数学选修1导数及其应用（文科教师用）

（数学选修1-1）第三章 导数及其应用(A)

一、选择题

1．函数y=x3-3x2-9x(-2

A．极大值5，极小值?27 B．极大值5，极小值?11 C．极大值5，无极小值 D．极小值?27，无极大值

1．C y'?3x2?6x?9?0,x??1,得x?3，当x??1时，y'?0；当x??1时，y'?0 当x??1时，y极大值?5；x取不到3，无极小值 2．若f'(x0)??3，则limf(x0?h)?f(x0?3h)?（ ）

h?0hA．?3 B．?6 C．?9 D．?12

f(x0?h)?f(x0?3h)f(x0?h)?f(x0?3h)?4lim?4f'(x0)??12

h?0h?0h4h3．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（ ）

2．D limA．(1,0) B．(2,8) C．(1,0)和(?1,?4) D．(2,8)和(?1,?4) 3．C 设切点为P,k?f(a)?3a?1?4,a??1， 0(a,b)，f(x)?3x?133把a??1，代入到f(x)=x+x-2得b??4；把a?1，代入到f(x)=x+x-2得

'2'2b?0，所以P0(1,0)和(?1,?4)

''4．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f(x)?g(x),则

f(x)与g(x)满足（ ）

A．f(x)?g(x) B．f(x)?g(x)为常数函数 C．f(x)?g(x)?0 D．f(x)?g(x)为常数函数 4．B f(x),g(x)的常数项可以任意 5．函数y?4x?21单调递增区间是（ ） x12A．(0,??) B．(??,1) C．(,??) D．(1,??)

1

18x3?112?0,(2x?1)(4x?2x?1)?0,x?5．C 令y?8x?2?

xx22'6．函数y??1lnx的最大值为（ ） x2A．e B．e C．e D．

10 3(lnx)'x?lnx?x'1?lnx??0,x?e，当x?e时，y'?0；当x?e时，6．A 令y?22xx'11y'?0，y极大值?f(e)?，在定义域内只有一个极值，所以ymax?

ee二、填空题

1．函数y?x?2cosx在区间[0,1．

?2]上的最大值是 。

?3 y'?1?2sixn?0x,?，比较0,,处的函数值，得ymax??3 666262．函数f(x)?x3?4x?5的图像在x?1处的切线在x轴上的截距为________________。

33'2'?)7f,?(1)y1?0,?1x0?7(y时?1),x? 0?,2．? f(x)?3x?4,f(1773．函数y?x2?x3的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。

222'23．(0,) (??,0),(,??) y??3x?2x?0,x?0,或x?

3334．若f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)在R增函数，则a,b,c的关系式为是 。 4．a?0,且b?3ac f(x)?3ax?2bx?c?0恒成立，

2'232??????a?02则?,a?0,且b?3ac 2???4b?12ac?03225．函数f(x)?x?ax?bx?a,在x?1时有极值10，那么a,b的值分别为________。

'2'5．4,?11 f(x)?3x?2ax?b,f(1)?2a?b?3?0,f(1)?2a?a?b? ?110?2a?b??3?a??3?a?4 ?2，当a??3时，x?1不是极值点 ,?,或?b?3b??11??a?a?b?9?三、解答题

1． 已知曲线y?x?1与y?1?x在x?x0处的切线互相垂直，求x0的值。 1．解：y?2x,k1?y|x?x0?2x0;y?3x,k2?y|x?x0?3x0

2

'''2'223 k1k2??1,6x303??1,x?0?36。 62．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？

解：设小正方形的边长为x厘米，则盒子底面长为8?2x，宽为5?2x V?(8?2x)(5?2x)x?4x3?26x2?40x V?12x?52x?40,令V?0,得x?1,或x?'2'1010，x?（舍去）

33 V极大值?V(1) ?1，在定义域内仅有一个极大值，8 ?V最大值?18

3． 已知f(x)?ax4?bx2?c的图象经过点(0,1)，且在x?1处的切线方程是y?x?2 （1）求y?f(x)的解析式；（2）求y?f(x)的单调递增区间。

解：（1）f(x)?ax4?bx2?c的图象经过点(0,1)，则c?1，

f'(x)?4ax3?2bx,k?f'(1)?4a?2b?1,

切点为(1,?1)，则f(x)?ax?bx?c的图象经过点(1,?1) 得a?b?c??1,得a?4259,b?? 22f(x)?5492x?x?1 22'3（2）f(x)?10x?9x?0,?310310?x?0,或x? 1010单调递增区间为(?310310,0),(,??) 1010?13?)，若存在不同时为0的实数k和t，使 4．平面向量a?(3,?1),b?(,22????????2x?a?(t?3)b,y??ka?tb,且x?y，试确定函数k?f(t)的单调区间。

3

??13????b?0,a?2,b?1 解：由a?(3,?1),b?(,)得a?22??2????2????222[a?(t?3)b]?(?ka?tb)?0,?ka?ta?b?k(t?3)a?b?t(t?3)b?0

?4k?t3?3t?0,k?131(t?3t),f(t)?(t3?3t) 443333f'(t)?t2??0,得t??1,或t?1；t2??0,得?1?t?1

4444所以增区间为(??,?1),(1,??)；减区间为(?1,1)。

（数学选修1-1） 第三章 导数及其应用(B)

一、选择题

1．若f(x)?sin??cosx,则f'(?)等于（ ） A．sin? B．cos? C．sin??cos? 1．A f'(x)?sinx,f'(?)?sin?

