x2 x1 x2 a | x1 | | x2 | 2 a2 2

2 0 a 1 综上 | x1 | | x2 | 2 1 a a 0 a 1 2 a

8、设非零复数z1 , z2 ,且z1 , z2满足z12 kz1 z2 z2 2 0, z z 解 : z12 kz1z2 z22 0 z2 0 ( 1 )2 k 1 1 0 z2 z2 z1 z1 z z 1 | 1 |2 1 | 1 | 1 | z1 | | z2 | z2 z 2 z2 z2

z1 为虚数求证：z1 | | z2 | . . | z2

9、设非零复数z1 , z2 ,且z1 , z2满足100 z12 kz1 z2 z2 2 0, z2 求所有满足条件的虚数 的实部的和. z1 z z 解 :100z12 kz1z2 z22 0 z1 0 ( 2 )2 k 2 100 0 z1 z1 k 2 400 0 k {1, 2,3, ,19}19(1 19) z1 z1 190 k 所有实部的和为 2 z 2 z2

z2 为虚数当k N 时， . z1

10、设非零复数z1 , z2对应复平面上的点为Z1和Z 2 , 且z1 , z2满足z12 2 z1 z2 4 z2 2 0, 设O为复平面原点. (1)试判断 Z1OZ 2的形状;(2)若z1 2 z2 1 i, 求S Z1OZ2 . z1 2 z1 z1 2 2 解 : z1 2z1z2 4z2 0 z2 0 ( ) 2 4 0 1 3i z2 z2 z2 z1 | | |1 3i | 2 | z1 | 2 | z2 | | OZ1 | 2 | OZ2 | z2 z1 (1 3i) z2 z1 z2 3iz2 | z1 z2 | 3 | z2 |

| Z1Z2 | 3 | OZ2 | | OZ1 |2 | Z1Z2 |2 | OZ2 |2 Z1OZ2为RT

z1 (1 3i) z2 z1 2z2 [(1 3)i]z2 2z2 [ 1 3i]z2 1 i 2 6 2 | OZ2 | | Z1Z2 | | [ 1 3i]z2 | | 1 i | | z2 | 2 2 2 3 S Z1OZ2 4

11、关于x的方程2x2 3ax a 2 a 0至少有一个模为1的根， 试确定实数a的值。 解： 1 0时， 方程至少有一个绝对值为1的根， () a 2 2a 2 0 a无实数解 以x 1代入得： 2 3a a a 02

以x 1代入得：2-3a a 2 a 0

a 2 4a 2 0 a 2 2

(2) 0时， 方程有一对模为1的共轭虚根,

设两根为x1 , x2 , 则x2 x1 ,2

x1 x2 1

x1x2 1

a a 1 a 2或a 1 2

当a 1时, 0;

当a 2时, 0.

综上所述, a 2 2或a 1

复系数一元二次方程12、解方程：x2 3x 3 i 0 解： 9

4(3 i) 3 4i 设a bi(a、b R)是 3 4i的平方根 a 2 b 2 3 a 1 a 1 或 (a bi)2 3 4i b 2 b 2 2ab 4

x1,2

3 (1 2i ) 2

即方程两根为x1 2 i, x2 1 i (注：不为共轭虚根)

解方程： i) x2 (1 i) x (2 6i) 0 (1 解： (1 i)2 4(1 i)(2 6i) 16 30i ( 3 5i )2 (1 i) (3 5i) x1 2, x2 2 i x1,2 2(1 i)

13、已知关于x的方程(4 3i) x2 mx (4 3i) 0有实根，求 | m |min .设方程的实根为x0 ( x0 0) (4 3i) x02 mx0 (4 3i) 0 解： 4 3i mx0 (4 3i) x02 ( 4 3i) m (4 3i) x0 x0 4 3 m (4 x0 ) ( 3x0 )i x0 x0 | m |

4 2 3 (4 x0 ) ( 3x0 ) 2 x0 x0

25 25x0 2 14 | m |min 8 x02

14.已知关于x的二次方程：x 2 (2 i ) x 4ab (2a b)i 0(a、b R) (1)当方程有实根时，求点(a, b)的轨迹. (2)求方程实数根的取值范围. 解： 设实根为x0 , 则x02 (2 i) x0 4ab (2a b)i 0 (1)

