线性代数复习资料

第一章

一.选择题

a（1）设行列式D1=a1a2bb1b2c?aac1?a1，D2=a1c2?a2a2bb1b2cc1，则D1= （ ） c2A．0 B．D2 C．2D2 D．3D2 a11（2）设行列式D=a21a31a12a22a32a13a11a23=3，D1=a21a33a315a11?2a125a21?2a225a31?2a32a13a23，则D1的值为 （ ） a33A.－15 B.－6 C.6 D.15 a11a12（3）已知a21a22a31a32a132a11a23=3，那么a21a33?2a312a12a22?2a322a13a23=（ ） ?2a33A．－24 B．－12 C．－6 D．12 二.填空题

1.排列341265 的逆序数是__________；排列513264 的逆序数是（ ）。

2.四阶行列式中，项a31a22a43a14的符号是__________；项a11a23a34a42的符号是__________； 三.计算题 101.11100?1232313， 2.0413?121?53?4，

021?1?513?33?521110?53. 设 D=,

?13132?4?1?3D的（i，j）元的代数余子式记作Ai,j，求A11?A12?A13?A14 。

31?12?513?44. 设 D=,

201?11?53?3D的（i，j）元的代数余子式记作Ai,j，求A31?3A32?2A33?2A34 。

第二章

一.选择题

*1、设A为n阶方阵，则AA?（ ）

2na、1；b、A；c、 A；d、 A。

2、设n阶方阵A, B,C满足关系式：ABC?E，则必有（ ）

a、ACB?E；b、CBA?E；c、BAC?E；d、BCA?E。

3、设A为方阵，且有A?O则(E?A)?1?( )

3a、E?A?A2；b、E?A?A2；c、 E?A?A2；d、E?A?A2。

4、设A、B都是n阶方阵，E是n阶单位阵，下列命题正确的是（ ） A. AB=BA B. 若AB=AC，且A?0时，有B=C C. E-A= （E-A）（E+A） D. (AB)=AB 5、下列命题正确的是（ ） A. 矩阵的加法运算满足交换律和结合律 B. 矩阵的乘法运算不满足分配律和结合律 C. 若A为n阶方阵，则kA?kA D. 若AB=0，则A=0或B=0 二.填空题

?11、A为三阶方阵，且｜A｜＝3，则｜3A｜＝_____，A＝_____；

2TTT2、设A为3阶方阵，且A?1?1*，则3A?2A?_____ ； 2*3、设A为3阶方阵，已知AA?3E，则A?_____ ；

?1??1?????2140??0?（ ）2540??0?（ ）4、?；?。 ?????1?134??1??1?633???1???????????4??3?????三、证明题

21、设A是n阶方阵，且A?A，A?E，试证明A?0。

2、设A?E??? ,其中E为n阶单位阵，?为n维非零列向量，证明

T（1）A?A 的充要条件是???1；

T2T（2）当???1时，A不是可逆矩阵。

第三章

?1?1.设A??2?3?2243??1?，求(1)A?1 (2)(A?E)A?1。 3???111????12. 设A??2?11?，求 (1)A, (2) (A?E)?1(A2?E)。

?120????1?10???1?1?，且矩阵X满足AX=A+2X，求X。 3．设A=?0??101????033???4.设A??110?，且AB?A?2B，求B。

??123???5.求解下列非齐次线性方程组：

?x1?x2?x3?x4?0?2x?y?z?w?1??? 1） ?4x?2y?2z?w?2 2）?x1?x2?x3?3x4?1

?2x?y?z?w?1?1?x?x?2x?3x??234?12??x1?x2?x3?x4?0? 3）?x1?x2?x3?3x4?1

?x?x?3x?5x??1234?1??x1?x2?x3?1?6.当?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3??1）有唯一解；2）无解；

?x?x??x??223?13）有无穷多个解？

?(1??)x1?x2?x3?0?7. 当?取何值时，非齐次线性方程组?x1?(1??)x2?x3?3 ，

?x?x?(1??)x??23?1（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷解

第四章

一.选择题

1. 向量组（Ⅰ）：?1,?2,…, ?r和向量组（Ⅱ）：?1，?2，…?s等价的定义是

向量组（ ）

A.（Ⅰ）和（Ⅱ）可互相线性表示

B.（Ⅰ）和（Ⅱ）中有一组可由另一组线性表示 C.（Ⅰ）和（Ⅱ）中所含向量的个数相等 D.（Ⅰ）和（Ⅱ）的秩相等 2. 设A是m?n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关 3. 向量组α1、α2、…αs线性无关的充要条件是( ) A.α1、α2、…、αs都不是零向量

B.α1、α2、…、αs中任意两个向量都线性无关

C.α1、α2、…、αs中任一向量都不能用其余向量线性表出 D.α1、α2、…、αs中任意s-1个向量都线性无关

4. 设向量组(I)：?1，?2，…?r，向量组(II)：?1，?2，…?r，?r?1，…，?s则必有（ ）

A．若(I)线性无关，则(II)线性无关 C．若(I)线性无关，则(II)线性相关

B．若(II)线性无关，则(I)线性无关 D．若(II)线性相关，则(I)线性相关

5. 若4阶方阵A的行列式等于零，则必有（ ） A．A中至少有一行向量是其余向量的线性组合 B．A中每一行向量都是其余行向量的线性组合 C．A中必有一行为零行

D．A的列向量组线性无关

二．填空题

1.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=

2. 若向量组?1??1,0,1?　,?2??2,2,3?　,?3??1,3,t?线性无关，则t应满足条件________.

