自适应信号处理课后题答案

自适应信号处理课后题答案

1．求下列R的特征值设

430

3 R 362R (1)1 (2) 2

6exp(j /3) 024

6exp( j /3)

2

解：(1)令 为R的特征值，则 (2)令 为R的特征值： detR( I) 0 detR( I) 0

4

36

2

3

2 0 即：

6exp(j /3)

4

即：

30

6exp( j /3)2

0

于是R1的三个特征值分别为： 于是R2 的两个特征值为： 1 4， 2＝5， 3＝5 1 0, 2 5

2．证明任何两个实数的单输入自适应线性组合器的特征向量矩阵均为： Q

1 11 11 2

证明：由已知条件知相关矩阵为R：

ab

R

ba

则R的特征值为： 1 a b, 2 a b

bb

当 1 a b时，R I ，则特征向量为：x1 q1[1,1]

b b bb

当 2 a b时，R I ，则特征向量为：x2 q2[ 1,1]

bb

则特征向量为：

1 11

Q

2 11

3．如图3.1所示，若自适应系统的输入和期待响应分别为：

(1)x0k sin(2 k/6),x1k sin[2 (k 1)/6],dk cos(2 k/6) (2)x0k 2ej(2 k/6),x1k ej[2 (k 1) 6] ej[2 (k 2)/6],dk 4ej[2 (k 1.5)]/6

试计算最佳权向量和最小均方误差输出，并说明在两种情况下的自适应系统有什么不同？

解：(1)由题中条件知：

E[x0k] 0.5 E[x1k] 0.5

Ex0kx1k 0.25

2

2

E dkx0k 0 E[dkx1k] /4 于是输入相关矩阵为：

0.50.25 0 R P

0.250.5 /4 则最优权为：Wopt

0.5774

RP 1.1547

1

2

最小均方误差为： min E[dk] PTWopt 0.3889 (2)由题中已知条件知：

E[x0k] 4 E[x1k] 2 ej2 /6 e j2 /6

x1k] 4ej /6 4e j /6 x0k] 8ej3 /6 E[dk E[dk

2

2

j2 /6 j2 /6

E[x0 2e j4 /6 E[x1 2ej4 /6 kx1k] 2ekx1k] 2e

于是输入相关矩阵为：

4 R j2 /6

2ej4 /6 2e

R的逆不存在， 则最优权为：

2e j2 /6 2e j4 /6 8ej3 /6

P j /6

j2 /6 j2 /6 j /6 2 e e 4e 4e

c

Wopt 4 c2j

3

最小均方误差为： min E[dk] PTWopt 0

2

区别：(1)中输入为实数信号，得到的权值也实数权，(2)中输入为复数信号，

权值为复数权

4．设信号的相关矩阵和噪声的相关矩阵分别为：

3R s

( /3) 6expj6exp (j /3)

2

及Rn 0.05I，试计算MSN性能测度的最佳权向量解和输出最大信噪比。 解：由已知条件知：系统输出的信噪比SNR为瑞利商形式，可表示为

WHRsW

20 SNR H

WW

最大信噪比输出时系统的权向量应为信号相关矩阵Rs的最大特征值对应的特征向量，而

detR[s I] 0

即：

3 expj (/3)

6exp (j /3)2

0

1 0, 2 5 当 1 0时，得到的特征向量为：q0 c0[1

6 j /3

e] 2

当 2 5时，得到的特征向量为：q1 c1[1

6j /3

e] 3

自适应最大信噪比时输出时的权向量为： WMSN q1 [1最大输出信噪比为：

6j /3e] 3

SNRmax 20

1 j /3 3e j /33 6e

1

j /3 e 3

1

6e j /3

6ej /3

2

3 1001 6j /3 e 3

5．设某一实单变量性能表面由下式给出：

0.4 2 4 11

试问收敛参数在什么样的范围内取值可得到一条过阻尼权调整曲线。 解：由性能函数 ( )对权值 的二阶导数可以得到：

d2

0.8 2

d 2

其中 为系统输入的功率

当 2 1时迭代过程收敛，且当0 1 0.8 1即0 1.25时为过阻尼状态。 6．已知：

21 8

R ，P 7 12

试用式(4.16)和式(4.37)分别写出最陡下降法与牛顿权调整公式的显式，并由此解释互耦的概念

解：对于最陡下降法，由公式Wk 1 Wk ( k)得

w0,k 1 1 4 2 w0,k 8 w 2 7 w 2 1 4 1,k 1,k 1 对于牛顿法，由Wk 1 Wk R 1 k得

w0,k 1 w0,k 3 (1 2 ) 2 w 2 w 1,k 1 1,k

对于最陡下降法，权系数的第一分量迭代过程不仅与第一分量有关系还与第二分量有关系，是耦合的。而牛顿法只与本分量有关，是去耦合的。 7．一个复权自适应系统其性能表面由下式给出：

5 20Re( ) 23

求最小均方误差 min, opt与 的值，若让权围绕 1.5 j0.5以扰动量为 1.0 进行扰动，求性能损失 和扰动P。 解：由单复权的性能表面为： min ( opt)2 对比已知条件知： 5， min 3 opt 2 由公式知： 2 5 P

2

5

min3

8．在某种情况下，自适应线性组合器的输出误差服从均值为零、方差为3的正态分布。如果均方误差是基于误差的10个样本进行估值的，试求估值的方差。 解：由已知条件可知：m 0, 2 3,n 10