( x02 2x0 4ab) ( x0 2a b)i 0 x0 2 2 x0 4ab 0 x0 2a b 0 x0 b 2a 代入上式

1 2 (a ) (b 1)2 2 2 2 1 即(b 1) (2a 1) 2 1 2 2 1 1 6 点的轨迹为以( , 1)为中心，焦点为( , 1)、 2 2 2 1 6 ( , 1)的椭圆. 2 2

(b 2a)2 2(b 2a) 4ab 0

14.已知关于x的二次方程：x 2 (2 i ) x 4ab (2a b)i 0(a、b R) (1)当方程有实根时，求点(a, b)的轨迹. (2)求方程实数根的取值范围. 解： 设实根为x0 , 则x02 (2 i) x0 4ab (2a b)i 0 (2)

( x02 2x0 4ab) ( x0 2a b)i 0 x0 2 2 x0 4ab 0 x0 2a b 0 b x0 2a 代入上式

x02 2x0 4a( x0 2a) 0 8a2 4x0a ( x02 2x0 ) 0 16x02 32( x02 2x0 ) 0

x02 4x0 0 x0 [ 4,0]

15.实系数方程ax2 bx c 0(a 0)有虚根,且虚根的立方为实数, 求证 : b2 ac

证明： 设两虚根为 、 , 则 ,

设 R,则 ) ( 3 3 2 2 )( ) 0 ( 2 2 , 0 2 ) 0 (33 3

3

3

b 2 c b c - ) 0 2 ( a a a a

2

b ac2

16.解方程 z z解：令z x yi,( x, y R)

2

x2 y 2 x ( x yi)2 x yi 2 xy y (1) y 0 x2 x x 1或0 z1 1或z2 0(2) x 1 1 1 3 y2

y 2 4 2 2

1 3 1 3 z3 i或z4 i 2 2 2 2

17.解方程z 2 4 z 3 0 解：z2 4 z 3 0 z 2 4 z 3 R z R或z为纯虚数()z R 1

z 4 z 3 0 z 4 z 3 0 ( z 1)( z 3) 022

z 1或 3

(2)z为纯虚数 令z =ti(t R, t 0)

z 4 z 3 0 t 4 t 3 0 t 4 t 3 02 22

t 2 7 z ( 2 7)i综上:z 1, 3, (2 7)i

18.已知复数z1 , z2满足条件 z1 2, z2 2, 是否存在非零实数m, 1 1 使得 z1 z2 = , z1 z2 同时成立?若存在,求出m的取值范围, m m 若不存在,说明理由.解： 假设满足条件的m存在,

1 1 由已知 z1z2为实数, z1 z2 z1 z2 = , 又 z1 z2 = , m m 1 1 2 z1、z2是方程x x 0 (*)的两根, m m问题转化为: 方程(*)有两个模小于2的复数根时, 实数m是否存在, 若存在, 求出m的取值范围, 若不存在, 说明理由.

1 1 z1、z2是方程x x 0 (*)的两根, m m 问题转化为: 方程(*)有两个模小于2的复数根时, 实数m是否存在,2

若存在, 求出m的取值范围, 若不存在, 说明理由. 1 2 4 1 ()当 0,( ) 0,即m 时， 1 m m 4 2)内， z ( 2), z1、z2为实数，1、z2 2, 即方程两根在( 2,

1 1 记(x) x x f m m 2

0 ( 2) 0 f 则 (2) 0 f 2 1 2 2m

1 m 4 4 2 1 0 m m 4 2 1 0 m m 1 2 2 2m

3 m 4

1 1 z1 z2是方程x x 0 (*)的两根, m m 问题转化为: 方程(*)有两个模小于2的复数根时, 实数m是否存在,2

若存在, 求出m的取值范围, 若不存在, 说明理由. 1 2 4 1 (2)当 0,( ) 0,即m 时， m m 4

1 z1、z2为一对共轭虚数， z1 z2 z1 z2 m

由 z1 2, z2 2,3 1 m 或m 4 4

1 1 则 2 m , 4 m

19.如果1 i是方程2x3 7 x2 10 x 6 0的一个根，求其余的根.解： 方程的必有根 1 i 方程左边必含有因式 [ x (1+i )] [ x (1 i)] 即x2 2x 2

2x3 7 x 2 10 x 6 2 x 2x 2

2x 3

方程还有根

3 2

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