3. 设 ?1?(1,1,1)，?2?(1,2,3) ，?3?(1,3,t) 若?1,?2,?3线性相关，则t= 4. 设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)= ______.

5. 若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于__ _.

三.计算题 1、设向量组α1=(1,1,2,3)T,α2=(1,-1,1,1)T,α3=(1,3,3,5)T,α4=(4,-2,5,6)T,

α5=(-3,-1,-5,-7)T,试求α1，α2，α3，α4，α5的一个最大线性无关组，并求其余向量由此最大线性无关组线性表示的表达式.

2、设向量组?1?(2, 1, 4, 3)T，?2?(?1, 1, ?6, 6)T，?3?(1, 1, ?2, 7)T，

?4?(2, 4, 4, 9)T，求向量组?1，?2，?3，?4的秩r和一个最大线性无关组，

并把其余向量用该最大无关组线性表示。

3、设向量组α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，t+2)，

T

T

T

α4=（-2，-6，10，t）T，试确定当t为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组.

4、设矩阵A?(a1,a2,a3,a4)，其中a2,a3,a4线性无关，a1?2a2?a3。向量 b?a1?a2?a3?a4，求方程组Ax?b的通解。

5、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1,?2,?3是它的三个解向量，且

?2??1??3??2? ?1???,?2??3???

?4??3??????5??4?求该方程组的通解。

四．证明题

1、设向量组?1,?2,??m(m?1)线性无关，且???1??2????m，

证明???1,???2，????m线性无关.

2、设?i?(ai1,ai2,?,ain)T (i=1,2, ?,r; r

??a11x1?a12x2???a1nxn?0? ?a21x1?a22x2???a2nxn?0

?????????????ar1x1?ar2x2???arnxn?0的非零解向量，证明?1，?2,?，?r,?线性无关。

3、设向量组?1，?2,?，?m线性无关，向量?1可由其线性表示，而向量?2不能由其线性表示，证明向量组?1，?2,?，?m，l?1+?2必线性无关（l为任意实数）。

第五章

一.填空题

1．已知3维向量α=（1，3，-1）T，β=（-1，2，4）T，则内积（α，β）=____________. 2.已知向量α=(2，1，0，3)T，β=(1,-2,1,k)T, α与β的内积为2，则数k=________.

3.已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y）正交，则y=_____.

4.已知向量α=（3，k,2）T与β=（1，1，k）T正交，则数k=_______. 5.已知向量??(3,2t,?t)T与??(1,1,t)T正交, 且β的长度大于3，则t=_____. 6.在R中同时与向量?1?(1, 0, -1)T，?2?(0, 1, ?1)T都正交的单位向量为______.

3二．计算题

??110???1. 设矩阵A??430的特征值之和为4 ， ????10a??

（1）求常数a ，

（2）求A的所有特征值和最大特征值对应的全部特征向量 ，

?1（3）计算A 。

??211???的特征值之和为3

202. 设 A?0?????41a??

（1）求常数a ，

（2）求A的所有特征值和最大特征值对应的特征向量 ，

2（3）求2A

?122???3. 设A=?212?，求A的特征值及对应的特征向量.

??221??

第五章

一.填空题

1．已知3维向量α=（1，3，-1）T，β=（-1，2，4）T，则内积（α，β）=____________. 2.已知向量α=(2，1，0，3)T，β=(1,-2,1,k)T, α与β的内积为2，则数k=________.

3.已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y）正交，则y=_____.

4.已知向量α=（3，k,2）T与β=（1，1，k）T正交，则数k=_______. 5.已知向量??(3,2t,?t)T与??(1,1,t)T正交, 且β的长度大于3，则t=_____. 6.在R中同时与向量?1?(1, 0, -1)T，?2?(0, 1, ?1)T都正交的单位向量为______.

3二．计算题

??110???1. 设矩阵A??430的特征值之和为4 ， ????10a??

（1）求常数a ，

（2）求A的所有特征值和最大特征值对应的全部特征向量 ，

?1（3）计算A 。

??211???的特征值之和为3

202. 设 A?0?????41a??

（1）求常数a ，

（2）求A的所有特征值和最大特征值对应的特征向量 ，

2（3）求2A

?122???3. 设A=?212?，求A的特征值及对应的特征向量.

??221??

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