~1 2m2/ 2 24( 2 m2)2得到： var () 3.6

(1 m2/ 2)2NN估值的方差为3.6

9．给定题7的条件，假设在每个扰动后权的设定点上基于5个误差的观察值来估计梯度的实部和虚部分量，若复误差输出 k是零均值正态分布的，求梯度估值的方差。

解：对于复权系统的梯度估值;

~

1

va E 2(va ) 2(vb ) 2(va ) 2(va ) 2

v 4N

又v w wopt 0.5 0.5j 即va 0.5,vb 0.5且 1.0 N 5

~

则梯度估计的方差为：var 2.656

v

10．若D为一对角矩阵，则

D

n 0

n

(I D) 1

成立的条件是什么？当D不是对角矩阵时结果正确？如果是正确的，条件是

什么？

n

解：当D为对角矩阵时，式子成立的条件是：对角线元素收敛，即limdii 0

n

当D不是对角矩阵时，式子成立的条件是D为收敛矩阵，即D 1

11．对于一个单实权的自适应系统，设自适应增益常数 0.01，输入信号的均

方值为2，试问权调整和学习曲线的时间常数各为多少？ (a)最陡下降法 (b)牛顿法

解：(a)权调整常数为：

12

1

25 0.04

学习曲线的时间常数 mse

(b)权调整常数为:

2

12.5

11 50 2 0.02

学习曲线的时间常数 mse

2

25

12．对题9给出的条件，设 取它最大稳定值的一半，且N =10个误差观测值，

求超量均方误差及自适应时间常数Tmse。 (1)用最速下降法 (2)用牛顿法 解：令权值为W [w0

w1]T

则由 WTRW 2WTP Edk

与已知条件可知：

2

21 7

R EdkP

12 8

42

2

T

则：Wopt R 1P 23 min Edk

PW

2

T

opt

4

av 2

R的特征值为： 0 1, 1 3得P 0.5 2

min

对最速下降法： 为最大稳定值得一半 0.5 1/ max 1/6

(

1 av

)av 0.05 TmseN(L 1)

(L 1)2 min12excMSE ()av 2

4PTmse5 对牛顿法： 0.5

Tmse 2(L 1)N 2(L 1)N

111

40

2 Tmse40

(L 1)2 min12

excMSE ()av

4PTmse 15 2

2

13．设有两个实权得自适应线性组合器，输入x有Exk 3，E xkxk 1 2每次

选迭代用80次误差观测，扰动P 0.05，自适应增益常数 0.01，求两种情况下得失调。

(1)最速下降法 (2)牛顿法

32

解：由已知条件知：R

23 对R进行特征值分解得： 0 1, 1 5 对于最速下降法：

(

1 av0.01*0.5*(1 5))av 1.875e 4 TmseN(L 1)80*2

(L 1)21失调为 M ()av 0.0037

4PTmse

对于牛顿法：

Tmse 2(L 1)N 2(L 1)N

失调：

11 2*80* 1600 02 0.01

(L 1)222

M av(1/ )av *0.5*(1 5)*0.5*(1 1/5) 0.0019

4PTmse4*0.05*1600014．给定图6.6系统辨识结构，试用式(6.36)给出自适应递归滤波器LMS算法。 解：算法 Wk a0k

b1k

T

b2k Uk xk

yk 1

T

gv1v2 yk 2 M dia

yk WkTUk

0k xk blk 0,k l

l 12

1k yk 1 blk 1,k l 2k yk 2 blk 2,k l

l 1

l 1

22

2(d y)[ kkk0k Wk 1 Wk M k

1k 2k]T

15．设 0.05，v1 0.005及v2 0.0025，用第五章题4表示的 rk 作输入序列，对图6.6运行IIR LMS算法，并绘出 k对k，a0k、b0k对k的变化曲线； 解：

误差e

迭代次数k

迭代1000次的学习曲线

权系数b2

权系数b1

16．对于二阶自适应递归滤波器，证明：(b1b2)必须处于图6.7所示的三角形

区域之内才能保证滤波器稳定，即三角形相应于Z平面上的单位圆。

证明：对于二阶滤波器，传输函数的分母为：1 B(z) 1 b1z 1 b2z 2要使滤波器稳定，必须保证方程1 b1z 1 b2z 2 0极点陡分布在单位圆内。 当b12 4b2 0时

b1 b12 4b2

z

2由z 1得到：b1 b2 1,b1 b2 1 当b12 4b2 0

b1 (b12 4b2)j

z

2

由z 1得到：b2 1 形成的范围为三角区域

b1

17． 对于如图所示逆模拟情况，设对所有i k，均有si和sk相互独立，且

ss(0) 1。同时设nk与sk为相互独立的白噪声，且 nn(0) p。导出以下功率谱

的表达式： xx(z)， dd(z)与 dx(z)。

题17图

解：xk (nk sk) p(k)

xx(z) ( ss(0) nn(0))P(z) (1 p)P(z)

22

dd(z) z

2

dx(z) ss(0)z P(z) z P(z)

18．对上题情况，由公式(7.9)开始，到达最佳逆模拟器Hopt(z)的表达式。 解：最佳逆滤波器的传输函数：

xd(z)z P (z)z

Hopt(z)

xx(z)(1 p)P(z)2(1 p)P(z)

19．对于图示模拟情况，求它的最小均方误差和最佳权值。

解：由已知条件知:P(z)

2

1

1 0.6z

又由图可知 dk sk xk P(z)sk

2(w0 w1z 1)

sk yk wkxk

1 0.6z 12(w0 w1z 1)

)sk k dk yk (1 1

1 0.6z

2(w0 w1z 1)

0时，得最优权：w0 0.5,w1 0.3 当1

1 0.6z 1

最小均方误差： min 0

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