2．若函数f(x)?x2?bx?c的图象的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图象是（ ） 2．A 对称轴?

D．2sin?

b?0,b?0,f'(x)?2x?b，直线过第一、三、四象限 23．已知函数f(x)??x3?ax2?x?1在(??,??)上是单调函数,则实数a的

取值范围是（ ）

A．(??,?3]?[3,??) B．[?3,3] C．(??,?3)?(3,??) D．(?3,3)

3．B f(x)??3x?2ax?1?0在(??,??)恒成立，??4a?12?0??3?a?3 '4．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x?1)f(x)?0，则必有（ ）

'22A． f(0)?f(2)?2f(1) B. f(0)?f(2)?2f(1) C.

f(0)?f(2)?2f(1) D. f(0)?f(2)?2f(1)

4

4．C 当x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在(1,??)上是增函数；当x?1时，f'(x)?0，

f(x)在(??,1)上是减函数，故f(x)当x?1时取得最小值，即有

f(0)?f(1),f(2)?f(1),得f(0)?f(2)?2f(1)

5．若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）

A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0 5．A 与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为

4，而y??4x3，所以y?x4在(1,1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0

6．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，

y y?f?(x)b aO x

则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．A 极小值点应有先减后增的特点，即f'(x)?0?f'(x)?0?f'(x)?0

二、填空题

1．若函数f(x)=x(x-c)在x?2处有极大值，则常数c的值为_________；

21．6 f'(x)?3x?4cx?2c,'f(2?)22c?8?c1?20c?,或，2c,?26时取极小值

2．函数y?2x?sinx的单调增区间为 。 2．(??,??) y'?2?cox s?对于任何实数都成立03．设函数f(x)?cos(3x??)(0????)，若f(x)?f?(x)为奇函数，则?=__________

? f'(x)??sin(3x??)(3x??)'??3sin(3x??) 6??(x)?2cos(x??3? ) f(x)?f3??要使f(x)?f?(x)为奇函数，需且仅需???k??,k?Z，

32??即：??k??,k?Z。又0????，所以k只能取0，从而??。

661234．设f(x)?x?x?2x?5，当x?[?1,2]时，f(x)?m恒成立，则实数m的

23．

取值范围为 。

5

4．(7,??) x?[?1,2]时，f(x) max?75．对正整数n，设曲线y?xn(1?x)在x?2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则 数列?5．2n?1?an??的前n项和的公式是 ?n?1??2 y/x?2??2n?1?n?2?切线方程为,:y?n2???n12?n??2?x(，2 )令x?0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0??n?1?2n，所以

an?2n，n?1则数列??an??n?1??的前n项和S2?1?2n?n?1?2?2n?1?2 三、解答题

1．求函数y?(1?cos2x)3的导数。

1．解：y?(1?cos2x)3?(2cos2x)3?8cos6x

y'?48cos5x?(cosx)'?48cos5x?(?sinx)

??48sinxcos5x。

2．求函数y?2x?4?x?3的值域。 2．解：函数的定义域为[?2,??)，y'?12x?4?12x?3?12x?4?14x?12 当x??2时，y'?0，即[?2,??)是函数的递增区间，当x??2时，ymin??1 所以值域为[?1,??)。

3．已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x??23与x?1时都取得极值 (1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间

(2)若对x?[?1,2]，不等式f(x)?c2恒成立，求c的取值范围。 3．解：（1）f(x)?x3?ax2?bx?c,f'(x)?3x2?2ax?b

由f'(?23)?129?43a?b?0，f'(1)?3?2a?b?0得a??12,b??2

f'(x)?3x2?x?2?(3x?2)(x?1)，函数f(x)的单调区间如下表： x (??,?23) ?23 (?2,1) 1 (1,??) f'(x) ? 0 ?3 0 ? f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 6

2,1)； 31222223?c （2）f(x)?x?x?2x?c,x?[?1,2]，当x??时，f(?)?23327所以函数f(x)的递增区间是(??,?)与(1,??),递减区间是(?为极大值，而f(2)?2?c，则f(2)?2?c为最大值，要使f(x)?c2,x?[?1,2] 恒成立，则只需要c2?f(2)?2?c，得c??1,或c?2。

23x2?ax?b4．已知f(x)?log3,x?(0,??)，是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列

x两个条件：（1）f(x)在(0,1)上是减函数，在?1,???上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由.

x2?ax?b4．解：设g(x)?

x∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1,??)上是增函数 ∴g(x)在(0,1)上是减函数，在[1,??)上是增函数.

∴??b?1?0?g'(1)?0?a?1 ∴? 解得?

?a?b?1?3?g(1)?3?b?1经检验，a?1,b?1时，f(x)满足题设的两个条件.

7

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